/
t A LD '9'G i E C E lNt<X
•#
BURNDY
LIBRARY
Charttrtd in 1?41
GIFT OF
Bern Dibner
The Dibner Library
of the History of
Science and Technology
SMITHSONIAN INSTITUTION LIBR ARIES
• • * ' • "• •' ... ' . ' •' , ' .
- . . *
«* . - • . • . #
• 1 , v.s - ; ■ 4' ' ' ■ | ' . r/ - '
- ’ " f i , j \ 7 ft - 1 r 1 't ’
SK
;
. >•
I
T
/
■
'
A P O LLONII
PERGAEI CONICORVM
LIBRI Q_V ATTVOR,
V N A' CVM PAPPI ALEXANDRINI
LEMMATI BVS, ET COMMENTARIIS
EVTOCII ASCALONITAE*
SERENI ANTINSENSIS
PHILOSOPHI LIBRI DVO
NVNC PRIMVM IN LVCEM EDITI.
QV AE OMNIA NVPER FEDERICVS
Commandinus Vrbinas mendis quamplurimis expur-
gata e Grarco conucrtit , 8c commen-
tariis illuftrauit .
B O N O N I AE,
E X OFFI CINA ALEXANDRI BENATIL
M D L X V I.
CVM PRIVILEGIO PII IIII. PONT. MAX
*
I N A N N O S X.
«S. Eugenii Senarum
m Rmi P.D» Honorii a Senia
Ea
f A
y'r •'
(
■
!
V* •
.
tr
w
V
«, ‘i
1
. ‘i
,-./a V;
\ 1 . N ‘s N 1 -• -, T"
.
S : * / .
r •'
i, V
*v' ^
■•'i
i
• • A A' A :
:
•- • • »’
I Ai
■ • 'a' G I-: A. A ; A *■ >i !
-•A - ;
/' i
O
» - t ;l 'r a ' -> :> r A
a -f JEL i.
r a
( vf '
. '* v . /
. : 0
• * .»
i V
ii .
? .<■ • ' V .¥ v •
( i ,* • ' r * * i ♦
*'« 4 ^ ^ >
■s
* - i
/T
«r ,
■s '
O i a i - : • ; :
A • O
.1 ;
! *;
A
- -4
*■*
1
o
«3 T I d * v -i v. \ v . ; \ :> >; v. *£
S \ J ; i -t ■ :-i i .i 'i v >-f f x u n - ' >
' * ■ • i ^ A ' ■ ’ • • ' . ! ' ■' ■ 1 > ■
-A A.- A . ... ' * ■ . • . ; i %/■ •
* J MAJ * » l ;» I
A- . ’
•A
-
i ! .1 ; o ■ j ■ i i 1 i .
« - •
• A\.
r\ f
V- * “ * i
rtf
'i -*• '■ *
?■ • • >
V. • * t. »
.
■i
, ... . ^ .i.
O
'>» h 7 yf y
-
3 A T yf o T -' r •""> r
^ ■■ ■ •* f \-A A V'-'
5 VA& ifl.lkc X ; : . A . u 3 I X
r
J v XJ . <2 . H
'i: ; A
A : - A AAA
. AA
-A 'A .'A J
■ s' '■ V' ■ • ' r
V • ■:
.
i
. A
I D 0 V B A L D O I U
|M§lf y R B I N A T V M D V C I I X I 1.
ALMAE'QJE vrbis praefecto.
X omnibus philofophite partibus, ut nulla certior,
atque ad ueritatis rationem accommodatior eft,
quam quae a gracis mathematice dicitur , fic nulla
obfcurior, atque ad cognofcendum difficilior ede
hoc tempore poteft . Huius autem fadi culpam, cu
ipia rei natura, Sc fubtilitas , tum maxime occupata
noftrorum hominum in aliis artibus explicandis in-
duftria,ac nimia in plerifque,ut uere dicam, rerum ab ufu uitje commu
nis remotarum negligentia fuftinet . Quod fi qua alia pars cff, quae no-
ftris incognitaphilofophis/interprctationis lumen aliquod poftulet , ea
profedo eft, qua: de conicis appellatur , quanquam enim a ueteribus
diligenter tradata fit, tamen eorum monumenta aut ad nos non per-
uenerunt,aut ita peruenerunt , ut uix propter multas uetuftatis iniu-
rias,maximasq; difficultates intelligantur. Ac primus quidem, ut colligi
poteft , hanc conicorum diiputationem quattuor libris editis tradauit
Euclides, quos deinde cum Apollonius Pergarus uir eximio ingenio,
atque exqmfita dodrina prarditus ufque ad odo perduxiftet, incredibi-
le eft, quantam huic fcientia: accesfionem,dignitatemq; adiunxerit.quo
rum quattuor primi graccfcriptiadhucleguntur, reliqui temporum
fuperiorum calamitate defiderantur . Verum cum in his demonftratio-
nes ille breues fere, atque obfcuras attulifiet,ac multa lemmata incogni-
ta pro notis adhibuiffet, fadum eft, ut tanta: tollenda: difficultatis caufi
fa muiti feacl eorum expolitionem contulerint . inter quos Pappus Alc\
xandrinus,8c Eutocius Afcalonitareliquis facile eruditionis laude, & in-
genii pndliterunt. neque uero dubitandum eft, quin illi huic ftudio plu
rimum opis afferre hoc tempore pollent, fi eorum fcriptaaut multis pa
terent, aut fatis emendata in manibus hominum uerfarentur. atque harc
quidem me cauffa potisfimum impulit , ut huius difciplina: fubleuand^e
gratia, eos dc gneco conuerterem, ac commentariis quoque meis expli-
carem. nam cum in Archimedis dc Ptolemad libris aliquot interpretan-
disjqui fine conicorum dodrina nulla ratione percipi poffunt, demon-
ftrationes Apollonii multas adhibuerim, qua: fine graco libro, quod la-
tinus corruptisftmus fit, parum intelliganturjfeci non inuitus>idq; mul-
ti* ij
tojum amicorum , quibus honeAe deacgare non poteram , uoluntatc ,
primum ut Apolionium ipfum quampfanisfime poflem,conuerterem,
atque in hac parteiqua? plurimum egere auxiliruidebkur , a?gr& prope
ac laboranti matbematieje difciplin^fucturrerem : deinde uero ut Pap-
pi lemmata , atque Eutocii in Apollonium commentarios latinos face-
remjUi quibusjqubd plurimis affedi uitiis erant, plus etiam laboris , at-
que Qpera?,quam in jpfo Apollonio, pofui;quippc qui multis in locis de
monArationes integras, quarum uix-ueAigia apparebant, in Aaurare ne-
cefle habui .poAautem cum uehementius iam rei inchoata amore, at-
que communis utilitatis Audio, ut femper alias inflammatus effem, eofi
dem etiam, ut omnia faciliora cognitu effent, propriis declarare comme
tariis nolui . quo facium e A , ut dokrinae in finitis quondam uetu flatis,
atque infcitias tenebosinuolut^hon minimum lucis atque fplendoris,
ut res ipfa cognofcere cupientibus indicabit, attulerim. Hxc igitur qua-
liacunque fint, omnia uno colligata uoliimine in tuo nomine ad com-
munem omnium utilitatem boc tempore edo , atque diuulgo, G v i d e
Vbaldb Dux pra?Aantisfime .quod cu facio, non folum officio meo
Ternio, ut in cuius ditione , atque imperio natus fum, eum omni cultu , *
atque obieruantia profequar : fedin eo etiam exemplum dodisfimoru
hominum fequor,ut a quo plurimum ornamenti, atque fubfidii litterae
acceperunt, eum potisfimiim omnibus litterarum monumentis exor-
nent. Tu autem is es 3 cuius familia magnam partem ornamentorum
qua? retinent , ipfa doctrina? Audia debeant . Nam Federjcvs proa-
uus tuus, qui primus Ducalem honorem ueAram in familiam intulit,
cum plurimis rei militaris laudibus floruit, tum maximam inde fibi glo-
riam comparauit,qubd vnice litteras, litteratos q; femper dilexit . quod
cum hbri multi in eius nomine a dodis hominibus editi,tum bibliothe-
ca, hebra?orum,gra?corum 5 &latinorum libroru copia mirabiliter inftru
da teAantur- cuius uefligia Gvidvs Vbaldvs Elius imitatus, &
ipfe pra’ter hatreditariam rei bellica? laudem cum omnibus litteris fuit
eruditus, tum eruditorum hominum ingenio mirifice femper eft dele-
datus . quos eofdem Franciscvs Maria nepos cius, idemq; pa
ter tuus,quaiiquam Audio rei miltaris , cuius gloria pra?ter ceteros flo-
ruit, intentus , lumino Audio femper complexus e A, ac mirifice coluit .
Eorum omnium laudibus tu ita fuccesfi Ai, ut ad proprium decus, haud
multum tibi fit ex paterna, domefiicaq; gloria hauriendum . nam cum
rem m ilitarem ita tenes, ut in ea excellas *, tum latinis,gra?cisq; litteris pe
dnde dodus es, atque fi totam in hoc Audio a?tatem confumpferis . Ita-
que non folum infignibus rei bellica decoratus ampliffimis es, cum Ve-
netarum copiarum, & Pontificiarum Dux fueris, atque Philippi
Hifpaniarum Regis hodie in Italia Generalis , atque alma? urbis pra?fe-
dus fiSjfed etiam in hoc litterarum ftudio eas tibi laudes peperifti , quas
nulla unquam pofteritatis obliuio obfcurabit . nam & bibliothecam aui
tam optimis libris adauxifti,& litteris deditos homines compledi omni
ftudio , ac touere non cedas . Inter quos quoniam me quoque efle tua
humanitas uoluit, ingratus prope > atque impius lim , nili tc , ut intimis
animi mei fenfibus colo, lic omnibus ingenii mei monumentis , quoad
polium, honorem . Vale.
Federicus Commandinus .
i
. 4» V
DE APOLLONIO EX PAPPO.
Vc l i d i s libros quattuor conicorum cum Apollonius ex-
pleuiflet , ac quattuor alios aditinxifiet *, odo conicorum li-
bros confecit . Ariftams autem qui fcnbit ea , qua* ad hoc ufi
que tempus tradita funt, folidorum locorum libros quinque
conicis cohaerentes uocauit. & qui ante Apollonium fuerunt, trium co
nicarum linearum, unam quidem coni acutianguli, alteram redanguli,
.tertiam uero obtufianguli coni fedionem appellamt. Qjioniam autem
in vnoquoque horum trium conorum differenter Pedorum tres lineae
fiunt, dubitans, ut apparet, Apollonius cur nam qui ante fe hanc trada-
tionem expleuerant,unam quidem acutianguli coni fedionem uocaue-
runt,quse poteft 6c redanguli, & obtufianguli coni elfe *, alteram redan
guli,quee poteft &c in acutiangulo , &c obtufiangulo cono reperiri *, ter-
tiam uero obtufianguli, quae & in acutiangulo, & redangulo cono inef-
fe poteft •, mutatis nominibus , quas quidem acutianguli coni fedio no-
minatur, ellipfim appellat ; quas redangulfiparabolen, quce uero obtufi
anguli, hyperbolen •, unicuique ab aliquo proprio accidente nomen im
ponens . fpatium enim quoddam ad lineam quampiam comparatum in
acutianguli coni fedione deficiens fit quadrato *, in obtufianguli coni
fedione quadrato excedens *, in rcdanguli uero coni fedione neque de-
ficiens, neque excedens.Hoc autem illi accidit, quod non confiderauit
iuxta unum duntaxat cafum plani conum fecantis, & tres lineas gignent
tis,in unoquoque conorum aliam atque aliam fieri lineam, quam d coni
proprietate nominarunt . Si enim fecans planum ducatur uni lateri co-
ni asquidiftans,una tatum ex tribus lineis efficitur femper eadem, quam
Ariftasus illius coni fedionem appellauit .
EX EVTOCIO, ET GEMINO.
A Pollonius geometra natus eft Pergas, quas Pamphilias ciuitas
eft , tempore Ptolemasi Euergetas , ut tradit Heraclius in Archi-
medis uita.qui etiam feribit Archimedem quidem primum conica
theoremata fuifte aggrefliim ; Apollonium uero cum ea inuenilfet
ab Archimede nondum edita , ficut propria fua edidifte . neque id
uere , ut mea fert opinio . nam Sc Archimedes multis in locis ue-
lut antiquioris conicorum inftitutionis mentionem facere uidetur:
i
& Apollonius ea fcribit,non ut a fe ipfo inuenta.non enim dixiflet>ubc-
rius 8c uniuerfalius harc a fe,quam ab aliis tradata fili Ile . Sed quod feri-
bit Geminus uerum eft.Autiqui,inquit, conum diffinientes, redanguli
trianguli circumuolutionem manente uno eorum, qua? circa redum an
gulum funt, latere } & conos omnes redos, 5c unam in lingulis fedione
fieri arbitrati funt : in redangulo quidem cono vocatam parabolen ; in
obtu fi angulo hyperbolen ; in acutiangulo autem elliplim. atque ita no
minatas apud ipfosfedionespasfiminuenias . Quemadmodum igitur
antiquis illis in unaquaque triangulorum fpecie contemplantibus duos
rectos, primum in tequilatero, deinde in aequicrurfipoftea in fcaleno, ae-
tate pofteriores uniuerfale theorema demonftraruntciufmodi, Omnis
trianguli interiores tres anguli duobus redis funt aequales: ita & in coni
fedionibusjre61:anguli quidem coni fedionem didam,in redagulo tan
tum cono contemplati funt *, fedo fcilicet plano ad unum coni latus re
do : obtufianguli autem coni fedionem in cono obtuliangulo fadam
demonlfraruntjSc acutianguli fedionem in cono acutiangulo; fimiliter
in omnibus conis ducentes plana ad unum eorum latus reda : quod Sc
antiqua fedionum nomina indicant . Verum poftea Apollonius Per-
gaeus uniuerfe inipexit in omni cono tam redo, quam fcaleno omnes Ic
diones inelfe, iuxta plani ad conum differentem inclinationem . quam-
obrem illius temporis homines admirati mirificam conicorum theore-
matum demonftrationem magnum geometram ipfum appellarunt.
Harc quidem Geminus in fexto mathematicarum praeceptionum libro
~ • ••
... ,
..
]
" Y ... <-:l .
~ v i ^
. ••
Y,y: ;
• ■ ■ - ■ ■ ' -
■ ■■ •
■; , ... ■
.
: ' = l
ii
- - « • Y- v "
• ■ V"
u
v-
' 1 ■ Y
‘ i ;■ 4 »- * . .
1
t
• . > ♦
■
*
i!'- 'v'--.’' • •• ■ -
* 77 ... ' < Y y . ; v ; : .■ .■ ,'.a\A
%
■7 ;
■
■ iYtv
■ "4
v 'J
■ Yyy: u . : YY.B. hi) ’ - 1 : :
r*y ; :
- . . •
■vi: Y
-
. .
• 1
u
'
'7 . Y,Y:
.....
...
.
•« ' •’ ! T / •
'. > ■ * * •* *• .
*
... ..." ... . *
, 7 ;>• |! rrU
“ ..
-
-7:
- : ii? .7; y
: * ‘ "S 1 > • -f .*'•••> «1 -
' * ■ * •
>• j .»-/ 'r i : ,• ■ 4 ••
J
.
~ " ; .
li iib-Y
; ; 1 . ’• ■ j , .. i?! ' 7 V
, ■ . -Y v YY;7
1
j c<
¥
:
■ i ' '
. - »
■
...
- n
r. y y
. ' i: :
■■ .-y-" t :.YVy.':Y7;.'..,:. ;
\
•
7 7? r;; ’
.<■ * A*
■' ' .. .- ; -Y7YH'Y.v .
: r
r ■ ' ■
,
77 7 '7
. im m
•
. j;V7.' 'YYY
■
.
-■ -
.
!
* 7 :• ■ ?
. • * * . -
* *
y ^ • :
■7i >u:
■ . 'V- Yr. .
' . :yy7 : y. ; ; ;
■ - - , * -fi
Y .777'
7.7 ' j.;.. ■ y ' :;;:p ?7.r
.' ; .... j:'i
i.
. - - 7 ! . /' - Y Y Y - "Y: ■ ; i i ; ■: Y:Y
i .
Y ■ . ■ ’ . 7 ' y : . V’ . • y . ,7<H: ;uirm . 3
.3 . Y. YY. 7,77 ■: • /■ ■ li.
. ■ 7; y; * ,. ' ' ) yy. - - • 77 ; sii ;ikff y>
- • ■ • - ■ • i - / • .
. ?.:i <7777 y : .
• '
: •" ■ y ; ' : :.yy 7 . 777 } fr i Y.rr!
1 •» .
y. - ■{£ .
- *»} ■ ^5*? c itl : {■
'T '.
r
PAPPI ALEXANDRINI
LEMMATA IN PRIMVM LIBR.VM
CON-iCOR V M APOLLONII,
€ V M COMMENTARIIS FEDERICI
C Q M M A N D I N I VRBINATI S,
LEMMA PRIMVM.
IT conus, cuius bajis circulus a b,<& uertex punSlum e »
Si igitur aquicruris ejl conus ; manifeflo con flat, lineas o -
mnes, qua abipfo c ad ab circuli circumferentiam ducun
tur, inter Je fe aquales ejje. Si ue
rofcalenus ejl ; oporteat inueni-
re, qua maxima Jit > <& qua mi-
nima.
D VCATVR a pumfto c ad planum circuli a b li-
nea perpendicularis . qua? primum cadat intra circulu;
ii tqj. c d : & fumatur centrum eius , quod fit .e: & iunfta
d e producatur in utram que partem adpuri&aa b : de-
inde a c, c b iungatur . Dico ipfam b c maximam efle,&
a c minimam , linearum omnium , qua? a pucfto c ad cir-
culum ab pertinent. Ducatur enim alia quadam, linea
c f,& fd iungatur. maior igitur eft b d,quam d f: commu
nis autem cj : & anguli, qui ad d redi, ergo maior eft bc, quamcf. eodem modo &
cf maior oftendetur, quam c a . ex quibus apparet lineam c b omnium maximam^
a c uero minimam effe.
^ Rurfus apun&o c perpendicularis duda cadatin ip c
ftus a b circuli circumferentiam ; qua? ftt c a : & cum cir
culi centro d copulata ad producatur in b : & b ciunga
tur.Dico b c maximam efte,& a c minimam, lineam igi-
tur c b maiorem elfe,quam c a perfpicuum eft. ducatur
autem alia quxdam linea ce;& iungatur a e , Itaque
quoniam ab diameter eft, neceftario maior erit, quam
ae;& continet a c cumipfts ab, a e angulum redtum,
ergo b c , quam c e maior erit ; & fimiliter maior ,
quam cetera? omnes . Eodem modo & e c maior ofterv
detur/quam c a. Quare fequitur, ut b cmaximaftt, a e
nero minima linearum omnium, qua? abipfo c adcircu
lum a b pertinent.
lifdem p offas cadat perpendicularis c d extra circulum : & ad e circuli centrum
duda d e producatur : iunganturq; a c,b c . Dico b c maximam, & ac minimam,
eiTe omnium, qua? a pundo c ad ab circulumperducuntur. conftatnamq; bc ma-
iorem effe ipfa c a. fed & maior erit omrubus,qua? ab ipfo c in circumferentiam cir-
culi a b cadunt . ducatur enim alia quadam linea c f: d d f iungatur. Cum igit,ur b d
per centrum tranfeat, maior eft, quam d f . eft autem cd perpendicularis ad line-
as db,df, quoniam & ad ipfum planum, ergo maior erit bc, quam c f. & fi militer
inaior,quam aliae omnes, perfpicuum eft igitur ipfam c b maximam effe. At uero
a cminimam hoc modo oftendemus . Quoniam enim minor eft a d,quam d f ; at-
qnc eft ad ipfas perpendicularis d Cjiuinor erit a c,quam cL& ita minor* quam alia?-;
A
i >1
c
7- tertii.
i.diff. ir.
4 7- primi
l
iS. primi
I j\ primi
i.difF. uty
decimi
8. tenti
i.dlfF. Ufif
decimi
S. tertij-
tio pri-
nu Apol
Ionii .
i
y. fecudi.
47. primi.
i j-.diffki.
primi .
letnm. in
zi . deci-
sni .
4. fextl
P A P £ I LEMMATA
linea igitur a c minima eft,& b c maxima om
nium,qus apundo c ad a b circuli circumfe-
rentiam perducuntur .
Si ab aliquo pondo ad circumferen-
dam circuli , qui non fit in eodem pla-
no, in quo putidum, coniunda reda li-
nea in utraq; partem producatur : &c.
Conuenienter Apollonius addidit, in utra-
que partem producatur: cum imiufcuiufque
coni generationem tradat. Si enim squicruris
fit conus fruftra produceretur, quod reda li-
nea, qua; conuertitur circumferentiam circuli
perpetuo contingit; quippe cum ab eapundu
manens femper squali diftet interuallo . Sed quoniam poteft & fcalenus effe conus,
in quo,utiam dcmonftratum eft,& maximum, & minimum latus inuenitur,neceffa-
rio illud appofuit; ut qus minima eft linea, ufqueadeo augeri in telligatur , quoad
fiat maxims squalis : & propterea circuli circumferentiam femper contingat .
I E M M AII.
SIT line a ab c,& pofitione data a c 1 omnes autem, quce ab ipfa ab c ad ac
ferpendiculares ducuntur , ita fe habeant , ut quadratum uniufcuiufque ipfarum
ce quale fit redangulo bafis partibus,qu ce ab ipfa fecantur ,contento . THco a b c
circuli circumferentiam ejfe ; diametrum autem ipfius lineam ac.
DVCANTVR enim apundisdb epcrpendicularesdf, bg, e h. ergo quadra-
tum d f squale eft redangulo a f c : & quadratum b g redangulo age: ipfum uero
e h quadratum redangulo a h c squale . fecetur
a c bifariam in k; & dk, k b,k e iungantur. Itaq;
quoniam a f c redagulum una cum quadrato f k
eft squale quadrato a k : & ipfi a f c squale eft d f
quadratum : erit quadratum d f unacuipfo f k,
hoc eft quadratum d k squale quadrato a k.qua- *
re linea a k ipfi k d eft squalis . Similiter offende-
mus, & unamquamque linearum b k,e k,ipft a k, uel k c squalem effe. ergo a b c dr
culi circumferentia eft circa centrum k, hoc eft circa diametrum a c,
LEMMA III.
$ IN T tres linece ce quidifl antes a b,cd,ef:
<Pf in ipjas ducantur du<e r elice linece agfc, bg
e d. Dico ut reliangulum quod fit ex ab,& e f
ad quadratum c d,ita ejfe retiangulum agf ad
quadratum gc . f
Q V O N I A M enim ut linea a b ad f e ; hoc tf
eft ut redangulum ex a b,& f e ad f e quadratum , /
ita lineaagadipfam gf; hoc eft redangulum agf a
ad quadratum gf: erit ut redagulum ex a b&f e,
001
f
IN I, LIB. CONICORVM. a
ad quadratum f e, ita redangulum a g f ad quadratum g f. fed ut quadratum f e ad 4-&n-
quadratum cd,fic quadratum fg ad quadratum gc. ex aquali igitur ut redanguiu xtl *
ex a b & f e ad quadratum c d,fic redangulum a g f ad g c quadratum .
LEMMA I I I I.
S IT ut ah adb cfita ad adde: npf fecetur a c bifariam in punfto e . T)ico
reflangulum bed quadrato e c <equale ej]e : itemj? retiangulum ad c aquale re-
ti angulo bde } & retiangulum ab c retlangulo ebd.
QY O N I A M enim ut a b ad b c,ita eft a d ad d c ; erit componendo,fumptisq; a
antecedentium dimidiis , & per conuerfionem ratio
nis,ut b e ad e c,ita c e ad e d. redagulum igitur b e d
squale eft ce quadrato, commune auferatur, quadra a e d e l
tum fciiicet e d. ergo quod relinquitur,redangulum ‘ 1 r 1 1
a d c redangulo b d e eft squale. Rurfus quoniam q
redangulum bed squale eft quadrato c e, utraque auferantur a quadrato b e . reli-
quum igitur redangulum a b c redangulo ebd a quale erit, qus omnia demon-
ftrare oportebat .
COMMENTARIVS.
ERIT componendo, fumptisq; antecedentium dimidiis . & per conuerfionem A
rationis. J Quoniam ut ab ad b cjta ad adde ; erit componendo ut a b,b cadc b,ita ac ad c d ;
& antecedentium dimidia, ut ebadb c,ita ecadcd.eft enim a e ipfius a c dimidia „ quare per con-
uerfionem ra tionis ut b e ad e cfita ce ad e d.
Commune auferatur, quadratum fciiicet e d.] Eft enim quadratum ce aquale retlan- B
gulo ade md cum quadrato ed:& retiangulum bed aequale retlangulo bde una cum e d qua- <j.
drato. quare fiiblato communi ; relinquitur retiangulum ade reti angulo bde aequale.
Rurfus quoniam redangulum bed squale eft quadrato e c, utraque auferantur a
quadrato b e.] Tfiam cum linea a c bifariam fecetur in e,atque ipfi addatur linea c b ; rettangu
lum abc,& quadratum c e aqualia fiunt quadrato b e. rurfus quadrato b e aqualia fiunt utraque
reciangula ebd, bed. fi igitur ab ipfio b e quadrato aqualia auferantur , uidelicet retiangulum
h e d,& quadratum c e ; relinquitur retiangulum abe retlangulo ebd aquale ejfie.
LEMMA V.
//abeat a adb proportionem compofita ex proportione c ad d } & ex pro-
portione e ad f Vico cadd proportionem compofitam habere ex proportione a
ad b> fer proportione f ade.
FIAT enim proportio d ad g eadem, qus eft e
ad f & quoniam proportio a ad b compofita eft ex a
proportione cadd, & proportione e ad fihoc eft d ' — r •
ad g : proportio autem compofita ex proportione >_ 1L e f
c ad d, & d ad g eft eadem, qus c ad g: erit ut a ad b,
ita c ad g.Rurius quoniam c ad d proportionem ha
bet compofitam ex proportione c ad g , & propor-
tione g ad d: fed proportio c ad g demonftrata eft ea /j
cfem,qus a ad b : & conuertendo proportio g ad d h '
eadem eft, qus f ade: habebit cadd proportionem
compofitam ex proportione a ad b,& proportione fade*
B
17. fexfi
B
fecudi.
3
C
6 . fecundi
1
\ —
=—t
e .
_JL
A %
4 . fexri
x
| 5 . primi.
54. fex ti
4
4
4. fexti
(
\
PAPPI LEMMATA
LEMMA VI.
S 1 N T duo paralklogramma a c,d fatfuiangula, quorum angulus b fu aqua
lis angulo e . Dico ut reUangulum ab c ad nttangulum d e fiita efie parallelo-
grammam ac ad d f parallelogrammum ,
Si enim anguli be redi
Ent, illud perfpieue conflat :
En minusjdemittantur per-
pendiculares a g, d h.& quo
niam angulus b aqualis eft
angulo & angulus ad g re
dtus aqualis redo ad h: erit
triangulum a b g triangulo
deh aquiangulum . quare
utbaada g,iraedaddh.fledut ba ad ag,itaredangulum abc adredangulum
quod a g , b c contin etur : & ut e d ad d h, ita d e f redangulum adredangulum con»
tentum dh, ef. quare permutando ut redangulum abc adredangulum d e f, ita
redangulum.quod continetur a g, b c ; hoc eflparallelogrammum ac ad redangu-
lum contentum d h, e £ hoc eft ad parallelogrammum d i.
LEMMA VII.
S IT triangulum abc: fiiijy b c aquidi flans
de,& quadratum , quod jit cxca aquale fit re -
Hangulofa e. Dico lam fi lungantur dc,b f, li-
neam b f) ipfi d c ccquidijlantem ejje.
HOC uero manifefte patet . quoniam enim ut
f a., ad ac, ita eft ca ad ae;&ut ca ad a e, ita ba
ad a d ■_ erit ut fa ad a c , ita b a ad a d . ergo d c , b t'
inter fle fle aquidiftan tes flunt .
a
LEMMA VIII.
•S IT triangulum abc: trapezium uero de fg,ita ut ab c angulus angulo
d ef fit aqualis. Dico ut retlanguium abc ad redlagulum,quod continetur utra-
que ipfarum dg>ef& d e > fic ejSe triangulum abc ad trapezium d e f g*
DVCANTVR enim perpendiculares a h, d k . & quoniam angulus abc asqua
lis eft angulo d e f;& qui eft ad h rectus squalis recto ad k; erit ut b a ad ah, ita ed
ad d , fled ut b a ad ah,itarectangulum abc adid,quod continetur a h, b c:& ut e d
ad
IN I. 1 I B. C O N I C O R V M. 3
ad d k, Ita rcctangulum , quod continetur utraque d g,e d e ad contentum utra
que d g, e f& d k. eft autem triangulum a b c dimidium rectanguli contenti a h, b c : A
& trapezium d e fg dimidium eius,quod utraque d g , e f & d k continetur , ergo ut B
rcctangulum a b c ad rcctangulum contentum utraque d g, e fi {k d e , ita eft triangu
Ium a b c ad d e fg trapezium. Quod ii a b c triangulum fit , & d f parallelogrammu ;
eadem ratione fiet, ut a b c triangulum ad d f parallelogrammum , ita reftangulum
ab cad duplum reftangulidefi
Ex quibus confiat , redlangulum dbc yfiquidem df parallelogrammum fit , C
te quale efje duplo rettanguh def:fi nero fit trapezium, <equale ei } quod utraque
dg>efi$ ipfade continetur.
COMMENTARIVS.
EST autem triangulum a b c dimidium reftanguli contenti a h, b c , & trapeziu A
d e fg dimidium eius, quod utraque d g, e f & d k continetur . ] Iunfta enim d f erit tria
gultm edj dimidium r eft anguli contenti ef <&■ d k: & triangulum d fg itidem dimidium eius ,
quod continetur d g &d E ergo totum trapezium d e fg dimidium cfi reftanguli, quod utra-
que ef , dg,& ipfa d f continetur.
Ergo ut reftangulum a b c ad reftangulum contentum utraque d g, e f & d e, ita B
eft triangulum ab c ad defg trapezium.] Ex ante ditiis enim colligitur ut recl angulum
ab c ad reci angulum ex ab,&b c, ita ejje reftangulum ex dg , ef& de ad refhangulum.ex dg,
e / & d g. quare permutando ut r eft angulum ab c ad r eft angulum ex dg,ef,&d e, it a r eft angu-
lum ex ah&bc ad reftangulum ex dg,ef& d kj <&■ ita eorum dimidiatae eft triangulum abe
ad trapegium d efg .
Ex quibus confiat reftangulum a b c, iiqnidem d f parallelogrammum iit &c.] C
Sequitur hoc quando triangulum ab c par allelogr amnio, uel trapegio d efgjit aquale. quod etiam
ab Eutocio demonfiratur in coment ari] s in 49 primi libri .Apolloni] . quare uerifimile eji in Tappi
uerbis koc loco nonnulla defiderari .
LEMMA IX.
Sit triangulum db c , produfla c d ad d, ducatur ut contingit , reSla linea,
db e-, cui quidem xquidiSians ducatur a g : ipji uero b c oequidifians df. Vicout
quadratum ag ad reclangulum bg c, ita ejje retlangulum dj b ad quadratu f d.
PONAT V R reftangulo b g c «quale reftangulum ag k:& reftangulo df h A
«quale reftangulum a f 1 : &iungantur b k,h 1. Quoniam igitur angulus ad c R
«qualis eft argu ! o b k g : & angulus d a 1 in circulo «qualis angulo f "h 1 : erit & C
angulus g k b angulo i h 1 «qualis, ergo ut b g ad gk,ita lfadf h.eftautemut D
ag ad g h , ira h e ad e b : & ut h e ad e b, ita h f ad f a. Vt igi tur a g ad g b,ita h fad f a.
Sed ut b g ad g ft,it a alia qu«piam linea 1 f ad antece
dentem ih. quare ex «quali in perturbata ratione,
ut a g ad g k, ira I fad fa . ut uero a g ad g k , ita qua-
dratum a g ad reftangulum a gk, hoceftadrectan
gulurn b g c . & ut 1 f ad f a, ita reftangulum 1 fa ,
hoc eft d f h ad quadratum f a. ergo ut quadratu
a g ad reftangulum b g c , fic reftangulum d f h
ad f a quadratum. Sed licet illud idem etiam per
compofitionem proportionum demonftrare. Quo
niam enim proportio ag ad gb eft eadem, qu« he
ad eb ; hoc eft hf ad fa • proportio autem agad
jgc ead^Ti, qu« d e ad e c; hoc eft d f ad fa : erit pro-
jpWtib* copolita ex proportione a g ad g b,& ex pro
PAPPI LEMMATA
portione agad gc,qus quidem eft quadrati ag adredangulumbgc, eadem, qus
E componitur ex proportione h f ad f a : & ex proportione d f ad f a . hzc autem elt
proportio redanguli d f h ad quadratum f a.
COMMENTARIVS.
A PONATVR redangulo b g c aquale redangulum a g k : & redangulo d fh
squale redangulum a f 1.] Defideranturfere' omnia hac ingraco codice, qua nos fuppleui-
mus ; Illud nero ita intelligendum efi, ut producatur agad K; & jiat reti angulum a g krcEl an-
gulo bgc aquale ; & rurfus producta afad Lfiat redi angulum a fl aquale reEl angulo dfh.
B Quoniam igitur angulus ad c squalis eft angulo b k g : & angulus d a 1 in circulo
angulo f h 1 .] Ex uigefima prima tertij elementorum : funt enim puncta abige in circumfer en
tia eiufdem circuli, cum reEi angulum ag k aquale fit reEt angulo bgc, ex conuerfa trigefima quin
ta eiufdem: & eadem ratione puncta adlh cadent in circumferentia alterius circuli.
C Erit & angulus g Igb angulo fh 1 squalis . ] T^amq-, angulus ad c angulo dal eft aqua
tp. primi, lis, quod b c , fa aquidiflantesfint.
D Ergo ut b g ad g k,ita 1 f ad f h .] Sequitur enim ex iam dictis triangulum Ifh triangulo
bg Igfimile ejfe , quoniam angulus ad x angulo fh l efi xqualis ; ut demonflratimfuit ; & angu -
t? . primi. Ius l / b aqualis angulo l ag,boc efi ipfi bg k . ergo & reliquus reliquo aqualis erit.
E Hsc autem eit proportio redanguli d fh ad quadratum fa . ] Ex quibus fit ut recta
gulum dfh ad quadratum f a eandem habeat proportionem 3 quam quadratum agad rectangulum
bgc, quod quidem oportebat demonstrare.
/
APOL-
APOLLONII PERGAEI
CONICORVM LIBER L
CVM COMMENTARIIS EVTOCII ASCALONITAE,
ET FEDERICI COMMA NDINI.
o L L 0 1SLIFS E v V emo s. z>.
I et corpore uales, Sc alice res tua? ex animi tui feti
tentia fe habent , bene eft j nos quidem fatis belle
habemus . Quo tempore tecum Pergami fui, ani
maduerti te cupidum intelligendi conica, qua: a
nobis confcripta funt.Itaque mifi ad te primum li
brum emendatum j reliquos deinceps midurus ,
cum animo ero tranquilliori ; non enim arbitror
te oblitum , quod a me accepifti , quid fcilicet caufa: fuerit , cur ego
hsec fcribere aggrefius fim , rogatus a Naucrate Geometra , quo tem-
pore Alexandriam ueniens apud nos fuit : Sc cur nos cum de illis, odo
libris egidemus , maiorem ftatim in his diligentiam adhibuimus.Nam
cum ipfe Naucrates quamprimum edet nauigaturus,nos ea non cmen
dauimuSjfed quacunque fe fe nobis obtulerunt confcripfimus*, vt-
pote qui ea po lirem o edemus percurfuri. Q^uamobrem nunc tempus
nadi , ut quaque emendamus , ita edimus . Et quoniam accidit non
nullos alios ex iis , qui nobifeum fuerant , habuide primum , Sc fecun-
dumlibrumantequamemendaretur, noli mirari fi in quadam inci-
das , qua: aliter fe habeant . Ex odo autem libris, quatuor primi huius
difcipiitixcontinentelementa : quorum primus quidem compledi-
tur generationes trium coni fedionum,&; earum qua: oppofita: dicun
tur ^ itemq; principalia ipfarum accidentia, a nobis Sc uberius & vni-
uerfalius,quamab aliis, qui de ea re fcripferunt,elaborata.Secundus li-
ber tradfat ea , qua: attinent ad diametros, Sc ad axes fedionum , Sc ad
illas lineas , qua: cum fedione non conueniunt, qua: agra:cis
appellantur : tum de aliis diderit,qua: Sc generalem Sc necedariam uti-
litatem ad determinationes afferunt, quas autem uocem diametros,.
& quos axes ex hoc libro cognofces. Tertius liber continet multa,
Sc admirabilia theoremata, quie utilia erunt , Sc ad folidorum locorum
compofitiones,& ad determinationes.quorum complura, Sc pulcher-
rima Sc noua funt . Ha:c nos perpendentes, animaduertimus non po-
litam ede ab Euclide rationem componendi loci ad tres, Sc quatuor li-
APOLLONII P E R G AE 1
neas*, ucrum ipfius tantummodo particulam quandam : atque hanc
noli fatis feliciter . non enim fieri poterat, ut ea compo.fi tio rede per-
ficeretur abfque iis, quarii nobis inuentafunt. Quartus liber tradit,
quot modis conorum fediones inter fe fe , Sc circuli circumferenti®
occurrere posfmtj & multa alia ad pleniorem dodrinam , quorum
nihil ab iis, qui ante nos fuerunt, memoria: proditum eft. coni fe-
dio , Sc circuli circumferentia , Sc ppppfitae fediones ad quot putida
oppofitis fedionibus occurrant . Reliqui autem quatuor libri ad abun
dantiorem fcientiam pertinet. Quintus enim de minimis , Sc maximis
magna exparte agit.Sexuus de aqualibus, &fimilibus coni fedionibus.
Septimus continet theoremata, qua: determinandi uim habent . Oda-
uus problemata conica determinata . At uero omnibus his editis , licet
«nicuiq*„qui in ea legedo inciderit, ex animi fui fentetia iudicare. Vale.
EVTOCII ASCALONITAE IN PRIMVM LIBRVM
CONICORVM APOLLONII EX PROPRIA
EDITIONE COMMENTA RIV 5'.
foLLoNivs geometra, Antb emi fodalis charis fime, natus efi Terga, qua Tam
philia duitas eft, tempore Ttolemm Euergeta , ut tradit H er aclius in .Archime-
dis uita . qui etiam fer ibit Archimedem quidem primum conica theoremata fuijfe
aggrefum; Apollonium uero cum ea inueniffet ab .Archimede nondum edita, fcut
propria fua edidijfe . neque id uere , ut mea fert opinio . nam & .Archimedes mul-
tis in loci f uelut antiquioris conicorum inflitutionis mentionem facere uidetur: & .Apollonius ea
fmbit,non ut afe ipf ) inuenta . non enim dixiffet, uberius & uniuerfalius hac d fe,quam ab alijs
tractata fuijfe. Sed quodfcribit Geminus uerum efl,. Antiqui, inquit, conum diffinientes ,redangu
li trianguli circumuolutionem manente uno, eorum, qua circa r edum angulum funt, latere ; &■ co
nos omnes redos ,& unarh in fingulis fiedionem fieri arbitrati 'fiunt : in reci angulo quidem cono
uocatam parabolen ; in obtufi angulo hyperbolen ; in acutiangulo autem ellipfim ; atq; ita nomina
tas apud ipfios fediones pas fim inuenias . Quemadmodum igitur antiquis iUts in unaquaq ; trian
gulorum jpecie conteplantibus duos redos, primu in aquilat ero, deinde in aquicruri,poftea in fca
leno , atate poflenorcs uniuerfale theorema demonfirarunt eiufmodi . Omnis trianguli inte-
riores tres anguli duobus rectis iiint aequales : ita & in coni fedionibus •, rect anguli qui.
dem coni fiedionem didam , in redangulo tantum cono contemplati fiunt ; fedo fcilicet plano ad
unum coni latus redo: obtufianguli autem coni fcdionem in cono obt u fi angulo f ad am demonfira
runt, & acutianguli f idionem in cono acutiangulo ; fimiliter in omnibus conis ducentes plana ad
unum eorum latus reda . quod & antiqua fedionum nomina indicant .V 'erumpoflea Apollonius
Tergaus uniuerfc infpexitin omni cono td redo, quam fcaleno omnes fediones ineffe Juxta pla-
ni ad conum differentem inclinationem . quamobrem illius temporis homines admirati mirificam
conicorum theorematum dernonfirationem magnum geometram ipfim appellarunt. Hae quidem
(Senii nus feripta reliquit in fexto mathematicarumpraccptionum libro . Quod autem dicit ma-
mfefium faciemus in Jubiedis figuris .fit enirnper axem coni triangulum abc:& a quouis pun-
doe ducatur ipfii ab ad angulos redos linea de f: & per d f immiffim planum, r edum ad ipfam
a b conum fecet . redus eft igitur uter que angulus a e d,a ef: redanguloq; exiflente cano, & an-
gulo ha c redo, ut in prima figura apparet, duobus redis aquales erunt anguli b a c,a ef. quare
aquidiftans erit lineadefipfi a c : & fiet in fuperficie coni fedio parabole ,ficdida cimo r ev mx
fAA/vHAcv uw-y hoc eft ab eo, quod linea d f, qua communis fedio eft plani fecantis , & trianguli
per axem g
CONICORVM LIBER I.
per axem, parallela fit ipfi a c lateri trianguli, fedji
obtuf angulus fit. tonus, ut in fecunda figura , obtufo
uidelicet exiftente angulo b a c,& angulo a ef r effio,
anguli b a c,a e f duobus reffiis maiores erunt, non
conueniet d ef tum ipfo a c latere ad partes fin quibus
eft f:fed ad easjn quibus funt a , &■. e, produffia ni-
mirum c a in d. faciet igitur fetans planum in fuper fi-
de toni feffiionem hyperbolen diffiam cr/ro' roi uTrtp-
fcch\&\i,hoc eft ab eo, quod anguli b a c,a ef excedant
■duos reffios : uel quod d e f excedat uerticem toni : &
cum ipfa c a. extra conucniat . Quod fi acutiangulus
fit conus , hoc efi acuto exifiente angulo bac, erunt anguli b a c,a e f minores duobus reffiis ; &
linea e f,a c produffia conuenient tandem mali -
qua parte : augere namque ,■ & in longius ducere
-conum poffumus . erit igitur in fuperficie feffiio ,
qua appellatur eilipfis , dW to iMentm dVo.op-
'Tac,- T,f,o}ipMj.iyxc r ytjcvix?,boc eftobid, quod di
ffii anguli d duobus reffiis deficiant, uel quod ellip-
fi s diminutus quidam circulus fit . Jldhm quidem
modum antiqui ponentes Jecans planum per .d e f
ad reffios angulos ipfi a b lateri triqnguli per axe
coni,&infupefdiffeVentes conos, propridmin-
Parabole
UQvie
Hyperbo
le unde,’
ni occurfu differentes efiicit fechones . ; Sit enim,ut
in q fidem figuris Jecans planum f e L-communis au
tm feffiio ipfiusplani,fir coni bafis , linea kj: com
munis rurfis feffiio emfdemi&trMn r gulilak6 fit . >
ipfa e fiquce & diameter appellatur feffi i oms .itaque in omnibus feffiionibus ponit lineam f f ad
reffios angulos efje ipfibafi trianguli a b c. Ver uni fic f aqmdifians fit a c, parabolen fieri k.el fe
ffiionem in conifuperficie.: fi uero conuemat ciimla
tere a c extra uerticem com, ut in d, peri ipfam K
e l fe ffiionem hyperbolen . quod, fi conueniat in-
tra, fieri feffiionem ellipfim,quam & «v^ov uocat .
Gener alit erigitur parabole, diameter aqmdifians
eft uni lateri trianguli : hyperbola autem,& ellip-
fis diameter cum eo coauenii : hyperbole quidem
ad partes uerticis coni , eilipfis uero ad partes ba-
fis -Scire praterea illud oportet, parabolen, & hy-
perbolen ex eorum numero ejfe, qua in mfinitu au-
gentur : at ellipfim non item . tota enim in fe ipfam
uer git, ficati circulus. Cum autem plure i editiones
ftnt , ut etiam ipfe Apollonius in epiftola fcribit
optimum fore iudicaui ex multis , qua occurrerunt ,
manifestiora colligere : inipfius uerbis quidem , ut
legentibus ad hac facilior pateret aditus ifeorfim
uero in commentarijs,utpar e st, differ entes demonftrationis modos explicare . Itaque in epifiola
dicit, primos quatuor libros huius diftiplma elementa continere: quorum primus quidem com-
ple ffiitur generationes trium coni feffiionum,& earum, qua oppofita dicuntur, it em q; principalia
ipfarum accidentia,hoc eft quacunque ipfis in prima generatione contingunt : habet enim & ali a
quadam confequentia . fecundus autem libertraffiat ea, qua attinent ad diamet ros, & ad axes fe
ffiiomm,&ad illas lineas, qua c um feffiione non conuenwnt,qua d gratis ixavp.Trraroi appcllan
tur : tum de alijs diffent,qua & generalem,®* neceffariam utilitatem afferunt ad determinatio-
nes . determinatio autem duplex eft, ut manifefte patet, altera quidem poft expofitionem ,fignifi-
‘ B
Parabole
quomo-
do fiat
Hyperbo
le.
Eilipfis.
\\
Parabole
Hyper-
bole in
infinitu
augetur .
ecefvp-
uror oi
Determi-
natio du
pkx
• a J> o N.I I <3 AB, I
' tkns quid Jit illud, quod queritur: alteret uero propofitionem ‘uniuer fidem effe probiben c, qm decisa
rat quando 3 & qua ratione, & quot modis ,id quod propofitum e Ji, fieri po (fit, ut in uigefimo f tcun
do theoremate -primi libri elementorum Euclidis . Bx tribus redis lineis , qus squales fint
tiibus alijs datis triangulum conftitu ere ; oportet autem duas eiufmodi lineas reli-
qua efle maiores, quomodocunque fumantur : quippe cum demouftratum fit , orn -
ilis trianguli duo latera, quomodocunquefbmpta reliquo maiora e de.T ertius , inquit,
conicorum liber continet multa, & admirabilia theoremata,qua ad folidorum locorum compofi-
edones utilia e-r-ujit, planos locos antiqui geometras appellare confueuerunt, quando non ab uno du-r
?V; ■ .. . taxat puncto ,fed a pluribus problema efficitur .ut fi quis proponat, Data recta linea terminata, in
ueiure punitum, a quo dulta perpendicularis ad datam luiea , inter ipfius linea partes media pro-
portionalis conflituatur . locum eiufmodi uocant geometra, quoniam non unum dumtaxat est pun
ehm,qmd:pfoblema efficit', fed locus fotus, quem hafai circumfer entia. circuli circa datam recta
lineam,uduti circa diametrum dejeripti. fi enim in data recta linea femicirculus defcnbatur >
quodcunque in circumferentia fumpfieris punitum ab ip fb perpendicularem ad diametrum du-
xeris, quod propofitum efl efficiet .Similiter aut em dat artito, linea, fi. quis proponat inuenire ex-
ii a ip fiam punitum, a quo linea, ad eius extrema duitae inter f e aquales fint : & inhoc non unum
dumtaxat efl punitum, problema efficiens , fed locus , quemeontinet linea, d punito medio linea da
ta ad reltos angulos dulta . nam fi, data linea bifdriamfecetur-, & ab eo punito linea ad reptos du
catur angulos, quodcunque in ipfia fumpfieris punitum faciet illud, quod proponebatur. Simile quid
dum & ipfe .Apollonius tvavaAvoptvoj totix fer ibit . ,
} M v- K
iodi : '
Vatis duabus regiis lineis in plano, punftiscf datis, & data proportione in<e r
qualium linearum, poteji in plano circulus defcribi,ita ut lineae d datis punttis ad
circumferentiam circuli inclinatae proportionem habeant eandem datae propor-
tiom •
Sint data punda a b ; proportio autem data, quam habet c add: fitq ue c maior;
& oporteat facere illud, ejuod propofitum efl . iungatura b : & ad partes b produca-
tur : & fiat ut d ad c,ita c ad aliam lineam,qus maior erit, quam d : fitautem e d.r ur
fus fiat ut e ad a b,itad ad.b f,& c ad g. patet igitur lineam c proportionalem effe in-
A ter d & edritemq; g proportionalem in ter a f,f b. quare fi ex centro interuallo
g circulus k h deferibatur : circumferentia k h lineam a b fecabit. Sumatur in circii-
ferentia quoduis pun dum h:& iungan
turh a,h b,h f; erith f ipfi g squalis : & . f
proptereaut a f ad f h , ita h f ad f b .
Sunt autem circa eundem angulu h f b
tf.fexti latera proportionalia . ergo triangulu s
a f h fimile efi: triangulo h f b : & angu-
,.r lus fhbapguloh ab squalis . ducatur
per b ipfi a h squidiftans b 1 . & quonia • ^
ut a f ad f h , ita efi h f ad f b ; erit pri-
ma af ad tertiam f b, ut quadratum a f
ad f h quadratum . fed ut a f ad f b,ita
a h ad b L ergo ut quadratu a f ad qua- -
dratum f h,itaah ad b 1 . Rurfus quo-
■ L niam angulus b h f squalis efi angulo h ab : & angulus a h b angulo h b 1 squalis, co-
alterni eriiiri liint : & reliquus reliquo squalis erit : & triangulum a h b fimile trian-
gulo b h 1. quare latera, qus circum squales angulos, proportionalia funt : uidelicet
ut a h ad h b,itah b ad b 1: & ut quadratum a h ad quadratum h b,ita.ah ad b l.erat au
temut ah ad b l,ita quadratum a f ad quadratum fh. ut igitur quadratu a f ad qua-
aiTexti. dratum fh, ita quadratum a h ad quadratum h b . &idcirco ut a f adf h , ita a h ad
h b. Sedutaf adf h,ita e d,adc,& c add. ergo ut cadd,itaahadhb.'Similiteroften
demus omnes alias lineas, qus a p undis ab ad circumferentiam circuli inclinantur
eandem proportionem habere, quam habet c ad d. xtaque dico.fi a p, undis a b du-
eor.it. fe
sti
‘itextff
ap.pnmi.
4.fexti.
B
o.
cantur
Jf
CONICORVM I I B» I, 6
cantur Uncae ad aliud, quod non fit in circumferentia circuli: ipfarum non eandem ef
fe p roportion em, q uae eftcad d,nam fi efib poteft,fadumiam illud fit ad pudum m,
quod extra circumferentiam fumatur (eo enim intra fumpto idem abfurdum feque-
fur)&iundis m a, m b, m f,ut efi c ad d, ita ponatur am ad m b,ergo ut e d ad d,ita C
quadratum ed ad quadratum c;& quadratum am ad quadratum mb.ut autem e d D
ad d, ita polita efi: afad fb, quare ut afad f b , ita quadratum am ad quadratum
m b:&exiis qua? proxime didafunt, fi apundo b ducatur linea ipfi am xquidiftans; E
ut a f ad fbfita demonftrabitur quadratum a f ad fm quadratum . Sed demonftra-
tum efi. ut a f ad fb, ita quadratum a f ad quadratum fh. ergo linea fh ipfi f m efi: 9, quinti
aqualis . quod fieri non poteft .
Loci igitur plani eiufmodi funt . folidi uero loci appellantur ex eo quod Irnea : , per quas ipfo- Loci {oli
rum problemata efficiuntur, d [olidorum feciione generationem habent , quales funt coni fettio- ^
nes , & complures alia . Sunt etiam ali j loci ad fuperficiem diSii , quibus ex eorum proprietate
nomen impofitim efi . Inuehitur deinde .Apollonius in Euclidem , non ut Tappus & alij non nul-
li arbitrantur 3 quod duas medias proportionales non inuenerit : fiquidem Euclides rebte inuenit
unam mediam proportionalem , non infeliciter 3 ut ipf ? inquit : duas uero proportionales medias
neque omnino in elementis inuefiigare aggrejfus efi , & Apollonius de duabus medijs proportio-
nalibus in tertio libro nihil inquirere mdetur. Sed uerifimile efi Euclidem in alio libro de locis
confcripfiffe , qui ad manus nofiras nonperuenerit . Qua uero deinceps fubiungit dc quarto li-
bro perfpicua funt . Quintus , inquit Jiber de minimis & maximis magna ex parte agit , Quem-
admodum enim in elementis didicimus , fi ab aliquo punUo in circulum linea ducantur 3 earum
quidem , qua aci eencauam ipfius circumferentiam pertinent , maximam ejfe qua per centrum
tranfit ; carum uero f-quaLdd conuexam , minimam ejje , qua inter dicium punbium , & diame-
trum intCi ijatnr : ita ■& de coni lectionibus in quinto libro inquirit. Sexti 3 feptimi 3 & obiaui
libri propofitum manifefie ab ipfo Apollonio explicatur . & hac dc epifiola ditta fint »
FE D, COM M A N DI NI IN PROBLEMA
APOUONiftOMMENTARI VC . .
Itemque g proportionalem inter af, f b] Quoniam enim ut d ad bffetaefi c ad g; \
erit permutando ut dad c 3 ita bf ad g.rurfus. quoniam ut t ad ab , ita d ad bf ex 12. quinti ,
ed ad af ent 3 ut d ad b f. Sedut d ad bf 3 itac ad g. ergo bd ad af 3 ut c ad g : &■ permu-
tando ed ad c 3 ut afad g : conuertendoq; c ad de 3 ut g ad af. erat autem d ad c 3 ut bf ad
g : <& ut d ad c , ita c ad de. quare ut b f ad g , ita g ad af. efe propter ea g media proportio-
nalis e'st inter af 3 fb . quod demonfirare. oportebat .
Sed ut a f ad f h , ita e d ad c . ] Troxime enim ofiendimus ed ad c ita effej ut afad B
g;hoc efi ad f b ipfi g aqualem * : r : •; ,
Ergoutedadd ita quadratum e d ad quadratum c, & quadratum am ad qua- C
dratum mb.J 1 famut ed ad c, ita efi c ad d:&ut cad 'd 3 itapofitaefi am ad mb.qua -
re.ut ed. ad c feta am admb: & ideo ut quadratum ed ad quadratum c 3 ita quadratum a m zl . fexri
ad quadratum mb.utigitur ed ad d 3 itaefi quadratum ed ad quadratum c 3 & quadratum to< f ext j
d m ad quadratam mb .
Vt autem ed ad d, ita polita efi af ad fb .] Superius namque demonfiratum efi 3 ut J>
e d ad af. ita ejfe d ad b f. quare & permutando, ut ed ad di feta afad fb ».
Et ex iis efex proxime diota funt , fi a pundo b ducatur linea ipfi am tequidi-. E
flans. : u r; a. i ad 1 b , ita demonfirabitur quadratum a f ad f m quadratum . ] Duca-
tur per b ad mi linea bn 3 qu 4 ipfi am requidifiet . ent oh fimilitudinem triangulorum amf x
b nf , ut afad fb ,, ita. a m ad b n . ltaqne quoniam ut a f ad fb 3 . fic efi quadratam a m ad 4. fextl
quadratum mb > & fic quadratum .a f ad quadratum fh 1 erit quadratum am ad quadratum
m b x ut quadratam af ad fh quadratum fe-- propter ea linea, a m. ad m b 3 ut af ad fh : con- t i.fexti
liertendoque m,b $d am 3 . ut fb ad afferat, autem am ad bn^p af ad fb , quare ex aquali
mb ad bn.yUk hfadfkfeedefi am. ad mb 3 ut af ad fh : &ut af ad. fh feta b f ad fb., ergo
ut am. ad mbfeita mb ad bn,. Quoniammtur eirea aquales. angulos amb s mbn latera pro-r- 1*. primi
; 1 B a
<e. fcxti
4. fexti
cor.iOt fe
Stl .
A PO LLONII PE R G AE i
portionalia funt : erit triangulum abm fimile triangulo mnb: & angulus bam. aqualis an-
gulo nmb. fed triangulorum amf, mb f angulus fam ejl aqualis angulo fmb : & angu-
lus ad f utrique communis . ergo & reliquus reliquo aqualis , & triangulum triangulo fimile
erit . quare ut af ad frn 3 ita ejl fm ad fb. ut igitur prima afadfb tertiam , lia quadra-
tum af ad fm quadratum .
DIFFINITIONES PRIMAE.
^ i S I ab aliquo pundo ad circumferentiam circuli , qui non fit in eo-
dem plano, in quo pundum , coniunda reda linea in utramque parte
producatur :Sc manente pundo conuertatur circa circuli circumfe-
rentiam, quoufque ad eum locum redeat, a quo coepit moueri : fuper-
ficiem a reda linea ddcriptan^conflantemq; ex duabus fuperficiebus,
ad uerticem inter fe fe aptatis, quarum utraque in infinitum augetur ,
nimirum reda linea,qu# eam defcribit in infinitum produ6ta,uoco co
nicam fuperficiem . 2 Verticem ipfius, manens pimdum. ^ Axem,
redam lineam, qua: per pundum, & centrum circuli ducitur . 4 Co-
num autem uoco, figuram contetam circulo, & conica fuperficie,qu#
inter uerticem , & circuli circumferentiam interficitur . f Verticem
coni, pundum, quod & fuperficiei conica: uertex eft . 6 Axem, reda
lineam, quas a uertice ad circuli centrum perducitur. 7 Bafim, circu-
lum lpfum. 8 Conorum redos quidem uoco, qui axes habent ad re-
dos angulos ipfis bafibus . j? JcaienQS uero , qui non ad redos angu-
g losipfis bafibus axes habent. 10 Omnis curu#lfiie#, in uno plano exi
dentis diametrum uoco redam lineam, qua: quidem duda d linea cur
ua ; omnes lineas, qu# in ipfa ducuntur, cuidam lineae ^quidi dantes bi
fariam diuidit. 1 1 Verticem line# terminum red# , quied in ipfa li-
nea. 12 Ordinatim ad diametrum applicari .dicitur, unaquaque linea-
C rum#quidiftantium. 1 ) Similiter Sc duarum curuarum linearum in
uno plano exiftentium,diametriim quidem tranfuerfam uoco, redam
lineam, qu# omnes in utraque ipfarumdudas, line# cuidam #quidi-
dantes bifariam diuidit . 14 Vertices linearum , diametri terminos ,
qui funt in ipfis lineis : Redam uero diametrum uoco , qu# inter
duas lineas pofita, lineas omnes dudas, red# cuidam #quididantes,6c
; inter ipfas interiedas bifariam fecat. 16 Ordinatim ad diametrum,
applicari dicitur unaqu#que linearum #quididantium . 17 Coniuga
tas diametros uoco curu#line# & duarum curuarum , redas lineas,
quarum utraque diameter ed, 5 c lineas alteri #quididantes bifariam di
uidit. 18 Axem uero curu# line#,& duarum curuarum, redam linea,
qu# cum fit diameter curu# line#, uel duarum curuarum, #quididan-
tes ad redos fecat angulos. 19 Axes coniugatos curu# line# , Sc dua-
rum curuarum, redas lineas, qu# cum fint diametri coniugat#, ipfis
sequidiiiantes ad redos angulos fecant. . , .
4 •*““ M w - " EVIO
7
v
CONICO RVM LIBER I.
E V T O C I V S.
Ac g r e s s v s ad diffinitiones Apollonius tradit generationem conica fuperficiei, non diffini
tionern,qua,quid res jit, dedar at : quamquam licebit utique ijs,qui uolent,& ex generatione ip-
fa diffinitionem colligere. At uero nos ijs,qua ab Apollonio dicuntur 3 ex figuris lucem afferemus.
Si ab aliquo pundo ad circumferentiam circuli :Scc.
Sit circulus a b 3 cuius centrum c : & punctum aliquod fublime d : iunddque db in infinitum
ex utraque parte producatur ad punda ef. Si igitur re-
cta linea d b feratur eo ufque in circuli a b circumferen-
tia , quoufque punctum b rurfusineum lacum reflitua-
tur 3 d quo capit moueri: defcribet fuperficiem quandam 3
qua quidem confiat ex duabus fuperficiebus ,ad d pun-
itum fefe tangentibus .eam uoco conicam fuperficiem ;
qim & augetur in infinitum, cum reda linea db, ipfam
de fer ih ens in infinitum producitur . uerticem fuperficiei
dicit , pundum d : axem, redam d c . conum uero ap-
pellat figuram contentam circulo ab , &ea fuperficie ,
quam d b fola defer ibit: coni uerticem pundum d: axem
dc: & bafim , ab circulum . At fi dc ad circulum ,
fuerit perpendicularis , redum uocat conum j fin mi-
nus , f calenum .
Defer tbetur autem conus fcalenus , quando d centro
circuli linea erigatur, qua non fit perpendicularis ad cir-
culi planum : d pundo uero linea , quod efi m fublimi ad
circuli circumferentiam reda linea ducatur : & manen-
te pundo circa ipfam conuertatur : comprahenfi etenim
figura conus erit fcalenus . conflat igitur lineam circum
dudam in comer fione quandoque maiorem ; quandoque
minorem , & quandoque aqualem fieri , ad aliud, atque
aliud circuli punctum . quod tamen nos hoc modo de-
monfirabimus .
dsiauertice coni fcakniad bafim refhe li-
ne# ducantur ; earum omnium una minima,
& una maxima erit,du <e uero tantum ex utra-
que farte minim # maximt inter [e aqua-
les . ^At qu# frofinquior efi minim# [em fer
minor erit , quam qu# ab iffa magis dijlat .
Sif conus fcalenus , cuius bafis abe circulus , uertex autempunctum d. efi" quoniam linea ^
qua a uertice i o ni [calem ad fuhectum planum perpendicularis ducitur , uel in circumferentiam
circuli ab c cadit , uel extra , uel intra . cadat primum in ipfam circumferentiam , ut in prima fi-
gura apparet , qua fit de: fumptoq; circuit centro k,abipfo e ad k ducatur linea ek,&produ-
catar ad b . iungatur autem b d:'& ex utraque parte puncti e fumantur dua circumferenti #
aquat.es j e, eg: nemcp, ex utraque parte b fumantur alia dua aquales ab,b c: & iungantur f e
eg,dj,dg,ae,ec,ab,bc,da,dc . Quoniam igitur recta linea e f aqualis efi ipfi eg: aqua- 19 . tert {f
les enim circumferentias f obtendunt : communis aut em, & ad rectos angulos d e : erit bafis df 4. pr imi
bafi dg aqualis . rurfus quoniam circumferentia a b aqualis esi ipfi b c circumferentia , & efi
fie diameter circuli -.reliqua efa reliqua ege aqualis erit, quare & recta linea a e ipfi ec .
Sed de communis efi utrique , & ad rectos angulos .bafis igitur a d aqualis efi bafi d c.Simi-
Uter autem dmonftrabuntur inter fe aquales , quacunque ab ipfa de, uel db a qualiter difiant .
}{[-yjus quoniam triangulum csl e d f , & angulus def rectus , linea df, maior erit , quam de.. 15. primj
0' quoniam recia linea a e maior esi 3 quam recta e f y quod & circumferentia e f a maior iqudm
47« p thm
%j, tertii,
primi
I j.primi.
f. tertii
^6, tertai
54. festi
$. teitii
P4.qainti
ip, primi
2,7, tertii',
4. primi
K
Apolloni? peeo.aei
. . , .... . v „ . .-. f w , ih
jtewq, df minor, quam da , & da minor , quam db:
[equitur- ipfatn d e minimam ejje$ dbuero maximam; &
qua propinquior eft ipfi d e fenlp er minorem ejje 3 quam
qua ab ipf 1 magis diftat , Sed cadat perpendiculari r d e
extra circulura ab cgf 3 ut in fecunda figura :& rurfus
fumatur circuli centrum - K: nrnctaque c b K producatur
ad b ■ & iungantur d b, d h. Sumantur pr ater ea dux cir-
cumfer cuti x aquales ex utraque parte punfti h 3 quafint
f hj b g : & ex utraque parte ipfius b alia dux fumantur
ab bt , poBremo iungantur ef,egff K, Kg, df, dg,
a b, b c 3 ai jc , k c 3 d a, d e. itaq ; quoniam aqualis eft cir*
cumf er entia hf ipfi h g: & angulus b k/ angulo b Kg
aquali? erit , Sed refla linea f k rabi a k g eft aqualis,
ex centro enim, ad circumferentiam ducuntur: & commu-
nis k e . ergo bafis f e aqualis bafi g e . esi autem com-
munis, & ad rectos angulos d e. bafis igitur df bafi dg
e fi aqualis , 'Rtirfus quoniam circumferentia ha aqua-
lis eft circumferentia b c:& angulus a k b ipfi c k b,&
reliquus ex duobus re fi is a k e reliquo c f e aqualis erit, linea autem a k, k c inter fe aqua-,
les , ex centro enim funt ; & communis ipfak e, ergo & a e bafis aqualis bafi c e. rurfus cum
fit d e communis, <&■ ad reUos angulos , & d a bafis erit
bafi d c aqualis . firmliter & alia omnes ad inuicem
aquales demon firabuntur, qua ah ipfa d b, uel d'h aqua -
liter diftitermt. & quoniam eb minor eft, quam cf:
communis uero , & ad reftos angulos e d , erit bafis d h
bafi df minor. J\urfus quoniam linea , qua d punito e
dubia contingit circulum , maior eft omnibus , qua ab,
eodem punfto inconnexam circumferentiam cadunt : &
reUangulum & e l aquale eft quadrato ipfius ef , quando
ef circulum contingit , ut oftenfum eft in tertio hbro ele-
mentorum : erit ut a e ad ef, ita ef ad e L eft autem ef
maior , quam effemper enim propinquior minima mi™
nor eft ea , qua plus diftat. quare a e maior quam ef, f
Sed communis ,& ad re Bos angulos eft e d. bafis igitur
df minor eft bafi d a, rurfus cum fit a k aqualis ipfi k h ,
& communis k e : erunt dux linea ak,ke duabus, e k,
k b, hoc eft toti e b aquales , Sed dua ak,ke maiores
funt , quam e a. ergo & b e maior quam a e . communis
autem de, & adrefios angulos, quare bafis d a minor eft bafi db. ttaq ; cum dh minor fit ,
qudm df;& d f minor, qmm da;& da,qudm db: minima erit db\db nero maxirna:& ipfi
d h propinquior f mtper minor erit , quam qua magis diftat .
‘Koftrcmo cadat perpendicularis d e intra circulum a b 'cgfi ut in tertia figura : fumptoq; cir-
culi centro k; & mnfia e k producatur in~ utramque partem ad punfla b h , & iungantur d b , •
db. fumantur autem ex utraque parte punfti b circumferentia aquales fh, bg • & ex utraque
parte, b fumantur ra b bc- ; denique iungantur ef, eg, fk,k g, df, dg, fia, k c,ea,ec,da,dc,
ab,bc. Quoniam igitur hf circumferentia aqualis eft circumferentia bg: & angulus bkf
angulo h k g efl aqualis : linea uero k f aqualis ipfi kg: & k e communis . ergo & f e bafis
bafi g e aqualis erit . Sed eft de communis : & angulus fed reflus aqualis reflo g e d. qua-
re^ bafis df bafi dg aqualis, rurfus cum circumferentia ab aqualis fit circumferentia bc;
angulus akb angulo ckb aqualis erit, ergo & reliquus ex duobus re Uls ake reliquo c k e. efl
autem linea a k aqualis k cf& communis k e. bafis igitur a e bafi ce aqualis. Sed cum de com
" : & angulus a e d. aqualis angulo ce d, quod ut er que rectus : erit & bafis d a bafi. d c
aqualis «
CONICO 1 I B. f L 8
aqualis. Eodem modo &, omnes, qua aqualiter diflant ab ipfa db,ueldh inter fe aquales demon
[trahuntur. Itaque quoniam in circuli abc diametro fumitur punctum ecquod non efl centrum cir-
■cdhmt.eb maxima,eh uero minima: &jemperipfi eh propinquior minor ea , qua difiantior
fuerit, quare eh minor ,qudm e f. at ed communis efl, & ad rectos angulos . hafis igitur dh
minor bafi d, f rurfus cum e f minor fit , quam e a, commu-
nis q; , & ad rectos angulos e d: bafis dfbafi da minor erit.
&- eadem ratione bafis d a minor, quam d b osfendetur.Quo
niam igitur minor efl d h~, quam df: & dfquam da-,&da
quarti d b : minima erit dh,& db maxima : & propinquior
ipfi d h femper minoy ea, qua magis difiat .
Omnis curua? linea? in uno plano exiften
tis diametrum uoco redam lineam &c.
In uno plano dixit propterhelicam cylindri <& [hara :
ha enim non funt in uno plano . Quod autemdicit eiufmodi
efl .fit curua linea ‘abc: &in ea aquidiflantes a c,d e, fg,
h k : d puncto autem b ducatur b l recta linea , qua ipfas a-
quidiflantes bifariam fecet . linea igitur ab c diametrum, in
quit, uoco rectam lineam bl: & uerticem punctum b . ordi-
natim uero ad ipfam b l applicari dicitur unaquaque linea-
rum a c,d e,fg,h K ■ Quod. fibl aquidiflantes bifariam , &
ad rectos angulos fecet, axis appellatur.
Similiter 8c duarum curuarumlinearurnj&c.
Si enim intellexerimus lineas ab,& in ip
fis aquidiflantes cd,ef,gh,K l,m n,x o : &
diametrum ab ex utraque parte productam ,
qua bifariam aquidiflantes diuidat : ipfam
quidem a b uoco diametrum tranfuerfam :
uertices line arum puncta a b : ordinatim ne-
ro, ad ab diametrum applicari dicuntur c d,
ef,g b, k l,m n,x o. .Atfl bifariam ,&adre
ctos angulos diuidat, trafuerfus axis appella
bitur . Si uero recta linea, utpr ducta lineas
c x,e m, g K,bl,f n,d ojpfi a b aquidifldtes
bifariam fecet : recta diameter dicitur . Ordi
natim ad p r diametrum applicatur unaqua-
que linearum cx,em,gK,b l,fn,d o.fibifariam,&ad rectos angulos fecet, rectus axis dicetur ,
.At uero fi recta linea a b,p r ipfis aquidiflantes bifariam fecuerint,coniugata diametri • Que
bifariam f & ad rectos angulos, coniugati axes meabuntur*
..Ai A,U
in .a
"i’
' \v;v.'
\\: A ) ,
V. i ;
tC-A./;.
1
\
31
2E
7- tertii J
C
A P OLIONII PERGAH
THEOREMA I. PROPOSITIO
X.
Red« linea?,.quWa uertice fiiperficiei coniae ad punda , qux in fu-
perficie fu nt, ducuntur; in ipfa fuperficie erunt.
Sit fuperficies conio, cuius uertex a : & fumpto in eaaliquo pundo b,iungatur rc
da linea a cb. Dico ac b in fuperficie effe.Sfienimfieripotefi:, non fit in fuperficie :&
reda linea, qux fuperficiem defcribit,fit de: circulus autem,in quo ipfa d e fertur, fit
e fi itaque fi manente a feratur d e iii e f circuli circumferentia, per b punctum tranfi
bit : atque erunt duarum linearum fjcfetn termini, quod eft abfurdum . non igitur a
puncto a ad b duda linea extra fuperficiem eft . ergo in ipfa fuperficie erit.
Ex quibus conflat, fi a uertice ad aliquod pundum eorum, qu* in-
tra i u perfici em fiunt, reda linea ducatur, intra : & fi ad aliquod eorum,
qu^ funt extra, extra fuperficiem cadere.
. X\A\
figtirisdifferentibu&uel cafibus theorematum illud fcireoportet^cafum effe,quado ea, qua
inpropofit.ione dantur, pofitionedata fint. ipforimenim differens tranfmutatio, eadem conclufio
ne manente jcafum facit .fimuiter autem &ficonfi/uctionetranffpfita fit cafus. cum igitur theo-
remataplures cafus habeant ,una eademq; demonflratio omnibus congruit , & ij fidem elementis :
prater quam in paucis quibufdam,ut deinceps explicabimus . St at im namque primum theorema
tres habet cafus, propterea quod punctum b interdum quidem m fuperficie inferiori Jumitur , &
hoc duobus modis, uel fupra circulum, uel infra : interdum uero in ea,qua eft ad uerticem.primum
igitur theorema offendere proponit, non qualibet duo puncta coniungentem rectam lineam in fu-
perficie effe,nifi qua ad uerticem ipfum pertine at. cuius caufa eff,quod conica fuperficies efficitur
d recta linea, qua manentem terminum ad uerticem habet. Illud uero piant ita effefin fecundo theo
vernate demonffratur .
i THEOREMA II; PROPOSITIO II.
S i fn alterutra fuperficiernrmquae funt ad uerticem, duo punda fu-
mantur: &quae punda coniungic reda linea ad uerticem non perti-
neat, intra fuperficiem cadet ; quae uero eft in diredu ipfi, cadet extra .
Sit
C 6 N I C 0 R V M L I b; £ * f
Sit conica fu perficies, cuius uertex quidem a; circulus autem, in quo fertur linea fu
perficiem defcribens^fit bc: &in al ter u tra iup er fi cier uin,.qu funt ad. uerti.cern > i r u ru-
ptis, duobus pundis d e,linea d e ducatur,qu$ ad. pundum a non pertineat , Dico ip~ ,
Jam ci e intra fuperficiem cadere : & qua; eft in diredum ipfi, cadere extra . iungantur
a d,a e,& producantur, cadent utique in circuli circumferentiam , cadant in puncta
b c': &iungatur b c : erit igitur b cintra circulum . quare & intra conicam fuperficie,
fumatur in ipfo d e quoduis pundum f iuudaq; a f producatur, cadet in lineam b c:
nam triangulum bea in uno plano exiftif. itaque cadatin g. quoniam igitur pundu
g eft intra conicam fuperficiem : & ipfa ag; & pundum f intra conicam fuperficiem
erit, fimiliter autem demo nftrahuntur & omnia alia punda linea: de elfe intra coni-
cam fuperficiem . ergo & ipfa d e intra eandem cadet . producatur d e ad h.dico linea
e h extra. conicam fuperficiem elfe , fi enim fieri poteffaliquod ipfius pundum h non
fit extra j &iunda ah producatur.cad.etinipfam circuli circumferentiam,uel intra ;
quod fieri non poteft . cadit enim in lineam b c protradam , utin k . quare eh extra
conicam fuperficiem erit . linea igitur d e cadet intra conicam fuperficiem : & qux
eft in diredum ipfij. extra cadet .. . t
d c / (f #
E V T O C I V S,
Secvndvm theorema tresbabet cafus, propter ea quod puncta d e fumuniur quandoque in ftt
perfide fecundum uerticem ,quando que in inferiori : & id dupliciter, uel intra circulum, uel extra .
Sciendum autem efl in quihufd.zm exemplaribus totum hoc theorema per argumentationem, qux de
ducitad id,qnod fieri uonpotefi,demonflrari.
a
THEOREMA III. PROPOSITIO III, a
Si conus plano per uerticem fecetur/c- / \
dio triangulum erit. / \
Sit conus , cuius uertex a ; bafis autem circulus / \
b c ; & per a fecetur plano aliquo , quod fediones / \
faciat in fuperficie a b,a c lineas ; & in bafi lineam f \
b c. Dico ab c triangulum effe. Quoniam enim a / \
pundx> a ad b duda linea communis iedio eft pia. C
ni fecatis,& fuperficiei conice, erit. a b reda linea. D Vp A , C '
Eadem ratione & ipfa ac., eft autem & b c reda. J
quare triangulum eft a b c. fugitur conus plano fe
cetur per uerticem jfedio triangulument, f . . .
chuius
i.tertji
i. undec*
mi .
cor.i. hn
iu*
\
C
APOLLONII PERGAEI
> E V T O C I V S.
Te r t i v m theorema cafum non habet . oportet autem fcire lineam a b rectam ejje , cum fit co
munis fectio plani fecantis & fuperficiei conica , qua a recta linea manentem terminum ad uertice
habente, def ':ribitur, neque enim omnis fuperficies fecta plano fectionem facit rectam lineam : neq,
ipfe conus, mfi planum fecans per uerticem tranfeat .
THEOREM.A IIII. PROPOSITIO IIII.
S i alterutra fuperficierum,qua? funt ad uerticem plano fecetur,a?qui
diftante circulo, per quem fertur reda linea fuperficiem defcribens: pia
num,quod fuperficie concluditur, circulus erit, centrum in axe habens:
figura uero contenta circulo, Sc ea parte fuperficiei conica?, quse inter fe
cans planum Sc uerticem interiicitur, conus erit .
SIT conica fu perficies, cuius uertex a: circulus autem,in quo fertur redalinea fu
perficiem deicribens,b c : & fecetur plano ipfi circulo b c *quidifiante ; quodiedio-
6 diff hu nem ^ c * at * n f u P er] fi c i e lineam d e. Dico d e circulum efle, qui centrum in axe habet .
ius\ ' U Sumatur enim centrum circuli bc,quodfitf: &afiungatur. axis igitur eft a f:&oc-
3. huius currit plano fecanti : occurrat in g : &per a f planum ducatur . eritfedio triangulum
3.undeci- a b c. itaque quoniam punda d g e funt & in plano fecante,& in ipfo a b c plano: reda
* nle linea erit dg e . fumatur autem in ipla d e pundum aliquod h: &iunda ahproduca-
i^.unde- tur » ( l U2E circumferenti* b c occurratin k : iunganturq; gh,f k. & quoniam duo plana
cimi d e,b c *quidiftantia a plano a b c fecantur ; communes ipforum fediones *quidiftan
4. fex t i. tes erunt . *quidiftatigitur linea de ipfi b c. & eadem ratione g h ipfi f k. quare ut f a
ad a g,ita fbaddg;f c adge;&fkadgh: funtq; tres line* bf,fk,fc *quales inter fe
fe . ergo & ipl* tres d g,gh, g e interfefe *quales erunt . fimiliter quoque oftedentur
aquales qu*cunque a pundo g ad lineam d e ducuntur.circulus igitur eft linea de,
centrum in axe habens.
Confiat praeterea figuram contentam circulo d e,& ea parte fuperfi-
ciei conica:, qua? inter didum circulum , Sc pundum a interiicitur, co-
num efle ; fimulq; demonfiratum eft communem fedionem plani feca-
tis,& trianguli per axem diametrum effeipfius circuli .
EVTOCIVS.
Ca s v s huius theorematis tres funt, quemadmodum & prae edentis & fecundi ,
THEO-
CONICOE VM tl B. I. 20
THEOREMA. V. PROPOSITIO V.
SI comis fcalenus plano per axem fecetur ad redos angulos ipfiba-
fi jfeceturq; altero plano ad triangulum per axem redo 5 quod ex uer-
ticis parce triangulum abfcmdac bmile ei > quod per axem , fubcontra-
rie uero pafitum : fedio circulus erit . uocetur autem huiufmodi fedio
fub contraria .
Sit conus fcalenus, cuius uertcx a pundum;bafis circulus bc:& fecetur plana
per axem, ad circulum bc rcdo,quod faciat fedionem triangulum a b c. fecetur au-
tem , & altero plano ad redos angulos ipfi a b c, quod ex parte a triangulum abfcin-
dat agk triangulo abc fimile, fub contrarie uero pofitum;utuidelieet angulus akg
« qualis, fit abc angulo : & faciat fedionem in fuperficie lineam g h k . Dico ipfam
ghx circulum effe . Sumantur enim in lineis gh bcpunda quapiam hl: a qui-
bus ad p 'anum, quod per triangulum abc tranlit,perpendiculares ducantur, ca-
dent in communes planorum fediones. cadant ut h f, l m. «quidiftans eft igitur
h f ipfi lm. ducatur autem per f ipfi bc «quidi-
ftans dfe. ergo planum, quod per fh, de tranfit
«quidiftans efl bafi ipfius coni : & idcirco fedio
dhe circulus erit, cuius diameter de. «quale eft
igitur redangulum d fe quadraro fh. Quod cum
«quidiifet de ipfi bc, angulus a d e aqualis eft
angulo a bc.& ponitur angulus a angulo abc
«qualis . ergo & a k g ipfi a d e «qualis erit . funt
autem & qui adf anguli «quales , quod fint ad
uert|cem. quare dfg triangulum fimile efl trian-
gulo k_f e. & ut e f ad fk , ita g f ad fd . redangu-
lum igitur e fd «quale ed redangulo k fg . Sed
redangulum efd demonftratum eft «quale qua-
drato fh . ergo k fg eidem «quale erit . fimili
quoque ratione demonftrabuntur & omnes , qu«
i linea gh f^ad ipfam g k perpendiculares ducun-
tur, poffe «quale ei,quod partibus ipfius g k conti
netur.fedio igitur circulus cft, ; cuius diameter g k*
(d
E Y T O C I V S.
fhfinttm theorema cafimmn-habet . exordiens autem .Apollonius. expofitionem ., Secetur ,
inquit , conus per axem plano ad baftm redo, . Sed quoniam in cono fcaleno iuxta unam,
dumtaxat pofitionem triangulum per axem ad bafim retium e fi:, hoc ita faciemus ; fument es nam-
que bafis centrum : ab eo erigemus ■ lineam ad retias angulos ipfi plano bnfis.-ptrq; eiufmodi lineam ,
& per axem planum ducentes , id , quod propofitum fuerat y afiequemur : ofienfum etenim efl in
undecima libra elementorum Euclidis-, fi refla linea plano alicui ad reflo s angulos fuerit, & o mma,
qua per ipfim ducuntur , plana eidem ad reflas angulos ejfe. conum uerofcalenum pofuit , quoniam
in aquicruriplanuni hafi aquidistans idemefi+quadfub contrarie duflurn. praterea fecetur , in-
quit, Sc. altero, plano ad redos angulos ipfi triangulo per axem , quod abfcindat ex
uerticis parte triangulum fimile ipfi a b c, fubcontrarie uero politum . illud ita fiet . fit
triangulum per axem, a b c: fumatur q-fm linea a b quoduis pmflum g: <& ad ag refiarn lineam ,
gfr ad punflum in ea g, confiituatur angulus a gk.jp fi acb aqualis . ergo triangulum ag fy,
triangula abc fimile erit , quamquam fub contraria pofitum ..itaque fumatur m linea g k quod
libet punflum. f, d: quo erigatur fh ad reflas angulos ipfi planotrianguli a bc: & per lineas- g k ,
hf planum ducatur., erit illud ad tyiangulum abc retium quadper lineam fh tranfeat : & faciet
Id 3 quod faciendum proponebatur. In conchfioM dicit , propter iimilitudinem triangula-
C 2
A
B
38. unde.
6 . undecw
jf.unde.
4. huius
s. & 17X*
*ti.
tsi. primi
1 j.primu
4. fextl
1 <?. fexit
C
i. lernm*
pappi
D
\\
A
18 unde-
cimi
B
ty primi
iS. unde-
cimi
C
&i. tertii
$ j. terta.
D
% .
f. Fecundi
47. primi.
'Si tertii
4. fcxti
J). quinti
j^.pnmi.
V r ;
b
C X A P O L L O N I I P E E G AE I
frttm d fg,e fk aquale dfe re&angulum dfe re&angulo g fk.quod quidem & abfq; trian-
gulorum fimilitudine demonfirari potefl , hoc -patio : quoniam enim uterque angulorum a fig, a de
squalis efi angulo , qui ad b , in eadem erunt portione circuli, puncta dg ek compr ah eiidentis .&
quoniam in circulo duce rebta linea d e, g fife fe fecant in f, rebit angulum dfe aequale efi reti an-
gulo gffi. Similiter demonflrabuntur & omnes linea ah ipfa gh k dubia perpendiculares ad g f
retiam , poffe aquale ei , quod partibus ipfius g fi continetur . circul us igitur fccdo efl, cuius
diameter g K . po fimus autem hoc demonfirare per deductionem ad id, quod fieri non potefl . Si
enim circulus ; qui circa gk defer ibit ur, non tranfit per h punitum; erit rctiangulum kfg ecqua-*
le quadrato linea' maioris ipfa fh , uel minoris , quod non ponitur .fed & illud idem retta demon-
firatione ofkendemus .fit linea quadam gh fi, cmfubt enitatur re-
tia g f: fumantur autem & in linea duo quauis puncta h, 0, d
quibus ad ipfam g fi, p erpendiculares ducantur hf, 0 p:fitq; qua-
dratum fh ce quale reti angulo gffi: <&■ quadratum 0 p ecquale
'ipfi gpfi, rettangulo . Dico lineam gh ofi, circulum efife .fccetur
enim g fi, retta bifariam in puntto n: & iungantur g h , h n, n 0 .
Quoniam igitur retia linea g bjecatur in partes aquales in n, &
in partes inaquales in f: rctiangulum g ffund cum quadrato $ n f fi
nf a quale erit quadrato nK. fed reti angulum gfK pofitum efi
aquale quadrato hf. quare hf quadratum una cum ipfo nf aquale efi quadrato n K. aqualia au-
tem funt hf,fn quadrata ip fi quadrato nh , cum angulus ad f fit retius .ergo quadratum nh
quadrato nK aquale erit . fimiliter oflendemus quadratum no aquale effe quadrato nK. linea
igitur gh K circulus efl , & eius diameter g K . fieri autem
potefl , ut diametri d e, g K quandoque aquales fint , quan-
‘doq; inaquales -.nunquam tamen fefe bifariam fecabunt. du-
catur enim per K ipfi b c aquidifians nK. Quoniam igitur
maior efl b a quam a c; & ipfa n a, quam a K maior erit .
eadem ratione & k a maior esi, quam ag propter fibcon-
trariamfeclionem. quare fi d linea a n abfcijfa fuerit aqua-
lis ipfi a k : inter puntta gn cadet , ut a x. &per x dubia
aquidifians ipfi b c fecabit g k . fecct ut x 0 p. itaque quo-
niam aqualis efl x a ipfi an;& ficut x a ad a p,ita k a ad
ag ob fimilitudinem triangulorum g k a, xpa-.erit ag ipfi
a p aqualis , & reliqua g x ipfi p k . & quoniam anguli ad
pmbla x,k inter f 'e aquales funt,uterq; enim ip forum aqua
lis efl angulo ad b: funt autem & qui ad 0 aquales , quod fecundum uerticem ; erit triangulum
xgo firnile triangulo po k .fed aqualis esi g x ipfi p k .quare & xo ipfi ok ,& go ipfi op,&
tota g k toti xp efl aqualis, ex' quibus confiat , fi inter gx fumatur punblumr ,<&- per r ducatur
r f aquidifians gKppfam rf maiorem e JJ e, quam g k : & propter ea maiorem, quam x p . f utra
inter puntta r x fumatur aliud punbtum , ut t;&per ipfurn ducatur ty aquidifians xp eminor
erit ty,qudm xp : & ob id minor , quam g k .pr at er ea cum angulus xp k maior fit angulo ax p:
aqualis autem opK ipfi ogx-.erit ogx angulus maior angulo gx 0. ergo linea xo maior ipfa
og: & idcirco x 0 nuuor 0 p . Quodfi quandoque contingat , ut altera ipfarum bifariam fccetur ±
-tunc alteram in partes inaquales fiecari neceffe erit .
FED. COMMA NDINVS.
Et fecetur plano per axem ad circulum b c recto . ] Quomodo hoc faciendum fit , de*
monflrat etiam Serenus in libro de f cilione coni , propofitione 14.
THEOREMA VI. PROPOSITIO VI.
•.** _ ' •
Si comis plano per axem fccetur : fumatur autem aliquod pundutri
in iuperficie coni , quod non fit in latere trianguli per axem : & ab ipfa
ducatur i tda linea, aquidifians cuidam reda:, qua’ perpendicularis efi:
■; - a cir-
CONICORVM LIBER &
a circumferentia circuli ad trianguli bafim : triangulo per axem occur*
ret > Sc ulterius producta ufque ad alteram fuperficieipartem 3 bilamoi .
ab ipfo triangulo fecabitur ,
Sit conus, cuius uertex a pundum : ba fis autem circulus b e: feceturq; conus plano
per axem * quod communem fedionem laciat triangulum ab c: St ab aliquo pundo
corum^quiB funt in bc circumferentia,utab m ducatur m n perpendicularis ad ip-
iam b c rectam : fumatur quoque in fuperficie coni pundum d,per quod ipli m n se-
«quidiftans ducatur d e. Dico lineam de occurrere luperfici ei trianguli abc>St ulte-
rius produdam in alteram partem coni , quoufque ad eius fupecficiem pertineat , a
trianguli ab c plano bifariam fecari . fungatur a d,& producatur, occurretiam circu- i. huius
ferentia; circuli b c.occurratin a pundo k ad b credam perpendicularis ducatur
It h l.aequidiftas eftigitur khipfi m n.quare&ipfi d e.ducaturab a pundo ad h linea it. primi
a h.itaque quoniam in triangulo a hkfipfi hkaequidiftat de,conueniet de produda
cum linea z h. eft autem a h m plano trianguli a b c. ergo d e trianguli a b c plano oc-
curret.occurratin f: & producatur d e f in redum,quoufque adfuperficiem coni per
tineat in g. Dico df ipli i g aqualem effe. Quoniam enim punda ag 1 funt & in fuper-
ficie coni,& in plano per a h,alt,d g,lt I dudo, quod quidem triangulum eft, cum per j.hubte
nerticem conum fecet: erunt agi incommunifedionefuperficieiconi,&ipfiustria ’ '
guli.ergo reda linea eft, que per a g 1 punda ttanfit; At cum in triangulo a 1 k,tpfi k h I '
bafi asquidiftans duda fit d g : & a pundo a ducatur a f h : erit ut k h ad h l,ita d f ad C
f g . sequalis autem eft k h ipfi h l,quod in circulo b c perpendicularis ad diametrum j. terti}
ducitur k 1. ergo & d f ipfi f g aqualis erit .
EVTOCIVS.
«yfNiMADVERTENOVM ed,non jruflra apponi in propofitione, oportere redam lineam du- A
damd pundo fuperficiei , aqmdiflantem ejje cuidam reda, qua d circuli circumferentia perpendi-
cularis eft ad bafim trianguli per axem . ni fi enim hoc ita fit, fieri non potest, ut reda linea d trian-
gulo bifariam fecetur, quod quidem ex defcnp t a figura manifefle apparet . 7gam fi linea m n, cui
aquidifiat d fg,ad ipfam b c non fit perpendicularis : neque k l bifariam fecabitur. eadem enim ra
tione colligimus,. ut khadh l,ita ejje d f ad f g . erga & dg m partes inaquales fecabitur ad pun-
dum f potefi autem illud idemjum infra circulum itum in fuperficie 3 qua eji ad uertkem,fimiliter
demmfitm* # i
APOLLONII P E K G AE I
PED, COMMANDINVS.
B Itaque quoniam in triangulo ah k, ipfi h k csquidiftat d e,conueniet d e produda
cum lin t a a h . ] Sequitur hoc ex f ■ eunda propofitione perjfediu<e Vitdlioms. funt enim de,ba
in eodem plano , nam cum dids aquidifiantes k h, d e camungat recta linea k d : erunt ex feptirna
propofitione undecimi elementorum tres linees bK,kd 3 d eln eodem plano . Sed & in eodem pla~
uofmt kbjba ex fecunda propofitione eiufdem libri, ergo de 3 bain eodem plano fmt necejfe eji.
C At cum in triangulo al k ipii k h 1 bafi sequidiftans
cLudafit dg, & aptmdro a ducatur af h; erit ut kh
ad h hita d f ad fg . j illud uera boc lemmate demonjlra-
bimus . -
Sit triangulum abe: dufla de ipfi be
atcjuidiflanie , d funtto a ad baftm ducatur ag ,
quee lineam d e fiecet in fi. Vico df ad f e ita efje y
ut b g adg c .
primi Quoniam enim b c,d e ctquidiflant inter fe , erunt anguli
abg,a df aqualesmemq, ecquales inter fe anguli agb 3 afd.
quare triangulum a df fimile e(l triangulo a bg. eadem quoq>
4 . fex t i ratione triangulum afe oflendetur ipfi ag c fimile . ut igitur
f i.fjumti lg ac i (if itaefl ag ad af: & ut ag ad affita gc ad fe. quareut bg ad d f ita gc ad f e. &
permutando ut bg ad g c } ita df ad f e .
THEOREMA VII. PROPOSITIO VII.
Si conus plano per axem fecetur: fecetur autem &c altero plano fe-
cante planum bafis coni fecundum redam lineam, qua? fit perpendicu-
laris , uel ad baiim trianguli per axem, uel ad eam , qua? in diredum ipfi
conftituitur: linea* quae a fedione in fuperficie coni a plano fada du-
cuntur arquidiftantes ei, qua: eft perpendicularis ad trianguli baiim , in
communem ledtionem plani fecantis, & trianguli per axem cadent : 8c
ulterius produda: ad alteram fedionis partem, ab ea bifariam fecabun-
tur. & fiquidem redus fit conus, linea, qua: eft in bafi , perpendicularis
erit ad communem fedionem plani iecantis , & trianguli per axem .* fi
nero fcalenus, non femper, nifi cum planum , quod per axem ducitur,
ad bafim coni redum fuerit .
Sit conus, cuius uertexpundum a; bafis bc circulus :& fecetur plano peraxem,
quod fedionem faciat triangulum a b c . fecetur autem , & altero plano fscante pla-
num , in quo eft circulus b c fecundum de redam lineam , uel perpendicularem ad
b c, uel ad eam, qux in diredum ipfi conftituirur: & faciat fedionem in fuperficie co-
ni, lineam d fe;communis autem fedio plani feeantis,& trianguli a b c fit f ’g:& fuma-
turinfedione dfepundumh,a quo linea hk ipfi de asquidiftans ducatur. Dico h k
linea: fg occurrere, & ulterius produdam ad alteram partem fedionis df e,a linea f g
bifariam fecari.quonia enim conus, cuius uertex a pundum,& bafis circulus b c, pla-
no per axem fecatur,quod fedionem facit a b c triangulu; fumitur autem in fuperficie
pudum h,quod non eft in latere trianguli a b qeftcj,; d gad b c p crpendicularis : duda
0 . kuius per h linea hk,ipfi dg aquidiftans, triangulo abe occurret ;& ulterius produdaad
alteram partem fuperficiei a triangulo bifariam fetabitur. & quoniam, qua: per h du-
citur aequidiftans ipfi d e, occurrit triangulo abe; atque eft in plano fedionis d f e ; m
communem fedionem plani fecantis, & trianguli abe cadet, fed linea f g.eftcommu
nia
a
CONICORVM LIBER 1« r»
nis fe&io planorum . ergo per h dudaipfi d e xquidiftans cadit in lineam f g; & ulte-
rius prodnda ad alteram fedionis partem ab ea bifariam fecatur . itaque uel conus
eftredus,uel triangulnma b c>quod per axem tranfit.,redum eft ad b c circulum,uel
neutrumborum contingit . fit primum conus redns: tunc & a b c triangulum adcir-
culum b c redum erit . & quoniam planum a b c redum eft ad plan um b c : & ad coni
munem ipforumfedionem,uideIicet adlineam b cinipfobcplano perpendicularis,
duda eft d e : erit d e & ad triangulum a b c perpedicularis ; & ad omnes redas lineas*
quz in triangulo a b c exiften tes ipfam contingunt, quare & ad lineam fg . fed non fit
conus rectus, fi igitur triangulum per axemredum eft ad circulum b c jfimiliter ofte
demus lineam d e ad f g perpendicularem efte. quod fi triangulum per axem a b c no.
fit redum ad circulum b c,non erit ipfa d e ad f g perpendicularis, fit enim,fi fieri po-
tefbeft autem & perpendicularis ad b c.ergo d e ad utramque lineam b.cftg perpendi
cularis erit : & idcirco ad planu, qucd per lineas b c,f g ducitur . fed planum per b c*
fg,eft ab e triangulum-.lineaigitur dead triangulum ab c eft perpendicularis- quare
& omnia^quse per ipfam tran fe u n t, p lanaad a b c: triangulum reda funt . planum uc-
ro 5 in quo eft circulus b c per lineam d e tranfit . ergo b c circulus redus eft ad trian-
gulum ab c : acpropterea triangulum a b c ad b c circulum redum erit. quod non po
nebatur . nondgitur deadipfam? fg eft perpendicularis..
£x quibus condat lineam f g diametrum ede fecdionis dfe , cum li-
neas omnes, quat in ipfa ducuntur , uni cuipiam atquididantes bifariam
fecet . condat pr^terea fieri poffe*, ut linex atquididantes a diametro
fg bifariam quidem, non autem ad re&os angulos (ecentur.
E V T O C I V S.,
.Septi mv m. theorema quatuor cafus habet ; uel enimfg non occurrit line& ct c,uel tribus mo -
£■5 occurrit, aut extra, circulum, aut intra , aut in ipjo c puncto.
THEOREMA VIII. PROPOSITIO VIII.
S i conus plano feeetur per axem .* &c fecetur altero plano fecante ba
fim coni fecundum redlara lineam, q.uje ad bafim trianguli per axem fit
perpendicularis ,■ diameter autem fedhonis ta&x in fuperficie, uel atqui
4.&j.diff.
yndedmi
4 . undeci
mi.
18. unde-
cimi
ro.diffim
huius
ly.unde-
cimi
4-huius
&
A P o I t 0 r i f £ R G AE i
diftet uni laterum trianguli, uel cum ipfo extra coni uertice conueniat :
& producantur in infinitum tum fuperficies coni, tum planum fecans!
febrio quoque ipfa in infinitum augebitur : & ex diametro fe&ionis ad
uerticem cuilibet lincte datce «qualem abfcindet linea, qute quidem a
coni fedtione ei,qujeeftin bafi,sequidiftansdudta fuerit.
S I T conup, cuius uertex a pundum ; bafis circulus b c : & fecetnr plano per axe ,
quod fedionem faciat, triangulum a b c : decetur etiam altero plano fecante b c circu-
lum fecundum redam lineam d e perpendicularem adipfam b c : & faciat fedionem
in fuperficie, lineam d Id .'diameter autem fedio nis d fefit fg , que uel ipfi ac jequidi-
ftet,uelprbduda extra pundum a cumipft conueniat. Dico fedionemd f e augeri
in infinitum , fi & corti fuperficies , & fecans planum in infinitum producantur . His
enim produdis,fimul producentur & line^ a b,a c,f g.& quoniam fg uel ^quidiftans
eftipfi a c,uelprodudaextrapun<£hima,cum ipfa conuenit; linea; fg, a c ad partes
g c produda? nunquam conuenient inter fe fe. producantur ergo : fumaturq; in linea
fg quodlibet pundumh j & per h ducatur k h lipfi bcEequidiftans : ipfi uero de aequi
diftans ducatur m h n. quare planum , quod per kl,m n tranfit,sequidiftans eft plano
per b c,d e:*& idcirco circulus eft k 1 m n planum . Sunt autem punda d e m n & in pia
no fecante,& in fuperficie coni . ergo & in ipfa communi fedione erunt : fedio igitur
d fe auda eft ufque ad punda m n, ex qnibus apparet fi tum coni fuperficies, tum fe-
cans planum produ-
cantur ad k 1 m n cir-
culum, & fedionem
jpfam d f e ufque ad
m n punda augeri .
eadem ratione demo
lirabitur fedione m
d fe n augeri in in fini
tum , fi & fuperficies
coni, & planum fecas
in infinitum produ-
cantur . perfpicuum
igiturefteuilibet da-*
tx linese aqualem ab-
fcindere lineam quan
damexipfa f h ad partes f. fi enim data; line* ;squaldn ponamus per x ipfi de
jcquidiftantem ducamus; conueniet ea cumfedione,quemadmodum & qua; per h de
monftrataeftcum eadem ad punda m n conuenire. quare poterit linea quasdam duci
fcquidiftans ipfi d e, qua; cum fedione coueniat,& ex ipfa fg ad partes f linea; data; ar-
<|uale m lineam abfein dat.
THEOREMA IX. PROPOSITIO IX.
Si conus plano feceturconueniente cum utroque latere trianguli
per axem, quod neque bafi sequidiftet, neque fubcontfarie ponatur t fe
Ctio circulus non erit.
SIT conus, cuius uertex a jp|dum,bafis circulus b c ; & fecetur plano aliquo, ne-
que bafi ecqui diftante, neque fubcontrariepofito, quod fedionem faciatin fuperficie
lineam d k e.Dico d k e nqn effe circulum.Sit enim,fi fieri poteft : occurratq; planum
fecans ipfi bafi ; ita ut communis planorum fedio fit reda linea f g : centrum autem
circuli b cfith ; & ab h ad fg perpendicularis ducatur h g : deinde per h g,& axem pro
ducatur planum, quodin conica fuperficie fediones faciat b a, a c redas lineas. quo-
niam
c
13
CONICORVM t I B: I;
nia igitur punda d e g funt & in plano, quod
per d k e tranfif,&in eo, quod per a b c,necef
iario in corauni ip iorum fedione erunt, qua
re reda linea eft d e g . fumatur in linea d k e
pundum aliquod k: & per k lineas f g squidi
dans ducatur k m ferit k m ipfi m 1 squalis . -
quare d e diameter efi circuli d k e l.ducatur
deinde per xn linea n m x ipfi b c squidiftas:
eft autem & kl squidifiansfg.ergoplanum
quod per n x,k m ducitur, squidifias efi pla-
no per b c, fg, hoc efiipfi bafi : proptereaqj
fedio n k xl circulus erit. & quoniam fg
perpendicularis efi ad b c g, fequitur & k m
adn x perpendicularem eife. quare redan-
gulum n m x squale efi quadrato k m. fed
&redangiilum dme squale efi km quadra
to, cum linea dkel circulus ponatur-, cuius
diameter d e.redangulum igitur nmx s-
quale efi redan gulo d m e : & idcirco ut n m
ad m d,ita e m ad m x.quare d m n triangu-
lu fimile efi triangulo x m e: & angulus d n m
Squalis m e x angulo. Sed d n m angulus an-
gulo a b c efi squalis ; squidifiat enim n x
ipfi b c. ergo & angulus a b c squalis erit an
gulo m ex. Subcontraria igitur iedio efi ;
quod non ponebatur, ex quibus manifefie
confiat lineam dk e circulum non eife.
£hufu*
ly. unde-
cim i
4-huius
io. unde-
cimi'
*.i7,fexti
14. Texti
6
THEOREMA X. PROPOSITIO X.
a
S r in coni fe&ione duo punfta fumantur, reda linea, quae eiufmodi
pundla coniungit, intra fedionem cadet ; quse in diredum ipfi conffci
tuitur, cadet extra .
SIT conus, cuius uertex pundum a, bafis b c circulus : feceturq; plano per axem
& faciat fedionem triangalum a b c: iecetur autem &
altero plano, quod in firperficie coni fedionem faciat
d e f lineam ■& in ipfa d e f duo punda fumantur, qus
fint gh.Dico redam lineam, qus g h pun da coniun-
git, intra fedionem d e f cadere: & qus in diredum
ipfi confiituitur, extra. Quoniam enim conus, cuius
uertex a pundum, & bafis circulus b c, plano fecatur
per axem 1 , & infiiperficieipfius punda quspiam fiu-
muntur g n, qus non funtin latere trianguli per axe :
linea, qus apundo g,adh ducitur, nonpertiuebit ad
a. ergo reda linea coniimgens punda g h intra co-
num,hoc efi intra coni fedionem d e f cadet : & qus
111 diredum ipfi confiituitur, cadet extra.
x.hiuui
D
A
i {■.unde-
cimi
4.buius
lo.unde.
ti;.;'. ;
'APOLLONII PERG AET
EVTOCIVS
.Animadverte n d v m eji decem bac theoremata aptiffime coh arentia inter fefe,& conti
nuata effe.Trimum enim oftcndit rectas lineas 3 qua in fiiper.fi.cie coni ad uerticem pertinent , in ea-
dem permanere . Secundum contra ojlendit. T ertium explicat coni feiiionem 3 qu£ per uerticem effi-
citur. Quartum feciioncm bafi aquidijlantem. Quintum uerofub contrariam. Sextum eji tanquum
lemma adfeptimumfin quo ojlendit ur oportere commem fefitionem plani fetantis, & circuli 3 qui
eji bafis coni 3 ad eius diametrum perpendicularem, ejfe : atque hoc ita habente fineas omnes 3 quaip
fi aquidijlantes ducuntur 3 d triangulo bifariam fetari. Septimum tres alias fe5iiones } earumq ; dia-
metrum ojlendit : & lineas 3 qua ad ipfam diametrum ordinalim applicantur ei 3 qua in baji aquidi-
fiantes ejfe . In ociam demonjlrat 3 quodnos in principio diximus 3 uidelicet parabolen 3 & hyperbo-
len ex eorum numero ejfe 3 qu£ in infinitum augentur . In nono eUipfim 3 qu£ in fe ipfam uergit tan-
quam circulus 3 quod planum fecans cum utroque latere trianguli conueniat 3 cir culum non ejfe :fub-
contraria etenim 3 & aquidijlans fectio circulum jacit. Sed&iUud fcire oportet 3 diametrum fectio-
nis in parabola quidem unum dumtaxat trianguli latus fecare, & ipfam bafim : in by perbolafeca-
re 3 & latus 3 & lineam 3 qu£ reliquo lateri ad partes uerticis producto in reitum conJUtuitur : in tl-
lipfi uero 3 & utrimque Latus 3 & bafim fecare. Tojfet fortajje quijpiam arbitrari decimum theore-
ma idem ejfe y quod fecundum : Jed non ita res habet . illic enim in omni Juperficie duo quxuis puncta
fumi ajferit ; hic in ea tantum iinea 3 qux d Jecante plano efficitur. .At in tribus 3 qua deinceps jequun
tur 3 theorematibus unamquanque fedtionem diligentius expendit: & principes earum proprieta-
tes declarat .
THEOREMA XI. PROPOSITIO XI.
S i conus plano per axem fecetur : fecetur autem Sc altero plano fe-
cante bafim coni fecundum redam lineam , quae ad bafim trianguli per
axem fit perpendicularis: Sc fit diameter fedionis uni laterum triangu-
li per axem aequidi Itans : reda linea , qua? a fedione coni ducitur aequi-
diftans communi fedioni plani fecantis,& bafis confiufque ad fedionis
diametrum *, poterit fpatium aequale contento linea , quae ex diametro
abfeifla inter ipfam 5c uertice fedionis interficitur, Se alia quadam , quae
ad lineam inter coni angulum , Se uerticem fedionis intejiedam , eam
proportionem Jiabeat,quam quadratum bafis trianguli per axem, ad id
quod reliquis duobus trianguli lateribus continetur, dicatur autem hu-
iufmodi fedio parabole . _
SIT conus, cuius uertexpun&um a ; bafis b c circulus: feceturq; plano per axem,
quod Tectionem feci at triangulum ab c: & fecetur altero plano fecant.e bafim conife
eundum rectam lineam d e, qua? ad bc fit perpendicularis ; A faciat Tectionem infti-
perficieconi d f e lineam : diameter autem Tectionis Tg squidiftaus fitunilaterum
trianguli per axem,uidelicetipfi a c ; atque a puncto Times Tg ad rectos angulos du
catur° T h : & fiat ut quadratum bc adrectangulum b a c, ita linea hf ad f a. fumatur
prstereain Tectione quodlibet punctum k : & per k ducatur klip fi d e squidiftans.
Dico quadratum k 1 rectangulo h T 1 squale efie . Ducatur enim per 1 ipfi b c squidi-
ftaus m eft k 1 squidiftans ipfi d e.ergo planum,quod tranfit per k 1 m n plano per
b ede, hoc eft ipfi bafi coni squidiftat.ideoq; planum per klmn circulus eft, cuius
diameter m n. eft autem kl ad m n perpendicularis, quod & cie aa. b c. rectanguium
i ai tu r m 1 n squale eft k 1 quadrato . itaque quoniam linea h f ad Ta eft ut quadratum
bc adrectangulum b a c : quadratum autem bc ad bac rectanguium compotitam
proportionem habet ex proportione, quam b c ad c a,& ex ea, quam c b habet ad o a.
quare proportio h Tad f a componitur ex proportione b c ao. c a>& c b ad b a. v tau-
CONICORVM LIB, I. 14
tem b c ad c a, ita m n ad n a, hoc eft m 1 ad 1 f : & ut c b ad b a>ita n m ad m a,hoc eft 1 na
ad m fi & reliqua n 1 ad f a . proportio igitur h f ad
f a componitur ex proportione m I ad 1 fi& n 1 ad
f a. fed proportio compoiita ex proportione m 1 ^
ad 1 f, & 11 1 ad f a eft ea, quam habet m 1 n rectangu
Ium ad rectangulum Ifa.ergo uthf adfa,itare-
etangulummlnadlf a rectangulum.ut autem hf
adf a,fumpta fl communi altitudine, ita h flre-
diangulumadrectanguluml fa. Vt igitur rectan-
§ '
_ ulum m 1 n ad ipfum 1 f a,ita rectangulum h fl ad
1 f a: & idcirco aequale eft rectangulum m 1 n rectan
gulo h fl.fed rectangulum mln aequale eft qua-
drato k I . ergo quadratum klrectangulo h fl ae-
cpiale erit. Vocetur autem huiuimodi fectio pa-
rabole;& linea hfiiuxta quam poftnnt, quae ad f g
-diametrum ordinatius applicantur : quae quidem
etiam recta appellabitur.
E V T O C I V S,
quinti
SJ.fextii
t. fexti
quinti.
ET fiat ut quadratum b c ad rectangulum b a c, ita linea hfad lineam f ahj
Manifeflum M^quod dicitur 3 pr at er quam quo d aliqua adhuc declaratione indiget. Sit reti angulo
b a c aquale rebiangulum opr : quadrato autem b c aquale id 3 quod ad lineam p r adiacens , latitu-
dinem habet p s : &fiatutopadps 3 itaafaifh. ergofaUtm lam erit, quod quarebamus . Quo-
niamenimut op adp s Jta a f ad fh ; erit & conuertendo h f 'ad f a 3 ut s p adp 0 ut autem s p ad
-p Oyita reUangulum sr ad ipfum royhoceftbc quadratum ad rebtangulum^ b a c. Hoc autem & ad
duo qua fequuntur theoremata utile erit .
Quadratum autem b c ad b a c re-
ctangulum compofitam proportio-
ni em habet &cfij Ofienfum enim cfi in fie-
xio libro element orum Euclidis , theorema-
te uigefimotertio,aquiangula parallelogrd-
ma inter f e proportionem habere ex lateri-
bus compojitam . Sed quoniam interpretes
inductione magis y quam neceffana argu-
mentatione utuntur ; mfium efi nobis illud ip
funi inuefligare : quod i amet fi fcnp fimus in
commentarii s x in quartum theorema fecun-
di libri Archimedis de fpbara & cylindro ,
& in primum magna confiruclionis Ttole-
maiyriih 'dominus tamen & hoc loco non ine
pte repetetur ;propterea quod fortaffe non omnes 3 quibac legent , in illos libros inciderunt : tum
etiam 3 quod umuerfafere conicorum tr ablatio eum argumentandi modum ufurpat . Proportio ex
proportionibus componi dicitur, quando proportionum quantitates inter fe multi-
plicatae aliquam producunt. Ter quantitatem inteUigendo mmeruniyd quo, propartioip fa de-
nominatur .in multiplicibus quidem quantitas erit numerus integer ; in reliquis uero habitudini-
bu.
1. fexti.'
B
ci*-
£
p ...
liim-ltaque m omnibus habitudinibus ipfa quantitas multiplicata m confcquentem terminum pro
ducit antecedentem. Sit igitur proportio a ad h: & fmnpto termino quolibet intermedio c 3 fit pro-
portionis ac quantitas d 1 proportionis autem c b quantitas fit e : & d multiplicans e producat f.
Dico f proportionis a b quantitatem ejfe : hoc efi fi f multiplicet b produci ipfum a . itaque mul-
tiplicet f ipfum b 3 & producat g . Lfuoniam igitur d ipfum quidem e multiplicans producit f;
multiplicans autem c ipfum a producit ; erit f ad a , ut eadc . Rurfius cum b multiplicans e faciat
D ^
17. fejptl»
mi.
A V 01 LONII PERGAEI
ti& multiplicam ffdcmtgi erit ut e adfjta q adg: & permutando ut e ad cftaf adg.fedut e ai
cjta erat f ad a, ergo g ipfi fl efl aqualis & idcirco f mul-
tiplicans b producit a , proportionis igitur ab 3 f quantitas ne
cejfario erit: ‘JS[ou perturbentur aut em qui in hac inciderint >
quod illud ex arithmeticis demonftretur : antiqui enimhuiuf-
modi demonflrationibus fape uti confueuerunt ; qua tamen met
tbematica potius funi i, quam arithmetica propter analogias .
adde quod qua fit um arithmeticum efl ; nam proportiones , pro-
portionum quantitates 3 & multiplicationes primo numeris ^fe-
cundo loco per numeros & magnitudinibus inf mt , ex illius fen & c b /}
tentia } quiitafcripfitjTa.\)Ta. •yxp rx [xxS^fxTX JWfvTi tipv
ccAa (px.hoc effoco enim mathematicx dif :iplmx germanae effe
indentur* ' ; ' \
•I
THEOREMA XIX. PROPOSITIO XII.
> ! . ' ■ ‘ r ; r. ii l' c, ; ’
Si conus plaiio per axem fecetur; fecetur autem Sc altero plano
fecante bafim coni fecundum rectam lineam, quae ad bafim trianguli
per axem fit perpendicularis • Sc legionis diameter produda cum uno
latere trianguli per axem , extra uerticem coni conucniat : reda linea ,
quse a iedione ducitur arquidiftans communi (ectioni plani fecantis,
& bafis coni ufque ad fedionis diametrum, poterit fpatium adiacens
Iinete,ad quamea,qu£e in dire&um conftituitur diametro fedionis,
fubtenditurq; angulo extra triangulum , eandem proportionem ha-
bet, quam quadratum lineae, quae diametro aequidiftans a uertice fe-
dionis ufque ad bafim trianguli ducitur, ad redangulum bafis par-
tibus , quae ab ea fiunt , contentum : latitudinem habens lineam , quae
cx diametro ab fcinditur, inter ipfam Sc uerticem fedionis interiedam *,
excedensq; figura fimili , Sc fimiliter pofita ei , qua: continetur linea
angulo extra triangulum fubtenfa , Sc ea , iuxta quam polfunt quae
ad diametrum applicantur , uocetur autem huiufmodi fedio hyper-
bole .
Sit conus, cuius uertex a pundum , bafis circulus b c: & fecetur plano per axem ,
quod fedionem faciat triangulum a b c: fecetur autem & altero plano fecante bafim
coni, fecundum redam lineam d e ad b c bafim trianguli a b c perpendicularem ia-
ciatq; fedionem in fuperficie coni lineam dfe:& fedionis diameter fg produda
cumipfo ac latere trianguli ab c extra coni uerticem conueniat in pundo h: dein-
de per a ducatur linea ak diametro asquidiftans, qua: fecet bc: &ab f ducatur fi ad
redos angulos ipfi fg; fiatq; ut quadratum k a ad redangulum b k c, ita h f linea ad
lineam fl. Sumatur autem in fedionequoclibet pundum m, &per m ducatur mn
sequidiftans de;&per n ipfi fl xquidiftans ducatur nox.poftremoiunda h 1, & ad
X produda, per Ix ipfi fn jcquidiftantes ducantur lo, xp. Dico lineam mn poife
fpatium
C O N I C o R V M U B, L 15
fpatium fix, quod quidem adiacet lines fl,
latitudinem habens fn, exceditq; figura lx
fimili ei, qus h fl continetur. Ducatur enim
per n linea rnf squidiftans bc: eftautpm&
mn ipfi de squidiftans. ergoplanum,quod
tranfit per mnrf squidiftat plano per bc
d e, hoc eft bafi coni , Si igitur planum per
m n r f producatur, febrio circulus erit, cuius
diameter rnf: atque ed ad ipfam perpendi-
cularis mn, ergo re&angulum rnf squale
eft m n quadrato . itaque quoniam ut a k
quadratum ad re&angulum bkc, ita eft hf
ad fl: proportio autem quadrati ak ad re-
di angulum bkc componitur ex proportio-
ne, quam habet a k ad k c, & ex ea , quam a k
habet ad k b: & proportio hf ad fl compo-
fita erit ex proportione, a k ad kc,&propor
tione a k ad k b. fed ut a k ad k c, ita h g ad
g c,Hoc eft h n . d n s: & ut a k ad k b, ita fg
ad gb, hoc eft fn ad nr.proportio igitur hf
ad fl componitur ex proportione hn ad
n f, & fn, ad n r. at proportio compoftta ex
proportione hn ad nf, & fn ad nr; eft ea,
quam h n f re&angulum habet ad redlangu-
lum fn r. ergo ut reftangulum h n f ad fn r, ita h f ad fl, hoc eft h n ad n x.ut autem
hn ad nx,fumpta fn communi altitudine, ita hnf redangulum ad rebtangulum
fnx. quare ut reriangulum hnf adre<ftangulum fnr,itarectangulum hnfadipfum
fnx: rebtangulum igitur fnr squale eft recftangulo xnf. Sed quadratum mn often-
fiim eft squale re&angulo fnr. ergo quadratum mn redtangulo xnf squale erit,
rectangulum autem xnf eft parallelogrammum xf. linea igitur mn poteftlpatiura
xfi quod lines fl adiacet; latitudinem habens fn, excedensq; figura lx fimiliei,qus
hfl continetur, dicatur autem huiufmodi fe&io hyperbole: & linea lf, iuxta quam
poflunt,qusad fg ordinarim applicantur, qus quidem etiam redia appellabitur ^
tranfuerla uero h fi,
FED. COMMA N D X N V S.
Linea icitur m n poteft fpacium xf, quod lines fl adiacet, latitudinemhabens fn,
excedensq; figura lx fimili ei, qus hfl continetur] Crxca Herba fic habent , « «fy x p v
Jri ' vxrcu T 6 1 l,o-/rccpxwTou TTKpx Tf'v { A, 7r Aerio? 'byov T n { v, U7 rt^afMov rri \ g ofoia ovti rri
v7ro' rriv SI A. ex quibus fatis -perficae apparere potefl , unde dici a fit feciio hyperbole .
THEOREMA XIII. PROPOSITIO XIII,
S r conus plano per axem fecetur, & fecetur altero plano conuenien
te cum utroque latere trianguli per axem, quod neque bafi coni arqui-
diftet, neque fubeontrane ponatur: planum autem, in quo efibafis co-
ni, de fecansplanum conueniant fecundum redam lineam, quse fit per-
pendicularis uel ad bafim trianguli, per axem , uel ad eam > qu£ in dire-
dum ipfi confhtuitur : reda linea, quas a fedione coni ducitur asquidi-
ftaus communi fedioni planorum ufque ad diametrum fedionis pote-
f
if.und*.
(imi
4. huius
tj. fexti
1. fexti
j.quiatl
APOLLONII P E R G AE t
nt Ipatium adiacens linea:, ad quam fe&ionis diameter eam proportio-
nem habeat, quam quadratum linex diametro sequidiftantisa uertice
cooi ufque ad trianguli bafim duche, habet ad redangulum contentum
bafis partibus, qua? inter ipfam Sc redas trianguli lineas interiiciuntur ;
latitudinem habens lineam, qua? ex diametro ab ipfa abfcinditur ad uer-
ticem fedionis, deficiensq; figura fimili, &c fimiliter pofita ei , qua? dia-
metro , 8c linea iuxta quam poliunt , continetur . dicatur autem huiufi
modi fedio ellipfis . •
Sit conus, cuius uertex a punitum; bafis circulas b c: & fecetur plano per axem 3
quod fedionem faciat triangulum a bc: fecetur autem & altero plano, conueniente
cum utroquelatere trianguli per axem , neque bafi coni squidiftante, neque fubcon-
trarie pofito , quod faciat fedio nem in fuperficie coni lineam d e:& communis fedio
plani fecantis, atque eius,in quo efl: bafis coni, fit fg perpendicularis ad b c: diameter
autem fedionis ed-.&ab e ducatur eh ad ed perpendicularis:perq: a duda akipfi
e d squidiftante, fiat ut quadratum a k ad redangulum b k c, ita d e ad e h: fumatur
prastereainfedione punctum 1:& per 1 ipfi fg squidiftans ducatur lm. Dico Ini
poffefpatium, quod lines eh adiacet, latitu-
dinem habens e m , deficienSq: figura fimili
ei, qus deh continetur . iungatur enim dh:
perq; m ducatur mxn squidiftans eh;&per
hxpundaipfi em squidiftantes ducantur
h n,x o: poftremo per m ducatur p m r squi-
, difians bc. itaque quoniam pr squidiftat
'j 5-. unde- bc; & lm ipfi fg; erit planum dudum per
1 m p r squidiftans plano per fgbc dudo,
hoceftbafi coni.fi igitur planum per lmpr
producatur, fiet fedio circulus , cuius diame- C
ter pr.&eft lm ad ipfam perpendicularis.er- !
go redangulum p m r squale eft 1 m quadra-
to . Quod cum fit , ut quadratum a k ad re-
tflangulum b k c, ita d e ad e h; & proportio
quadrati ak ad redangulum b k c componatur ex proportione, quam habet akad
k b, & ex ea, quam ak habet ad k c: ut autem ak ad l^b,ita eg ad gb, hoc eft em ad
mp:&ut kc,ita dg ad gc;hoceft dm ad mr: erit proportio de ad e h com-
pofita ex proportione em ad mp,& ex proportione dm ad mr.fed proportio com
pofita ex, proportione em ad mp, & dm ad mr eft ea, quam e m d redangulum
habet ad redangulum p m r. Quare ut redangulum e m d adipfum p m r,ita d e ad
eh;uidelicet dm ad mx. utautem dm ad mx,fumpta me communi altitudine,ita
redangulum d m e ad redangulum x me. ergo ut drae redangulum ad redangu-
lum p m r, ita erit d m e redangulum adipfum x m e . squale igitur eft redangulum
p m r redangulo x m e . fed redangulum pm r demonftratum eft squale quadrato
lm. quare & ipfiim xme quadrato lm squale erit, linea igitur lm poteftfpatium
m o , quod quidem lines eh adiacet,latitudinem habens em, deficiensq; figura on,
fimili ei, qus deh continetur. Vocetur autem huiuftnodi fedio ellipfis:& linea eh,
iuxta quam poffunt, qus ad diametrum de ordinatim applicantur ; qus quidem&
reda uocabitur ; e d uero tranfiierfa .
cmu
^.huius
? 3 . festi
EVTOCIVS,
Scire oportet boe theorema tres habere defcriptiones, ut fiepius ditium efl in ellipfvuel enim
d e conuenit cum latere a c fupra c puntium 3 uel in ipfo c 3 uel infla cum eo produtio comenit ,
FED-
CONICORVM LIBER L
\6
F E D. C O M M A N D I N V S.
Linea igitur 1 m potefifpacium m o,quod quidem lines ch adiacet, latitudinem
Jiabens e m, defici ens q; figura o n,fimili efiqus d e h continetur] Graea uerba funt hac.
» 'A u apa Avvxtcu to. (i c,o iiapaM&Tou Tixpoc 'fv v 9 1 irAoiTOS 1 f^ov th'v i d$&. TSo o V
«pcfiy oW/ 'ico \ )tlo <h e $.ex quibus manifefle conflat 3 cur ea feclio eUipfis appellata flt..
•f rt* •
THEOREMA XIIIL PROPOSITIO XIIII.
Si fu perficies, quae ad uerticem funt , plano non per uerticem fecen-
tur, erit in utraque fuperficierum fe&io , qua? uocatur hyperbole : 8c
duarum fedionum eadem erit diameter : linea? uero, i uxta quas pofTunt
applicata ad diametrum , a?quidiftantes ei, qua? eft in bafi coni, inter le
aquales erunt : 8c figurae tranfuerfum latus utrifque commune *, quod
fcilicet inter fedionum uertices interficitur, uocentur autem huiufmo-
di fediones oppoftta?.
Sint ad uerticem fuperficies, quarum uertex a pundum:& fecentur plano non
per uerticem , quod fediones faciat in fuperficie lineas d e fi g h k . Dico utramque
fedionum d e fi g h k hyperbolen efie . fit enim circulus b d c fi in quo fertur reda li-
nea fuperficiem deferibens; ducaturcfiin fuperficie, quae eft ad uerticem , planum ipfi
squidiftans x g o k: & communes fediones ipfarum fedionum d e fi g h k, & circulo-
rum fint fd g k, qus & sequidiftantes erunt : axis autem conicae fuperficiei fit reda li-
nea 1 a.y: circulorum centra 1 y: & ab 1 ad li-
neam fd perpendicularisduda producatur
ad b c punda: perq; bc, & axem planum
ducatur, quod fediones faciatin circulis qui
dem redas lineas x o, b c squidiftantesjin fu
perfide uero ipfas bao, cax: erit xo ad gk
perpend cularis : quoniam & b c perpendi-
cularis eft ad fd; & utraque eft asquidiftans.
Quod cum planum per axem dudum fedio-
nibus occurrat ad punda m n,quae funt intra
lineas , plane conftatipfum etia lineas fecarc
in h e. ergo punda mehn erunt & in plano
per axem, & in eo , in quo funt lineae ipfx ; &
propterea mehn reda linea erit, conftac
etiam punda xhac in eadem reda eiTe*
itemq; b e a o; quod fint in fuperficie conica >
& in plano per axem . Ducantur ergo apun-
dis h e ipfi h e ad redos angulos lines h r,
ep: perq; a lineae mehn aequidiftans duca-
tur sat; & fiat ut quadratum as adredan-
gulum bsc,.fic he ad. ep: & ut quadratum
at adredangulum o tx, fic eh ad hr. itaq;
quoniam conus, cuius uertex a, bafi s bc cir-
culus , fecatur plano per axem , quod fedio-
nem facit triangulum ab e fecatur autem & altero plano, fe cante bafim conifecun-
dum i edam lineam dmfiad bc perpendicularem,quodiedionemfacitinfiiperficie
def lineam, diametercj; me produda cum, uno latere trianguli per axem extra coni
uerticem conuenit. & per pundum a diametro ledionis em squidiftans ducitur
as: ao e uero ducitur ep, ad rectos angulos ipfi em: atque eft ut quadratum a s ad
1 6 . unde.
io. unde:
\
j. unded
mi .
Ii. huius
4-fext i.
ii. quin-
ti .
s
4. festi
iem.in 11
decimi
APOLLONII P E R G AE I
te<5tangu!um b s c, ita- h e ad e p : erit ip/a
d ef fedio hyperbole : & ep re&a linea,
iuxta quam pofluntVqns ad em ordina- 5C
tim applicantur : -tfaJnfuerfum uero figurs
latus he. E adem-b atio n e & gh k hyper-
bole erit, ctiiuVcfameter h n : reda linea
hr, iuxta quam poliunt ordinatimad hn
applicat** & he traAftierfiim figur* latus.
Dico prsterea hr ipfi ep squalem efie.
Quoniam enim squidiftantes funt b c,x o,
ut as ad sc, ita erit at ad r tx: &ut as ad
s b, ita a t ad t o . led proportio a s ad s c
una cum proportione a s ad s b, efl: ea
quam habet a s quadratum ad redangu-
lum b/c : & proportio at ad tx unacum
proportione a t ad ’ t 0 , eft quam habet
quadratum at adredangulum xto. ergo
ut quadratum as adredangulum bfc,ita
quadratum a t ad redangulum xto. ut
autem quadratum as ad hsc redangu-
lum, ita he ad ep: & ut quadratum at ad
rediangulum xto, ita h e ad h r . ergo ut
h e ad e p, ita eh ad h r. squalis igitur eft
e p ipfi h r.
• -ii yyr; • . . : jqm eiolrioo i
E V T O C I V S.
Tot ' er at etiam hoc modo ofiendi ; ut quadratum a s ad redangulum hsc, ita efie quadra-
tum at ad x t o redangulum . Quoniam enim aquidifiant bc, x o; erit ut cs ad s a, ita xt ad
ta.<& eadem ratione ut as ad s b, ita at ad tb. ergo ex aquali, ut cs ad sb, ita xt ad to .&
ideo ut quadratum cs adredangulum csb, ita quadratum xt adredangulum xto. fed propter
fimilitudinem triangulorum ut quadratum as ad quadratum s c, it a quadratum at ad quadratum
tx. quare ex xqualiut as quadratum ad redangulum bs c, ita quadratum at ad redangulum
xto. atque efl ut quadratum as ad redangulum b [c, ita h e ad e p: & ut quadratum at ad re-
dangulum xto, ita eh ad hr. ut ergo he ad ep, ita eh ad hr. cequalis igitur efl ep ipfi hr .
Hoc theorema cafium non habet, propofitum autem idem efl, quod etiam in tribus [apertoribus ;fi-
militer enim & oppofitarum fedionum principalem diametrum inquirit ; & lineas , mxta quas,
po fiunt , qua ad ipf ani ordinatim applicantur .
THEOREMA XV. PROPOSITIO XV.
Sr in ellipfi a pundo, quod diametrum bifariam diuidit ordinatim
duda linea ex utraque parte ad fedionem producatur *, Sc fiat ut produ-
da ad diametrum , ita diameter ad aliam lineam ; reda linea , qua? a fe-
dione ducitur ad produdam , diametro a?quidilfans , poterit fpatium
adiacens tertia? proportionali , latitudinem habens lineam, qua? inter
jpfam, Sc fedionem interiicitur , deficienscp figura fimili ei , qua? conti-
netur linea, ad quam ducuntur; Sc ea iuxta quam poliunt . Q^iiod fi
ulterius producatur ad alteram partem fedionis , bifariam iecabitur ab
ea, ad quam applicata fuerit .
Sit ellipfis, cuius diameter a b, fecettirq; ab bifariam in c pun&o per c ordi-
natim
CONICORVM L I B. I.
17
natim applicata ex utraque parte ad fedionem producatur, qua? fit dee: a pundo
autem d ipfi d e ad rectos angulos ducatur d f: fiatq; ut d e ad a b, ita a b ad d fi &
fampto quolibet puncto g in Tectione, per g ducatur gh ipfi ab squidiftans:&iun-
4 n
d
x
!
X
I As .XC <
\
XXX
*
T?
N. Xx
9 -
f
n
gatur e fi. deinde per h ipfi dfi squi-
diftans ducatur h 1 : & per fl ducan-
tur ipfi hd squidiftantes fk,lm. Di-
co lineam gh poffe fpatiu dl, quod
quidem adiacet line* d f, latitudi-
nem habens dh; deficieiisq; figura
1 f fiinili ei , qus e d f continetur . fit
enim linea an, iuxta quam poflun.t
ordinatim applicat* ad ab: iunga-
turqj b n; & per g quidem ipfi de squidiftans ducatur gx: per xc ipfi an squidi-
ftantes xo, dprper nop uero ducantur nyr, os, tp, squidiftantes ipfi ab. squale
igitur eft dc quadratum redangulo a p:& quadratum gx redangulo a o.itaque quo
niam ut b a ad a 11, ita eft b c ad cp ; & p t ad t n: squalis autem b c ipfi c a, hoc eft
ipfi p t: & cp ipfi tn, & bp ipfi p n squalis erit, ergo ap redangulum squale re-
dangulo tr: & redangulum xt ipfi ty. quod cum redangulum ot redangulo or
squale fit, commune autem n o. erit redangulum ty ipfi ns squale/ed ty eftsqua
le tx, & commune ts. totum igitur redangulum np; hoc eft pa squale erit redan-
gulo ao una cum p o redangulo. quare p a redangulum fuperat redangulum a o
ipfo op. eft autem pa redangulum squale cd quadrato: redangulumq; ao squa-
le quadrato x g: & op ei, quod lineis osp continetur, ergo cd quadratum fuperat
quadratum xg ipfo osp redangulo. & quoniam linea de fecatur in partes squales
in c pundo,& in partes insquales in h, redangulum ehd una cum quadrato ch,
hoc eftxg squale erit c d quadrato . ex quo fequitur quadratum cd fuperare xg
quadratum , redangulo ehd. Superab at autem , ut mandrarum eft , & redangulo
osp. redangulum igitur ehd redan-
gulo osp eft squale . Prsterea cum
fit ut de ad a b, ita a b ad d f : eri t ut
d e ad d f , ita d e quadratum ad quadra,
tum ab:hoc eft quadratum cd ad qua-
dratu c b. atque eft quadrato c d squa-
le p c a redangulum , hoc eft p c b. Vt
ergo ed ad dfihoceftut eh adhl,hoc
eft ut eh d redangulum ad redangu-
lum dhl, itaredangulum pcb ad cb
quadratum : hoc eft redangulum p s o.
ad quadratum o s. fed rectangulum
ehd squale eft ipfi p s o. rectangulum
igitur dhl quadrato o s , hoc eft qua-
drato g h eft squale: & id circo linea gh poteftfpatium dl, quod adiacet lines df,
latitudinem habens d h, deficiens, q, figura fl fimili ei,qus e d f continetur . Dico in
fuper gh productam ad alteram partem Tectionis ab ipfa de bifariam fecari. produ-
catur enim , occurratqj. Tectioni in puncto u: & per u ipfi gx squidiftans ducatur
uq: &per q ducatur qz squidiftans an. Quoniam igitur gx ipfi uq eft squalis,
erit gx quadratum squale quadrato uq. quadratum autem gx squale eft a.xo re-
dangulo quadratum u q. squale redangulo aqz.ergout ox ad zq,ita qa ad ax.
& eft ut o x ad z q, ita x b ad b q. ut ergo q a ad a x, ita x b ad b q: & diuidendo ut
q x ad x a, ita x q ad q b. squalis igitur eft a x ipfi q b. eft autem a c squalis c b.qua
re & reliqua xc reliqus c q : & idcirco gh ipfi hu eft squalis . linea igitur gh pro-
ducta ad alteram fedionis partem ab ipfa d h bifariam fecabitur «.
I3.huius
M.quintt
43. primi
f fecundi
cor.zo.f»
xti
1 j-.qultl.
13. huius
4. & 1. fe-
sti.
\\
4. fex t i
9 . quinti.
13 - Jsufus
14. Texti.
4
9. quinti.
APOLLONII PERGAEI
34, primi
13. huius
14. huius.
7. quinti
A
A
14. fexti
9. qumti.
THEOREMA XVI. PROPOSITIO XVI.
Si per pimdrum, quod tranfuerfum latus oppodtarum fecHonum
bifariam dmidit, redta linea quadam ordmatim applicetur j ipiarum
diameter erk, priori diametro coniugata .
Sint oppofit« fe&iones, quarum diameter ab;feceturq;ab bifariamin c punito:
&per c ordinatim applicetur cd. Dico cd diametrum efTeconiugatamipfi ab.fint
enim, iuxta quas poliunt ordinatim appiicatce a e, b f: & iuiivd« a f, b e producantur:
fumpto autem in altera Tectione quouis puncto g, ducatur per g ipii ab «quidiftans
gh, &a punctis gh ordinatim applicentur gk,hl: deinde a punctis klipiis ae,bf
«quidifiantes ducantur k m, 1 n. Quoniam igitur «qualis efl: g k ipli h 1, erit g k qua-
dratum quadlteto hl. «quale. Sed quadratum gk «qua-
le eA rectangulo a k m;& quadratum hlrectanguio bln.
ergo akm rectangulum rectangulo bln «quale erit. Se
cum «quales fint a e, b f- erit ut a e ad a b , ita b f ad b a.
ut autem a e ad a b, fic m k ad k b: & ut f b ad b a, fic n 1
ad 1 a.quare ut m k ad k b,fic n 1 ad 1 a.fed ut m k ad k b
fumpta,ka communi altitudine, ita rectangulum mka
ad rectangulum bka: & ut n 1 ad 1 a lumpta communi
altitudine bl,ita nlbrectangulum ad rectangulum alb.
ergo ut rectangulum m k a ad rectangulum b k a , ita re-
ctangulum 11 lb ad ipfum alb: & permutando ut mka
rectangulum ad rectangulum n 1 b , ita b k a rectangu-
lum ad rectangulum alb. eit autem rectangulum mka «quale rectan gulo nlb.qua-
re& bx a rectangulum rectangulo al b;&propterea linea ak linea: lb «qualis erit,
eftcj; ac «qualis c b. ergo & tota k c toti cl: & ideo gx ipii xh «qualis . linea igitur
g h ab ipfa x c d bifariam fecabitur : atque eflipfi a b «quidiftaiis . ergo & x c d dia-
meter erit coniugata ip fi ab;
E V T O C I V S.
QVARE & b k a rectangulum rectangulo a 1 b : & propterea linea a k line* 1 b
«qualis erit.] Quoniam enim rectangulum b k a ipfi alb rectangulo efl aquale ; erit ut ic b
ad a l, ita lb ad a k: permutando q', ut k b ad b l, ita Id ad a kf: & componendo ut k l ad lb ,
ita l fi ad ffa. aqualis igitur efl ak ipfi bl. <Animuduertendum autem efl in quinto deamo , &
fexto decimo theoremate ^Apollonio propofitum fuijje , ut fecundas & coniugatas , quas uocant ,
diametros inquireret i tum cliipfis; tum hyperbole , fek oppofi tarum fe&ionum: paraboles enim eiuf-
modi diametrum non habet . Sed & illud notatione dignum efl , diame-
tros ellipfis intra recipi ; hyperbole nero , & oppofitamm fectionum dia-
metros deferibi extra . Oportet autem lineas , iuxta quas -poffunt ordi-
natim applicata, feu reCta laterafgr aci ogdioc? nrMnm dicunt ) & li-
neas ; qua ipfis aquidiflant , ad rectos angulos aptare : ordinatim uero
applicatas, ciu fecundas diametros non omnino, maxime tamen deberent
in acuto angulo applicari , ut longe alia , & diuerfa ab eis , qua r effio
lateri aquidiflant, deprehenderentur . Tofi fextum decimum theorema
diffinitiones tradit eius, qua fecunda diameter appellatur hiperbola & «
eUipjis . quibus quidem nos ex figuris lucem afferre conabimur . Sit hy-
perbole a b, cuius diameter gcbd : linea uero, iuxta quam poffunt, qua
ad iffam bc applicantur, fit b e. patet igitur bc in infinitum augeri propter feCiionem,ut oflenfum
efl insMaub theoremate . Sed ipfa b d, qua fubtend.it nr angulo extra triangulum per axem , ter-
minata efl . Itaque fi bifariam f teia b d in f: & d punito a ordinatim applicata ag, per f linea
ag aquidifiantem duxerimus bf 1:, ita ut fit bf ipfi Jkaqualis ,& quadratum h k aquale re-
bl angulo dbe : erit hk fecunda diameter: hoc enim fieri pojfe perfficuum esi , quippe cum h Q
extra
CONICORVM L I
extra fstllonem cadens in infinitum produci polJit;atcjued li-
nea infinita cuilibet data linea aqualis facile abfcindatur.pun
ctum autem fuocat centrum , & lineam fb, efl alias qua fi-
militer d puncto f ad feElionem ducuntur 3 ex centro appellat,
at que hac in hyperbola , efl oppofitis f eElionibus . conflat er-
go utramque diametrum terminatam effe: primam quidem per
fefe ex generatione fectionis j fecundam uero quod media pro -
portionalis fit inter lineas terminatas , uidelicet inter primam
diametrum 3 efl eam iuxta quam poffunt 3 qua ad diametrum
ordinatim applicantur . Sed in ellipfi id 3 quod diEtum efl 3 non
dum apparet . Itaque cum ipfa in feipfam uergat injlar circuli ; & omnes diametros intra recipiat s
-tque terminet ; omnino in ellipfi 3 qua me-
dia esi proportionalis inter figura latera 3 du
dlaq; per centrum' fechonis , efl d diametro
bifariam diuifa 3 ab ipfa fecit one terminatur,
quod ex ijs, qua dibta funt in quinto decimo
theoremate offendere poffumus . quoniam,
enim ut demonfiratum efl , qua ad lineam
de applicantur aquidiflantes ipfi ab ,pof-
funtfpatia tertia proportionali earum adia-
centia 3 uidelicet linea fd: erit ut de ad ab,
ita ab aci df. quare a b media proportio-
nalis efl inter ed 3 df. efl idcirco , qua ap-
plicantur ad ab , ipfi de aquidiflantes ,po^
terunt (pacia adiacentia tertia proportiona-
li ipf arum de 3 ab,hoc efl linea an. ergo de fecunda diameter media esi proportionalis inter ba,
a n figura latera . Oportet autem hoc fcire etiam o b commodam figurarum def criptionem . nam
cum inaquates fint ab 3 de diametri 3 in circulo enim tantum funt aquales : conflat lineam,qua mi-
nori earum ad rettos angulos ducitur 3 ut hoc in loco d f 3 tanquam tertia proportionalis ipfarum
de 3 a bjUtrifque maiorem effe. eam uero, qua ad angulos rettos ducitur minori 3 ut an, tanquam ■
tertia proportionalis ipfarum a b 3 de, utrisque effe minorem; ita ut quatuor continue proportio-
nales fint : ut enim an ad de, fic efl de ad ab, & ab ad df .
DIFFINITIONES SEC VND AE-
i Pundum , quod hyperbole , Sc ellipfis diametrum bifariam diur-
ditjCentrum fedionis dicatur . 2 Et quie a centro ad fedionem perdu-
cimrjuocetur ex centro fedionis . £ Similiter 8 c pundum quod tranC
uerfum latus oppofitarum fedionum bifariam diuidit , centrum uocc-
tur. 4 Qjiar autem a centro ducitur sequidiftans ei , quse ordinatim
applicata e it , mediam q; proportionem habet inter latera figura, 8 c bi-
fariam iecatur a centro , fecunda diameter appelletur .
THEOREMA XVII. PROPOSITIO XVII..
S i in coni fedione a uertice ipfius ducatur reda linea arquidiftans
ei j qux ordinatim applicata eft ; extra fedionem cadet .
Sit coni fectio j cuius diameter a b. Dico lineam., quaz a uertice , hoc eft ab a pun-
cto ducitur tequidiflans ei } quo; ordinatim applicata eft; extra fectionem cadere . Si
enim fieripoteft, cadat intra, ut ac. Quoniam igitur in coni fectione fumptum eft
quodlibet punctum c; linea quas ab ipfo c intra fectionem ducitur > ordinatim appli-
E 3
i
B. L 1*
7'.b»ius
% primi
libri ui-
teliionis,
A P. O LLONii P E R G AE I
cata: a?quidiftans , diametro occurrit , atque ab ipfa bifa-
riam fecatur. quare ac producta bifariam fecabitur a li-
nea a b, quod eit abfurdum; quoniam producta extra le-
ctionem cadit. non igitur recta linea, qus;i puncto a du-
citur ordinarim applicata? a?quidiftans,cadet intra fe trio-
nem. ergo extra cadet ; & propter ea fedioncm ipiam ne*
cellario continget.
E Y T O C I V S.
E v c L i p e s in quinto decimo theoremate tertij libri elernen *
torum ofiendit lineam , qua ab extremitate diametri ad rectos angulos ducitur , cadere extra ; at-
que circulum ipfum contingere , ^Apollonius autem hoc loco uniuerfale quoddam demonfirat,quod
tum tribus coni fictionibus, tum circulo conuenire potefi , hoc enim differt circulus a coni fettwni-
bus , quod in circulo ordmatim applicata perpendiculares funt ad diametrum ; neque enim alia li-
nea ipfis aquidiflantes a diametro circuli bifariam diuiduntur ; at in tribus feclionibus no n omni-
no perpendiculares ducuntur , pr at er quam ad folos axes .
THEOREMA XVIII. PROPOSITIO XVIII.
S r reda linea coni fedioni occurrens, produdaq; in utramque par-
tem extra fedionem cadat ; fumatur autem aliquod pundum intra fe-
dionem , Sc per ipfum ei , quae fedioni occurrit aequldiftans ducatur :
duda linea 8t produda ex utraquae parte fedioni occurret
Sit conifedio, atque ipli occurrens retia linea a fb, qus
produda in utramque partem extra fedionem cadat: fum-
pto autem intra fedionem puntlo aliquo c; per c ipli ab
aequidillans ducatur cd. Dico cd produtlam ex utraque
parte fedioni occurrere. Sumatur enim aliquodpundum
infedione,quodlite: &iungatur e f. quoniam igitur linea
ab lines cd squidiftat.-ipflq; ab occurrit reda linea ef.y
& cd produda ipli ef occurret. & liquidem cadet inter
e f punda, perlpicuum eflipfam fedioni occurrere;!! uero
extra e, fectioni prius occurret, ergo cd produda, ut ad
partes de occurrit fedioni . limiliter demonftrabitur , &
ad partes a f eidem occurrere . linea igitur c d produda ex utraque parte Pectio-
ni occuret.
evtocivs.
I n aliquibus exemplaribus hoc theorema in parabola , & hyperbola tantummodo propofitum
ofiendit. Sed tamen prafiat propofitionem uniuerfahorem efje : quamquam de eUipfi , ut minime
dubium, ab illis pratermiffum uideri potefi ; linea enim c d intra fettionem terminatam exifiens ,fi
producatur ex utraq; parte, neceffario ipfam fecabit , Sciendum autem efi , eandem congruere de -
tnonfiratwnem , etiam fi linea afb fecet ipfam fettionem .
THEOREMA XIX. PROPOSITIO XIX,
In omni fedione coni reda linea, quae a diametro ducitur ordina-
tim applicatae sequidiftans, cum fedione conueniet .
Sit coni fectio , cuius diameter a b: fumaturq; aliquod punctum b in diametro; &
per b ducatur b c «quidiflans ei, qua? ordinarim applicata fuerit. Dico b c proclu-
1 dam
19
/
CONICOR VM t IBi fi
dam cum fedione conuenire. fumatur enim quodlibetpu
dum in fedione d.elf: autem & pundum ain fedione.ergo
apundo a ad dduda linea intra fedionem cadet. Quonia
igiturquseab a duda eft ordinatim applicata? ajquidiftans,
cadit extra fedionem ; & cum ipfa conuenita d : itemq; b c
crquidiftat ei j qua? ordinatim applicata efl : fequitur ut b c
etiam cum ad conueniat. & fi quidem conuenit inter pun
da a d ; perfptcuum elicum fedione quoque conuenire : fi
uero extra d,ut ad pundum ebrius conuenietcumfedio-
ne. ergo reda linea, qua? a pundo b ducitur ordinatim ap-
plicata sequidiflansj cum fedione conueniet .
THEOREMA XX. PROPOSITIO XX.
S r in parabola dua? r eto lineae a fedione ad diametrum ordinatim
applicentur, ut eorum quadrata inter fefe, ita erunt & lineae, qua* ab iplis
ex di ametro ad uerticem abfcinduntur.
SIT parabole , cuius diametep a b : & in ipfa fumantur
pundaquarpiam cd; a quibus ad ab ordinatim applicen-
tur c e, d f. Dico lineam fa adipfam a e ita elfe, ut quadra-
tum linea? d f ad quadratum c e.fit enim linea a g,iuxta qua
poffunt ordinatim applicata? . erit quadratum d fredan-
gulo la g a?quale : & quadratum c e aquale redagulo e a g.
quare ut quadratum d f ad quadratum c e, ita redangulum
fag ad redangulum e a g. ut autem redangulum f ag ad
redangulum e a g , ita linea f a ad lineam a e . ergo ut qua-
dratum d i ad quadratum c e, ita erit f a ad a e .
E V T 0 C I V S.
jt b hoc theoremate incipiens Apollonius deinceps in omnibus accidentia,qu& ipji parabolas iit
funt,& nonali j cuipiam magna ex parte ofiendit: deinde hyperbola, eUipfi J & circulo eadem inejpi
demonjlrat. Quoniam autem uon inutile uifum efl ijs , qui mechanica tradunt , ob instrumentorum
penuriam, fape numero per continuata punita coni f 'sit tones m plano def rribere : ex hoc theorema -*
te fuppeditatur modus fumendi ea punita continuat a, per quas parabole regula adminiculo defigna
tur.fi enim exponamus reitam lineam, ut a b: & in ea fumamus punita continuata ef : d quibus ad
reitos angulos ipfii a b lineas e c,fd ducamus, fumpto in linea e c quolibet punito c; longius quidem
ab e fi latiorem parabolam facere libuerit ; fi uero angufiiorem propius : & fiat ut a e ad a f, ita
quadratum ec ad quadratum f d : punita cd in feiiione erunt .fimilit er autem fumentur & alia
punita,per quas parabole ipja defc nbetur.
THEOREMA XXI. PROPOSITIO XXI.
Si in hyperbola, uel ellipfi,uel circuli circumferentia , reto lineae or-
dinarim ad diametrum applicentur ? erunt quadrata earu ad fpacia con-
tenta lineis/, quae inter ipfas, & uertices tranfuerfi lateris figurse interij-
ciuntur, ut figurae redum latus ad tranfuerfum : inter fe fe uero, ut ipa-
cia,qu£einteriedis,ut diximus lineis, continentur.
SIT hyperbole, uel elliplis , uel circuli circumferentia , cuius diameter a b : linea
autem, iuxta quam poffunt applicata? a c: &ad diametrum applicentur ordinatiiA
d e, fg. Dico ut quadratum f g ad redangulum a g b,ita eife lineam, a c ad a b : ut uero
10 huius
J7*buiiii
ii.huiut
K, kufut
APOLLONII P E R G AE 1
quadratum f g ad quadratum d e,ita redtangulum a g b ad re&angulum a e b . iunga-
1 tur enim b c figuram determinans : & per egpundaipfi acitquidiftaates ducantur
1 1, huius e h,g k. quadratum igitur f g squale eft rectangulo k g a : & quadratum d eredianguio
4. fexa hea.Quoniabautemutkgadgbjitaeftcaadabi&utkgadgbjfumpta ag com-
t.iexth > muni alutudine 3 ita rcdtangulum k g a ad redanguium b g a : erit ut c a ad \z b,ita re~
\
dangulum k g a, hoc eft quadratum fg ad re&angulum b g a. Eadem ratione demon-
1 i. quinti ftrabitur etiam ut quadratum d e ad redangulum b e a ; ita c a ad a b. ergo ut quadra-
tum fg ad redangulum b g a , ita q uadratum d e ad b e a redangulum : & permutan-
do ut quadratum fg ad quadratum d e,ita redtangulum bga adre&angulum bea.
i E V T O C I V S.
/ j * V
Theorema manifefte exponitur, & cafum non habet . oportet autem fcire lineam Juxta quct
pojfuntyuidelicet retium figura latus in circulo quidem diametro aquale ejje . quoniam enim caad
a b ejl,ut quadratum d e ad retldngulum a e b:quadratum autem d e reti angulo aebin circulo dum
taxat efl aquale : / equitur ut&ca aqualis fit ipfi a b.fed illud quoque attendendum eftjineas qua
in circuli circumferentia ordinatim applicantur y ad diametrum perpendiculares cjje,atque in eadem
redi a linea fin qua fiunt aquidifiantes ip
fi ac. Ter hoc autem theorema, eo mo-
do quo ditium e fi in parabo la, hyperbo-
len & eliipfiim regula adminiculo de-
fer ibemus . exponatur enim retia linea
a b, & in infinitum producatur ad g: a
puntlo autem a ad retlos angulos ipfi
a b ducatur a c : iunttaq; b c , & produ -
Sia, fumantur in linea a gpuntl a qua-
dam e g: d quibus ipfi a c aquidifian-
tes ducantur e b, g k : & fiat agk re-
tlanguluma quale quadrato fg : & re
fl angulum a e h aquale ipfi d e quadrato . tranfibit iamhyperboleperpuntlaadf. Similiter eadem
& in ipfa elhpfi confiruemus .
THEOREMA XXII. PROPOSITIO XXII.
S i parabolen, uel hyperbolen reda linea in duobus pundis fecct, no
conueniens cum diametro fedionis intra fedionem •, produda cum ea
dem diametro extra fedionem conueniet .
" • ' ' Sit
(
ftQ
CONICORVM LIBER 1«
SIT parabole, uel hyper-
bole , cuius diameter ab;&
fecet quapiam recta linea le-
ctionem in duobus pundis
cd. Dicolineam cd produ-
ctam conuenire cum ipla a b
extra lectionem. applicentur
enim a pundis c d ordinarim
lin ex c e , d b : & iit primum
fecitio parabole . Quoniam
igitur in parabola,ut quadra
tum c e ad quadratum d b:
ita elt e a ad a b: maior autem
e a, quam a b:erit quadratum
c e quadrato d b maius . qua-
re & linea ce maior ipla db.
& funt in ter fele «quidiltan-
tes.ergo c d producta cum
diametro a b extra Tectione
conueniet.fed fit lectio hy-
perbole . itaque quoniam in
.hyperbola ut qnadratum c e c
ad quadratum d b , ita elt re-
dangulum fea ad redangulumf b a; quadratum ce maius erit quadrato db.&funt
sequidilfantes . linea igitur c d produda cum diametro fedionis extra fedioncm con
ueniet .
FED. COMMANDINVS.
E T funt inter fele sequidiltantes. ergo c d produda cum diametro- ab extra fe-
dioncm conueniet.] Ducatur d ptencio c linea cg diametro eb a-
quidijlans ; & p rodudla bd]tpficg occurrat in g. Quoniam igitur ce,
d b inter fe fe aquidiflant ; itcmq; eb,cg : erit ipf irn e gparallelogr am-
nium : & anguli b e c 3 ecg aquales duobus redi is. quare b e c,ecd an-
guli duobus redlis funt minores .linea igitur c deum ipfa ea ex parte a
conueniet. quod cum non conueniat intra J 'edtionem , extra conuenire ne
cejfarium ejl .
C
THEOREMA XXIII. PROPOSITIO XXIII.
S i ellipfim reda linea fecet inter duas diametros, produda cum utra
que earum extra fedionem conueniet.
SIT elliplisjcuius diametri a b,c d:& fecet qusedam recta linea fecrio nem , tiideli-
cet ipfa e finter duos diametros a b,c d interiecta . Dico e fproductam conuenire cu
utraque earum extra fecrionem.applicentur enim a punctis ef ordinarim ad diame-
A
A
aj.pnmi.*
I
<c
A t P OLLONII PERGAEI
ii huius trum quidem a b linex eg,fh ; adcduero ek,fl. eftigiturut
quadratum e g ad quadratum f h,ita rectangulum b g a ad re-
crangujum b h a: ut autem quadratum fl ad quadratum e k,ita
rectangulum dic ad rectangulum dkc: atque eft rectangu-
lum b g a maius rectangulo b h a ; etenim g propius accedit
ad punctum, quod diametrum a b bifariam fecat : & rectangu-
lum d 1 c maius eft recta ngulo dkc. quadratum igitur e g ma-
ius eft quadrato fh:& quadratum fl. maius quadrato ekddcir-
coq; linea e g maior, quam ipfa f h:& fl maior, quam e k. sequi -
diftat autem e g ipfi f h,itemq; f 1 ipfi e k. ergo e f producta cu
Utraque diametro a b,c d extra lectionem conueniet.
EVTOCIVS.
A t t e n d e n d v m e fi in propofitione Apolloniu duas diametros dicere, non fimpliciter quaf-
t^dia Jrfe cunc l ue >f 'd l l H£ coniugata diametri appellantur ,• quarum utraque ordinatim applicata aquidifias
tri. ducitur } mediamq ; proportionem habet inter latera figura alterius diametri : & idcirco alteri aqui
i(3. huius diflantes lineas bifariam diuidit: ut in theoremate eft demonflratum . nifi enim ita fit continget li-
neam inter duas diametros inter mediam alteri ipfarum aqunhfiare-.quod non ponitur. quoniam au
j. fecundi f em g propius accedit ad pundium m,quod a b bifariam fieca t 3 qudm ipfium h : redi angulum quidem
bga md cum quadrato gm aquale eft quadrato am: redi angulum uero bha una cum quadrato
h m eidem e fi aquale : & quadratum h m maius quadrato g m : erit redi angulum bga redi angulo
bha maius .
F E D. COMMANDINVS.
%
Hoc idem etiam in ipfo circulo euenit, fiumptis duabus d iametris coniugatis : quod eodem pror
fus modo demonfirabitur .
THEOREMA XXIIII. PROPOSITIO XXIIII.
S i parabola uel hyperbolae reda linea in uno pundo occurrens , »3c
produdaex utraque parte extra fedioncm cadat ; cum diametro con-
ueniet.
Sit parabole uel hyperbole, cui 5 diameter a b:occurratq;
ipfi reda linea c d e in puncto d : & producta ex utraq; par
te extra lectionem cadat.Dicolineamcdecum diametro
a b conuenire.Sumatur enim aliquodpunctum f in fectio-
ai.hu ius ne , & iungatur d f. ergo d f producta conueniet cum dia-
metro Tectionis . conueniat in a puncto . eft autem ede
inter Tectionem & lineam f da.linea igitur ede producta
cum diametro extra Tectionem conueniet.
THEOREMA XXV. PROPOSITIO XXV.
Si ellipfi reda linea occurrens inter duas diame-
tros,^ produda ex utraque parte cadat extra fedio
nem *, cum utrifque diametris conueniet.
SIT ellipfis, cuius diametri a b,c d : & ipfi occurrat recta Ii
nea e f inter duas diametros in puncto g : & producta ex utra-
que parte extra Tectionem cadat. Dico e T cum utrifque diam e
tris a b,c d conuenire. applicentur enim a puncto g ad diame-
tros a b, c d lineae g h, g k . itaque quoniam g k aequidiftat ipfi
CONICO RVM LIB. I.
ii
ab: comienit autem quxdam linea g Teum g k,& cum ipla a b conueniet.Eodem mo
do & i e cum diametro c d conuenire demonftrabitur.
THEOREMA XXVI. PROPOSITIO XXVI.
Si in parabofa^uel hyperbola reda linea ducatur diametro fedionis
aequidiftans in uno tantum pundbo cum fedione conueniet.
SIT primum parabole, cuius diameter a b c : rectum autem latus a d : & ipfi a b
xquidifialis ducatur e f. Dico efproductam cum Tectione conuenire . Sumatur enim
in ipla e f aliquod punctum e ; a quo ducatur e g ordinatim applicata xquidiftans ; &
quadrato e g maius fit rectagulum d a c : a puncto autem c ordinatim applicetur c h .
ergo quadratum hc xqualeeft rectangulo dac: atque eft rectangulum dac maius
quadrato e g.quadratum igitur h c quadrato e g maius erit ; & idcirco linea h c maior
linea eg: &TuntxquidiftantesinterTeTe. ergo e f producta lecabit h c : proptereaq;
conueniet cum Tectione . conueniatin k. Dico in uno tantum puncto k conuenire . fi
enim fieripoteftjconueniat etiam in 1. Quoniam igitur parabolen rectalinealecat in
-icT
duobus punctis,fi producatur conueniet cum diametro lectionis ; quod efiabfardu.
politum enim eftipli xquidiftare . ergo e fin uno tantum puncto cum lectione con-
ueniet . Sit deinde Tedio hyperbole : tranTuerTum uero figura: latus a b : & a d rectum:
iungaturq, b d,& producatur .ijTdem igitur, qux fiipra,difpofitis,ducatur a. puncto c
ipfi a d xquidiftans c m. & quoniam rectangulum m c a maius efi rectangulo dac: ip-
fiq; mea squale efi quadratum c h : & dac rectangulum maius quadrato g e : erit &
quadratum c h quadrato g e maius:& ideo linea c h maior linea g e. ex quibus eadem,
qux Tupra diximus, necefiario Tequuntur.
THEOREMA XXVII. PROPOSITIO XXVII.
Si parabola diametrum fecet redta linea ; produ&a in utramque par-
tem eum feetione conueniet.
SIT parabole , cuius diameter a b : & ip/am a b Tecet
quxpiam reda linea cd intra ledionem. Dico cdprodu-
dam in utram que partem cum ledione conuenire : duca-
tur enim a pundo a ordinatim applicatx xquidifians a e.
ergo a e extra Tedionem cadet, itaque uel cd ipfi a e x-
quidiftat, uel non . & fi quidem xquidifiat , ordinatim
applicata efi. quare produda in utramque partem conue-
niet cum ledione . Quod fi non xquidiftat , producatur ,
& conueniat cum a e in e pundo. confiat igituripTam
cum Tedione conuenire ad partes e.fi enim conuenit cum
ex 2 . pri-
mi libri
Vitellio »
UlS,.
ii. huius
xi. huius
ix. huiui
17. huius
i^. huiut
t4* ftxt*
19. quiti.
2 1 . iexti
cor. 2.0. fe
Kti .
4.& n.fe
xt.i
i.fextf.
Ii. quinti
11. huius
1:4. quin-
ti
17. huius
19. huius
A
B
ii:
A P O ILONII PERGAEI
t e, multo prius fectioni occurrit . Dico rurfus eandem , & ad alteras partes produ-
dtam conuenire cum fedlione. fit enim m a lineafiuxta quam poflimt:&g f ordinarim
applicetur : quadratum autem ad «quale fit redtangulo b a f: & ordinarim applica-
ta b k conueiiiat cum d e in c pundo. Quoniam igitur re&angulumfab «quale
eft quadrato a d ; erit ut b a ad a d,ita d a ad a f: quare & reliqua b d ad reliquam d f,
ut b a ad a d.& propterea ut quadratum b d ad quadratum d fi ita quadratum b a ad
quadratum ad. Rurfus quoniam quadratum a d aequale eft redlanguio b a fi ut b a ad
a fifi e erit quadratum b a ad quadratum a d ; hoc eft quadratum b d ad quadratu d fi
ut autem quadratum b d ad quadratum d fific quadratum b c ad quadratum fg : & ut
ba ad afificredbingulum bam adredtangulum fam.ut
igitur quadratum bc ad quadratum fg, ita redlangulum
bam adipfum fam.& permutando ut quadratum bcad
redlangulum bam, ita quadratum f g ad redlangulum
fam. at quadratum fg aquale eft f am reriangulo , pro-
pter fedlionem . ergo & quadratum b c redlangulo bam
aquale erit . eft autem a m reftum figura latus : & b c or-
di narim applicata . fedlio igitur tranfit per c punctum : &
linea cdinc cum fectione neceffario conuenit.
EVTOCIVS.
1 n aliquibus exemplaribus uigefvmifeptimi theorematis talis legitur demonstratio .
Sit parabole, cuius diameter ab : Ahancfecet reda lineaquadam gd intrafe&io-
nem. Dico g d productam ad utra/que partes cum fedlione conuenire. ducatur enim
per a p undtu m, ordinarim applicata «quidiftans,qu«iit a e. ergo a e cadet extra fe-
dlionem . 11 el igitur gd ipfi a e «quidiftat,uel non:& fi quidem «qui dillet, ordinarim
applicata eft : ideoq; fi producatur ad utrafque partes, bifariam fecla a diametro con-
ueniet cum fedlione : fi uero non «quidiftet,fed produdla conneniat cum a e in e pun
dio ; perfpicuum eftipfam cum fedlione conuenire ad partes e.namfi cum a e conue-
nit multo prius fedtioni occurrat neceffe eft.Dico etiam ad alteras partes produdtam
cum fedlione conuenire.fit enim ma linea,iuxtaquampofiunt: & in rectum ipfi pro
ducatur a f. ergo m a ad a b eft perpendicularis,
fiat ut quadratum a e ad triangulum aed, ficli
nea m a ad afi & perpundea mfiipfiab«quidi
flantes ducantur fg k,m n.cum igitur quadrila-
terum fit 1 ad g; & pofitione data 1 a, ducatur
ckb ipfi I a «quidiftans , qua: ahfcindat c k g
triangulum quadrilatero ladg aquale :& per
b ipfi f a m «quidiftans ducatur x b n . Itaque
quoniam ut quadratum a e ad triangulum aed,
ita eft linea m a ad a f: Aut quadratum a e ad
aed triangulum, ita quadratum cb adtriangu
lum d cb, etenim a e, c b inter fefe«quidiftant:
& ipfas coniungunt c e,a b : ut autem m a ad a fiita a m n b parallelogramum ad pa-
rallelogrammum a f x b : erit ut quadratum c b ad triangulum c d b,ita a m n b paral-
felogrammum adparallelogrammum afx b : & permutando ut quadratum c b adpa
rallelogrammum a m n b,ita c d b triangulum ad parallelogrammum a fx b. parallelo
grammum autem afxb triangulo cdb eft squale, quoniam enim cgk triangulum
aequale eft quadrilatero al d g : & quadrilaterum g d b k utrique commune : eritl a b k
parallelogrammum «quale triangulo cdb. Sed 1 a b k parallelogrammum «quale eft
parallclogrammo f a b x ; quod fit in eadem bafi a b,& in eifdem parallelis a b,l x . er-
go c d b triangulum parallclogrammo x fa b «quale erit . quare & quadratum c b «-
quale parallclogrammo a m n b; parallelogrammum autem m a b n reclangulo m a b
«quale ; quod m a ad a b fit perpendicularis, ergo redtangulum m a b eft «quale qua-
drato
CONICORVM LIBER I.
as
drato cb.atqueeft m a redlmn figurae latus; ab diameter; &: cb ordinarim applica-
tarum ipfi a e «quidiftet. ex quibus fequitur punctum c efte in fedrione . ergo dgc
in c cum feddone conuenit. quod demonftrandtim proponebatur .
EIVSDEM COMMENTARI VS IN PROPOSITVM THEOREMA.
FIAT ut quadratum a e ad triangulum a e d, fic linea m a ad a f.] Demonflratum
efl hoc in commentanjs in undecimum tbeorema. fi enim defcribcntes quadratum linea a e ipfius
lateri app o fuerimus fpatium triangulo aed aquale ;fa£tum iam erit quod quare hamus .
m
Cum igitur quadrilaterum fit 1 a d g,& politione data 1 a, duea
turckbipfi la «quidiftans,qu«abfcindatck g triangulum qua-
drilatero ladg aquale.] Hoc ita faciemus .fi enim y ut in elementis di-
dicimus , dato refiihneo ,uidelicet quadrilatero ladg squale triangula
dato a e d fimile conflit uerimus triangulum styjtaut latus sy lateri ad
refpondeat ; & fecerimus g k ipfi sy squalem>& ty aqualem g c ; imita
linea c k factum erit > quod quaeritur. Quoniam enim angulus ad y squa-
lis ejl angulo ad d,hoc ejl ei>qui adg ; erit triangulum cg k squale , ac fi -
mile triangulo s t y ; & angulus c angulo e squalis ; qui quidem alterni,
funt .linea igitur c k squidifiat ipfi a e. conflat aut em lineam ma tangere
feclionem > quando ab fit axis; alio quin ipfam fecat ; & omnino ad diame
irum perpendicularis ducitur.
THEOREMA XXVIir. IROPOSITIO xxviii.
Si reda linea imam oppofitarum fedionum contingat: fumatur au-
tem pundum intra alteram fedionem :&peripfum linea contingenti
a^uidiitans ducatur: produda adutrafque partes cum fedione con-
uemet.
SINT oppofits fe<ftiones,qtiarum diameter a b : & fedHonem, in qua eft a con-
tingat quadam redia linea c dTumatur autem aliquod pun&um e intra alteram fe&io
nem:& per e ducatur c f ipfi c d «quidiftans . Dico lineam e £ produ&am ad utraf-
que partes cum fedlioo e conuenire. Quoniam enim often
fum eft lineam c d produdiam conuenire cum diametros
a b : atque eft e f ipfi «quidiftans : linea e f produdla cum
diametroconueniet.cenueniatautemin g:&ipfi gb x-
qualis ponatur ah. deinde per h ducatur h k aequidiftans
e fi& ipfa k 1 ordinarim applicata,ponatur g m «qualis 1 h:
ducaturq; mn ordinarim applicata; «quidiftans:& gm
in directum producatur. Itaque quoniam kl ipfi mn x -
quidiftat; & k h ipfi gn : & eft 1 m una, eademq; recta li-
nea : triangulum k h 1 fimile eft triangulo g m n.eft autem.
Ih squalis gm. quare & k 1 ipfi m n squalis erit.ideoq;
quadratum kl squale quadrato m n. Rurfus quoniam lh.
squalis eft g m : & a h ipfi b g : communis autem a b: erit
bl «qualis am : &propterearectangulum blarectangu
lo amb «quale, ut igitur rectangulum bla ad quadratu
kl,ita rectangulum amb ad quadratum mn. Sed utre-
ctangulum bla ad kl quadratum, ita traiifuerfum figu-
ra latus ad latus rectum . quare ut rectangulum amb ad. £
quadratum m n, ita erit latus tranfuerfum ad rectum . ex r
quibus colligitur,punceum n in fectione efte. ergo linea e f producta in puncto n cu
lectione conueniet.ftmiiiter oftendemus , fi ex altera parte producatur, cum fectione
conuenire.
' " * E a
A
B
} fexta
&4.huius
^ ■
tl. huius
D
APOLLONII PERGAEI
E V T O C I V S.
o d fi cd hyperbolen fecet 3 eadem nihilominus fequentur 3 quemadmodum in decirnaotla-*
m theoremate,
THEOREMA XXIX. PROPOSITIO XXIX.
Si in oppofitis fedionibus reda linea per cetram duda occurrat uni
fedioni , ulterius produda alteram quoque fecabit .
Sint Tectiones oppofitce, quarum diameter ab: centra
autem c:& linea cd Tectionem a d Tecet.Dicoipfam cd'
alteram quoque fecare , ordinarim enim applicetur d e :
ipficj; ae ponatur aqualis bfi& fg ordinatim ducatur.
Quoniam igitur e a, b f aquales Tunt ; & a b utriTque co
munis ; rectangulum bea rectangulo afb efta;quale.&
quoniam ut rectangulum bea ad quadratum d e, ita eft
tranTuerfum latus ad rectum. Vt autem rectangulu a f b
ad quadratum fg, ita latus tranTuerfum ad rectum . ergo
ut rectangulum bea ad quadratum d e;fic rectangulum
afb ad fg quadra tum. Sed aquale eft rectangulum bea
rectangulo a fb. quadratu igitur d e quadrato fg efta;-
quale.Quod cum linea ec squalis fit c f; & de ipfi fg;
fitqjrectafinea efi&edipfi fgsquidiftans:etit& dgre
cta linea. ergo c d Tectionem quoque alteram fecabit.
F E D. COMMANDINVS.
ERIT & d g recta linea.] Sequitur enim ex iam ditiis t riangulum ede triangulo cgf fi-
'S 5. pf imi m ^e ejfe:ang!ilumq; d c e angulo gcf aqualem, fed cum ef retia linea fit, anguli g cf,g c e duobus
reths funi aquales ; itemq, anguli dce 3 d c f.ergo & reliqui g c e y d e f inter fe aquales erunt : &
«4. primi, idcvrco gcf fed aquales duobus retiis .quare dg retia linea fit necejfe eft .
THEOREMA XXX. PROPOSITIO XXX.
Si in ellipfi>uel oppofitis fe&ionibus reda linea ducatur, ad utrafque
centri partes fedioni occurrens *, ad centrum bifariam fecabitur .
SIT e!!ipfis,uel oppofita; fediones, quarum diameter a b,centrum c:& per c duca
tur reda linea dee. Dico cd ipfi c e
te qualem efle. ordinatim enim applice
tur d fi e g.& qu oniam ut rectangulum
ai. huius bfa ad quadratum fd, ita eft tranfuer
fum latus ad rectum : & utrectagulum
a g b ad quadtatum g e, ita latus tranf-
uerfum ad redutmerit ut redangulum
bfa ad quadratum fd, ita rectangulu
a g b ad quadratum g e:& permutando
ut rectangulum b f a ad rectangulum
a g b,ita d f quadratum ad quadratum
ge.ut autem quadratum d f ad quadra
tum g e, ita quadratum f c ad ipfum c g
quadratum. ergo permutando ut reda
A gulum b fa ad quadratum fefita rectangulum agb ad quadratum cg. ut igitur in el-
lipfi componendo, in oppofitis uero conuertendo,& per couerfionem rationis, qua-
dratum ac ad quadratum c fific quadratum b c ad quadratum c g:& permutando,
quadratum autem ac xquale eft quadrato cb.ergo & quadratum I c quadrato c g
B sequale erit.idcircoq; linea fc linea; c g squalis . & cum d f,g e inter fe *quidiftent,ne
cefie eft lineam dc ipfi ce «qualem efle.
f EVTO
i
/
C Q N I C O R V M l i B> li
EVTOCIVS*
Vtigitur in eliipfi componendo, in oppofitis uero conuertendo,& per conucrfio-
nem rationis . ] In cttipfi quidem ita dicemus . Quoniam ut r exanguium afb ad quadratum
dfyita eji refflangulum agb ad quadratum ge. Vt autem quadratum df ad quadratum f c, ita
quadratum eg ad quadratum, gc: erit ex aquali x ut refflangulum afb ad quadratum fc, itare -
£ Ungulum agb ad quadratum g c.& componendo ut r octangulum afb una, cum quadrato fc ad
quadratum f c y hoc eji quadratum ac ad quadratum cf (etenim r effla linea ab fecaturin -partes
aquales ad punfflum c, & in partes inaequales ad f ) ita refflangulum agb una cim quadrato gc
ad quadratum g c; hoc eji propter eandem cauffam, quadratum b c ad cg quadratum . & permu-
tando ut quadratum ac ad quadratum c b,ita fc quadratum ad quadratum cg . .At uero in op-
pofitis hoc modo . Quoniam ex aequali eji ut refflangulum bfa ad quadratum fcjta refflangulum
agb ad cg quadratum : erit conuertendo ut quadratum fc ad refflangulum bfa, ita quadratum
cg ad refflangulum ag b: & per conuerfionem rationis x ut quadratum fc ad quadratum ca x ita
quadratum gc ad cb quadratum, nam cum linea ah bifariam fecetur in c, at que ei adijciatur f a,
erit refflangulum b f a und cum quadrato ac aquale quadrato cf quare cf quadratum exuperat
refflangulum bfafpfo a c quadrato. pulchre igitur difflum eji fequi illud per couerfionem rationis.
f. fecudf.
6. fecudi.
F E O, COMMANDINVS.
E t cum d f, g e inter Te xquidiftent, neeefle ed lineam d e ipfi c e asqualem effe . } g
j Quoniam enim a qmdijlant df x g e /equitur angulum cfd aqualem effe angulo ege : &propte-
reatriangulum cdf triangulo c e g fimile.ergo ut f c ad cd x ita gc ad ce:& permutando ut fc
ad cgjta dc ad C e.aquales autem funt fc,cg,ut demojiratum eji, ergo & dc,ce aquales erunt,
THEOREMA XXXI. PROPOSITIO XXXI.
Si in tranfuerfo figura: latere hyperboles fumatur aliquod pun-
dum, non minorem ab fcindens ad uerticem fedionis , quam fit dimi-
dia tranfuerfi lateris figura? \ Sc ab ipfo reda linea fedioni occurrat : ii
producatur intra fedionem, ad fequentes ipims partes cadet .
Sit hyperbole , cuius diameter a b.- & in ipfa fumatur pundum aliquod c, non mi-
norem ab fcindens lineam cb, quam fit ipfius ab dimidia: & occurrat fedioni qua-
dam recta linea c d. Dico c d produdam intra fedionem cadere . Si enim fieri po-
teft, cadat extra fedionem, ut ede: & aquouispundo e ordinatim applicetur eg;
itemg;ipfa dh. Sit autem primum linea ac aequalis cb, itaque quadratum eg ad
quadratum dh maiorem proportionem habet, quam
quadratum fg ad quadratum dh: ut autem quadratum
eg ad dh quadratu m,fic quadratum gc ad quadratum
ch; propter ea quod e g ipfi dh fit cequidiftans : & ut
quadratum fg ad quadratum dh,ficredangulum agb
ad redangulum ahb, propter fedionem. quadratum
igitur gc ad quadratum ch proportionem maiorem
habet; quam redangulum agb ad redangulum ahb :
& permutando quadratum g c ad redangulum a g b ha
bet maiorem proportionem, quam quadratum ch ad
redangulum ahb. ergo diuidendo quadratum cb ad re
danguium agb maiorem habet proportionem, quam ?
quadratum cb ad redangulum ahb. quod fieri non po.
teft. non igitur linea ede cadet extra fedionem . quare
intra cadet; & id circo qua: ab aliquo puncto lineara c. ad.
fectionem ducitur, multo magis cadet intra, quoniam & intra lineam c d cadet.
g, quinti;
4 >& U.T«
xti.
2,1. huius
•^.quin-
ti eleme-
torum a»
pud Cam
panum.
2p.eiuf(d«
A
B
C
APOLLONII P E H GA E I
E - V T x O C I V s,
A Ergo diuidendo quadratum cb ad rectangulum agb maiorem habet; quam
quadratum cb ad rectangulum a h b . ] Quoniam enim recta linea a b bifariam fecatur in
«r/ecudi c: & ipfii adij citur linea bg , rectangulum agb una cum quadrato c b aquale efl quadrato cg. er-
go cg quadratum fuper at reCiangulum agb quadrato c b:& propter eandem caufifiam quadratum
cb fuper at reU angulum abb 3 ipfo cb quadrato , recie igitur Apollonius dixit 3 diuidendo il-
lud concludi .
Jt IZZ33.1 • - ~ ... - i'
FE D. C O M M A N D I N V S.
B Quod fieri non poteft . ] Quadratum enim cb ad rectangulum ah b maiorem proportio-
S. quinti, nm habet , quam ad rectangulum agb , quippe cum rectangulum agb ipfo abb maius fit.
Et idcirco qua? ab aliquo puncto linea? a c ad fe&ionem ducitur, multo magis ca~
C det intra.] Sumatur enim in linea ac punctum k 3 d quo du-
cta k l ad fectionem producatur in m. Dico lineam k Im
• ’ Ji multo magis intra fectionem cadere . Si enim fieri potejl , ca-
dat extra j ordinat imq; applicentur m n, l o: & uinUa c l pro-
ducatur 3 ut fecet mn in p. cadet clp intra fieclionem, exfis
ma proxime demonflrdta fiunt . Itaque quoniam linea mn ,
l o (Squidifiant, erunt triangula lfio>m. k n fimilia: <&■ fiimili a
' inter fie l c o 3 p c n. Sed trianguli Ino angulus k Io maior esi
angulo do, 'trianguli Ico. ergo & angulus hjnn angulo
t s. & 3 1, cpn maior erit 3 interior exteriore , quod fieri non potejl . At
i P rimi el 5 fi ponatur Tm cadere quidem intra f actionem, fed extra lineam
siuntoru ip^ :s i i n jpfi a m 3 nihilominus abfiurdumfequetur . confiat ergo
lineam k Im multo magis 3 a udin clp intr a fcct lonCm cade-
re. quod quidem demonjlrandmn proponebatur „
COROLLARIVM.
Ex iamdemonflr citis [equitur lineam , qua hyperbolen contingit , /i produ-
catur fecare diametrum inter uerticem & centrum feRionis .
THEOREMA XXXII. PROPOSITIO XXXII.
T ' r • - q ' ; ■ . • *v » v
S r per uerticem fc&ionis coni reda linea ordinatim applicata? a?qui
; diftans du catur 3 fedionem continget : & in locum , qui inter coni fe-
ctionem 8c redam lineam interiicitur , altera reda linea non cadet .
Sit coni fedio prius parabole, cuius diameter ab;&apundo a ducatur ac ordi-
J7.bujus narim applicata? a?quidiftans.cadetlinea ac extra fedionem, quod fupra demonftra-
tumeft. Dico in locum, qui inter lineam ac & fedionem interii citur, alteram re-
] diam lineam non cadere . Si enim heri poteft, cadat, ut a d: fumaturq; in ipfa quod-
. uis pundfum d : & ordinatim applicetur d e. Sit autem linea a f, iuxta quam poliunt,
quae aiedione ordinatim ducuntur. & quoniam quadratum de ad quadratum ea
quinti.: maiorem proportionem habet, quam quadratum g e ad ea quadratum : eftq; qua-
juuus. drathm ge rcquale redtangulo ia e. quadratum igitur de ad quadratum ea maio-
Jemm.2.2 rem proportionem habet, quam redangulum fae ad quadratum ea; hoceft quam
decimi.' Ia ad ac. Itaque fiat ut quadratum de ad quadratum ea, fic fa ad ah.-Aper h du-
0 catur hlk a?quidifems ed. Quoniam igitur efi, ut quadratum de ad quadratum
eaj.ficli.nca fa adipfam ah,hocefire&angulum fah ad quadratum ah:&ut qua-
dratum
CONICO R V M tIBER I. a 4
dratum de ad quadratura e a, ita quadratura kh ad ha quadratum •redangulo au-
tem fah : squale eft. quadratum lh. quare ut. quadratum kh ad quadratum ha,fic
quadratum, Ih ad quadratum h a. squalis cingitur linea kh ip.fi hl, quod eftab'ur-
dununou ergo in locum inter redam lineam a c. &. lectionem altera rectajinea cadet*
Sit fedio hyperbole, uel elliplis , uel circuli circumferentia, cuius diameter a b : &
redam ligurs latus a fi iundaautem b f producatur: & apundo a ordinarim appli-
cetur ac, quae extra fedion em cadet, utoftenfum eft. Dico in locum, qui inter lineam
redam a c, & fedionem interjicitur, alteram redam lineam non cadere.cadat enim ,
ii heri .poteftjut ad &inipfafumaturquoduis pundu d,aquo de ordinarim appli-
cetur: & per e ducatur em ipli af squidiftans. Et quoniam ge quadratum squa-
le eft redangulo aem;fiatredangulum aen quadrato de squale: & iunda an fe-
cet fm in pundo x, deinde per x ipli fa squidiftans ducatur xh ; &per h ducatur
hlk squidiftans ac.. Itaque cum quadratum de squale lit redangulo. aen, erit ut
ne ad ed,ita de ad ea.&idcirco utlinea ne ad ea, ita quadratum de ad quadran-
tum e a. Sed ut n e ad e a, ita x h ad h a: & utquadratum d e ad quadratum ea, ita
quadratum kh ad ha quadratum., ut igitur xh ad h a, (i c quadratum kh ad quadra
tum ha.ergo kh inedia proportionalis eft inter x h,ha & propter ea quadratum kh
s uale redangulo ah x.eft autem & quadratum lh redangulo ahx squalepropter
fictionem. ergo quadratum k h squale eft quadrato h 1: quod fieri non poteft. in lo-
cum igitur, qui eft inter redam lineam ac & fedio nem altera recta linea non cadet .
E V T O C I V S.
In f 'iptimo decimo theoremate {Impliciter ofiendit retiam lineam ,, qim per uerticem ducitur ,
ordinati ; applicata a ;H!dijlans 3 j'ebliQnemip[am, contingere. hoc autem loco y id quod in clemen-
tis circulo tantum ineffe dermnjlrqtur y miujerfe in omni coni fetUone ofiendit. oportet autem fci-
re, quo d & illic demonfi ratum, eft 3 nullum fortajfe fequi abfurdum y fi linea emua, inter fettionem
& lineam retiam cadat . at uero ut cadat retia linea , jieri non potefi.fec ab it etenim ipfa 3 non con*
tinget fettionem , quoniam du£. recte. Unca in eodem puntlo: contingentes, ejje non fojfunt . Cum
autem hoc theorema multifariam demaMreturm diuerjis editionibus , nos {implumem , &ma<^
nifejli orem memonfirationm fecuti fumus .
n. & rj;
huius .
14-Uel iy'
iexti .
coqto. ft
xti
APOLLONII PJERGAEI
\ - v
u ■
* THEOREMA’ XXXIII. PROPOSITIO XXXIII.
St in parabola fumatur aliquod pundum,aquo rebta linea ad dia-
metrum ordinatim applicetur , ei, (]ux ab ipfa ex diametro abfcindt*
tur ad uerticem > aqualis ponatur in diredum ab eius extremitate: reda
linea , qus a fado pundo ducitur ad illud, quod fumptum fuerat, fe-
dionem continget .
Sit parabole, cuius diameter ab:fumptoq;in ea aliquo pundo c;linea cd ordina
tini applicetur : & ipfi d e squalis ponatur e a, & iungatur a c. Dico lineam a c pro-
ductam extra fedtionem cadere . Si enim fieri poteft , cadat intra , ut c f ; & g b ordi-
8 quinti nat * m a ppbcetur . itaque quadratum g b ad quadratum
cd maiorem proportionem habet, quam quadratum fb
^ ad quadratum c d: & ut quadratum fb ad quadratum c d,
io. huius ita quadratum ba ad quadratum ad. ut autem quadra -
x 3. quinti tum gb ad cd quadratum, ita linea be ad ed.ergo bead
ed maiorem proportionem habet, quam ba quadratum
B ad quadratura ad.fedut be ad ed, itaredangulum bea
quater fumptum ad redangulum a e d quater . redangu-
lum. igitur bea quater ad redangulum aed quater ma-
iorem habet proportionem, quam quadratum ba adqua-
i7.quinti dratum ad : & permutando redangulum bea quater ad
apud Ca. quadratum ab maiorem proportionem habet, quam redangulum aed quater ad
. c quadratum ad: quod fieri minimepoteft. nam cum linea a e ipfi ed fit squalis, re-
D dangulum aed quater fumptum squale eft quadrato ad: redangulum uero bea
quater fumptum quadrato b a eft minus : neque enim pundum e lineam ab bifa-
riam fecat.iineaigitur a c non cadet intra, quare fedione ipfam contingat necefie eft.
FED. COMMA NDINVS.
A Et ut quadratum fb ad quadratum c d, ita quadratum b a ad quadratum ad.]
Ob fimilitudinem triangulorum f a h,c a d. quippe cum ponamus a cf lineam retiam ej ffe .
B Sedutbe ad e d, itaredangulum bea quater fumptum ad redangulum aed
1. fexti quater . ] Ts{am ut b e ad e djta redangulum bea ad redangulum a e d:ut autem redangulum
bea ad redangulum a e d, ita redangulum bea quater fumptum ad redangulum aed itidem
quater fumptum , ex decima quinta quinti elementorum . quare ex undecima eiufdem confiat
* propofitum .
C Nam cum linea a e ipfi ed fit squalis, rectangulum aed quater fumptum squale
eft quadrato e d . ] Quadratum enim ad ex quarta fecundi elementorum aquale esi quadratis
ae,ed,& duobus red angulis aed. Sed quadrata ae,ed duobus redangulis aed aqualia funt ,
quod linea ac,ed frat aquales. ergo redangulum aed quater fumptum quadrato ad aquale erit.
D Rectangulum uero bea quater fumptum quadrato ba eft minus.] t{urfus enim
eadem ratione quadratum b a aquale eft quadratis b e a, & duobus redangulis b e a. Sed cum
linea b e, e a inaquales fint , duo redangula bea minora funt quadratis b e, ea, ut mox demon-
strabitur . redangulum igitur bea quater fumptum mmus eft quadrato b a. illud uero nos hoc
lemmate demonflrabimus .
Sirefia lineam f artes inaequales fecetur , earum 'partium quadrata aequalia
funt reciangulo , quod bis ditiis partibus continetur ; & quadrato eius lineae , qua
maior pars fjperat minorem .
Secetur reda linea ab in partes maequades in cfita ut ac maior fit, quam cb:&ipfi cb aequa-
lis ponatur ad. Dico quadrata ac, cb aequalia ejfe r ed angulo , quod bis a cb continetur', &
quadrato linea dc;qua fcilicet ac ipfam cb fuperat . confiituantur enim ex lineis ac 3 cb qua-
drata
CONICQRY M L I B. I,
irata acef 3 cbgb: &• per i
ducla linea d k , qua ipfi c e
aquidiflek, producatur gh ad.
d fi in L Itaque quoniam, a d y
c b aquales fiunt y utrique.
communis d c ; erit d b ipfi. a c
aqualis :ideoq; redlangula a fi,
dg erunt aqualia ei , quod bis
a cb continetur , quadratum
autem lh e k aquale efi qua-
drato line ce dc. ergo quadrata,
a CyC b aqualia fiunt redl.angu -
lo , quod bis continetur acb,
& linea d c quadrato : quod.
d c
d
demonmare oportebat «.
THEOREMA XXXIIII x PROPOSITIO .XXXIIII.
S i in hyperbola 5 uel ellipfi , nel circuli circumferentia fumatur ali-
quod pundlum: ab eoq; reda linea addiamctrum ordinatim applicetur:
dc quam, proportionem habent lmex interiedfce inter applicatam , 8c
terminos tranfuerfi lateris figura, eandem habeant inter fe partes lateris
tranfuerfi, ita utqute funt ad uerticem partes fibiipfis refpondeant : re-
da linea coniimgenspun&um, quod in tranfuerfo latere fumi tu r , Sc
pundum, quod elt in fedione , fedtionem ipfam continget .
Sit hyperbole, uel ellipfis,uel circuli circumTerentia,cuius diameter a b;/umaturq; A
aliquod punftum in Tectione, quod fit c:& ab eo linea c d ordinatim applicetur : fiat
autem ut b d ad d a,fic b e ad e a: & iungatur e c . Dico lineam c e Tectionem con-
tingere . Si enim fieri poteft,Tecet, ut. e c f:& Tumpto in ea aliquo puncto f ordinatim
applicetur gTh:per puncta uero ab ducantur al,b k,quaripfi ec jequidiftent:&iun-
ctie dc,bc,gc ad puncta mxk producantur. Itaque quoniam ut bd ad da,itaeft
£
£
be ad ea^&ut bd adda,ficbk ad amutautembe ad ea,itab cadexjioceflbkad 4' Texti,
x mentut b k ad a n,ita b k ad n x.xqualis efi igitur a n ipfi n x.,& propterearectan- z ' fexti
gulum a n x maius eftrectangulo a ox. quare linea nx ad xo maiorem habet propor ^ c l uin '
tionem,quam o a ad a n. Sed ut’ nx ad x o,ita k b ad b m.ergo k b. ad b m maiorem
proportionem habet, quam oa ad an:ideoq;rectangulum,quodfit exk b,an maius
efi eo, quod ex b m,a o. Sequitur igitur rectangulum ex k b,a n ad quadratum c e ma ‘
iorem proportionem habere quam rectangulum ex mb, a o ad quadratum ce.atue- p
ro ut rectangulum ex kb,au ad quadratum ce,ficrectangulum b da ad quadratum
d e, propter fimilitudine triangulorum, b k d,an. d,e c d;& ut rectangulum ex m b,a o
V
i'7-qmnti
*pud Ca.
ii.huiu*
ii, ie
xtl.
B
S 4-fextI.
*. quinti.
C
4, festi
lemm.11
decimi .
4-& 22 . fe
Kti
it A P O L LO N I I FERGAE!
ad quadratum ce,ficrectangulum bga ad quadratum geiergo bda re&angulum
ad quadratum de maiorem proportionem habet, quam redtangulum bga ad qua-
dratum ge.& permutanda reftangulum bda ad re&angulum agb maiorem habet
proportionem, quam quadratum de ad e g quadratum. Sedutrediangulum bda
ad ipfum agb, ita quadratum c d ad quadratum g h ; & ut quadratum d e ad qua-
dratum e g,fic quadratum cd ad quadratum fg. quadratum igitur c d ad quadratum
gh maiorem proportionem habet, quam quadratum cd ad quadratum fg:& idcir-
co linea hg minor eftipia g f: quod fieri non poteft.iinea igitur ec noniecat.qua-
re rectionem ipiam contingat neceile eft .
E V T O C I V S.
S ctendvm efl lineam c d, qua ad diametrum ordinat im applicatur , in hyperbola quidem
determinare lineas bd,da,& relinquere ipfam b a , qua in proportionem linearum bd 3 da / ecari
debet ; in eliipfi uero & circuli circumferentia contra euenit: nam cum fecet lineam ba 3 nece f e efl
ut inquiramus b e, e a in determinata proportione 3 in qua uidelicet funt b d 3 d a.neque enim diffici-
le efl data proportione , aqualem ipfi exhibere . Sed & illud fcire oportet 3 in unaquaque fectioue
duas defcriptiones effie 3 nempe punito f uel intra c 3 uel extra fumpto,itaut omnes cafus fex flnt .
Utitur autem duobus lemmatibus 3 qua nos deinceps confcribemus .
Etpropterearectangujum anx maius eftrectangulo a ox. quare linea nx ad xo
maiorem proportionem habet, quam o a ad a n . ] J Quoniam enim
reEi angulum anx rettangulo a 0 x maius efl, fiat recl angulo anx aqua-
le re£langulum 3 quod ipfa a c 3 & alia quapiam linea 3 uidelicet xp conti- ? * 0n *
neatur 3 qua quidem maior erit, quam x o.efl igitur ut 0 a ad a n 3 fic n x ad 1 * 1
xp. fed nx aci x 0 maiorem proportionem habet 3 qudm ad xp.ergo oa ad
an minoremhabet proportionem 3 quam nx ad xo: &ideo nx ad xo maiorem habet , quam
0 a ad an.
Sed contra illud etiam confiat >fe nx ad xo maiorem proportionem habeat ,
fluam 0 a ad an,& reciangulum anx maius effe reciangulo aox .
Fiat enim ut oa ad an fit a nx ad aliam lineam maiorem ipfa xo 3 uidelicet ad xp. quare re-
ti angulum anx aquale efl reti angulo 3 quod ao 3 xp continetur, reci angulum igitur anx rettan-
gulo aox maius erit .
Atueroutrectangulum ex kb,an ad quadratum ce, fic rectangulum bda ad
quadratum de.] Sfuoniam igitur ob linearum an , e c 3 nb aquidiflantiam, ut an ad e c 3 ita
efl ad ad de: ut autem e c ad k b 3 ita e d ad d b. quare ex aquali , ut an ad kb 3 ita ad ad db:
& propter ea ut quadratum an ad reft angulum ex an 3 kb 3 ita quadratum ad ad reElanguhm
a d b.Sed ut quadratum e c ad quadratum a nfita quadratum ed ad quadratum d a. ergo ex aqua-
li ut quadratum ec ad re fi angulum ex k b, a n 3 ita quadratum ed ad re fi angulum adb:& con-
mrtcndo ut reft angulum ex k b t an ad quadratum e cfita re fi angulum bda ai quadratum de.
C O N ICORVM II B. I.
z6
F E D. COMMANDI N V S.
Fiat autem s ut b d ad d a,fic b e ad e a . ] In hyperbola quomodo illud fiat perjficuim \
ejhat uero in eUipfi,uel circulo , fumatur in db linea, qua Jit aqualis da:Jitq ; dg,utinpropofi-
t i s figuris ; & fiat ut b g ad g d, ita ha ad a e. erit enim componendo , ut bd ad dg,hoc eji ad
d a ei aqualem, ita be ad e a: quod faciendum proponebatur .
Et propterea rectangulum a n x maius eft rectangulo a o x. quare linea n x ad x a g
maiorem proportionem habet quam o a ad a n . ] Illud Tappus ad principium feptimi li-
bri hoc lemmate demonflrauit .
Habent a ad b maiorem propcrtionem,qudm c ad d. Vico rectangulum
contentum lineis ad maius ejfe eo, quod bc continetur .
a
Fiat enim ut a ad b, ita c ad e. ergo c ad e maiorem
proportionem habet , quam ad d. & id circo e minor eft ,
quam d. Itaque po fit a a communi altitudine, erit retl.an- *
gulum ex a e minus r e tt angulo ex ad. Sed r e fl angulum
ex a e a quale esi ei, quod ex b c. reti angulum igitur ex bc .
minus efi reti angulo ex ad: & propterea reti angulum ex
a d maius eo, quod ex bc ; .
Similiter etiam fi minor fit pro portio ,r e Ctan-
gulum reCtangulo minus erit . *_
Sed rurfius fit reCiangulum ex a d maius n-
Ctangulo ex b c. Vico a ad b maiorem habere • — '
j?roportionew ? qudm c ad d.
Tonatur namque rectangulo ex ad aquale reti angulum quod ex be. erit reti angulum ex h e
maius eo, quod ex b c. quare & e maior, quam c. Vt autem a ad b,ita e ad d. Sed e ad d ma-
iorem habet proportionem, quam c ad d.ergo & a ad b habebit maiorem, quam c ad d.
At nero ut re&angulum ex k b,a n ad quadratum c e,fic redangulum b d a ad qua
dratum de.] Ex tertio lemmate Tappi.
c{
14. f»ti3
c
THEOREMA XXXV» PROPOSITIO XXXV»
S i parabolen reda linea contingat, conueniens cum diametro extra
fedionem* quas a tadu ad diametrum ordinatim applicatur, abfcindct
ex diametro ad uerticem fedionis lineam aequalem ei , qua; inter ipfam
& contingentem interiicitur : 8c in locum , qui eft inter contingentem
Sc fedionem alia reda linea non cadet .
Sit parabole, cuius diameter a b: ordinatimq; applice-
tur b c : & fit a c linea fedionem contingens.Dico lineam
ag ipfi gb «qualem efie. Si enim fieri poteft, fit in«qua-
lis : & ipfi a g «qualis ponatur ge: linea autem e f ordina-
rim applicetur: & iuhgantur a fi ergo a f praduda conue-
niet cum linea a c: quod fieri non poteftj duarum enim re-
darum linearum ii dem termini effient. non ergo in«qualis
eft a g ipfi g b. quare neceflario erit «qualis . Rurfus dico
in locum , qui eftinter ac,& fedionem , aliam redam li-
neam non cadere » Si enim fieri pofsit, cadat cdfipfiq, gd
«qualis ponatur g e:& e f ordinatim applicetur, ergo a
pundo d ad f d a da linea contingit fedionem. quare produda extra ipfam cadet: &
propterea conueniet cum dc, eruntq; duarum linearum rectarum iidem terminis
quod eft abfurdum.non igitur in locum, qui eft inter lectionem, & lineam a c alia re-
cta irnea cadet.
- * *
G z
1
APOLLONII PERGAEI
FED. COMMANDINVS.
E rgo af producta conueniet cum linea a c:quod fieri non poteft; duarum enim
rectarum linearum iidem termini eflent . ] Ifiam linea af ex trigefima tertia propofitione
huius fefiionem contingit, quare fi producatur, cadet extra fie£iionem;& id circo conueniet cum li-
nea a Cyita ut fint duarum linearum retiarum ijdem termini : quod efl abfurdum ; quoniam dure re-
tia linere fuperficiem intra fe fe concluderent . alia esi enim linea, qua d puntto a ad fi alia qua ab
eodempuntio ad c ducitur: quarum linearum ij dem termini erunt-, mus uidelicetad a,alter adpun
Sium, in quo linea a ficum ac conuenit .
i VC. v ♦ - - -k' fj : iS\ . V
THEOREMA XXXVI. PROPOSITIO XXXVI.
S i hyperbolen, uel ellipfim , uel circuli circumferentiam contingat
quaedam reda linea conueniens cumtranfuerfo figura: latere : & a tadu
reda linea ad diametrum ordinarim applicetur : erit ut linea , qua; inte-
rficitur inter contingentem, & terminum tranfuerfi lateris adinterje-
dam inter eandem & alterum lateris terminum , ita linea , qua; eft inter
ordinatim applicatam , & terminum lateris ad eam , qua; eft inter ean-
dem & alterum terminum *, adeo u t continuata; inter fe fint, qua: fibi
ipfis refpondent : & in locum, qui inter contingentem, & fedionem
coni interficitur, altera reda linea non cadet .
Sit hyperbole, uel ellipfis , uel circuli circumferentia, cuius diameter ab: linea ue-
n> contingens fit c d. & c e ordinatim applicetur . Dico ut b e ad e a, lic elfe b d ad
da. Si enim non eft ita, fit ut bd ad da, fic bg ad ga: & ordinatim applicetur gf.
34. huius ergo quse a puncto d ad f ducitur recta linea Tectionem continget, & producta con-
ueniet cum ipfa c d.quare duarum rectarum linearum iidem termini erunt : quod eft
abfurdum . Dico etiam in locum; qui inter Tectionem & lineam c d interiicitur,nul-
lam rectam lineam cadere . Si enim fieri poteft , cadat c h:& ut b h ad h a, ita fiat b g
ad ga:& gf ordinatim applicetur, iuncta ergo hfifi producatur, conueniet cum ip-
fa hc;atque erunt duarum linearum rectarum iidem termini: quod fieri non poteft.
non ergo inter lectionem & lineam c d altera recta linea cadet .
THEOREMA XXXVII. PROPOSITIO XXXVII.
$ i hyperbolen , uel ellipfim, uel circuli circumferentiam reda linea
contingens cum diametro conueniat : & a tadu ad diametrum linea or
dinatim applicetur: qua; interficitur inter applicatam & centrum fedio
, nis
/
CONICOR VM LIBER L 37
uis una cum interic^a inter contingentem, & fedionis centrum, conti-
nebit redangulum aequale quadrato lineae, quae eft; ex centro fedionis *
fed una cum ea,cjuse inter applicatam & contingentem interiicitur,cofi
tinebit fpatium , quod ad quadratum lineae applicata eandem propor-
tionem habet , quam tranfuerfum figura latus ad redum .
SIT hyperbole, uel ellipfis,uel circuli circum ferentia , cuius diameter a t> : duca-
turq, linea, contingens cd : & c e ordinatim applicetur : centrum autem fit f . Dico
redangulum dfe quadrato fb aquale dfe : & ut rectangulum def ad quadratu ec,
ita tranfuerfum latus ad rectum , quoniam enim c d contingitfedionem ; & ordina-
tim applicata eft C e: erit ut ad ad d b,ita a e ad e b. ergo componendo, ut utraque
a d,db ad d b, ita utraque ae,eb ad e b :& antecedentium dimidia . In hyperbola
quidem in hunc modum argumentabimur. Sed utriufque ae,eb dimidia eft f e ; ip -
fius autem ab dimidia fb.utigitur fe ad eb,ita f b ad bd: &perconuerfionemra
tionis,ut efad fb,ita fb ad f d. quare redangulum efd quadrato fb eft «quale. &
quoniam ut fe ad e b,ita f b ad b d, hoc eft a f ad b d : erit permutando ut a f ad fe,
ita db ad b e: & componendo, ut a e ad ef,ita de ad e b.. ergo redangulum aeb
«quale eft redangulo fe d . fed ut redangulum a e b ad quadratum c e , ita tranfuer-
fum latus adredum . Vt igitur redangulum fed ad quadratum e c, ita tranfuerfum
latus adredum.
In ellipfi uero , & circuli circumferentia hoc modo .fed utriufque ad d b dimidia
eft dE&ipfius ab dimidia fb.. ergo. ut fd ad db,ita fb ad be:& per conuerfione
rationis,ut df ad fb,ita bfad fe . redangulum igitur dfe «quale eft quadrato b f,
at uero redangulum dfe redangulo def una cum quadrato fe eft «quale :& qua-
dratum bf «quale redangulo aeb una cum quadrato fe.communeauferatur,uide
licet quadratum f e. reliquum igitur redangulum def ad quadratum c e eft ut re-
dangulum aeb ad idem ce quadratum .fed ut redagulum aeb ad quadratum ce,
ita tranfuerfum latus ad redum.ergo ut redangulum def ad quadratum e c,ita
tranfuerfum latus adredum.
EVTO CIVS*
E x his theorematibus patet ^quomQdoperdatimfunttum in diametrouel. uertice [ettionis cok
tingent em lineam ducere pojfimus .
F E D. COMMANDI NV S.,
Ex iisytfu* demonjlrata funtyconfiat lineam cd contingere fetlionem } fiue re~
B angulum dfe ^qualefit quadrato f b ifiue def redangulum ad quadratum,
e c eam proportionem hahea^quam tranfuerfum figura latus, ad retium.
(f. fezti
16. Cexti.
%i.huius.
17. fer tf
5 Jecudi
6
7. quinti»
17* fexti
54.bums
11. huius
«j.qufhtf.
14. fexti.
■j i , ]
16 , fexti .
y.fecudi.
3
APOLLONII PERGAEI
Sit enim hyperbole, uel ellipfis, uel circuli circumferentia, cuius diameter ab :& fumatur ali-
quod punElmi c infectione ,• d quo reEt a linea ce ad diametrum ordinat im applicetur .fit autem
feUionis centrum f: fiatq; ut ef ad fbfita bf ad fd: & iungatur c d.erit rcctangulum dfe qua -
dr ato fb aquale. itaque dico, lineam c d feci mn em contingere . Quoniam enim in byperbola ef ut
ef ad fbfitabf ad fd: per conuerfionem.rationis exit ut f e ad ebfitafb ad h d : & anteceden-
tium dupla, fed linea a e, e h dupla funt ipfius fe : & linea: ad,db dupla fb. quare ut a e, e b ad
e b,ita ad,db addb: & diuidendo ut a e ad e b,ita a d ad d b.ergo ex trigefma quarta huius li-
nea c d feciionem. contingit. In ellipfi nero & circnli circimferentia,ut d f ad fb,ita ef bfad fe .
quare per conuerfionem rationis , ut fd ad dbfta fb ad b e,& antecedentium dupla. Sunt autem
tinea ad,db ipfius fd dupla, & ae,eb dupla fb . Vt igitur a d,db ad d b,ita ae,eb ad eb : &
diuidendo ut ad ad dbfta a e ad e b. ex quibus f equitur, ut linea cd feciionem contingat .
T\urfus eadem maneant, <& in linea fb fumatur punEtum dfita ut d ef rcctangulum ad quadra-
tum c e eam proportionem habeat, quam tranfuerfum figura latus ad latus retium . Dico lineam
c d contingere feciionem.. Quoniam enim reEt angulum d ef ad quadratum c e efl;ut tranfuerfum la-
tus ad retium ; & ut tranfuerfum latus ad retium, it a aeb reEt angulum ad quadratum c e-.erii re- -
Etangulum def ad quadratum c e, ut reEt angulum aeb ad idem quadratum : & propter ea re Ei an
gifum aeb reEiangulo d e f ef aquale, ergo in byperbola, ut a e ad effit a de ad e b:& diuiden-
do, permutando q; ut afhocefl fb ad b dfita f e ad e b:& per couerfionem rationis, ut bf ad fd,
ita ef ad fb. reEiangulum igitur df e quadrato fb ef aquale. & ideo ex ijs,qua proxime demon-
flraumms, linea c d feEtionem continget, fed in. ellipfi, & circuli circumferentia, quoniam reEiangu
lum aeb aquale ef reEiangulo d ef, addito utrique quadrato fe ; erit reEiangulum aeb una cum
quadrato fe aquale reEiangulo 'd 'ef una cum quadrato fe. reEiangulo autem aeb una cum qua-
drato f e aquale ef quadratum bf:& reEiangulo d e f und cum quadrato fe aquale reEiangulum
dfe. ergo reEiangulum dfe aquale ef quadrato fb : & propter ea linea cd f lEtionem ipfam contm
gat neceffe ef : qua omnia demonfrare oportebat . Ad hoc autem theorema qua rtum lemma Tap
pi JfeElare uidetur.
THEOREMA XXXVIII. PROPOSITIO XXXVIII.
S 1 hyperbolen , uel ellipfim, uel circuli circumferentiam recta linea
contingens cum fecunda diametro conueniat : Sc a ta<5tu ad diametrum
applicetur linea alteri diametro a?quidiifans .-qua? interiicitur inter ap-
plicatam^ Tectionis centrum una cum interie&a inter contingentem ,
£c centrum fe&ionis , continebit re&angulum aequale quadrato , quod
iit ex dimidia fecunda? diametri : fed una cum ea, qua? inter applicatam,
Sc contingentem- interiicitur, fpatium continebit , quod adquadratum
applicata? eam proportionem habeat, quam figura: re&um latus ad
tfamuerfum.
SIT hyperbole,ueI ellipii$,uel circuli circumferentia, cuius diameter a g b, fecun-
da diameter c g d;linea uero fedtionem contingens iit e 1 fqux conueniat cum c d in f:
' v ' &he
CONICORVM LIBER I. iS
& h e ipfi a b squidiftet.Dico re<ftangulum fg h quadrato c g squale efFe:& ut redan
gulum gh f ad quadratum h e,ita redii figurae latus ad latus tranfuerfum . ordinatinj
namque applicata m e,eritutredangulum gml ad quadratum tn e, ita tranfuerfum
latus ad redum . fedut tranfuerfum latus ba adcd,ita cd ad latus redum. ergo ut
tranfuerfumlatusadredum,itaquadratum ab ad quadratum c d: & ita horum qua
dratorum quartae partes, uidelicet quadratum ga ad quadratum gc. ut igitur redan
gulum gml ad quadratum me,xta quadra tum ag ad gc quadratum, fedredangu,-
rf>
C
8
C/
r
(X-
,
X
f
Z A
m- \
*
e!
lum gml ad quadratum me compofitamproportionemhabetexproportionegm
ad me, hoc eft ad gh, & ex proportione lm ad me. quare conuertendo proportio
quadrati me adredangulutn gml componitur ex proportione em ad mg, hoc eft
h g ad g m,& ex proportione em ad m 1 , hoc eft fg ad gl . ergo quadratum c g ad
quadratum g a compofitam habet
proportionem ex proportione h g
ad gm,& ex proportione fg ad gl.
haec autem eadem eft, quae redangu-
li fgh adredangulum m gl.Vt igi-
tur redangulum fgh ad mglreda
gulum, ita quadratum cg ad quadra j
tum ga:& permutando ut redan-
gulum fg h ad quadratum c g,ita re
dangulum mgl ad quadratum ga.
redangulum autem m g 1 squale
eft quadrato g a . ergo & redangulum fgh quadrato c g aequale erit. Rurfus ut
redum latus ad tranfuerfum, ita quadratum em ad redangulum gml. quadratum
uero em adredangulum gml compofitam proportionem habet ex proportione
cm ad mg,hoceft gh ad ne;& ex proportione em ad ml, hoc eft fg adgl;hoceft
fh ad he.qus proportio eadem eft, quamhabet redangulum fh g ad quadratum
h e.ergo ut redangulum fh g ad quadratum h e, ita redum latus ad tranfuerfum ..
Ifdem politis oftendendum eft, ut linea, qua; inter tangentem, 8c ter
minam fecunda; diametri ad partes applicata; i nteriici tu r, ad eam, quae
inter tangerem , Sc alterum terminum fecundas diametri , ita efte lineam
quas eft inter alterum terminum , Sc applicatam ad eam , qua: inter alte-
rum terminum, 8c applicatam.
Quoniam enim squale eft redangulum fg h quadrato g c,hoc eft redangulo c gd;
nam linea cg squalis eftipfl gd.erit fgh redagulum redangulo cgd squale, ergo
ut fg ad gd,ita cg adgh : &perconuerfionemrationis,ut gf ad fd,ita gc ad dh:
& antecedentium dupla . eft autem ipfius g f dupla utraque ef, fd, propterea quod
cg eftsqualis gd:& ipfius gc dupla d c.Vt igitur utraq; cf,fd ad fd,ita dc ad Jh:
&diuidendout cf ad. fd,ita^h ad hcLquoddemonftrare oportebat.
Ex iam didis manifeftum eft lineam e f contingere lectionem , fine
redangulum fgh aquale fit quadrato gc, ftuc fhg redangulum ad
37. huius
diff.z.diat
metri .
cor. 2.0. fe
*ti .
13. fexd
4 . fexti
zj.fexti
J 7 - huius
zi.hiuu»
4.fcxtL
I4.fext4
APOLLONII PERGAEI
quadratum h e eam, quam diximus, proportionem habeat : conuerfo
enim modo illud facile oftendetur.
E V T O C I V S.
I n aliquibus exemplaribus hac theorema in fala hypcrbola demonfiratim imenimus.Sed hoc
loco miuerfaliter demonflratnr, quoniam eadem contingant & in alqsfettioriibus. Apollonio au-
tem tufam efl nonfolum byperbo!en,fed etiam eUiffim fecundam diametrum habere, ut fape exip-
fo in f apertoribus didicimus. & in ellipfi quidem cafum non habet ,in hyperbola uero tres habet ca-
fus ; punctum enim f,in quo linea fettionem contingens cum f xuuda diametro conuenit, uel efl in -
fra d, uel in ipfo d , uel fupra : & pr opter ea punttpn b f militer tres locos obtinet . attendendum
autem efl, cum f cadit infra d,& h infra c cadere : cum uero f cadit in d, & h in c : & cum f fu-
pra, d,& h fupra c cadet .
F E D. COMMANDINVS.
Ex iam didis manifeftum eft lineam e f contingere Tectionem, fiue
redangulum fgh aquale (it&c.
Sit enim hyperbole ,uel elhpfis,uel circuli circumfer entia, cuius diameter a gb, fecunda diame-
ter cgd:& fumatur in f 'ettione aliquod punctum e d quo ad diametrum ordinatim applicetur e m:
ad fecundam diametrum ducatur ehfipfiab aquidiflans . Sumpto auteminlinea gd puncto f,
ita ut rettangulum fgh aquale fit quadrato cgfiungatur e ffecans diametrum ini. Dico lineam
effectionem contingere.fi enim fi eri poteffnon contingat f elutionem linea e If fed alia linea e n L
Eodem modo, quo ufius efl Apollonius, dcmonflrabitur rettangulum kgh quadrato c g aquale ejje.
fed eidem quadrato c g ponitur aquale rettangulum f g h . rettangulum igitur fghreci angulo
i. fexti f g j) efl aquale . V t autem rettangulum kgh ad rettangulum fg h , ita li-
nea fg ad lineam f g. ergo linea fg aqualis efl ipfi fg : quod fieri nullo
modo potefl .[equitur igitur lineam e l fneceffario fettionem contingere .
lifidem manentibus, habeat rettangulum f h g ad quadratum h e eandem
proportionem, quam rettum latus ad tranfuerfum . Igurfus dico lineam elf
' ' contingere fettionem. habebit enim quadratu h e ad rettangulum fhg pro
portionem eandem, quam tranfuerfum latus adrettum .fed proportio qua -
4 • f exti drati h e ad rettangulum fhg comfofita efl ex proportione eh ad bfrhoc
efl Im ad me,& ex proportione eh ad bg,boceft gm ad m e: qua qui-
dem efl ea, quam habet rettangulum gml ud quadratum m e. ergo rettangulum gml ad quadra
tum m e efl, ut tranfuerfum latus ad rettum . quare ex his , qua in antecedenti demonfir animus, li-
nea. elf fettionem continget*
THEOREMA XXXIX. PROPOSITIO XXXIX.
S i hyperbolen, uel ellipfim , uel circuli circumferentiam reda linea
contingens cum diametro conueniat : &c a taduad diametrum linea or
dinatim applicetur : fumpta quauis linea ex duabus , quarum altera in-
teruntur inter applicatam, & centrum fe&ionis ; altera inter applicata,
Bc contingentemrhabebit ad eam applicata proportionem compofitam
ex proportione,quam habet altera didarum linearum ad applicatam, &c
ex proportione, quam redum figura latus habet ad tranfuerfum .
Sit hyperbole, uel cllipfis.uel circuli circumferentia, cuius diameter a b ; centrum
autem 1 ducaturq; linea cdfedionem contingens:& c e ordinatim applicetur. Dico
-ce ad alteram linearum fe, e d proportionem habere compofitamexproportione,
quam
CO NICOK VM U R; h 19
quam habet redum figura: latus ad tranfuerfum, &. ex ea quam altera didarum li n ea-
rum f e^ed habet ad ipfam e c, fit enim redangulurn fed aquale redangulo,quod fit
ex e c 3 & linea,in qua g. & quoniam ut redangulurn f e d ad quadratum c e, ita tranf-
uerfum latus adredtum : atque eft redangulurn f e d redagulo ex e c,& g aquale; erit
tit redangulurn ex ec 3 &g adquadratum ce 3 hocefhut gad c e 3 ita tranfuerfum latus
ad rectum. Rurfus quoniam redangulurn fed aquale eflredangnlo ex ec &g:ut f' e
ad e c,ita erit g ad e d.habet autem cc ad ed proportionem copoiitam ex propor-
tione; quam ce habet ad g,&exea,quam g ad ed:utq; ce ad g, ita eft redum latus
ad tranfuerfum : & ut g ad e d,ita f e ad ec, ergo c e ad c d proportionem habebit
compofitam ex proportione , quam habet redum latus ad tranfuerfum , & ex ea,
quam f e habet ad e c .
THEOREMA XL. PROPOSITIO X L*
Si hyperbolen , uel ellipfim , uel circuli circumferentiam reda linea
contingens cum fecunda diametro conueniat:& a taduad eandem dia
metrum linea applicetur, diametro alteri arquidiftans : fumpta qualibet
linea ex duabus, quarum una inter applicatam , & fe&ionis centrum in-
teriicitur,altera inter applicatam 3 & contingentem: habebit ad ipfam ap
plicata proportionem compofitam ex proportione 3 quam habet tranf-
nerfum figurae latus ad re&um 3 & ex ea 3 quam altera. dicarum linearum
habet ad applicatam .
SIT hyperbole,uel ellipfis,uel circuli circumferentia a b,cuius diameter b fc, fe-
cunda diameter dfc: ducaturq; reda linea fedionem contingens hla;& ipfi bc se-
quidiftans ducatur a g. Dico ag ad alteram linearum hg, gf proportionem habere
compofitam ex proportione , r quam habet tranfiierfiim figura latus ad redum 3 & ex
ea quam altera didarum linearum h g, gf habet ad ipfam ga . fit enim redangulurn
h g f redangulo,quod fit ex ga 3 Sc linea k aequale.Itaque quoniam ntredum latus ad
tranfuerfiim,ita redangulurn h gf adquadratum ga: redangulo autem hgf «quale
37, hufu»
lem.in it
d;citm
i4.fexti
j
jS.hu fus
\
f
APOLLONII PERGAEI
cfi,quodfitex ga & k : erit re dangulum ex ga & k ad quadratum ga, hoc efi k ad
a g,ut latus redum ad tranfuerfum. & quoniam ag ad gf compofitam habet propor
tionem ex proportione, quam habet ag ad k,& ex ea, qua k ad gf:eftq,nt a g adk,
14, fexti j ta tranfuerfum latus ad rectum ; & ut k ad g fjita h g ad g a,propterea quod redan-
gulurn hgf squale fit ei, quod ex ag & k. confiat ergo ag ad gf compofitam habe
re proportionem ex ea, quam tranfuerfum latus ad redum, & ex ea, quam h g habet
ad g a.
THEOREMA XLI. 1 ROPOSITIO XLI.
v
Si in hyperbola,uel ellipfi,uel circuli circumferentia reda linea ordi-
narim applicetur ad diametrum : 3c ab applicata, Se ea, qua? ex centro pa
rallelogramma a?quiangula deferibantur : habeat autem applicata ad re
liquum parallelogrammi latus proportionem compofitam ex propor-
tione, quam habet ea, qua? ex centro ad reliquum latus;& ex proportio-
ne, quam redum figura? fedionis latus habet ad tranfuerfum : parallelo-
grammum fadum a linea *, qua? inter centrum , 8c applicatam interfici-
tur, fimile parallelogrammo,quod fit ab ea, qua? ex centro , in hyperbo-
la quidem maius efi: , quam parallelogrammum ab applicata , paralielo-
grammo ab ea, qua? ex centro, in elhpfi uero,& circuli circuferentia una
cum parallelogrammo , quod fit ab applicata a?quale efi: parallelogram-
moabea quae ex centro .
SIT hyperbole, uel ellipfis,uel circuli circumferentia, cuius diameter a b, centru
e:&ordinatim applicetur cd: a lineis autem ea,cd squiangula parallelogramma de
fcribantur,qusimt a f,dg:& habeat dc ad c g proportionem compofitam ex pro-
portione, quam habet a e ad e ex ea, quam redum figuras latus habet ad trafuer-
fum.Dicoin hyperbolaparallelogrammum,quodfitex ed fimile ipfi a f, parallelo-
grammis a f,g d squale elfe ; in ellipfi uero , & circuli circumferentia parallelogram-
mum,quodfitex ed fimile a fiuna cum parallelogrammo gdipfiaf elfe squale, fiat
enim ut redum figurs latus ad tranfuerfum,ita d c ad c h . & quoniam ut d c ad c h,
Jem.in 11 Ita redum latus ad tranfuerfum : ut autem d c ad c h . ita quadratum d c ad re-
deenm dangulum d c h : & ut redum latus ad tranfuerfum , ita quadratum d c ad re-
s
£ £
’ 5. quinti dangulum b da: eritredangulum b da redangulo deh squale . rurfus quo-
niam d c ad c g proportionem habet compofitam ex proportione, quam habet
a e ad e f : & ex ea, quam redum latus ad tranfuerfum, hoc efi quam d c- habet
ad
£
CONICO RVM L I B. I,
ad ch.fed dc ad cg compofitam proportionem habet exproportione dc ad ch,&
ex proportione h c ad cg: erit proportio compofita ex proportione a e ad ef, &
ex proportione dc ad ch eadem, qua- componitur ex proportione dc ad c h;&ex
proportione h c ad c g . communis auferatur , proportio fcilicet d c ad c h . reliqua
igitur proportio a e ad e f eadem eft,qu£ reliqua h c ad c g. ut autem h c ad c g, ita
redangulum h cd adredangulum gcd:&ut a e ad ef,i ta quadratum a e adredan
gulum a e f.ergo ut redangulum hcd adredangulum gcd, ita quadratum a e ad re
dangulum a e f.fed oftenfum eft redangulum hcd aquale effe redangulo b d a . ut
igitur redangulum bda adredangulum gcd, ita quadratum a e ad redangulum
a e ripermutandoq; ut redangulum bda ad quadratum a e, ita redangulum gcd
adipfum aef: & ut redangulum gcd ad a e f redangulum, ita parallelogrammum
d g ad parallelogrammum fa:parallelogramma enim ajquiangula funt,& proportio-
nem habent compofitam ex proportione laterum gc ad ae,& cd ad ef. quare utre
dangulum bda ad quadratum a e, ita parallelogrammum dg adipfum f a. Itaque
in hyperbola hoc inodo concludemus . Vt omnia fe habent ad omnia , ita unum ad
unum. ergo ut redangulum bda una cum quadrato a e ad a e quadratum, hoc eft
quadratum de ad quadratum ea,ficparallelogramma gd,a fad parallelogrammu
a f Sed ut quadratum de ad quadratum eg,ficparallelogrammum,quodfit ex de, fi
mile,& fimiliter defcriptum ipfi a f ad parallelogrammum af. ut igitur parallelogra
ma dg,a fad parallelogrammum a f,fic parallelogrammum ex de defcriptum fimi-
leipfi a fad a £ ergo parallelogrammum ex de,fimileipfi afxqualeeft parallelogra
mis g d,a f.In ellipfi nero & circuli circumferentia hoc modo . Quoniam ut totum,
quadratum fcilicet a e ad totum parallelogrammum a f,fic ablatum redanguluadb
ad ablatum parallelogrammum d g; erit reliquum ad reliquum, ficu t totum ad totu.
Quod fi a quadrato ea auferatur redangulum b d a, relinquetur quadratum de. Vt
igitur quadratum de ad exceffum, quo parallelogrammum a f excedit parallelogra-
mum dg, fic quadratum a e ad parallelogrammum a f.fed ut quadratum a e adpa-
rallelograthmum a f, fic quadratum de adparallelogrammum,quodfitex de,fimile
ipfi a £ergo ut quadratum de ad exceffum , quo parallelogrammum a f excedit ip-
fum dg, fic quadratum de ad parallelogrammum ex d e,fimileipfi a f.parallelogra-
mum igitur ex de fimile afa:qualeeftexcefrui,quoparallelogrammum a f excedit
dg. quare fequitur parallelogrammum ex de fimile af una cum parallelogrammo
d g ipfi a f iequale effe.
E V T O C I V S.
Theorema hoc in hyperbola caf m non habet , in ellipfi uero, f applicata in centrum, cadat ,
<& reliqua eodem modo dijponantur, parallelogrammum , quod fit ab applicata parallelogrammo ,
quod ab ea, quae ex centro aquale erit, fit enim ellipfi s, cuius diameter ab, centrum d : ordinatimq;
applicetur c d:& ab ipfis cd, da par allelogr am-
nia aquiangula deferibantur, dg, af: habeat au-
tem dc ad cg proportionem compofitam ex pro-
portione , quam habet ad ad d f ,- & ex ea, quam
, rectum figura latus habet ad tranfuerfum . Dico
parallelogrammum a f aquale efie parallelogram
mo dg . Umniam enim in fupenoribus oflenfum
e fi, ut quadratum ad ad parallelogrammum a f,
ita efie redi angulum adb ad parallelogrammum
d gerit permutando, ut quadratum ad adreblan-
gdum a dbfit a parallelogrammum a f adparal-
lelogrammum dg . fed quadratum a d aquale efi
re^t angulo a dh. ergo parallelogrammum af pa*>
ralldogrammo dg aquale erit.
H s
i. fexti
lem.in iz
decimi
n «quinti
A
zz. fexti
B
tf.fecudt
C
9. quinti
D
19- quinti
f. fecudi.
E
P.quintl.
A
B
<C
E)
E
A
jy.huius.
io
B
i. fexti
i
APOLLONII PERGAEI
FED, COMMA NDINVS.
ET utreclangulum gcd ad a e f reftangulum, itaparallelogrammum dg ad pa
rallelogrammum fa.] Hoc etiam conflat ex fexto lemmate 'Pappi .
Vt om nia fe habent ad omnia , ita unum ad unum j In omnibus antiquis codicibus 3 quos
uiderimfic legitur m ccvtx n po $ 7 r«vT#,i'v n pof h. Sed delenda funt, ut arbitror , tanquamab
aliquo addita ; illud enim per compofitam rationem colligi perjpicmm efl .
Sed ut quadratum de ad quadratum ea;ficparallelogrammum,quodfitex d.e ii
mile,& fi militer defcriptum ipfi a f ad parallelogrammum a f .] Quadratum enim d e
ad quadratum ea duplam proportionem habet eius 3 qua efl lateris d e ad latus e a: & eandem
proportionem habet parallelogrammum ex de fimileipfl a f ad a f. ex corollario 20. fexti ele-
mentorum .
Quoniam ut totum quadratum fcilicet a e ad totum parallelogrammum a f. ]
Demonflratum enim esi fuperius , ut redi angulum b da ad quadratum a e 3 ita ejje parallelo gr am-
nium dg ad parallelogrammum fa. quare permutando redt angulum bda ad parallelogrammum
dg efl 3 ut quadratum a e ad parallelogrammum a f.
Sed ut quadratum a e ad parallelogrammum a f, fic quadratum de ad parallelo-
grammum, quod fit ex de fimileipfi af.] Erat enim ut quadratum d e ad quadratum ea 3
Jic parallelogrammum ex de fimileipfi af ad a f. ergo & permutando.
THEOREMA XLII. PROPOSITIO XLII.
S i parabolen reda linea contingens cum diametro conueniat ; 8c h
tadfcu ad diametrum linea ordinatim applicetur ; fumpto autem quouis
pundo in fedione, applicentur ad diametrum duse lineae, altera quidem
contingenti aequidiitans, altera uero aequidiftans ei, quar d tadu ordina-
tim applicata eft : triangulum, quod ab ipfis conftituitur,«quale erit pa
rallelogrammo contento linea a tadu applicata’, & ea, quse interiicitur
inter aequidiftantem &; uerticem fedionis .
SIT parabole , cuius diameter a b:ducaturq; linea a c feclionem contingens : &
ch ordinatim applicetur . a quouis autem punfto d applicetur df:&perd quidem
ducatur de ipfi ac aequidiftans , per c uero ipfa cg xquidifians bf: denique per b
ducatur bg, qua: ipfi hc aequidiftet. Di-
co triangulum e d f aequale efie parallelo
grammo f g. Quoniam enim a c fe&io-
ncrn contingit, & ordinatim applicata efi:
c h, erit a b aequalis ipfi b h ; & a h dupla
hb. triangulum igitur ahc parallelogra-
mo b c efi: aequale. & quoniam ut quadra
tum c h ad quadratum d f, ita linea h b
adipiam b fipropter fectionem:ut autem
quadratum ch ad quadratum df, ita tri-
angulum a c h ad triangulum edf: & ut
h b ad b f, itaparallelogrammum g h ad
parallelogrammum g f :erit uttriangulu
a c h ad triangulum edf, ita h g parallelogrammum ad parallelogrammum f g : St
permutandOjUt ach triangulum ad parallelogrammum h g, ita triangulum edf ad
parallelogrammum fg. fed triangulum ach aequale efi parallelogrammo hg.ergo
triangulum edf parallelogrammo fg aequale erit .
EVTO
CONICORVM UBER I, 3*
V E V T O C I V S.
Hoc theorema undecim habet cafus ; unum quidem fi d fupra c fumatur ; conflat enim lineas
(Squidiflantes cadere intra ip fas ac h: alios autem quinque cafus habet, fi d fumatur infla c: naret
linea df aquidiflans cadet extra cb,& de uel inter a & b cadet ,uel in ipfo b,uel inter b &b 9
uel in. b, uel infla h: ut enim fupra a cadat , fieri non potefl: quoniam cum d fit infla c, & qua per
ipfmn squidiftans ac ducitur , infla a cadet. Quod fi d fumatur ex altera parte feUionis , net
utn&que /eqmdiftantes inter b & h cadent: uel df quidem cadet fupra b c ,pmEtumuero e uel in
h,uei i'nfla ,uel rurfus e cadet infla h,& fuelin h,itaut chd fit redi a linea 3 ( quamquam tunc
non exacte xquidi flantium proprietas J 'eruetur) uel infla b cadet . Oportet autem in demonflra-
tione quinque cafmrn poftremopkm lineam df ufqite ad f °Mionem, &adipfam gc produci. Sed
■ex his aliam quamdam deferiptionem mente concipere pojfumus 3 cum uidelicet fumatur aliud pun-
ctum, & qua in principio ficmpta fuerant linea faciant id, quod ditium efi. Sed hoc theorema efi ,
non cafus .
F E D. COMMANDINVS.
* \
Triangvlvm igitur a h c parallelogrammo b c efi aquale . ] Efi enim parallelo -
grammurn cha duplum trianguli ahc ,'itemq, duplum par allelogrammi chb ,boc efi ipfius bc.
quare ex nona quinti fequitwr triangulum ach parallelogrammo bc aquale effle .
Vt autem quadratum ch ad quadratum df', ita triangulum ach ad triangulum
e d f . ] Quadratum enim ch ad quadratum df duplam proportionem habet eius, qua efi lateris
ch ad dfex cor.zo.fexti: & fimili ter eandem habet proportionem triangulum ach ad triangu-
lum edfipfifimile. ut igitur quadratum ch ad quadratum df , it a triangulum ach ad trian-
gulum e d f.
THEOREMA XLIII. PROPOSITIO XLIII.
r
S 1 hyperbolen, uel ellipfim, uel circuli circumferentiam reda linea
contingens conueniat cum diametro : & 3 tadu ad diametrum linea or-
dinarim applicetur: huic uero squidiftans ducatur per uerticem fedio-
nis 3 quae cum linea pertadum & centrum duda conueniat: & fumpto
aliquo pundo in iedione, ab eo ad diametrum dus lines ducantur, una
quidem contingenti squidiftans ; altera uero squidiftans ei , qus a ta-
du applicata eft : triangulum ab ipfis fadurn in hyperbola minus erit ,
quam triangulum , quod abfeindit linea per centrum, &tadum du6fta,
tnangulo ab ea, qus ex centra, fimili abfcifto : in ellipfi uero , 8c circuli
circumferentia una cum triangulo abfcifto ad centrum squale erit
triangulo fimili abfciiIo,quod ab ea qus ex centro deferibitur .
Sit hyperbole, 11 el ellipfis, uel circuli circumferentia, cuius diameter a b ; centrum
c: dueaturq; linea de fe&ionem contingens: Suundra ce, ordinatim applicetur ef.
Sumatur autem aliquod punduminfe&ione, quod fit g; & ducatur linea gh contin-
genti squidiftans : & gkm ordinatimapplicetur :per b uero ordinatim applicetur
b 1. Dico triangulum k m c differre a triangulo, c 1 b per triangulum g k h.Quoniam
enim linea ed lectionem contingit, ordinatim uero applicata eft ef, habebit efad
fd proportionem compofitam ex proportione cf ad fe,& ex proportione redi la-
teris ad tranfuerfum. Sed ut e f ad fd,ita g k ad hJi:Sc ut c f ad fe,ita c b ad b l.Er-
go gk ad kh proportionem habebit compofitam ex proportione c b ad b 1 : & ex
A
41. primi, 1
1 . fexti
B
\Y
3 9 -h mus
4. fexti.
If, 'quin-
ti
37 Juiius
14. fextt
cor. 10 f:
xti
I. Texti
g.quinti.
A
B
9 . quinr.
c
D
B
F
ii. huius
E
j.fecundi
APOLLONII PERGAEI
proportione redi lateris ad tranfuerfum , quare ex his , qus in quadragefimo primo
theoremate oftendimus, triangulum ckm a triangulo bcl differt, triangulo ghk:
etenim in parallelogrammis triangulorum duplis hsc eadem demonftrata funt .
EVTOCIVS.
In aliquibus codicibus huius theorematis talis legitur demonflratio . Quoniam enim re-
dangulum fcd squale eft quadrato cb,eritut fc ad cb, ita bc ad cd. quare ut fi-
gura, qus fit ex fc ad figuram ex cb, ita linea fc ad cd. Sed ut figura ex fc ad figu-
ram ex cb,ita ecf triangulum ad triangulum lcb:&utlinea fc adipfam cd,ita efc
triangulum ad triangulum e c d. Vtigitur ecf triangulum ad triangulum 1 cb , ita
triangulum e c f ad ipfum e c d.proptereaq; triangulum e c d triangulo 1 c b eft squa
le.ergo in hyperbolaper conuerfionem rationis ; & in ellipfi , conuertendo, diuiden-
doq;,&rurfus conuertendo,ut efc triangulum ad quadrilat erum elb f, ita triangu-
lum ecf ad triangulum e df. quare triangulum edf aquale eft quadrilatero elbf.
Et quoniam ut quadratum fc ad cb quadratum, ita triangulum e c f ad triangulum
1 c b,in hyperbola quidem diuidendo; in ellipfi autem conuertendo,& per conuerfio-
nem rationis, &rurfus conuertendo, erit ut rectangulum afb ad quadratum bc,ita
quadrilaterum el b f ad triangulum b 1 c: & fimiliter ut quadratum c b ad re<ftangu-
Ium a kb, ita triangulum leb ad quadrilaterum mlbk. ergo ex «quali ut re&angu-
lum afb adrcdtangulum ak b,ita elbf quadrilaterum ad quadrilaterum mlbk. ut
autem redlangulum afb ad redangulum a k b,ita quadratum ef ad quadratum gk:
& ut quadratum ef ad quadratum gk, ita triangulum edf ad triangulum ghk.qua-
re ut triangulum e d f ad triangulum g h k,ita quadrilaterum e 1 b f ad quadrilaterum
m 1 b k : & permutando ut triangulum e d f ad quadrilaterum elbf, ita triangulum
ghk ad quadrilaterum mlbk. Sed triangulum edf oftenfum eft squale quadrila-
tero elbf.ergo& triangulum ghk quadrilatero mlbk eft squale, triangulum igi-
tur mck a triangulo lcb differt triangulo ghk.
Sed cum hac demonflratio obfcuritatem quandam habeat in -proportionibus ellipfls , enitendum
efl, ut e a, qua breuiter dici a funt , latius explicentur . Quoniam , inquit , ut quadratum f c
ad quadratum c b, ita triangulum ecf ad triangulum lcb, erit conuertendo, &per
conuerfionem rationis, ruriusq; conuertendo . efi enim conuertendo ut quadratum bc ad
quadratum cf y ita lcb triangulum ad triangulum e f c: & per conuerfionem rationis , ut quadra-
tum bc ad r eft angulum afb (hoc efi ad exceffum, quo quadratum bc excedit quadratum cfquo
niampmflum c lineam ab bifariam fecat 3 )ita triangulum Ibc ad quadrilaterum lbfe:& con-
uertendo } ut reltangulum afb ad quadratum b c , ita quadrilaterum Ibfe ad lcb triangulum .
Habet autem in hyperbola cafus undecim , quot habebat pr recedens theorema in parabola , &
praeterea alium quendam 3 cum fcilicet punblim, quod in g fumitur idem fit , quod e.tunc enim con-
tingit triangulum edf una cum triangulo Ibc aequale e fle triangulo cef: quoniam oBenfim e'sl
triangulum edf quadrilatero Ibfe aquale. quadrilaterum autem l b f e d triangulo cef ipfo Ibe
trian-
CONICORVM LIB. L
f /
4
f \
c
M
d C
m
a
triangulo di fert . Sed in ellipfi uel pundium g
idem efl, quod e , uel fupra e fumitur , & tunc
fiirafque aquidifiantes inter d &f cadere per
ficuum efl. quod fi g fumatur infra e, & ab eo
ducta linea aquidiflans ipfi ef cadat inter f &
c 3 pundium h quinque cafus ejficit : uel enim ca
dit inter d & b 3 uel in b, uel inter b & f, uel
in f,uel inter f & c. fi nero qua; per g ducitur
applicat re aquidiflans in centrum c cadat ,pun
Cium b fimihter quinque ejficit cafus . atten-
dendum tamen efl triangulum facium a lineis ,
qua tpfls de 3 ef £ qui ds fiant , triangulo Ibc
aquale e fe. Quoniam enim ut quadratum ef
ad quadratum g cflta triangulum e d f ad triangulum g b cfimilia enim triangula fiunt :& ut qua-
dratum ef ad quadratum g cflta redi angulum bfa ad redi angulum bea 3 hoc efl ad quadratum
b c: erit ut triangulum edf adipfum gh c,it a redi angulum bfa ad quadratum bc. ut autem re-
di angulum bfa ad quadratum b cflta quadrilaterum Ib f ‘e ad triangulum Ibc, quod demotiflra-
iumiam fuit, ergo ut edf triangulum ad triangulum gbc , ita efl quadrilaterum Ibfe ad trian-
gulum Ib c:& permutando ut triangulum edf ad quadrilaterum Ibfe 3 it a triangulum gh c ad
triangulum l b c.fed £ quale efl triangulum edf quadrilaterolbf e. triangulum igitur gbc trian-
gulo Ibc efi £ quale . To (fumus autem h£c etiam aliter probare, fi dicamus in parallelogram-
mis triangulorum duplis eadem demonflrataefe ; uidelicetin qmdr age fimo primo theoremate .
Quod fi dubia per g aquidiflans ef cadat inter c & a, producetur quidem, quouff linea ce cum
ipfa conueniat ,• &■ pundium b feptem cafus efficiet . uel enim inter b & d cadit, uel in b,uel in-
ter b & f, uel m f, uel inter f & c,uclin c,uelinter c & a,&-in bis cafibus contingit differen-
tiam triangulorum Ib c,gh k infra confhtui d lineis g f, e c produdiis . Si uero g fumatur in al-
tera parte feclionis : & qu£per g ducitur ipfi ef £quidiflans inter b & f cadat , producetur ob
demonfirationem,quonfq-,fecetipfam l c:& punctum h faciet feptem cafus ; uel inter b & f ca-
dens , uel in ffuel inter f & c,uel in c,uel inter c & a, uel in a, uel infla a.&figm cadat inter
f <& c, pundium b quinque cafus efficiet , uel enim erit inter f & c,uel in c , uel inter c & a , uel
in a, uel infla a. Sed fi g fi in centrum c cadat ,pmdtum h cafus efficiet tres ,uel inter c & a ca-
dens ,uel in a uel extra a. atque in his cafibus rurfus contingit triangulum gh k £quale effe trian,
gulo l b c. Denique fi gk cadat inter c & a, pundium b uel cadet inter c & a, uel in a, uel ex-
tra . Itaque in ellipfi cafus omnes erunt quadraginta duo,& totidem in circuli circumferentia , ita
ut huius theorematis cafus fint nonaginta fex .
FED. COMMANDINVS IN DEMONSTRATIONEM,
Q_VAE AB EVTOCIO AFFERTVR»
Ergo in hyperbola per conuerfionem rationis .] > Quoniam enim edi ut ecf triangu-
lum ad triangulum leb, ita triangulum ecf ad triangulum ecd: erit per conuerfionem ra-
tionis, ut e cf triangulum ad quadrilaterum e l bf, ita triangulum e cf ad triangulum e df.
Et in ellipfi conuertendo, diuidendoq;,& rurfus conuertendo .} Rurfus quoniam ut
triangulum e cf ad triangulum l c b , ita triangulum e cf ad triangulum ecd : conuertendo erit ut
leb triangulum ad triangulum ecf, it a triangulum ecd ad triangulum e c f: diuidendo q-,, ut qua-
drilaterum elbf ad triangulum ecf, it a triangulum edf ad triangulum ecf: & rurfus conuer-
tendo ut triangulum ecf ad quadrilaterum e l b f, ita triangulum ecf ad edf triangulum .
Et quoniam ut quadratum fc ad cb quadratum, ita triangulum e c f ad triangu-
lum 1 c b . ] Surit enim triangula eefflbe jimilia, & duplam inter fe proportionem habent eius,
qu£ efl latens ad latus fimilis rationis, quemadmodum & ipfa quadrata .
In hyperbola quidem diuidendo . ] Tflam cum fit ut quadratum fc,ad cb quadratum ,
ita triangulum e cf ad triangulum l c b; erit diuidendo, ut exccffus, quo quadratum fc excedit c b
quadratum x hoc efl redi angulum afb ex fexta fecundi elementorum, ad quadratum c b , ita qua-
drilatcrum elbf ad triangulum leb .
ii. huius
\\
A
B
C
COV.IO. f®
Xtl
D
APOLLONII PERGAEI
p Et fi militer ut quadratum c b ad redangulum a k b , ita triangulum 1 c b ad qua-
drilaterum mlbk. ] Quoniam enim ut quadratum x c ad cb quadratum , ita triangulum
m c k, ad triangulum leb: jimiliter demonjlrabitur ut reti angulum akb ad bc quadratum , ita
quadrilatenm mlbk^ad triangulum l c b. quare eri commi endo ,
THEOREMA XLIIII. PROPOSITIO XLIIII.
Si unam oppofitarum fe&ionum reda linea contingens cum dia-
metro conueniat; a tactu nero ad diametrum linea ordinatim applice-
tur'; atque huic gequidiftans ducatur per uerticem alterius fe&ionis , ut
conueniat cum linea per taritum , & centrum dudta :lutnpto autem in
fedione quouis punhto, applicentur ad diametrum dua’ linea, quarum
altera contingenti aquidiftet, altera aquidiffcet ei, qua ata<5hi ordina-
tim applicata cPt : triangulum ab ipfis factum minus eft, quam triangu-
lum, quod ab fcindit applicata ad centrum fedionis , triangulo fimili
abfcifto ab ea, quae ex centro .
Sintoppofitefediones a f,b e, quarum diameter ab,centrum c.-& ab aliquo pun-
do eorum , qvx funtin fedione fa,uidelicetapundo f ducatur linea fg fedionem
contingens : ordinatimq; applicetur fo: &iunda fc producatur, utad e: per b ue-
ro ducatur bl ipfi fo jequidifta-ns : & fumatur aliquod pundum in fedionem b e,
quod fit n ; a quo n h ordinatim applicetur : atque
ipfi fg fuquidifians ducatur n k . Dico triangulum
n h k minus eife,quam triangulum c m h, triangulo
C b l.ducatur enim per e linea e d contingens e b fe
dionem:&ex ordinatim applicetur . itaque quo-
niam oppofitx iediones fimt f a, b e, quarum dia-
meter abr& linea fce per centrum ducitur: & fg,
ed fe dio nes contingunt: erit de ipfi fg cequidi-
fians . eft autem nk jeqmdiftans fg.ergo& nk ipfi
e d; & m h ipfi b 1 sequidiftat . Quoniam igitur hy-
perboleeft b e, cuius diameter ab,centrum c: & li-
nea e d fedionem contingit : ordinatimq; applica-
ta eft ex:&ipfi ex xquidiftat bl: fumpto autem in
fedionepundo n.ab eo ordinatim applicatur nh,&ipfi de sequidiftans ducitur nk:
erit triangulum n h k minus, quam triangulum h m c,ipfo c b 1 triangulo.hoc enim in
quadragefimo tertio theoremate oftenfum eft .
EVTOCIVS.
, Itaque quoniam oppofitse fediones funt fa,b ecquarum diameter ab: & linea fce
per centrum ducitur : & fg , de fediones contingunt : erit d e ipfi fg xquidiftans . ]
Quoniam igitur hyperbole eft afjineaq; fg feciionem contingit ; eri applicata eft fo; erit reci an-
gulum o cg aquale quadrato c a,ex trigeftmo feptimo theoremate : eri jimiliter reti angulum xcd
quadrato cb aquale . eft igitur ut reliangulum ocg ad quadratum ac , ita reti angulum xcd ad
quadratum b c: eri permutando ut reliangulum ocg adrelt angulum x c d, ita quadratum ac ad
ex demo- jpfurn cb:& id areo reliangulum o cg aquale eft redi an gulo x c d.eftq;linea o c aqualis ipfi cx.
, ln _ ergo & gc ipfi c d . Sed fc ipfi c e est aqualis , ex trigeftmo theoremate . linea igitur fc, cg,
i vximi aquales funi ipfis e c,c d: angulo fq; aquales continent ad c,funtenim fecundum uerticem . quare
4 eri fg ipfi e d eft aqualis;& angulus cg f angulo ede : qui quidem anguli alterni funt . ergo fg
2-7 ipji ed aquidiftabit . Cajus huius theorematis duodecim funt , quemadmodum in hyperbola,ut
(diximus in quadragefimo tertio theoremate, atque eadem eft demonstratio .
VED»
jo. primi
€ 0 NI COH V M tIB ER I, 33
F EI), C O M M A N D I N V 5,
Fx his: quce fuperim dictafunt , licet etiam illud demonfiraxe .
Az unam oppofitarum jetiionurn xeita linea eon
tingat: & a tailu ducatur diameter ufque ad alte -
ram feftm.em : qu£ ah eo punih ducitur line £ fi-*
tUomm contingenti xquidijlam ,feitianem ipfam
continget .
Smt oppofita fcitimes affh ecquarum diameter- ah, cen-*
trum c,ut in propofitajigwa:& linea fg in f jeitionem con-
tingat: ducatur autem diameter f ce fcctiom bc in punito e
occurrens & ab eo ducatur e d ccquidifians fg. Dico lineam
ed fcftionemm e contingere , "Nam fi non contingit e dedu-
catur ab eodem punito alia linea Jeftionem contingens , qua
fit ep.a quidifiabit e p linea fg, ex iam demonfiratis ... ergo.
& ipfi e d: quod fieri non potefi: conueniunt enim inter fe in
punito e. linea igitur ed.in e feitionem contingat nece fie e fi.
THEOREMA XLV, PROPOSITIO XLV,
S r hyperbolen , uel ellipfim , uel circuli circumferentiam reda li-
nea contingens cum fecunda diametro conueniat: & a tadu ad eandem
diametrum linea applicetur, diametro alteri xquidiftans:& per tadum
Sc centrum ducta iinea producatur.' lumpto autem in fedione quouis
pundo,ad fecundam diametrum ducantur dux lineae, quarum una
contingenti , altera applicatx xquidiftet; triangulum, quod ab ipfis
coiillituitur,in hyperbola quidem maius cft, quam triangulum abfcif»
fum ab applicata ad centrum, triangulo, cuius bafis eft linea contingens,
Scuertex centrum fedionis ;in ellipfi uero& circuli circumferentia,
una eum triangulo abfciiTo* xquale eit triangulo , cuius bafis linea con-
tingens , & uertex fcdionis centrum .
Sit hyperbole, uel ellipfis , uel circuli circumferentia abe, cuius diameter ah ; fe-
cunda diameter h d; & centrum h: linea uero cml lectionem contingat in c r duca-
turch c 4 ipfi ah xquidiftans:& iun&a ch
producatur funipto deidein fe&ione quo
uis pundfco b, ducantur line* b e, b f, qu* T
ipfis lc,c d aequidident. Dico triangulum ff f fi
b e f in hyperbola quidem maius ede ,
quam triangulum g h f, triangulo 1 c h ; in
ellipfi uero & circuli circumterentia, una
cum triangulo tgh aquale e0e triangulo
clh , ducan tur enim c k, h n xquidiftantes
ipfi dh. & quoniam linea era fectio.nem
contingit, atque applicata eft. c k; habebit / N F \ huius
c k ad kh proportionem compofitam. ea: proportione,q,ua,mhabet mk ad kc:& ex
ea , quam redtuni figurae latus habet ad tranfuerfum . ut autem mk ad kc,ita cd ad
dl.ergo ck ad kn proportionem compofitam habet ex proportione cd ad dl, &
atque eft; triangulum c dl figura, qus*fic.
I
*
'■ 1 'f \
[ ...
. V
- * <
' r
(f fi
.
■^6
APOILONII PERGAEI
ex lc h:& triangulum ch k,hoc eft c dh,figura,qus fit ex e k,hoc eft ex d h.quarc trian
gulum c dl in hyperbola qui
dem maius eft, quam trian-.
gulum c k h, triangulo fado
ex.ah,ftmiliipfi cdkinelli-
pftuero & circuli circumfe-
rentia una cumipfo c k h ei-
dem triangulo eft aequale,
hoc enim in parallelogram-
mis triangulorum duplis in
quadragefimo primo theo-
remate eft demonftratum.
Itaque quoniam triagulum
cdl a triangulo ckh, uel
cdh differt triangulo, quod
fit ex ahjipfi cdl fimili: dif-
fert autem & triangulo c h
erit c h 1 triangulum squale
ei, quod fit ex a h, fimile ipfi
cdl. Rurfus quoniam trian-
gulum b fe fimile eft trian-
gulo c dl:& triangulum g f'h
triangulo cdh, ip forum la-
tera inter fe eandem pro-
portionem habent.atque eft
triangulum b fe, quod fit ex
n h inter applicatam & cen-
trum interie&a: triangulum
uero gfhjquodfitex bnap
plicata,hoceftex fh. Ex iis igitur , qus prius oftenlafimt, triangulum bfie a trian-
gulo ghf differt triangulo, quod fit ex ahffimiliipfi cdl. quare & triangulo clh.
, /
t
a *
m
& V
(Ai $
s
^x
* K f
* f
N
T
E V T O C I V S.
• Jtt.endendvm eflboc theorema plure s habere cafus : in hyperbola enim uiginti habe*;
nampunblum, quod pro b fumitur 3 uel idem esi, quod c 3 uel idem quod a : & tunc contingit trian-
gulum fatum ex ah fimile ipfi d c l 3 idem effe,quod d lineis oequidifiantibus ipfis dl,lc abfcindi-
tur. Si uero b fumatur irit er a c 3 & puntla dl fint fupr a terminos fecunda diametri, fient tres ca
fusfnam punta f e uelfupra terminos ferentur, uel m ipfos , uel infra ; &fidl fint in terminis fe-
cundae diametri ;f e infra terminos erunt . Quod fi b fumatur in f a c; & bc ad c producatur y
tres alios cafus 'fieri contingit 3 nempe ipfo d 3 uel fupra terminos fecundae diametri exiflente , uel in
ipfis ,uel infra. & fimiliter f faciet tres alios cafus ‘firi autem b fumatur ex altera parte f 'itionis y
producetur ch ad h propter demonftrationem : & bfibe tres cafus efficient 3 quoniam f e uel ad
terminos fecundae diametri ferentur, uelfuprat , uelinfra . Ellipfis uero, & circuli circumferentiae
uario f cafus nunc non explicabimus , cum de his fatis ditum fit in praecedenti theoremate . erunt
igitur huius theorematis cafus omnes centum . Sed pojfunt haec eadem etiam in oppofitis fictio-
nibus demonflrari .
THEOREMA XLVI. PROPOSITIO XLVI.
S r parabolen reda linea contingens cum diametro conueniat ; quae
per tadum ducitur diametro aequidiftans ad eafdem partes fedioni ^li-
neas in fedione dudas > qu^ contingenti xquidiftant , bifariam fecabit.
Sit
C O N I C O R V M L I B. I. 34
Sit parabole, cuius diameter a b d: & linea a c fe&ionem contingat:per c uero du-
catur h c m «quidiftans a d: & lumpto in fectione quouis
pundo 1 ducatur infe,qu«ipfi ac «quidi&et. Dico ln
i pii n f «qualem effe. ducantur enim ordinatim b h,k fg,
lmd. & quoniam ex his, qu« in quadrageiimo fecundo
theoremate demonftrauimus , triangulum eld «quale
eft parallelogrammo bm, & triangulum efg parallelo-
grammo bk; erit parallelogrammum gm, quod relin-
quitur «quale quadrilatero lfgd. commune auferatur
mdgf n quinquelaterum . reliquum igitur triangulum
kfn reliquo Imn eft «quale. Sed linea k f «quidillat
lm. ergo fn ipii nl «qualis erit.
EVTOCIVS*
Hoc theorema plure s cafus habet . demonfirabimus autem habi-
ta ratione cafuum quadr age fimi fecundi theorematis ; ut exempli caujfa
fi f cadat in b, ita dicemus. Quoniam triangulum bdl aquale cfl pa-
rallelogrammo hbdm, commune auferatur nmd b,erit reliquum tri-
angulum ,fcilicet Inm aquale reliquo hnb. In alijs autem ad hunc
modum . Quoniam triangulum led parallelogrammo hbdm esi
aquale ; & triangulum feg parallelogrammo h bg k , erit reliquum
lfgd aquale reliquo k gdm. Commune auferatur nf gdm. reli-
quum igitur triangulum Inm reliquo k nf esi aquale.
F E D. COMMANDINVS.
Sed linea k f «quididat Im,ergo fn ipfi nl «qualis erit . ] Quoniam enim aquidi -
flant k f ,lm, angulus f k n aqualis eji angulo Imn: anguli aut em ad n fecundum uerticem inter J e
funt aquales. ergo & reliquus aqualis reliquo : & triangulum fnn triangulo Imn fimile. Ita-
que fiat ut fn ad n l,fic n l ad aliam lineam } qua fit o p\erit linea fn ad o p,ut triangulum fk n ad
ipfum l m n.quare linea fn linea op efi aqualis . Sed cum tres linea f 'n 3 nfop proportionales
fint , fequitur reci angulum ex fn y op; hoc cfl quadratum fn quadrato n l aquale effe : &■ propte -
rea lineam f n linea n l aqualem .
a
THEOREMA XLVII. PROPOSITIO XLVII.
S i hyperbolen, uel ellipfim,uel circuli circumferentiam reda linea
contingens cum diametro conueniat .• per tadum , Sc centrum duda li-
nea ad eafdem partes ledioni , lineas , qua: in fedione ducuntur , con-
tingenti atquidilliantes bifariam lecabit .
Sit hyperbole, uel ellipfis, uel circuli circumferentia, cuius diameter ab, cen-
trum c : clucaturcg d e fectionem contingens : & iun&a c e producatur. Sumpto au-
tem in fectione quouis pundo n, ducatur per n linea h n o g ipfi de «quidiftans .
Dico n o ipfi o g «qualem effe . applicentur enim ordinatim x n f, b 1, g m k. ergo ex
demonftratis in quadragefimo tertio theoremate triangulum h n f «quale eft quadri-
latero 1 b fx:& ghk triangulum quadrilatero Ibkm.reliquumigiturngkfquadri-
laterum reliquo m k f x eft «quale . commune auferatur onfim quinquelaterum .
I a
2j>. primi
i;
cor. io. fa
xti
xd.fcxti.
ex derr.o-
liratis ab
fcutccioi
44. huius
APOLLONII PERGAEJ >
erit reliquum triangulum omg squale reliquo oxn.atqueefl mg squidiflans nx.
ergo n o ipfi og efl: squalis .
E V T O C I V S.
Hoc theorema in hyperbola tot hahet cafus , quot habe-
bat pracedens in parabola . clemonftrationes autem eorum fa-
ciemus, attendentes cafus quadr age fimi tertii theorematis :&
in ellipji itidem,ut in fubiecia figura, cum pundtum g extra fu-
mitur. Quoniam triangulum lac aquale efl triangulis hgu,
ucm,hoc efl triangulis ohc,o mg: atque efl idem triangulum
lac aquale triangulo xpc , & quadr Hat ero lapx , hoc esi
triangulo nhp\eic his , qua demonflrata funt in quadrage fi-
mo tertio theoremate , erunt triangula xpc , nhp aqualia
triangulis o h c,o mg.commune auferatur triangulum o h c.re
liquum igitur triangulum xon aquale efl reliquo mog- <&■ efl
nx aquidiflans mg.ergo no ipfi og efl aqualis .
THEOREMA XLVIII. PROPOSITIO XLVIII.
Si unam oppolitarum fectionum reda linea contingens cum dia-
metro conueniat : & per tadtum & centrum linea producta fecet alte-
ram lectionem : quabn altera lectione ducta fuerit, contingenti arqui-
diitans a linea producta bifariam fecabitur .
Sint oppofits fediones , quarum diameter a b, centrum c : &
linea k 1 fedionemcontingat: iundaq; lc producatur . furnpto
autemin b fedionepundo n,per n ducatur n g,qussquidiftet
lk.Dico lineam no ipfi og squalem effe.Ducatur enim per efe
dionem contingens e d. erit ed ipfi lk squidiftans:quare&ipfi
n g.Quoniam igitur hyperbole eft b n g, cuius centrunycdineaq;
de fedionem contingit;&iunclaeft ce:fumpto autemin fedio-
nepundo n,pern ipfi de squidiffans dudaeff ng:exiis,qusin
byperbola offendimus, erit n o ipfi o g squalis .
E V T O C I V S.
h y i v s etiam theorematis cafus itafe habent, ut in quadragefimo feptimo theoremate diclum
efl de hypsrboladefcriptione . THEO
CONICORVM LI E: f: '
31
\
THEOREMA XLIX, PROPOSITIO XLIX.
Si parabolen recta linea contingens cum diametro conueniat:&;
,per tadum ducatur linea diametro sequi di dans: a uertice uero ducatur
srquidiftans ei, qua: ordinatim applicata efb & hat ut portio contingen-
tis inter applicatam & tadum interieda ad portionem arquidiltantis,
qua: itidem inter tadum , dc applicatam interiicitur *, ita quardam reda
linea ad duplam contingentis : qua: a fedione duda fuerit, seqmdiftans
contingenti ad lineam, quseper tadum ducitur diametro acquidiftans ,
poterit redangulum contentum inuenta linea, & ea, quse inter ipfam
&c tadum interiicitur .
SIT parabole, cuius diameter m b c:& linea cd /e dio nem contingat: per d uero
i pii bc «quidiftans ducatur fdn:& fb ordinatim applicetur : fiatq; ut ed ad dfiita
quadam reda linea g ad duplam ipfius cd: &fumpto in fedione pun do k,ducatur
per k i pii cd «quidiftans klp.Dico quadratum kl «quale effe redangulo , quod fit
exlinea g & dl,ho£ efc diametro exiftente dllineam g effe redum latus. applicentur
enim ordinatim d x,k n m.& quoniam c d fedionem contingit,ordinatim uero appli
cata eft dx, erit cb «qualis bx.fiedbxeft «qualis, fd.ergo
cb ipfi fd «qualis erit :&propterea triangulum ecb «-
quale triangulo e fd. commune addatur, figura fcilicet dc
b m n . quadrilaterum igitur d c m n «quale eft parallelo-
grammo fm, hoc eft triangulo kpm. commune auferatur
quadrilaterum 1 p m n.ergo reliquum triangulum k 1 n pa
rallelogrammo lc eft «quale.angulus autem dlp «qualis
eft angulo kln. quare redangulum kln duplum ed reda
guli ldc.quoniam igitur ut ed ad dfiita eft linea g addu
piam ipfius c d:& ut e d ad d f^ita k 1 ad 1 n:erit ut g ad duplam c d,ita kj ad 1 n . fed
ut kl ad 1 n, ita quadratum kl ad redangulum klm:& ut g ad duplam cd, ita reda
guIum,quodfitex g &dl ad duplum redanguli cdl. quare ut quadratum kl ad re-
dangulum kln,ita redangulum ex g & dl ad duplum ipfius cdl redanguli:& per
m utan do. efi autem kln redangulum «quale duplo redanguli cdl. ergo quadratu
k 1 redangulo ex g & d 1 «quale eritk
E V T O C I V S.
3
jf.hufus
41 /huius
8. lemm.
pa Ppi
4. Texti
Iero m. n
decimi .
1. Texti
W
E II G O reliquum triangulum k 1 n parallelogrammo d 1 p c efi «quale . angulus
autem dlp «qualis eft angulo kln. quare redangulu kln duplu eft redanguli Idc]
Triangulum enim kj n feorftm defcribatur.-itemq ; parallelo grammam dlpc.& quoniam trian-
gulum k^l.n aquale eft parallelogrammo d p, ducatur per n ipfi ll ; a quidiftans , qua fit nr:&per
k ducatur kj aquidiftans ln.parallelagrdmmufnigiture.fi l r, & duplum trianguli Igln. quare
& parallelogrammi d p duplum . producantur dc , / p ad punbta s t : ponatur q; ipfi d c aqualis
c s } &pt aqualis ipfi lp,& iungantur st. ergo dt parallelogrammum efi , duplum ipfius dp:
& idcirco Ir parallelogrammum aquale parallelogrammo Is .efi autem & aquiangulum 3 quo-
niam anguli ad l fecundum uerticetn funt aquales .fed aqualium , & aquiangulorum parallelo -
grammarum latera , qua circa aquales angulos ex
contraria parte fibi ipfis r efi> ondent. ergo ut k^l ad r S
ItJjocefiad dsfita dl ad tn.-proptereaq; reblan "\T\ ( "J i.
gulum kln aquale efi redangulo Ids.&cum ds c ■ ■ — ^ s
dupla fit ipfius d c y redangulum k l n redanguli
Idc duplum er it. .
14. Texti
16 . Texti' i
APOLLO N I I
%At fi linea dc ipfi Ip £ qui di flet., cp uero non
aquidiflet ipfi d 1 , erit dcpl trapetum, & tunc
dico reltangulu k^ln aquale effle ecquod linea dl,
& utraque ipfarum cdflp continetur. Si enim pa-
rallelogrammum l r compleatur, ficuti prius : pro -
ducancurq.; dc,l p, ita ut ipfi l p aqualis ponatur
cs ,& ipfi d c aqualis pt;& iungantur s t ; fiet
d t paralklograrmnum duplum ipfius d p:& ea-
dem erit demonflratio . Hoc autem utile efi etiam
ad ea, qua fequuntur,
THEOREMA L. PROPOSITIO L.
S i hyperbolen, uel ellipfim , uel circuli circumferentiam reda linea
contingens cum diametro conueniar, dc per tadum dc centrum linea
producatur : a uertice autem ordinatim applicata conueniat cum ea,
quar ducitur per tadum dc centrum : fiatcp ut portio contingentis inter
tadum dc applicatam interieda, ad portionem linea: du6tx per tadum
dc centrum, qua: itidem inter tadum dc applicatam interiicitur, ita qux
dam reda linea ad duplam contingentis: qua: a fedione ducitur con-
tingenti n:quidi itans ad lineam per tadum dc centrum cludam, poterit
fpatiuni redangulum,quod adiacet inuenta: linea:, latitudinem habens
interiedam inter ipfam dc tadum *, in hyperbola quidem excedens figu
, ra fimili contenta: linea dupla eius, quae eit inter centrum, dc tadum, dc
inuenta linea *, in ellipfi uero dc circulo eadem deficiens .
SIT hyperbolejUd ellipfisjuel circuli circumferentiajCuius diameter ab , centru
linea de fe&ionem contingat.iundtauero ce producatur ad utrafq; partes :po-
tiaturq; ck ipfi ec squalis : &per b ordinatim applicetur b fg:deindeper e ad re-
dios angulos ipfi ec ducatur eh:fiatq;ut f e ad eg,ita eh ad duplam ipfius ed:&
PERG AE X
n ^
M
C ? t
k
d c s
'' iundta h k producatur.Tumpto deniqueinfedtionepun&oLperipfumducatur lmx
quidem ipfi ed, squidiftans jltn uero squidiftans bg;&ipfi eh squidifians m p.
Dico quadratum lm redtangulo e m p squale efie. ducatur enim per c linea eso x-
i.fexti. quidifians k p.Itaque quoniam e c squalis eft ipfi c k i & ut e c ad c k, ita e s ad s h ;
erit
CONICO. R V M L I B E R T. 3^
erit e s ipfi sh squalis,& quoniam ut f e ad eg,ita he ad duplam ed: atque eflip-
fius e h dimidia e s : erit ut f e ad e g,ita s e ad e d . ut aute f e ad e g,ita 1 m ad m r. A
ergo ut 1 m ad m r , ita s e ad e d . fed cum demonftratum fit triangulum rnc in hy- S
per hola quidem maius effe,quam triangulum c g b,hoc eft triangulum cde;in ellip- C
fi 1: ero & circulo minus,ipfo 1 n x triangulo: communibus ablatis, in hyperbola fciii-
ccc triangulo ei d,& nrmx quadrilatero,in ellipfi aute & circulo , triangulo m x c:
erit 1 m r triaUgufufn quadriiatero m e d x «quale . atque eft m x «quidiftans d e , &
angulus 1 m r «qualis angulo e m x.ergo redangulum lmr «quale eft rectangulo, D
C; uod linea e m,& utraque ipfarum e d,m x continetur.eft autem ut m c ad c e, ita & E
arx ad ed,& mo ad es. ut igitur m o ad es, ita m x ad ed: &componedo ut utra-
que m o,s e ad e s,ita utraque m x,d e ad e d.quarepermutando,ut utraque m o,s e
ad utramque m x,d e, ita s e ad e d.Sed ut utraque m o,s e ad utramque m x,d e, ita re i- rixtfi
&anguium,quod continetur utraque m o,s e,& lpfa e m , ad contentum utraq; m x ,
de & em» Vt autem se ad ed,ita fe ad eg,hoceiHm ad m r ; uidelicet quadratum
1 m ad reriangulum 1 m r. quare utredangulum contentum utraque m o,s e,& e m
qd contentum utraque mx,de & e m , ita quadratum 1 m ad redangulum 1 m r:&
permutando utredcangulum contentum utraque mo,s e, & em ad quadratum ml,
ita contentum utraque mx,de,& em ad lmr re&angulum. eft autem reriangulum
lmr «quale redangu!o,quod fit ex e m,& utraque mx,de.ergo quadratu 1 m «qua-
le ed rectangulo ex e m,& utraque mo,s e.eftq; es ipfi sh «qualrs,& shipfi op.qua
dratum igitur 1 m rectangulo emp «quale erit.
E V T' O C I V SL
C a s v s huitis theorematis ita fe habent , ut in quadrageflmo tertio , & ita cafus theorematis
quinquagefimi primi .
FED. C G M M A N D I N V S.
VT autem fe ad eg,ita lm ad m r.J Ob fimilitudinem trianguionm f e g,lmr. nam ^
arn aquidiflent gf 3 l r 3 angulus gfe aqualis efl angulo r l m ; & angulus f ge angulo Irm.ergo
& reliquus reliquo kqualts 3 & triangulum f 'c g triangulo lmr fimile erit.
Sed cum demonftratum fit triagulum r n c in hyperbola quidem maius efTe, quam B
triangulum c g b.} Etenim in quadrageflmo tertio huius demonflratum efl triangulum x In in
hyperbola minus eflejmam triangulum c r n y triangulo cgb i in ellipfi uero circuli circum feren
tktundcumipfd crn aquale effe triangulo cgb.
- Hoc eft triangulum ede.] T riangulumenim ede triangulo cgb aquale demonflratum C
efl in 43. huius, uidelicet in fecunda demonfiratione 3 quamajfert Eutacius in commeutarijs.
Ergo reriangulum lmr «quale eft reriangulo,quod linea e m,& utraque ipfarum £>
ed,mx continetur .] Ex oUauo lemmate Tappi , &■ ex us qua Eutocius proxime demon- 4
Ftrauit .
Eft autem ut m c ad c e, ita & m x ad e d, & m b ad e s .] Ex quarta fexti 3 fmt enim E
triangula ced,cmx flmilia : itemq;fimilia inter fe triangula cmo 3 ces.
’ Y -1 ■ ■ ' r * 4 f n t '• ' *' - < * • - '■ . - ;
THEOREMA L I. PROPOSITIO LI.
Si quamlibet oppofttarum fedionum reda linea contingens cum
diametro conueniat-, &pertadum & centrum lineaproducatut ufquc
ad alteram fedionem : a uertice uero ducatur linea arquidiftans ei, qux
ordinarim applicata eft-, contieniensq; cum linea per tadum,& centrum
duda ; Sc fiat ut portio contingentis inter applicatam & tadum ad por-
tionem lineae duda? per ta&um, & centrum., quae inter tadum & applt
APOLLONII PERGAEI
catam i n teri i citu r, i ta quadam reda linea ad duplam contingentis: qua;
in altera lectione ducitur jequidiftans contingenti, ad lineam per tadu
& centrum d udam, poterit redangulum,quod adiacet inuenta: linealia
titudinem habens, iineain, qua: eft inter iplam & tadum *, exxedensq; fi-
gura fmiili ei, quae linea inter oppofitas fiediones interieda & inuenta
continetur.
SINT oppofitse fc dio n es, q u arum diameter a b, centrum e: & linea c d fe&ione
b contingatfiunftaq; ce pro ducatur.- ordinatim uero applicetur blg.& liat ut lc ad
fo.huiut cg,ficq ucrdamredla linea k addnplam cd.itaqueperlpicuum cftin Tectione bc li-
neas ssquidiftantes cd^quar ducuntur ad lineam in directum ipfi ec produftam,poT-
ieipatiaddiaeentialinea: k;latitudinemq; habentia lineam, qux eft inter iplas & ta-
&mn J & excedentia figura fimili contenta: linea cf&k: dupla eft enim fc ipiius c e.
Dico igitur idem euenirp in Te <ftione a f. Ducatur per f linea m f,quje a f Teftionem
contingat : ordinatim q; applicetur ax n. & quoniam oppofitrs fe&iones funt b c,a i:
atque ipTas contingunt c d,m f; erit c d ipfi m f aequalis,& requi-
' hu' diftans. eft autem ce squalis ef.ergo& ed ipfi em.Sedquonia
, u s ' ut 1 c ad c g, ita linea k ad duplam c d, hoc eft m f ; erit ut x f ad
Tn , ita k ad duplam m f.atque eft hyperbole a f, cuius diameter
a b: & mf iplam contingit : ordinatim uero applicata eft a n : &
jo huius ut x f ad f n,ita k ad duplam m f. ergo quacunque a feilione du
cuneuraquidiftantcs fm ad lineam, qua in diredtum protendi-
tur ipfi e f, poterunt redfangulum contentum linea k , & interie-
dainteripias & pundum ftexcedensq; figura fimili ei.quae linea
c f& k continetur.
46. huius Jtaque his demonftratisperfpicuum eftin parabola
unamquamque redarum linearum , quse diametro ex generatione du-
47. huius cuntur fcquidiftantesjdiametrum efte • in hyperbola uero , ellipfi & op-
ppfitis fedionibus unamquamque earum, qua: per centrum ducuntur .
^.huius Pt in parabola quidem applicatas ad unamquamque diametrum, aequidi
f° ftantes contingen tibiis, pofte redangula ipfi adiacentia : in hyperbola 8 c
f 1 oppofitis polle redangula adiacentia ipfi, quee excedunt eadem figura :
JO in ellipfi autem quas eadem deficiunt . po (tremo qusecunque circa fie-
dion.es adhibitis principalibus diametris demonftrata fiunt, 3 c aliis dia-
metris aflfumptis eadem contingere .
E V T O C I V S.
V * t
JDiametrvm ex generatione uocat communem feftionem plani fecantis , & trianguli per
axem, qua iriipjo cono efficitur, quam & principalem, diametrum appellat . Dicit autem omnia ac-
cident ia feflionum,qu& in fuperioribus theorematibus demonfirata funt, pofitis principalibus dia
vnetris, & alijs quihufcunque diametris ajfumptis eadem contingere poffe.
PROBLEMA I. PROPOSITIO LII.
Reda linea data in plano, ad unum pundum terminata, inuenireiti
plano coni fie dio nem, qua: parabole appellatur , ita ut eius diameter fit
data linea ; uertex lineet terminus ; qua: uero a fiedione ad diametrum
in dato
conicOrvm lib. i.
37
3
c
i fi
in dato angulo applicatur, posfit redangulum contentum linea, qux e fi:
inter iplam & uerticem fedtionis,&: altera quadam data linea .
SIT reda linea data pofitione a b,ad a pundum terminata ; altera autem magni
tudine data c d;& datus angulus primum fit redus. Itaque oportet in fubiedo plano
inuenire parabolen,ita ut eius diameter fit a b ; & uertex a : redum autem figurs la-
tus cd:&ordinatim duds in redo angulo applicentur :boc efl ut ab fitaxis.produ
catur ab ad e:fumaturq; ipfius cd quartapars cg:&fit a e maior, quam cg ipfaru
autem cd,ea media proportionalis fit h.efligitur ut cd ad e a, ita quadratum h ad
ea quadratum, fed cd eliminor, quam quadrupla ipfius ea.ergo & quadratu h qua
drati ea minus effiquam quadruplum : & propterea linea h minor, quam dupla ip-
fius ea.Cumigiturdus lines ea,maioresfint,quamh,fieripotefl:utex h, & duabus
ea triangulum conftituatur.ergo in linea ea cofiituatur triangulum eafredum ad
lubiedum planum, ita ut ea aqualis fit af;& h squalis f e; ducatur q; ak squidiflas
e fj& fk ipfi e a . Deinde intelligatur conus,cu-
ius uertex fi pundum ; bafis autem circulus cir
ca diametrum k a, redus ad planum , quod per
lineas af,fk tranfit.eritigiturisconusredus,
quoniam a f squalis eil f k. Itaque fiecetur co-
nus plano, quod circulo ka squidiflet; faciatq;
fedionem circulum m n x, redum. uidelicet ad
planum trafiens per m f, fn : & fit circuli m n x,
& mfn trianguli communis fiedio m n. quare
m n circuli diameter eil. comunis autem fedio
plani fubiedi,& circuli fit xl. Quoniam igitur
circulus m n x redus eil & ad fubredum planu,
& ad triangulum m f n : communis ipforum fe-
dio xl ad m n f triangulum, hoc eil adk f a per
pendicularis erit . quare & ad omnes redas li-
neas ; qus in triangulo ipfam contingunt ; & ad utramque ipfarum m n,a b. Rurfus
quoniam conus bafim habens circulum mnx, uerticem ueropundum f/ecatur pla-
no ad mfn triangulum redo, quod fedionem facit circulum m nx;& fecatur altero
plano fubiedo,fecante bafim coni fecundum redam lineam x 1, perpendicularem ad
m n,qus communis fedio eil circuli m n x,& mfn trianguli:communis autem fedio
fubiediplanfi&trianguli m fn,uidelicet ab,squidiflans eft lateri coni f km: eriteo
ni fedio in fubiedo plano fada, parabole ; cuius diameter a b : & lines a fedione ad
ipfam ab ordinatim duds in redo angulo applicabuntur : squidiftantcs enim funt li
nes xl,quseflad ab perpendicularis. Et quoniam tres lines cdh,ea proportiona
les funt i squalis autem ea ipfi afi&ipfi f k : atque h squalis efi& ak:erit ut cd ad
a k,ita a k ad a f. quare ut c d ad a f, ita quadratum a k ad a f quadratum, hoc efl ad
id, quod a fk continetur, ergo redum fedionis latus efl c dfillud enim in undecimo
theoremate demonftratnm fuit.
lifdempofitisnon fit datus angulus redus : intelliga-
turq; ipfi squalis, qui hae continetur :& fit ah dimidia
cd: ab h uero ducatur h e ad a e perpendicularis q>erq; e
ipfi bh squidiitans ducatur el.&ab a ad el perpendicu
laris a 1. deinde feda e 1 bifariam in k, ab ipfo k ducatur
k m ad redos angulos ipfi el:& ad punda f g produca-
tur : & quadrato al squale fitredangulum 1 k m . Itaque
duabus redis lineis 1 k , k m datis ; 1 k quidem pofitione, r
qus ad k terminatur ; k m uero magnitudine : & dato an-
gulo redOjdefcribatur parabole, ut didum efl , cuius dia-
meter k 1 , uertex k , & redum latus k m . tranfibit autem
per a, propterea quod quadratum al redangulo lkm eflsquale:& linea a e fedio-
K
cor. io. fe
xti
n. primi
4.huius
^■unde-
cimi'
^.difF.un
decimi
xr.huiu*
;\
io. fexti
SJ.huiui
APOLLONII PERGAEI
4^.hmu$ nem continget, quoniam Ik squalis eft ke.fed ha squidiftat e ^1. ergo hab diame
ter eritfedionis :& afedionead eam applicata ipfi a e squidiftantes bifariam diui-
denturalinea a b:& in angulo iiae applicabuntur, quoniam igitur angulus aeh s-
4 fexri
JJ .quinti
B
qualis eft angulo a g f , & communis qui ad a ; triangulum a h e fimile eft a g f trian-
i'r.ti ?> u lo . ut ergo h a ad a e, ita £ a ad ag: &ideo ut dupla ha ad duplam a e, ita f a ad
ag.fed cum cd fit dupla ipfius ha,eritut f a ad ag,ita cd ad duplam ae.quareper
ea,qus in 49. theoremate oftenfafunt,erit cd redum fedionis latus .
PROLEMA II. 1 ROPOSITIO LIII.
Datis duabus redis lineis terminatis, quas&cl redos inter fe angulos
conftituantur ; & altera produda ad ea fidem panes angulo redo , mue-
liire in linea produda coni fe&ionem,quae hyperbole dicitur, in eodem
plano, in quo funt datae lincte ; ita ut produda fit diameter fedionis , &c
uertex puirdum,quod ad angulum cofiilit : qua: nero a fedione ad dia-
metrum applicatur, angulum faciens aequalem dato , posfit redangulu,
quod adiacet alteri lmeae , latitudinem habens lineam interiedam mter
applicatam & uerticern fedionis *, excedensq; figura fimili , fimiliter
polita ei, qua: datis a principio lineis continetur .
SINT data; reda: lines terminate a b,b c.ad redos inter fe angulos: & produca-
tur ab ad d. oportet igitur in plano, quodper abe tranfipinucmrehyperboleipita
ut eius diameter fit abd,ucrtex b pundum,& redum figurs latus bc.qusueroafe
dione ad bd in dato angulo applicentur, posfintredangulaadiacentiaipfi b c,qus
latitudines habeant lineas interiedas interipfas,&pundum b : excedantq; figura fi-
mili,& fimi‘iterpofitaei,quslineis ab,b c continetur, fit datus angulus primum re-
ctvs ; & ex linea a b planum attollatur, redum ad fubiedum planum, in quo circa li-
nea a b circulus deferibatur a e b f; ita utpars diametri circuli, qu® in portione a e b
comprehenditur ad partem comprehenfam in portione a f b, non maiorem propor-
tionem habeat, quam ab ad bc.&fecetur aeb circumferentia bifariam in e.-duca-
turq; apundo e ad ab perpendicularis ek : & ad 1 producatur, ergo e 1 diameter
eftcirculi.Quodfi ut ab ad bc, ita fuerit ek ad kl, utemurpundo j ;fin minus fiat
ut a b ad b c,ita e k ad minorem ipfa k 1, qus fit k m ; & per m ducatur m f x qui di-
2.7. tertii, ftans a bdundisq; a f,c fjf b,per b ducatur b x ipfi fe squidiftans . Itaque quoniam
angulus afe squalis eft angulo efb : angulus autem afe an-
gulo ax b:& ef bipfi fbx:erit& fbx angulus angulo fxb s-
qualis . quare & linea fb squalis lines f x. intelligatur conus,
cuius uertex bafis circulus circa diametrum b x,redus ad £
f b x triangulum . erit utique is conus redus,quia f b squalis
eft f x.producatur f b,fx,m f: & fecetur conus plano, quod cir f
culo b x squidiflet . erit ea fedio circulus, qui fit gp h r. ergo
g h circuli diameter eft . communis autem fedio circuli g h,& ,
fubiedi plani fit p d r. erit p d r ad utranque ipfarum g h , d b /hr\i ft
perpendicularis, uterque enim circulorum x b , h g redus eft
ad triangulum fgh.fed& fubiedum planum ad fgh redum ’ “
eft.ergo communis ip forum fedio p d perit & ad fgh perpendicularis, & ad omnes
redas lineas,qus in eo plano confifientes, ipfam contingunt. Quoniam igitur co-
nus,cuiiis bafis eft circulus gh,& uertex f, fecatur plano ad fgh triangulum redo;
quod facit fedicnem circulum : fecatur autem , & altero plano fubiedo , fecante ba-
fim coni fecundum redam lineam p dr, perpendicularem ad gdh:& communis fe-
ctio fubiectiplani,& trianguli igh;uidelicet db producta ad b conuenitcum gfin
f iJhuius puncto a : erit ex iis, quseicmonftr ata funt,fectio p b r hyperbole,cuius uertex b : &
"* or di-
l.tcrtii
19 . primi.
6 , piimi .
mj
L
m
tLcV
if.unde'
cimi
CONICORVM L I B. 3T. 3*
ordinarim cluete ad diametrum bd in recto angulo applicabuntur . «quidiftantes
etenim fiunt ipfi p d r. pr«terea quoniam ut a b ad b c , ita eft e k ad k m : & ut e k ad
1< m, ita e n ad ii f, hoc eft re&angulum e n f ad n f quadratum.-erit ut a b ad b c, ita
e n f rectangulum ad quadratum n f. fed e n f redangulu «quale eft reciangulo a n b.
ergo ut ab ad b c,ita rectangulum anb ad nf quadratum, re&angulum autem a n b
ad n f quadratum proportionem habet compofitam ex proportione a n ad n f: & ex
proportione bn ad nfdedut an ad nf,ita ad ad dg,& fo ad og:&ut bn ad n f,
ita fo-ad oh.quare ab adbc proportionem compofitam habet ex proportione fo
ad o g,& ex proportione fo ad oh:hoceftex proportione quadrati f o adre&an-
gulum goh.eft igitur ut ab ad bc, ita quadratum f o ad goh re&angulum . atque
eft fo «quidiftans ad. Sequitur ergo, ut ab fit tranfuerfum figur« latus , & b c re-
dum : etenim h«c in duodecimo theoremate oflenfa- funt .
Non fit autem datus angulus redus : fintq; red« linea; date a b,a c: & datus angu-
lus «qualis fit ei, qui bah continetur, oportet igitur deferibere hyperbolen , ita ut
eius diameter fit a b,& redii latus ac: ducte uero ad diametrum in angulo bah ap-
plicentur. fecetur ab bifariamin d:St in linea ad defcribaturfemicirculus afd;&du
.caturqusedam recta linea fg in femicirculiirn, «quidiftans ah; faciensq; proportio-
nem quadrati fg adrectangulumdga eandem,quam habet ca ad duplam ad:&iun
cta fhd producatur.ipfarumautem fd,dh mediaproportionalis fit d l:ponaturq;
ip fi I d «qualis dk;& quadrata af «quale rectangulum lfm:&iungaturkm.deinde
per 1 ad rectos angulos ipfi k f ducatur ln.& ad x producatur.datis ergo duabus rc
ctis lineis terminatis,& ad rectas inter fe angulos, k.Uln deferibatur hyperbole, cu-
ius tranfuerfum quidem latus fit k firectum uero 1 n; & a fectione ad diametrum du^
cte in recto angulo applieentur,&; posfint rectangula adiacentia line« 1 n, qu« latitu
dines habean t in teriec.tas inter ipfasd punctum l,excedantq; figura fimili ipfi k ln.
tranfibit igitur fectio per a, cum quadratum a f «quale fit rectagulo lfm: & linea ah
fectionem continget; rectangulum enim fdh quadrato
dl eft «quale, ergo ab diameter eft fectionis. Et quonia
ut ca ad duplam a d,hoc. eft ad a b,ita quadratum fgad
rectangulum dgarfed c a ad duplam a d compofitam
proportionem habet ex proportione c a ad duplam a h,
& ex proportione dupla; a h ad dupla d a, hoc eft ex pro
portione ha ad ad, hoc eft fg adgd:habebit c a ad ab
proportionem compofitam ex proportione c a ad du-
plam a h , & ex proportione fg ad g d. habet autem &
quadratum fg ad rectangulum dga proportionem co
politam ex proportione fg ad g d,8t ex proportione f g
ad g a. proportio igitur compofita ex proportione c®
ad duplam ah,& ex proportione fg ad gd eadem eft, quae proportio compofita ex
proportione fg ad gd,& ex proportione fg ad g a. Communis auferatur propor-
tio, qu« eft fg ad g d . ergo ut c a ad duplam a h,ita fg ad g a. & ut fg ad g a, ita o a
ad a x. ut igitur ca ad duplam ah,ita oa ad ax. Quod cum ita fit, erit ac linea, iuxta
quam poflunt,qu« a fectione ducuntur; hoc enim in quinquagefimo theoremate de-
monftratum eft.
E V T O C I V S.
E T ex linea ab planum attollatur,rectum adfubiectum planum, in quo circa li-
nea a b circulus deferibatur a e b f ita ut p ars diametri circuli,fqu« in portione a e b
comprehenditur ad partem comprehenfam in portione a £b,non maiorem propor-
tionem habeat, quam ab ad bc.] Sint dinerettce Linea a bjj c ; & oporteat circa a b circii-*
Ium defcriber e ycuius diameter d linea ab ita diuidatur y utpars ipfius,qu£ eft ad c ad reliqua par-
iem non maiorem proportionem habeat >qudrn ab ad b c. ponatur nunc eandem habere : fecetur q;
ab bifariamin d:&per d ad rectos angulos ipfi ab 3 ducatur e df : & fiat ut ab ad b c , ita e d 9
ad df: atque e f bifariam fecetur. confiat ergoffi quidem ab fit aqualis bci&ed ipfi df aquali
■ K a
t. fextl
lem.in iu
decimi
3 tertii
i J . fexti
4. fexti
ij. fcxt%
b
D
E
F
47. huiuf
«yquiBtS
4. fexti
4.
B
APOLLONII PEROAEI
e]Jb;& ideo punttum d lineam e f bifariam fecare.fi uero ab & maior bc,&ed ipfa df,punll u
quod bifariam limam ef fecatjnfra d cadet :& fi minar fit M
cadet fupm. fed infra cadat ut g .« & centro quidem g j inter-
mlla autem g f circulus defcribatur . necefjariim utique esi
cum 3 uel per punlla a h tranfire uel extra , uel intra . & fi
tranfeat per a b,faltum iam er it, quod oportebat.fi uero tra - 1
feat extra, producatur a b in utranque partem , ut canueniat
cum circumferentia circuli in punitis b k : iunliisq; fb, b e t
e K , k^f, ducatur per b linea m. b,aquidiflans fkj &bl (equi
difians k e. & imgantur ma,a l,qua ipfis fb, b e aquidifia
bunt, propter ea quod aquales inter fe fiunt ad,d b:itemq\ h d ,
j u tertii, dK,& e df ad rellos angulos ipfi b k • Quoniam igitur an -
_ gulus,quiad k^rellus efl: &mb,hlaquidifldt ipfis fn,K e;
quinti eri f & q U j a q p reffus.& eadem ratione, qui ad a.quare cir-
culus circa m l deficnptus per punita a b tranfibit . Itaque defcribatur ,fitq; m a lb.& quoniam
4. exti m b c equidislans efl ipfi [k, erit ut fd ad dm,ita k d ad db:& [militer ut fd ad d b,itaed ad
■ d l:& permutando, ut ed ad dffita Id ad dm . ergo ut ab ad bc,ita Id ad d m.Quod ficircu -
lus circa f e deferiptus fecet lineam ab , idem nihilominus demonftrabitur .
^ E x in linea a d defcribatur femicirculus a f d,& ducatur quadam reda linea fg in fe
micirculum,arquidiPtans ah ;faciensq, proportionem quadrati fg ad redtangulum
dga eandem, quam habet ca ad duplam ad.] Sit femicirculus abe circa diametrum ac:
data aut em proportio fit ef adfg.& oporteat facere ea, qua propofita fiunt, ponatur ipfi ef aqua
lis fh:& bg mpunlto k bifariam diwdatur ; ducatur qQnfemicir culo quapiam reltalinea cb,
„ , in angulo a c h:& d centro l ad ipfiam perpendicularis ducatur, qua proctulia occurrat circuli cir-
jV.tmT/ cum f eren t l & ia m &per n ipfi cb aquidislans nm.ergo nm circulum contingit . Itaque fiat ut
fb ad h k J ta rnx ad xn-& ipfi xn aqualis ponatur no. iungan-
tur autem lx,lo , qua ftmicir culum m punitis rp fecent:& ducatur
prd. Quoniam igitur x n aqualis esi no, communis q-, & ad reltos
angulos n ferit lo ipfi Ix aqualis . Sed Ip efl aqualis Ir.ergo &
t.fexti. reliqua po reliqua r x ; & propterea prd ipfi om aquidifiat . eli
autem ut fb ad h f, ita rnx ad xn. & ut h k. ad bg,ita xn ad x 0.
ex aquali igitur ut fb ad hg,ita mx ad x o.-conuertendoq-, ut gb ad
hf,ita 0 x ad x m;& componendo ut gf ad fb,hoc efl ad fe, itaom
ad fn .*■ : hoc efl pd ad d r. ut autem pd ad dr , ita reliangulum pdr
36 .tertij. ad dr quadratum . Sed reliangulum pdr aquale efl rtliangulo
adc. ergo ut gf ad f e, ita ad c reliangulum ad quadratum d r : &
conuertendo ut ef ad fg, ita quadratum dr ad reliangulum adc.
FED. COMMANDINVS.
Inuenire in lin ea produ dia coni fedtionem , qua: hyperbole dicitur ,] Cracus codex
itahabet, ivp&Hiri tks 11 go&ivfiMfi&dys vciwv TopivTmaAflipfvwv vtr^fioAwv . Sed uidene
uerba illa. {• tu ' t H$ tipotiwfiM$&ci\)s,fuperuacanea fint : Hatim enim fubiungit. oticos j» piv vrpotftx
pAWoeco' ohxy-iTpos e»
C Eft igitur ut ab ad b c, ita quadratum fo ad goh re&angulum.] . Ad hunc locum
ut opinor , nonum "Pappi lemma pertinet , in quo oflenditur , ut quadratum fo ad reliangulum
goh , ita effe reliangulum an b ad nf quadratum .
£ Faciensq; proportionem quadrati fg ad re&angulum dga eandem, quam habet
c a ad duplam a d.] In graco codice legitur 1 roiov <sx ro'v rov atro '( h tipof fo f ttd J' w « A070V
rdvavTeTToi a 7 trpos a fi. fed legendum ejl,ut apud Eutocium . rov txirof rc> rns ce 7 trpof
tu' v litrAaehxv tm? a J"'. quod etiam ex ijs , qua fequuntur perfficue apparet .
F Etlinea ah fedhbnem continget:redangulum enim fdh quadrato dl eftiequale.}
t7.fexti TSJam cum inter lineas fd,db proportionalis falla fit dl, reliangulum fd h aquale efi quadrato
d l. quare ex iis, qua demonflrauimus m commentaris in trigefimam feptimam propofitionem hu-
ius, linea ah [cilionem ipfitm contingat nec effe efl .
\\ * b , — Vf>
PRO
CONICORVM II B: t;
51
PROBLEMA III. PROPOSITIO LIIII.
D a T r s duabus re&is lineis terminatis , atque ad re&os inter fe an-
gulos > inueoire circa diametrum alteram lpfarum, coni fecfcionem,qux
ellipfis appellatur > in eodem plano , in quo funt datae lineae : ita ut uer-
tex (it punctum ad reatum angulum ; <Sc a fed:ione ad diametrum ap-
plicatae in angulo dato pofsint redtangula adiacentia alteri lineae., quae la-
titudinem habeant, lineam inter ipfas &c uerticem fedtionis interieubam,
deficiantq; figura fimili, & fimiliter pofita ei, quae datis red:is lineis
continetur .
Sint dat« r e<5l« lineae a b,a c ad re&os angulos conftitut«, quarum maior a b. Ita-
que oportet in fubievfto plano deferibere ellipfim, ita ut eius diameter fit ab, uertex
a, & re&um latus a c:du(ft« uero a fedtione ad a b in dato angulo applicentur: & pof-
fint Ipatia adiacentia line« ac, qua: latitudines habeant,lineas interiectas inter ip fax,
&-pun6him a:deficiantq; figura fimili, & fimiliter pofita ei, qu« lineis ba,ac conti-
netur. Sit datus angulus primum re<ftus:& ex linea ab planum attollatur eredum
adfubie&umplanumfinquoad a b circuliportio adb deicripta bifariam diuidatur
in d: &iungantur da, db : ponatur autem ipfi ac «qualis ax : & per x ducatur xo
«quidiftatis bd:&per o ipla of«quidiftans ab:iuniftaq;dfconueniatcum ab pro
dmftainpun&o e. erit igitur ut ba ad ac, ita ba ad ax;hoceft da ad a o, hoc eft de
ad e f.deindeiangantur a f, fb, & producantur : fumatur cj; in fa quod uis pundum
g&per g ipfi de «quidiftans ducatur gl,qu«cum ab produditaconueniatin k.de-
niqu e producatur fo: & conueniat cum gk in 1. Quoniam igitur circumferentia ad
«qualis eft ipfi db;&angu!us abd angulo dfb «qualis erit.St quoniam angulus efa
«qualis eft duobus angulis fa d , f d a; atque eft fa d angulus «qualis angulo f b d , &
f d a ipfi fb a ; erit angulus e fa «qualis angulo d b a, hoc efi; b 1 d. Sed cum d e «qui-
difletipfi 1 g:& angulus efa «qualis eft angulo fgh;& dfb ipfi fh g. quare fequitur,
ut fgh angulus angulo fhg fit «qualis.- & linea fg line« fh. Itaque circa gh deferi-
batur circulus g h n,re$us ad triangulum h g f; & 'iiitelligatur conus, cuius bafis cir-
culus gh n,& uertex pundtum f.erxtis conus rectus , quod g f «qualis fit fh. & quo-
niam circulus g h n rectus eft ad h g f planurrueft autem & planum fubiectum rectum
ad planum , quod per g h f tranfit : commu-
nis ipforum fectio ad planum per g h f per-
pendicularis erit . communis autem fectio fit
linea k m . ergo k m perpendicularis eft ad
utramque ipfarum a k , k g . Rurfus quoniam
conus , cuius bafis eft circulus g h n , & uer-
tex f , fecatur plano per axem, quod facit fe-
ctione-m triangulum g h f : fecatur autem, &
altero planoper ax,km tranfeunte, quod eft "
fubiectum planum , fecundum rectam lineam
k m, perpendicularem ad g k:& planum occur-
rit ipfis gf, fh lateribus coni: erit facta fectio
dlipfis ,, cuius diameter a b. duct« uero a fectio
ne ad ab in recto angulo applicabuntur; funt
enim ipfi km «quidiftantes. & quoniam ut de
ad e i,ita rectangulura defihoceft bea ad qua
draturn e £• rectangulum autem b e a ad quadra
tum e f cornpofitam proportionem habet ex
proportione b e ad e f, & ex proportione a e
ad e € atque b e ad e f,ita b k ad k h, hoc eft fi
ad 1 h: & ut a e ad e Lita a k ad k g;hoc eft f 1 ad
7. quinti.
4. i exci
tS. tertii
32. primi
19. primi.
6, pruni
i9.unde-
cimi ^
tj. huius
S<f. tertfi
fextl
A P OLLONII PERG AE I
A t g: habebit b a ad a c proportionem compofitam ex proportione fl ad 1 g;& ex pro
portione fl ad lh.quse quidem proportio eadem efi,qua habet quadratum fl adgl h
rectangulum, ergo ut ba ad ac >ita fl quadratum ad rectangulum glh. Quod cum
ita fit, linea ac rectum erit figura latus, ut ofienfum efi in 13. theoremate.
lifd.em politis , fit linea ab minor ipla a c : & oporteat circa diametrum ab ellip-
fim defqribere, ita ut a c redtum fit figura? latus . Secetur a b bifariam in d; a quo ad
rectos angulos ipfi ab ducatur e d f: & rectangulo bac aequale fit quadratum fe:&
linea fd aqualis d e : lineae uero a b aequidi-
fians ducatur fg: & fiat ut ca ad ab, ita e f
B ad fg. maior efi igitur ef quam fg. Itaque
quoniam rectangulum c a b aequale efi: qua-
drato efiut ca ad ab, ita efi: quadratum fe
tj. quinti, ad quadratum a b i & quadratum fd ad d a
quadratti.ut autem ca ad ab, ita ef ad fg,
ergo ut efad fg’, ita quadratum fd ad qua-
dratum da,fed quadratum fd xquale efi re&angulo fd e. quare ut efad fg,ita re-
dtangulum edfad da quadratum, Duabus igitur reftis lineis terminatis , aptatisq;
ad rectos inter fe angulos, quarum maior efi: e fidefcnbatur ellipfis , ita ut e f diame-
C ter fit,& fg re dum figura? latus . tranfibit utique fedio per a, quoniam ut redangu-
lum t de ad quadratum da,itaeft efad fg.-atque efi ad squalis db. tranfibit igitur
etiam per b,ac propterea ellipfis circa ab defcriptaerit.&quoniamut ca ad ab, ita
quadratum fd ad quadratum da: atque efi quadratum da redangulo adb aequale:
D eritut ca ad ab,ita df quadratum ad redangulum adb.quare ac redum efi figu-
ra latus .
E Sed non fit datus angulus redusrfitq ; ipfi aqualis b a d : & feda a b bifariam in e ,
eircalineam a e femicirculus. afe defcribaturfin quo ipfi ad aequidifias ducatur fg;
ita ut faciat proportionem quadrati fg adredangulum age eandem, quam habet li
nea ca ad ab:&iundbe a f,ef producantur :& fumatur ipiarum d e, e f media pro<-
portionalis e h,cui aqualis ponatur e k.fiat autem qua-
drato a f aquale redangulum h fl.-iungaturq; k 1: & per h
ipfi hf ad redos angulos ducatur mhx;aquidifiansipfi
51; tertii a ffiredus efi enim angulus,quiad f. Itaque datis duabus
redis lineis terminatis , & ad rectos inter fe angulos k h*
h m,defcribatur ellipfis , cuius diameter tranfuerfa kh,&
rectum figura? latus h m.-ducta? uero a fectione ad h k,in re
iy Imius cto angulo applicentur . tranfihit igitur fectio per a , quia
quadratum f a rectangulo b f 1 efi a?quale.Et quoniam h e
cequalis efi e k,& a e ipfi e b, tranfibit &per b fectio;cuius /
F quidem centrum e, diameter a e b , d linea d a fectionem
continget; propterea quod rectangulum def requale efi:
quadrato eh.efiautemut ca ad ab,ita fg quadratum ad
rectangulum age.Sed ca ad ab proportionemhabetco
politam ex proportione ca ad duplam ad, & ex propor-
tione dupl$ ad ad ab; hoc efi ex proportione da ad ae.
quadratum uero f g ad rectangulum age compolita pro-
portionem habet ex proportione fg ad ge,&expropor-
tione fg ad g a.ergo proportio compolita ex proportio-
ne c a ad duplam a d,& ex proportione da ad a e, eadem
efi,qua? componitur ex proportione fg ad ge,& propor-
tione fg ad g a . Sed ut d a ad a e, ita fg ad g e . ergo fu-
blata communi proportione, erit ut ca ad duplam ad,ita fg ad ga; hoc efi: xa ad
a n. Quando autem hoeita fit, linea a c redlum efi figura? latus .
4 . fexti
EVTO-
40
CONI COR VM LIBER I.
EVTOCIVS.
Et fe< 5 ta ab bifariam in e, circa lineam a e iemicirculus afe defcribatur, in £
quo ipfi aci arquidiftans ducatur fg, ita ut faciat proportionem quadrati fg adre-
dt angulum age eandem, quam habet linea ca ad ab.] Sit femicir culus ab c, in quo
recta linea qmpiam a biponaturq; diue reflus linea imquales de, e f:& producatur ef adg,utjit
/V aqualis de:& e <z in b bifariam diuidatur . Sumpto autem circuli centro k,ab eo ducatur per-
pendicularis ad a b,qua circumfer entia. circuli occurrat in l.-perq-, l ipfi ab aquidiflans ducatur
lm\-& ka produUa conueniat cum Im in puncto m. dein-
de fiat ut bf ad fg, ita im ad mn: atque ipfi In aqualis
Jit l x: &■ iuntia n k, k x producantur adeo } ut d completo
circulo feceniur in punctis op :& i ungatur orp . Quo-
niam igitur ut bf ad fg , itaejl Im ad mn-, componendo
ent ut bg ad gfiita In ad nm:& conuertendo ut fg ad
g hfita m n ad n l . ut autem fg ad g e, ita m n ad nx:&
diuidendo ut gf ad f e, ita nm ad mx. quod cum nl xqua
lis Jit l x, communi fq; & ad rectos angulos l k,- erit & k u
aqualis kx.&eft k o ipfi kp aqualis .ecquidifians igitur
efi nx ipfi o piat que oh id triangulum k mn fimile trian-
gulo kr o: <& triangulum k mx ipfi krp.ergout k m ad
kj s ita mn ad r o. Sed ut k m ad k rfita mx ad p r. qua-
re ut mn ad ro 3 ita mx ad pr:& permutando ut nm ad
mXyita or ad rp. ut autem nm ad mxfita gf ad fie^boc
efi de ad ef:&ut or ad rpfita quadratum or ad redi an
gulum o r p.ergo ut d e ad efiita o r quadratum ad reti an
gulum o rp .atque efi reci angulum orp reti angulo arc aquale , ut igitur de ad effit a quadra- ^ j. te rtu
tum or ad redt angulum arc .
F E D. COMMANDINVS.
Habebit b a ad a c proportionem compofitam . ] Superius namq, demofiratum efi A
b a ad ac ita ejfe, ut de ad ef.
Itaque quoniam reclangulum cab aequale eft quadrato ef, ut c a ad a b , ita eft B
quadratum fe ad quadratum ab.] Cum enim relfi angulum cab quadrato e f fit ecquale ,
erit ut c a ad effita ef ad a b. quare ut ca ad ab fit a quadratum c a ad quadratum ef 3 hoc est 1 4-fextf
quadratum ef ad ab quadratum. co.Azo.fi
Tranfibit utique fe&io per a, quoniam ut re&angulum fd e ad quadratum d a,ita q
eft e f ad fg . ] Ex uigefima prima propofitione huius .
Q nare a c rectum eft figura* latus . ] Ex eadem uigefima prima . pj
Etlinea da fedlionem continget, propterea quod redangulum def aquale eft p
quadrato e h.]£x ijs,qucs nos demoftrauimus in trigefimam ociauampropojitionem huius libri .
Quando autem hoc ita fit,linea a c reCtum eft figurae latus .] Ex quinquagefima pro- q
pofitione huius .
PROBLEMA IIII. PROPOSITIO LV.
Da tis duabus redis lineis terminatis, atque ad redos inter fe an-
gulos*, inuenireoppofitas fediones , quarum diameter fit una datarum
linearum *, 8c uertices lineae termini : applicata: uero ab utraque fedionc
in dato angulo pofsint fpatia adiacentia alteri linea’ , excedentiacp figu-
ra fimili ei , qux datis lineis continetur .
jj\ huius
diff. f ec -
diamet •
APOLLONII PERGAEX
Sint dats redis lines terminat* aci redos Inter
fe angulos b e, b h: & datus angulus fit g. oportet
utique circa unam linearum b e,b h fediones op-
pofitas defcribere ; ita ut duds a fedione line* in
angulo g applicentur . Datis igitur duabus re-
dir lineis b e, b h defcribatur hyperbole a b c,cu-
ius diameter tranfuerfa fit be;&redum figur* la-
tus h brduds ueroadiineam,qusindiredum ipfi
be confiituitur, applicentur in angulo g; quod
quomodo fieri oporteat,iam didum efi. Ducatur
per e linea ek ad redos angulos ipfi b e, qus fit
squalis bh;& defcribatur fi militer alia hyperbole
d e fi ita ut eius dia meter fit b e , redum figurs la-
tus e k ; & duds a fedione ordinarim applicentur
in angulo , qui deinceps efi ipfi g. confiat igitur b e fediones efie oppofitas , quarum
diameter efi una : duo uero reda latera inter fe squalia .
PROBLEMA V. PROPOSITIO LVI.
Datis duabus redis lineis , fe fe bifariam fecantibus , circa utram-
que i piarum fe dio nes oppofitas defcribere , ita ut reda: linea: .fint con-
iugarx diametri:& quarumlibet oppofitarum fedionum diameter pof-
fit figuram aliarum oppofitarum .
Sint dat* reds lines bifariam feinuicemfecantes a c, d e. oportet iam circa utram
queipfarum diametrum oppofitas fediones defcribere, ita ut ac, d e coniugatsfint
in ipfis: & d e quidem pofsit figuram earum, qus circa a c fnnt: a c uero figuram ea-
rum pofsit, qus circa de. Sit quadrato de squale redangulum acl:fitq;ic ipfi ca
ad redos angulos : & duabus datis redis lineis,ad redos inter fe angulos condituris,
ac,cl deferibanturoppofitsfediones fag, hcic,
quarum diameter tranfuerfa fit c a, otredum la-
tus cl : duds autem afedionibus ad ca in dato
angulo applicentur, eritipfa de fecunda diame-
ter oppofitarum fedionum , quod mediam pro-
portionem habeat inter latera figurs : & ordina-
rim applicats squidiftans ad b bifariam fecetur .
Sitrurfus quadrato ac squale redangulum edr:
& fit rd ad rectos angulos ipfi d e . itaque datis
duabus rectis lineis, ad rectos inter fe angulos,
e d,d r,fectiones oppofits, m d n,oex deferiban-
tnr, quarum tranfuerfa diameter de, & dr re-
ctum figurs latus: ducts uero a fectionibus appli-
centur ad de in dato angulo,linea ac fecunda dia
meter eritfectionum mdn,oex. ergo ac lineas ipfi de squidiftantes inter fectio-
nes fa g,hck bifariam fecat; d e uero squidiftantes ipfi a c,quod facere oportebat,
nocentur autem huiufmodi fec-tiones coniugats .
EVTOCIVS.
S c r i p s i m v s in commentariis in decimum theorema , quod nam fuerit propofitim .Apol-
lonio in primi r tresdecim theorematibus :&■ m Commentarijs in f 'zxtum decimum de tribus fequen
tibus dittum efi . *At uero in feptimo decimo afierit . Apollonius r ellam lineam , qua per uerticem
ducitur , ordinaiim applicata aquidifians , extra felhonem cadere . In decimo oltauo lineam ,
qua utcunque contingenti aquidifians intra [cilionem ducitur , ipfam fecare . In decimo nono li-
neam ,
4 i
CONICORVM L I B. I.
neam , qua ducitur ab aliquo puntlo diametri , ordinatim applicata aquidiflans , cum fe Ilione cort
uenire . In uigefimo, & uigefimo primo lineas in f thiionibus ordinatim applicatas inquirit , qiicT
modo inter fe fe habeant : itemq; diametri portiones, qua ab ipfis fiunt. In uigefimo fecundo, & ui-
gefimo tertio trqhlat de linea , qua in duobus p unciis feStiom occurrit . In uigefimo quarto,& ui-
gefimo quinto de ca,qna ipfi occurrit in uno punito tantum, hoc eft de linea, qua feliionem contin-
git . In uigefimo f uxto de ea, qua diametro parabola , <&- hyperbala aqmdifians ducitur . . In ui-
gefimo feptimo de linea fecarit e parabola diametrum, quippe qua ex utraque parte fcltioni occur-
rat . Inuigefima ociauo de ea, qua aquidifians ducitur contingenti unam oppofitarum f e itionum.
Inuigefvmo nono de ea, qua per centrum oppofitarum feciionum tranfiens producitur . In trigefi -
mo de linea tranfeunte per centrum ellipfis , & oppofitarum feciionum , qua producta a centra bi-
fariam dmiditur . In trigefimo primo de linea hyperbolen contingente , qua quidem diametrum fe-
cat inter cenintm,& uerticcmfeltionis.Iu 32 . 33 . 34 . 35 .36.de lineis contingentibus agitur. In trige-
fimo feptimo de contingentibus, & deijs,qua d tactu applicantur in hypcrbola & ellipfi. In trige-
fimo obtauo de contingentibus hyperbolen , & eliipfim , quo pacto f ; habeant ad f u: undam diame-
trum . In trigefimo nono & quadragefimo deijsdem agit campofitas ex his proportiones inqui-
rens . In quadragefimo primo de paralie lagrammis def criptis ab applicata , &■ ea, qua ex centro
hypcrbola & ellipfis . In quadragefimo J ecundo affer it triangulum in parabola ex contingente,
applicat a f ahium aquale effe ei parallelogrammo , quod cum aqualem altitudinem habeat, in dimi-
dia bafi conflituitur . In quadragefimo tertio inquirit in hyperbola & ellipfi , quomodo f 1 habeant
inter fe fe triangula , qua d contingentibus applicatis jiunt . In quadragefimo quarto idem in-
quirit in oppofitis j cilionibus . In quadragefimo qimto itidem in fecunda diametro hyperbola &
ellipfis . In quadragefimo fexto de alijs parabola diametris , qua furit pofi diametrum principa-
lem. In quadragefimo feptirno de alijs diametris hypcrbola &eilipjis. In quadragefimo ohlauo
de alijs diametris oppofitarum fehliomm . In quadragefimo nono de lineis , iuxta quas poffunt ap-
plicata ad alias parabola diametros . In quinquagefimo de ijsdem in hyperbala, & ellipfi. In quin-
quagefimo primo de ijsdem in oppofitis fehiiombus . Itaque cum hacfcripfiffet, addidifjetq; epilo -
gmuquendam, in quinquagefimo fecundo problema illud ofiendit , quomodo parabole in plano de-
fer ibatur . Iu quinquagefimo tertio quomodo deferibatur hyperbole . In quinquagefimo quarto ,
quomodo ellipfis . In quinquagefimo quinto , quomodo oppojita fehliones . In quinquagefimo fe-
xto , quomodo defer ibantur oppofita fehliones illa , quas coniugatas appellamus .
PRIMI LIBRI FINIS.
L
PAPPI ALEXANDRINI
LEMMATA IN SECVNDVM LJBRVM
CONICO RYM APOLLONII.
LEMMA P R I M-V M.
Jf kA’* is duabus retiis lineis ab, h c, data retia des
Jf in ipfas ab , b c coaptare li-
neam, ipfi de aqualem, &
<ecjuidiftantem .
Hoc autem manifeftum eft.
nam fi per e ducatur ec sequi-
‘‘N. i
nmA
v”' diftans a b;& per c ipfi d e sequi &
fca - i — ^ diftans ducatur ca, erit aced
J
14 .. primi P ar 3-11 e 1 ° gr am n i u m : 8c propterea a c ipfi d e & squa-
lis, & squidiftans ; qus quidem in datas rectas lineas
ab, bc coaptata erit.
LEMMA II.
Sint duo triangula ab c,def- fitj ? ut ab
dem fit aquiditlans de;b c uero ipfi e f. Dico
<£? ac ipfi, df <equid'Mantem ejfe .
Producatur enim bq&conueniatcum de,
as.primi. d * in punctis g h . eft igitur angulus e aqualis
angulo g, hoc eft ipfi b; propterea quod dus li-
nes ab,b c duabus de,ef squidiftant. Itaque
quoniam ut ab ad bc, ita eft de ad ef.-& an-
g .fextt. guliad b e funt squales ; erit angulus c squa-
i8. primi Iis angulo f,hoc eft angulo h.ergo linea ac ipfi
dh eft: squidiftans.
ad bc, ita de ad e f; & ab qui-
LEMMA III.
Sit retia linea a bfintj^ aquales ac,db : & inter c d fumatur quoduis pun-
tlurn e.Dico retlangulum adb una cum retlangulo ced aquale ejje retian -
gulo aeb.
Seceturenim cd bifariam in £quomodocunquefehabeatad e punctum. &quo-
y. fecudi, iftam rectangulum adb una cum quadrato fd aquale eft quadrato fb:quadrato au-
tem f d rectangulum ced una cum quadrato fe eftsequa
le : & quadrato fb" squale rectangulum aeb una cum a <{ e A. \
quadrato fe: erit rectangulum adb una cum rectangulo ‘ 1 l_ “ 1 1 *
c e d,& quadrato fe squale rectangulo aeb & quadrato
fe.commune auferatur quadratum fe. reliquum igitur
adb rectangulum una cum rectangulo ced squale eft rectangulo aeb.
LEMMA I I I I.
Sit retia linea ab:& aquales fint ac, db > fer inter c d quoduis puntlum e
fumatur /Dico retlangulum aeb aquale ejje retlangulo c ed,& retlangulo-d a c.
~ Secetur
4*
CONICORVM LIBER II.
Secetur enim c d in f bifariam , quomodocumque fe habeat ad pun&um e. quare
tota afipfi fb ed: «qualis. redangulum igitur aeb una
cum quadrato e f «quale eft quadrato a f. Sed redangu-
lum d a c una cum c f quadrato quadrato a f eft «quale . a c ej j y
ergo redangulum aeb una cum quadrato e f ««quale eft
redangulo dac,& cf quadrato. quadratum autem cfeft
«quale redangulo ced, & quadrato e f. quare fublato communi, nempe quadrato
e f,erit quod relinquitur redangulum aeb «quale redagulo c e d,& redangulo d a c.
LEMMA V*
Sint duo triangula a b c y d ef: fit angulus quidem c aqualis angulo f angu-
lus uero b angulo e maior. Vico lineam
bc ad ca minorem proportionem ha-
bere y quam ef ad fd.
Conftituatur enim angulus c b g «qua
lis angulo e; & eft angulus c angulo f
^qualis . ergo ut b c ad c g,ita e f ad fd .
Sed bc ad c a minorem habet proportio
nem,quam bc ad cg. quare & bc ad ca
minorem proportionem habebit, quam
efadfd.
LEMMA VI.
✓
Habeat rurfius bc ad c a maiorem pro portionem . , quam efadfd : & fit an-
gulus c qualis angulo fi Vico angulum b
angulo e minorem effie .
Quoniam enim b c ad c a maiorem pro-
portionem habedqudm efad fd:fifiatut bc
ad ca,itaef ad aliam quandam:erit ea minor,
quam fd. Itaque fit fg : & e g jungatur . cum
igitur circa «quales angulos latera proportio
naliafintjangulus b eft «qualis angulo fcg-.Sc
propterea angulo e minorent.
LEMMA VII.
Sint triangula fimilia abc y d e fi: ducantur ag y d h y ita ut fit reSlangulum
b cjr ad quadratum c a, ficut redangulum efh ad quadratum fi d. Vico trian-
gulum age triangulo dhf fimdeeffe.
' Quoniam enim eft ut redangulum b c g ad quadratum c a , ita redangulum e f h
ad quadratum fd:& proportio redangu
Ji b cg ad quadratum ca compofita eft
ex proportione bc ad c a, & proportio-
ne gc ad c a; proportio autem redangu
li efh ad quadratum fd componitur ex
proportione efad fd : & proportione
h f ad fd: quarum quidem proportio b c
ad ca eadem eft, qu« efad fd, propter
fimilitudinem triangulomm.-erit reliqua
gc ad ca eadem, qu« h f ad fd. & funt
drea «quales angulos latera proportionalia, ergo triangulum aeg triangulo d fh
L 2
A
5 fecundi
6 .
4-fexti.
*. «juind
i. fextl
2-j. fexti
6 . fext?
14 - feti ,
Jemvn. iz
decimi .
ii.quinti
4. fexti
P A
P P 'I L E M M A T A
a
fimile erit. Hocigitur ex coniunda proportione in eum, quem diximus, modiim
demonftratur . Sed licet & aliter demonftrare abfque coniunda proportione .
ALi T ER. Ponatur enim redangulo b cg sequale redanguluni ack. ergo ut bc
ad c k, ita ac ad c g. Rurfus ponatur rectangulo e fh squale redangulum d f l.erit
ut ef ad fl,ita d f ad fh.Sed politum eft,
ut redangulum bcg, hoc eft redangulum
ack ad quadratum a c,uidelicet ut ac ad
ck , ita redangulum e fh , hoc eft d f 1 ad
quadratum d f, uidelicet ut dfad fh.Vtau
tem bc ad ca,ita efad fd,ob fimilitudi-
ncm triangulorum . ergo ut b c ad c k, ita {,
e fad fl. Sed iit b c ad c k , ita a c ad c g ,
quod demonftratum eft:itemq; ut e f ad
fljita d had fh. quare ut ac aa cg, ita erit
d f ad fh; & funt circa «quales angulos, triangulum igitur acg fimile eft triangulo
dfh. & eadem ratione triangulum agb triangulo dhe, quod & ab c triangulum
ipfi def fimile fit.
LEMMA VIII.
Sit triangulum quidem abc Jtmnle triangulo d ef; triangulum uero a bg trian
gulo deh /mile . "Dico ut redangulum b cg ad quadratum capita ejje redan-
gulum e f b ad quadratum f d .
Quoniam enim propter fimilitudi-
nem triangulorum totus angulus a toti
d eftsqualis: angulus autem bag sequa
lis £ft angulo e dRefit reliquus gac re-
liquo h d f squalis . Sed & angulus c eft
squalisangulo f. eft igitur ut gc ad c a,
ita h fad fd. ut autem bc ad ca,ita ef
ad f d.ergo & compoiita proportio cora
polita: proportioni eadem eritddcir-
coq; ut redangulum bcg ad quadra-
tum c a, ita redangulum e fh ad quadratum fd .
ALITER ABSQ^VE CONIVNCTA PROPORTIONE.
Ponatur redangulo bcg squale redan
gulum ack: & redangukTe fh ecquale rc-
dangulum dfl, erit rurfus ut bc ad cx,ita
a c ad c g. ut au tem e f ad fl , ita d f ad f h :
& eadem ratione, qua fupra demonftrabi-
mus,irt ac ad cg,ita’efle dfad fh. ergo ut
bc ad ck,ita efad fl.Sedut bc ad ca,ita
e i ad f d, ob triangulorum fimilitudinem .
ex aquali igitur ut kc ad ca,hoc eft utre- **
dan gulum kc a, hoc eft redangulum bcg'
ad quadratum c a, ita 1 fad fd; hoc eft re-
dangulum 1 fd,hoc eft redangulum e fh ad
quadratu fd . quod dtmoftrare oportebat.
LEMMA IX.
'Similiter demon&r abimus, fiut redangulum b cg ad quadratum a c,ita fue-
rit redangulum e f b ad quadratum fd : triangulum abc fimile triangulo
d ef: & triangulum a bg triangulo deh fimile e fle .
LEM
IN II. IIBXVM CONICORVM. 43
T r '"v r~~ -'T *r? T T T »
.. .. .. x _L E m; Mi A x. .
duo triangula fimilia ab c, de f:
43 ducantur -perpendiculares ag,d b. Di-
co ut re SI angulum b g c ad quadratum
ag,ita ejje reiiaftgnlum e b f udi quadra-
tum d b.
Hoc autem exjjs , qua: fupra dicta funt,
per/picue coniiat.
? » r\
L E M M A
Sit aqualis quidem angulus b angulo e : an
gulus nero a angulo d rmnor . Dico cb ad b a
minorem pro portione habere, quam f e ad e d.
Quoniam enim angulus a minor efl angulo
(f, confti tuatur angulo a sequalis angulus edg.
di igitur ut cb ad ba, ita g .e ad e d. feci g e ad
ed minorem habet proportionem, quam fe ad
e d . ergo & c b ad b a minorem proportionem
habebit , quam fe ad e d . fimiiiter & omnia alia
eiufmodi oftendemiis.
LEMMA
XII.
Sit ut re [langulam bgc ad quadratum ag,itaredlangulum ehf ad quadra
mm db: 43 ft bg quidem <e qualis gereg nero ad g a minorem proportionem ba'
beat, quam fh ad bd. dico fb maiorem effeipfa be.
Quoniam enim quadratum c g
ad quadratum g a minorem propor
tionem habet,quam quadratam fh ^
ad quadratum h a : quadratum au- - o
tem cg aquale eftredangulo bgc:
habebit bgc redangulum ad qua-
dratum a g minorem proportio-
nem, quam quadratum f h ad qua- b
dratum h d . fed ut bgc redlangu-
ium ad quadratum a g, ita politum
dl redtangulum e h f ad quadratum h d . ergo re&angulum e h f ad quadratum h d ,
minorem proportionem habet, quam quadratum fh ad quadratum h d . maius igi-
tur eii quadratum fh re&angulo ehf. quare & linea fh maior erit linea he.
8. quinti.
A P O L L O N II PERGAEI
CONICORVM' LIBER II.
/ ’ '
C V M COMMENTARIIS EVTOCII ASCALONITAE,
ET FEDERICI -C.OMMANDINI.
jt f OL L 0 ‘M IV S E> V T> EMO S. V.
I u^lesjbene Qft,ego quidem fatis commode habeo.
Apollonio filio meo dedi , ut ad te perferret fecun-
dum librum conicorum , quje a nobis confcripta
fuiit. tu eum diligenter percurres : & communi-
cabis cum iis, qui eo tibi digni uidebuntur. Philoni-
dx etiam geometras, quo cum tibi Ephefi amicitiam
conciliaui , fi quando inifth^c Pergami loca uene-
ritjcgcndu m^dabis". & tu ctf ra urualcas.
THEOREMA I. PROPOSITIO I.
S t hyperbolen reda 1 i h ea ad uerticem contingat : & abipfo ex utra
que parte diametri fumatur asqualis ei > qux poteit quartam figuras par-
Eem:hnetT,qu^ a iedipnis centro ad fumptos terminos contingentis du
cuntuncum feSione noneonuenient.
• • ... ■ - - 1
SIT hyperbole, cuius diameter ab; centrum c ;& redum figurs latus bftlinea
uero d e iedionem contingat in b: & quarta parti fi gurs,qus continetur lineis a b,
b f squale fit quadratum utriufque ip larum d b, b e : & iunds c d., c e producantur.
Dico eas cum fedione non conuenire. fi enim fieri poteft,conueniat cd cum fedio-
nein g:Sta gordinatim applicetur gh.ergo gh squidiftans efiipfi db.& quoniam
ut a b ad b f, ita eft quadratum ab adredangulum abf: quadratum autem cb
quarta pars eft quadrati a b;& quadratum bd itidem quarta
ij. quinti pars redanguli ab b erit ut ab ad bf, ita quadratum c b ad
A bd quadratum,* hoc eft quadratum c h ad quadratum hg.
B
lem.in 11
decimi
S.quinti
C
D
fedut ab ad bfiitaeftredangulum ahb ad quadratum hg.
quare ut ch quadratum ad quadratum hg,itaredangnhim
ahb ad hg quadratum, ex quibus iequitur redangulu ahb
quadrato ch squale eftequod eft abfurdum.efgo edeumfe
dione non cenuenit . fimiliter demonftrabitur neque ipfam
ce conuenire cum fedione . ftmt igitur lines cd c e alym-
ptoti, hoc eft cum fedione non conuenientes .
E V T O C I V S.
jExplicatvry s fecundum librum conicorum amicijjitne Jtnthemi , illud praedicere oporte-
re exijlimo,me ea tantummodo in ipfiim conf :ribere,qua ex primo libro intelligi pojfunt. ‘Primum
theorema cafum non habet, lineae enim d c,c e fectionis afymptoti cumfint, eadem manent in omni
tum diametrorum linea contingente ,
F E D»
44
CONICOR VM L I B; II?
FED. COMMANDINVS,
HOC eft quadratum c h ad quadratum hg.] Quoniam enim ponitur lineam cd pro A
ductam curn feMione conumire in g : erit ex quarta f ?xti,ut cb ad bdfita ch ad hg. quare ex 22 ,
eiufdem,ut quadratum cb ad bd quadratum, ita quadratum ch ad quadratum h g.
Sed ut ab ad bQitaeftre&angulum a h b ad quadratum hg.] Ex uige fima prima B
primi libri huius .
Quod eft abfurdum.] Efi enim quadratum c h ce quale rett angulo ah b una cum quadrato C
bc ex fexta fecundi libri elementorum.
Sunt igitur lines cd,ce afymptoti, hoceftcumfedHonenonconuenientes.] Has £)
Graeci d(tv]xinijrou$ tw t opituel [impliciter occfvp.7nuTOv$ appellant , quare nobis deinceps , ut a Vv por-
uno uerbo dicamus , grceca noce uti liceat , juroi
THEOREMA II. PROPOSITIO II.
Ifdem manentibus demonftrandum eft non efte alteram afympto-
ton,qua! angulum dee diuidat .
SI enim fieri poteft, fit ch:&per b ipfi cd squidiftas ducatur bh, quscum ch
in h punito conueniatdpfi uero bh ponatur squalis dg;&iun<fta gh ad klmpro
ducatur. Quoniam igitur b h,dg squales funt,&squidiftantes; & ipls d b,g h squa
Ies & squidiftantes fint necefie eft . fecatur autem ab bifariamin c:& ipfi adiungi-
tur qusdam linea b 1. ergo redtanguium alb una cum cb quadrato squale eft qua-
drato cl.fimiliter quoniam gm ipfi de squidiftat : atque eft db squalis be;& gl
ipfi Im squalis erit.qubd cum gh fit squalis db,erit gk ipfa db maior :eftq; k m
maior b e, quoniam & ipfa 1 m.reftangulum igitur m k g maius eftre&angulo d b e ;
hoc eft quadrato db.& quoniam ut ab ad b fi ita eft quadratum cb ad bd quadra-
tum; ut autem ab ad bfiita alb rcctangulum ad quadratum lk; erit ut quadratum
cb ad bd quadratum, ita alb re&angulum ad quadra-
tum lk.fed ut quadratum cb ad quadratum bd, ita qua
dratum cl ad quadratum Ig. ergo ut quadratum c 1 ad
quadratum lg,ita alb re&angulum ad quadratum 1 k.
Itaque cum fit,ut totum quadratum c 1 ad totum qua-
dratum lg, ita ablatum reftangulum a 1 b ad ablatum
quadratum 1 k: eritreliquu quadratum cb ad reliquum
rectangulum m k g,ut quadratum cl ad quadratum lg;
hoc eft ut quadratum c b ad b d quadratum.ergo re&an
gulo mkg squale eft quadratum bd;quod fieri non po
teft: oftefum eft enim eo maius. non igitur linea c h aljun
ptotos eft,uidelicet cumfiectione non conueniens ,
E V T O C I V S.
Hoc theorema cafum non habet, Ji quidem linea bh feElionem omnino in duobus punblis fe~
cat. quoniam enim aquidifians ejl cd,cumipfa chconueniet. quare prius cumfefiione conueniat
necefie efi .
FED. COMMANDINVS.
JJ.pnmi.
tf.fecudi.
A
B
C
D
2-r. primi
huius.
X i- quinti
4-& it. f«
xti.
9 . quinti.
SIMILITER quoniam g m ipfi d e squidiftat ; atque eft d b squalis b e : ^
gl ipfi lm squalis erit.J Exijs,qucenos demonfirauimus in commentari] s infextampropofi- A
tionem primi libri huius.
Erit gk ipfa db maior.] ISlam cum ponatur ch afymptotos , punctum h extra fcblionem B
cadet, uidelicet extra punctum lg; & idcirco linea g k, maior erit, quam g h,hoc efi quam d b.
Eftqj km maior b e, quoniam & ipfa lm.] Efi enim in triangulo clm } ut cl ad l m, ita C
D
E
tf.fecudi
j. fecudi.
i^. quinti
47.’primi
huius.
J.buius
i. huius
73. prfmf
huius.
jt.fexti :
APOLLONII PERGAEI
cb ad b c:& permutando ut Ic ad cbfita Im ad he.fied letnaioreft c b . ergo &■ l m maior be,
atque efl hjn maior l m. multo igitur k m ipfia b e maior erit .
Et quoniam ut ab ad b f, ita eft quadratum cb ad b d quadratum.] Exdemonfira
tis in prima propofitione huius libri.
Itaque cum lit ut totum quadratum c 1 ad totum quadratum 1 g , ita ablatum re-
«angulum a 1 b ad ablatum quadratum 1 k : erit reliquu &c.] Quomam enim reEi angu-
lum a i b una cum quadrato c b ecquale efl quadrato cl,fid quadrato c l auferatur reti angulum
a.lb reliquum ent cb quadratum. Pqirfus quoniam retia linea g m fecatur m partes aquales in l,
<& in partes inaequales in f; reti angulum m kg una cum quadrato l k aquale efl quadrato l g.
ergo fi d quadrato Ig auferatur l k quadr at um y rdinquetur reti angulum mlgg. cum icitur fit, ut
quadratum el ad quadratum l g , hoc efl ut totum ad totum , ita reti angulum alb ad quadratum
1 k } ablatum fcilicet ad ablatum-, erit reliquum ad reliquum , hoc efl quadratum c b adretiangu -
Ium mkg, ut totum ad totum .
THEOREMA III. PROPOSITIO III.
*l r
S 1 hyperbolen contingat re&alinea,cum utraque afymptoton coti
ueniet,&: ad tadhim bifariam fecabitunquadratum uero utriufque eius
portionis a?quale erit quarta? parti liguri , qua? ad diametrum per ta-
dum dudtam con diruitur.
SIT hyperbole a b c, cuius centrum e: A afymptoti fint f e, e g : quadam uero re-
da linea h k fedionem contingat in pundo b.Dico hk produdamcu lineis fe,eg
conuenire.fi enim fieri poteft,non conueniat ; & iunda b e producatur ; fitq; ipfi b e
aqualis e d.diameter igitur eft b d.ponatur quarta parti figura ,
qua eft ad b d aquale quadratum utriufque ipfarum h b, b k : &
iungantur h e,ek. ergo he,ek afymptoti funt,quod fieri nequit,
pofitum eft enim afymptotos efte fe, eg. quare h k produdacu
ipfis fe,eg conuenit.itaque conueniat in pundis fg. Dico qua-
dratum utriufque ipfarum fb_,b g aquale effe quarta parti figu-
rajqua fit ad b d.non enim,fed fi fieri poteft,fit quarta: parti eius
figura? aquale quadratum utriufque ipfarum h b ! , b k . afymptoti
igiturfiint he,e k; quod eft abfurdum. ergo quadratum utriufq;
f b,b g squale eft quarta parti figura: , qua ad ipfam b d confti-
tuitur .
PROBLEMA I. PROPOSITIO IIII.
Datis duabus redis lineis angulum continentibus, Sc pundo intra an
gulum dato,defcribere per pundum coni fedione , qua? hyperbole ap-
pellatur, ita ut data? linea? ipfuis afymptoti fint.
SINT duce reda: lines a b,a c angulum ad a continentes : fitq; datum pundum
d:& oporteat per d circa afymptotos bac hyperbolen
defcribere.iungatur a d,-&ad e producatur, ita ut da fit
aqualis a e: & per d ipfi ab aquidiftans ducarur dfipona
turq; a f aqualis fc: iunda uero c d producatur ad b:&
quadrato cb aquale fiat redangulum ex d e,&rg.deinde
produda a d circa ipfam per d hyperbole deferibatur,
ita ut applicata ad diametrum posfint redangula adiacen
tia linea g;excedentiaq; figura ipfi deg fimili. Quoniam
igitur aquidiftans eft d f ipfi b a -,8c c f aqualis f aberit c d
ipfi d b aqualis.ergo quadratum c b quadruplum eft qua
drati cd.atque eft quadratu cb aquale redangulo deg.
H 1 Vtrumque
CONICO RVMLIB. II. 45
Virumque igitur quadratorum bd,dc quarta pars eftfigurae,quae lineis deg conti-
netur.quare ba,ac defcriptae hyperbolae alymptotifunt.
FED. COMMANDINVS.
Hoc problema ab Apollonio confcriptum non ejl , fed ab alio aliquo additum : quod ex Eutoci]
uerbis per(picue apparetds enim in commentari] s in quartam propofitionem fecundi libri ^ Archi-
medis de fbara & cylindro ita fcribit. c Ad dW t ov Mivrus cfqs&ov n ipt roi$ <f'o 6 &i'Xfoi<fyp
'KTaTOVfygxfou v mp£oAw'v,dW£c(iev ouraif, ovu ocvrodiv «a Tau iv toQ x&wvof $ tiToiymu.
id cfl,quo aut em modo oporteat per datum punlhim circa datas afymptotos defcribere hyperbole ,
demonflrabimus in hunc modum,quoniam id per fe ipfm in conicis elementis no n ponitur .fubiun
git poflca Eut ocius demonjlrationem eandem, quae hoc loco habetur, ut credibile fit , uel Entocium
ipfum,uel alium ex Eutocio hoc problema inferuijfe.Adde quod Tappus inter lemmata , qua con-
fer ip fit m quintum librum conicorum .Apolloni] , idem problema per refolutionem , copo fit ionemq;
exphcamt,quod minime fecijfet,nifi ab ipfo Apollonio illud fuijfet omijfum.fed Tappi lemma appo
nere libuit .
Duabus retiis lineis ab ,b c pofitione datis : & dato punflo d *> fer d circa
afymptotos ab, b c hyperbolen de/cribere .
Fadumiamfit.ergo b eftipfius centrumdungatur db,&producatur,quaediame-
tererit: ponaturq; ipfi db aequalis b e. datum igitur eft pundum b. quare &pundu
e dabitur, &■ diametri terminusrducatur a pundo d ad linea bc perpendicularis d f.
ergo pundum f datum erit.jRurliis ponatur ipfi bf aequalis f c. erit & c datum : &
iunda cd producatur ad a,quae politione data erit.fedd pofitione data eft a b. qua-
re Stipium a:eft autem & c datum, ergo linea a c magnitudine dabitur: atque erit
ad aequalis d Cjproptereaquod b f edi aequalis fc. Itaque figurae, quae ad diametrum
ed conftituitur, fit d gredum latus . erit utraque ip larum ad, dc poteftate quarta
pars redanguli eius, quod edg continetur.fed& quarta pars eft quadrati ac.redan
gulum igitur edg quadrato a c eft aequale. datum autem eft ac quadratum, ergo &
datum redangulurn edg.&dataeft ed.quareipla dg,& pundum g datur . Quonia
igitur politione datis duabus redis lineis in plano e d, d g, quae ad redos inter Te an-
gulos conftituuntur;& a dato pundo d facta eft fedio hyperbole,cuius diameter qui
demeti e d,uertex autem d punduin : & aledionead diametrum applicata in dato
angulo adb applicantur: &polTuntlpatiaadiacentiaipli d g, latitudines q; habentia
lineas ex diametro abfcillas,quae inter ipfas,& pundum d interijeiuntur: & exceden
tia figura fimili ei, qua: lineis edg continetur: erit ipfa fedio politione data.
Componetur autem problema in hunc modum. Sint duae redae linex a b, b c poli-
tione datae: & datum pundum d:iundaq; db producatur ad
e, ut fit b e ipfi db aequalis :& ducatur perpendicularis df,po
natur q; ipfi bfaequaiis fc;&iunda cd ad a producatur): at-
que ipfi ed aptetur ad redos angulos dg, ita ut quadrato ac
aequalefit redagulum c d g;& delcribatur hyperbole circa dia-
metrum d e, fit inrefolutione di dum eft. Dico iam fadum elfe
quod proponebatur . Quoniam enim bf efl aequalis fe,erit&
ad ipfidc aequalis.quare utraque ipfarum ad,dcpotellateell
quarta pars quadrati a c , hoc ell redanguli edg, hoc eft figu-
rae, quae ad diametrum conftituitur . demdftratum autem eft in
fecundo libro conicorum lineas a b,b c ipfius hyperbolae alym
ptotos elfe .
CGMMENTARIVS.
Datum igitur eft pundum b] Ex 25. libri Datorum: funtenim ab,bc pofitione data .
Quare & p undum e dabitur ] Ex 27. eiufdem libri .
Ducatur a pundo d ad lineam bc perpendicularis d f ] Videtur hic locus corruptus
ejfe: non enim ducenda efl dj. adipfam bc perpendicularis 3 nifi quando linea ab,bc reUum an -
M
l -huius
A B
C D
27.Dat.
2T
E
x. fexti.
F
G
H
K
L
propof.
A
B
C
APOLLONII PERGAEI
gulam continent': quippe cum necejfie fit lineam df ipfi ab aquidiflarejit ex proxime diEUs appa
lis fc
X) Ergo punctum f datum erit] Ex 25. libri Datorum : nam & linea df pofitioue datur.
E Ergo linea ac pofitio ne dabitur] Ex 26. einfdcm.
F Erit utraque ipiarum ad 5 dc potefiate quarta pars re&anguli eius, quod edg co-
tine tu r] Dejideratur ingreico codice, TtTffpTov, uel d'.
G Quare ex ipfa d g,& punitum g datur] Efi enim ex iq.uel 17. fextigit cd ad a cfita a c
i.Datovu ad dg:&dataefi a c . ergo & ipfa d g. cjlq; datum punctum d . quare & c dabitur.
lg H E t p offunt ipatia a discentia ipfi dg] In grcsco codice mendo fe legebatur ga.
K Et ducatur perpendicularis d f] Legendum , ut diximus , & ducatur d f ipfi a b cequi-
difians .
L Et deicribaturhyperbole circa diametrum de] Ex 53. primi libri huius .
THEOREMA 1 1 II. PROPOSITIO V.
S i parabola?, uel hyperbola? diameter lineam quandam bifariam fe-
cet ; qua? ad terminum diametri contingit fe&ionem cequidiftans ed: li-
nea? .bifariam fecta?.
Sitparabole, uel hyperbole ab c, cuius diameter dbe.-& linea fbg fe&ionemcon
tingat . ducatur autem quaedam linea a e c in fe&iofie , fa-
ciens ae squalem ec.Dico ac squidiftatem effeipfi fg.
nifi enim itant, ducatur per c ipfi f g squidiftans ch : &
iungatur h a . Quoniam igitur parabole,uel hyperbole eft
a b c , cuius diameter quidem d e , contingens autem fg:
huius”™ atque ipfi fg squidifiat ch.-erit ck squalis kh.fed& ce
1 U fexti. ipfi e a efi squalis. ergo a h squidifians efi ic e ; quod fie-
2 i. primi ri non poteft : produda enim cum ipfa b d conuenit .
huius.
4?. primi
huius .
2. iexii .
A
B
(f
THEOREMA V. PROPOSITIO VI.
S e eHipfis,uel circuli circumferentia? diameter lineam quandam no
per centrum tranfeuntem bifariam fecet; qua? ad terminum diametri
contingit Tectionem , arquidiftans erit bifariam fe&a? linea? .
Sit ellipfis,uel circuli eirenmferentia,cuius diameter ab;& ab lineam cd nontra
feuntem per centrum bifaria
fecetin e. Dico lineam, qus
ad afe&ionem contingit, ipfi
c d squiclffiantcm efie . non
enim, fed fi fieri poteft , fit li-
nes ad a contingenti squidi
Itans d f. squalis igi tur efi d g
ipfi g f. efi autem A d e squa
lis ec. ergo cf ipfi ge sqai-
diftat.quodefiabfurdum ; fi-
ue enim punctum g centrum
fit fcdcionis a b ; linea e f cum diametro ab conueniet,fiue non fit, ponatur cetffim
K:iunctaqj dk producatur ad h;& iungatur ch. Quoniam igitur dk squalis eft/^h,
& de ipfi e ederit ch squidiftans a b.fed & c f' eidemsquidifiat,quod efi abfurdum.
ergo quae ad a fedioneili contingit, ipfi cd efi squi difians.
FED.
CONICORVM LIBER II,
46
FED. COMMANDINVS.
Siue enim pun dum g centrum fitfedionis a balinea cf cum diametro abconue
niet: fiuenoniit.] Silineaad a fettionem contingens non aquidiflat ipfi cdjfit linea contin-
genti ad a aquidiflans dgf\& i ungatur f c. ponatur autem primum g
feclionis centrum ejfe.Itaque dg aqualis ejl gf& efl de aqualis e c.
ergo fc ipfi g e aquidiflat: quod efl, ab fur dum : linea enim , qua tranfit
per centrum,contingenti ad a aquidiflans , diameter efl ipfi a b con-
iugata : & propterea fc,qua ellipfim uel circulum fecat inter duas dia - c
raetros ,cum utrifque conueniet ex uigefima tertia primi buius.fi ucro g
non fit centrum fedlionis, idem abfurdnm jequetur : namque fc itidem
inter duas diametros fecans cum ipfis conueniat necejfe efl.
Ponatur centrum kriundaq; dk producatur adh.] Si d f
per centrum non tranfeat, fit centrum f; & duci a dkjj iungatur hc.
erit d f aqualis kh. efl autem & de aqualis ec.quare hc aquidiflat
ipfi a bfied eidem aquidiflat cfquod efl abfurdum. Quoniam enim f c
cum c b 3 qua efl aquidiflans ab comenit;&cumipfa ab neceffario conueniet, ex fecunda propo-
. fitione primi libri Vitellionis . ^Adde quod aliud abfurdum fequitur,uidelicet lineas hc,cf uni &
eidem ab aquidiflantes } etiam inter fe fe aquidiftare , qua tamen in pundio c conuemunt.
A
4-diff. fe~
cundaru.
B
30. primi
huius.
$0. primi*
THEOREMA VI. PROPOSITIO VIT.
S i coni fedionem , uel circuli circumferentiam reda linea contin-
gat : & huic sequidiftans ducatur in fedione : & bifariam diuidaturrqua:
a tadti ad putidum lineam bifariam diuidens iungitur, fcdionis diame-
ter erit.
Sit coni fedio , uel circuli
circumferentia a b c, quam
contingat reda linea fg:& ip
B fg aequidiftas ducatur ac;
bifariamq; in e diuidatur: &
iungatur b e. Dico b e fedio
nis eife diametrum, no enim,
fed ii fierfpoteft, iit diameter
bh.ergo ah ipfi hc ei! aequa
lis,quod efl abiurdu.eftenim
a e aequalis e c.non igitur bh
diameter eritfedionis . fimiliter demonfirabimus nullam aliam , praeterquam ipfam
b e, diametrum eife.
THEOREMA VII. PROPOSITIO VIII.
Si hyperbole reda linea occurrat in duo
bus pundis , produda ex utraque parte cii
afymptotis conueniet: 8c line^,qu^ex ipia
abfeiffie inter fedionem, & afymptotos in-
teriiciuntur,3eqiiales erunt .
Sithyperbole ab c, cuius aiymptotifint ed, d£
& ipfi a b c occurrat quaedam reda linea a c . Dico
ac produdam ex utraque parte cum afymptotis
conuenire. fecetur enim ac bifariam in g:&iunga
tur dg. diameter igitur efl: fedionis. quare linea ad
b contingens ipfi ac aequidiflat. fit autem contin-
y.huiuS
y. huius
3 .imius
i . primi
Vitell.
6 . primi
huius.
8. huius
A
B
C
D
E
F
9. quinti.
G
H
A
B
APOLLONII PERGAEI
gens h b k,qu£ ccnueniet cum ipfis e d,df. Quoniam igitur ac aequidiftat Kh:&kh
conueniccum kd,dh;& ac cum ed,df conueniet. Itaque conueniat in pundis e£
eft autem hb squalis bk.ergo fg ipfi ge:&propterea fc ipfi a e squalis erit.
THEOREMA VIII. PROPOSITIO IX.
S i reda linea afpmptocss occurrens ab hyperbola bifariam fecetur ;
in uno tantum pundo fedionem contingit .
Reda enim linea c d occurrens afymp toris c a , a d fecetur ab
hyperbola bifariam in pundo e . Dico c d in alio pundo fedio-
nem non contingere.fi enim fieripoteft,contingatin b. ergo ce
squalis eft b d : quod eft abfurdum ; pofuimusi enim c e ipfi e d
squalem die. non igitur c d in alio puncto lectionem contingit .
THEOREMA IX. PROPOSITIO X.
S i reda linea fedionem fccans cum utraque afymptoton coueniat;
redangulum contentum redis lineis, quar inter afymptotos & fedione
interjiciuntur, tcqualec-ft quarta: parti ligura: fadx ad diametrum , quas
;equ i di itantes ipfi dudae linea: bifariam diuidit .
Sit hyperbole a b c, cuius afymptoti d e , e f; & ducatur quaedam redalinea d f fc-
dionem,& afymptotos fecans:diuidatur autem a c
bifariam in gdu-ndaq; g e , ponatur ipfi be 'aequa-
Hs e h : & a puncto b ducatur bm ad angulos re-
ctos ipfi h e b . deinde fiat ut redangulum hgb ad
ag quadratum , ita linea h b ad b m . diameter igi-
tur eft b h,& b m redum figura: latus. Dico redan
gulum d a f aequale elfe quartae par ti figura: , quae li-
neis hb.brn Continetur :& fimiliter eidem elfe ae-
quale redangulum dcf. .ducatur enim ner b linea
k b 1 fedionem contingens, quae aequidiltans erit ip
fi d f. Itaque quoniam demonftratum eiT,ut h b ad
b m, ita dfe quadratum eb ad b k quadratum; hoc
eft quadratum eg ad quadratum gd.Vt autem hb
ad b m , ita redangulum h g b ad quadratum a g :
erit ut totum quadratum eg ad totum quadratum
g dftta ablatum redangulum hgb ad ablatum qua
dratum g a. ergo reliquum quadratum eb ad reli-
quum redangulum daf eft, ut quadratum eg ad
quadratum g d, hoc eft ut quadratum eb ad bk
quadratum, iquale igitur eft redangulum daf qua
drato b fimiliter demonftrabitur& redangulum
d c f' quadrato b 1 aequale . & eft quadratum k b ae-
quale quadrato bl. ergo & d a’f redangulum re-
dangulo defaequale erit.
F E D. COMMANDINVS.
E T ducatur quaedam reda linea d f fcdionem,& afymptotos fecans .] Inmigen -
dum eft lineam d ffeBtottemin junctis acfecare. _
Diameter igitur eft bh;& bm redum figurae latus.] Ex uigefima prima primi libri b»
mjiue eius conaerfa.
c. : : ? . OH*
CONICORVM LIB. II.
47
Qus squidiftans erit ipfi d f. ] Ex quinta huius .
Itaque quoniam demonftratimi eft, ut hb ad b m, ita quadratum eb ad bk qua-
dratu tn . ] In prima huius .
Vt autem h b ad b m, ita redangulum h g b ad quadratum a g . ] Ex po (itione.
Erit uc totum quadratum e g ad totum quadratum g d . ] Vide qu<£ fcripfimus in fe-
cundam huius .
Et eft quadratum kb squale quadrato bl.] Ejl enim linea k b ecqualis ip fi b fex ter-
tia huius .
Ergo & d a f redangulum redangulo d c f squale erit . ] Ex quibus fi 'equitur illud ,
quod demonflr are oportebat , uidelicet unum quodque reti angulorum da fide f ecquale efijc quadra
to kJjj uel b fi hoc esi quarta parti figuree , quee lineis h b 3 b m continetur .
C
D
E
F
G
H
j huius
THEOREMA X. PROPOSITIO XI.
S i utratnque linearum continentium angulum , qui deinceps efl an-
gulo hyperbolen continenti, fecet re^h linea *, in uno tantum puncto
cum lectione conueniet: &: redangulum conltans ex iis, qua: mteriiciun-
tur inter lineas anguium continentes, <3 c fedionem , arquale erit quarta:
parti quadrati ex diametro , qux fecanti lineas aequi<jfi{t.ins ducitur .
Sit hyperbole, cuius afymptoti ca,ad: & produda da ad e, per aliquod punctum
e ducatur e fiqus lineas e a, ac fecet . p erfpicuum eft efin uno tantum puncto cum
fedioneconuenire. nam qus per a ipfi ef squidiftans ducitur, ut a b,fecat anguium
c a d; proptereaq; conueniet cum fedione : & ipfius diameter erit . quare e f cum le-
diorie conuenit in uno tantum puncto . conue-
niat in g. Dico redangulum egf quadrato ab
squale effe. ducatur enim per g ordinaturi hglk.
ergo qus in pundo b fedionem contingitsqui-
diftans eft ipfi h g: fit autem c d. Itaque quoniam
cb eft squalis b d; quadratum cb, hoceftredan-
gulum cbd ad ba quadratum proportionem ha
bet compotitam ex proportione cb ad ba;& ex
proportione d b ad b a . fed ut c b ad b a , ita h g
ad g h & ut d b ad b a, ita k g ad g e.ergo propor
tio quadrati cb ad quadratum ba compofitacft
ex proportione hg ad gf,& proportione k g ad
g e. proportio autem redanguli k gh adredan-
gulum e g fex eifde proportionibus componitur, quare ut redangulum kgh ad re
dan gulam e g fita quadratum cb ad ba quadratum : & permutando utredaouu-
lum k gh ad quadratum cbptaredangulum e g f ad quadratum ab.feddemonftra-
tum eft redangulum kgh squale quadrato cb.ergo 8c egf redangulum quadrato
a b squale erit .
E V T O C I y s.
A
B
C
D
E
F
zj. fex ti
4. texti
z}. fexti
G
14- quin-
ti
I n aliquibus exemplaribus hoc theorema aliter demonstratur . Si;
hyperbole , cuius afyrrtptoti a b, b c : .producaturq; in redam
b e d: & ducatur e fi ut contingit , fecans lineas b d, b a . Dico
ei cum tedi oneconuemre. Si enim fieri poteft,non conue-
niat:& per b ipfi e f squidiftans ducatur bg. ergo bg dia-
meter eft fedionis . conftituatur ad lineam ef parallelogram-
mum, quadrato bg squale, excedens figura quadrata, quod
fit eh f: & iunda bh producatur, conueniet ea cum fiedio-
ne . conueniat in k:& per k ducatur k a d squidiftans b g.er-
go redangulum dka quadrato bg eft squale. & ideo squale
H
K
L
APOLLONII PERGAEI
imprimi redangulo ehf, quodeftabfurdum. conflat igitur efcum fedione conuenire,at“
huius. que in uno tantum pundo , quoniam diametro b g efl «quidiftans .
A
B
C
D
E
F
G
H
K
L
M
FED. COMMANDINVS.
S i utraque linearum continentium angulum , qui deinceps efl angulo hyperbo-
len continenti.] cingulum hyperbolen continentem uocat .Apollonius eum, quem afymptoti
inter fe feconflituunt: reliquum uero ex duobus rectis , eum qui deinceps efi 3 appellat , qui quidem
una afymptoton & altera produMa continetur .
Proptereaq; conueniet cum fedione . ] Ex fecunda huius .
Et ipfius diameter erit . ] Ex corollario qmnquagejima primae primi huius .
Quare ef cum fedione conuenit in uno tantum pundo . ] Ex uigefima fexta primi
huius .
Ergo qu« in pundo b fedione contingit, «quidiftans efl ipfi h g.] Ex quinta huius.
Itaque quoniam c b efl «qualis b d . ] Ex tertia huius .
Sed demo nitratum efl redangulum kgh «quale quadrato cb.] In decima huius .
IN ALIAM DEMONSTRATIONEM QVAM AFFERT EVT.
Confutuatur ad lineam e f parallelogrammum quadrato bg «quale , excedens fi-
gura quadrata j quod fit e h f . ] Ex uigefima nona fexti elementorum .
Conueniet ea cum fedione . ] Ex fecunda huius .
Ergo redangulum dka quadrato bg efl «quale.] Exijs,qu<e proxime ditta funt .
quare fi quis hanc demonfirationem loco prxcedentis ejfe uelit , necejfe habebit illud ipfum fimili -
ter demonfirare .
Quod efl abfurdum . ] Tofi hac uerha in graco codice non nulla defiderantur , qualia f or ~
tafie hac funt , linea enim d k maior efi , quam eh; & ka maior, quam hf. Illud uero perru: cue
apparet . nam ut b k ad k d,ita efi bh ad h e & permutando ut kb ad b h,ita kjd ad h e.v ur _
fus ut h k ad k a, ita b h ad hf : permutandoq; ut kb ad bh , ita ka ad hf. Sed efi b k .
quam b h. maior igitur efi d k, quam e h ; & ka itidem maior , quam hf.
THEOREMA XI. PROPOSITIO XII.
S i ab aliquo pundo eorum, quae funt in fedione ad afymptotos duas
redas linea’ in quibuslibet angulis ducantur :& ab altero pundo in fe-
dione fumpto ducantur aliar lineae his ipfis asquidiftantes : redangulum
ex asquidi dantibus conflans aequale efl ei, quod fit ex iis , quibus illae
asquidiflantes dudae fuerant .
Sit hyperbole , cuius afymptoti a b,b c: & fu
matur in fedione aliquod pundum d.-atque ab
eoadlineas a b,bc ducantur de, df. Sumatur
autem & alterum pundum g in fedione j per
quod ducantur gh, gk ipfis de,df«quidiftan
tes. Dico redangulum e dfredangulo hgK
«quale efle. iungatur enim dg,& adpunda ac
io. huius producatur . Itaque quoniam «quale efl redan
1 4. fexti. g U } um 2,dc redangulo a g ejerit ut g a ad a d,
ita d c ad c g. fed ut g a ad a d , ita g h ad d e : (f
&ut d c ad cg,ita dfad gK. quare ut gh ad
fexti
** *■ w ^ j 1 CJ
d e, ita d f' ad g k . redangulum igitur e d f redangulo h g k efl «quale .
THEO-
CONICORVM LIB. II.
48
THEOREMA XII. PROPOSITIO XIII.
Si in loco afymptotis Sc faftione terminato, quadam reda linea
ducatur, alteri afymptoton asquidiffcans $ 111 uno pundo tantum cum le-
ctione conueniet.
Sit hyperbole , cuius alymptoti c a, a b : fumaturq;
aliquod pundum e;&per e lpfi ab aequidiftans duca
tur e f. Dico e f cum fedionc conuenire . Si enim f ie-
ri poteft, non conueniat: & fumatur pund:um g infe-
dione, per quod ipfis ba,ac aequidiftantes ducantur
gc,gh;& redangulo cgh aequale fit redagulum aef;
iundaq; af,fi producatur, cum fedione conueniet.
conueniatin puncto K:&per k ducantur k1,k d ip-
fis ba,ac aequidiftantes.ergo redtangulum cgh aequa
le eft redtanguio 1 K d . ponitur autem & redangulo
aef aequale.redangulum igitur d K 1 , hoc eft a 1 k re-
dcangulo aef aequale erit: quod fieri non poteft, fi quidem kl maior eft, quam ef;&
la maior,quara ae.quare ef conuenietcumledione. conueniatin m. Dico eam in
alio pundto non conuenire. nam fi fieri poteft, conueniat etiam in n;&per mn ipfi
ca aequidiftantes ducantur mx,nb. ergo redangulum emx redangulo enb eft
e quale : quod eft abfurdum . nori igitur in alio pundo cum fedione conueniet .
F ED. C O M M A N D I N V S.
A
i.kuius
B
Si in loco afymptotis & fedione terminato , quaedam reda linea ducatur.] Lo- \
€mn intelligit extra feilionem , qui afymptotis & fedionc ipfa circumfer ibit ur .
Ergo redtangul um cgh aequale eft redangulo 1 k d . ] Ex pmmifa . g
THEOREMA XIII. PROPOSITIO XIIII.
Asymptoti, Sc fcdioin infinitum produ&xad feiplas propius
accedunt*&; ad interuallum perueniunt minus quolibet dato interuallo.
Sit hyperbole , cuius alymptoti a b,a c: & da
tum interuallum fit k. Dico alymptotos ab,
ac &fedionem produdas ad fefe propius ac- XV y ^
cedere ;& peruenire ad interuallum minus in- ' r \(V
terualfo k. Ducantur enim linea: contingenti
aequidiftantes e h £ c g d : iungaturq; a h ; & ad
x producatur . Quoniam ergo redangulum
cgd redangulo fhe eft aequale; erit ut dg ad
fh, ita h e ad c g . fed d g maior eft f h . ergo &
eh ipfa cg eft maior, fimilirer demonftrabi-
mus eas, quae deinceps fequuntur,mlnores efle.
Itaque fumatur interuallum el minus interuallo k:&per 1 ipfi ac aequidiftans duca
tur In. ergo in cum fedione conueniet. conueniatin mperq; n ducatur mnb aequi B
diftans ef. quare mn eftsequalis e 1: &propterea interuallo k maior erit. 34 . pr i m i
Ex hoc manifeftum eft, lineas ab , a c ad fectionem accedere pro- <p
pius, quam omnes alite afymptoti: & angulum bac minorem ede quo- D
libet angulo , qui aliis eiufmodi lineis continetur .
A
1 4. Texti
14. quiti.
APOLLONII PERGAEI
EVTOCIVS,
I n aliquibus exemplaribus illud aliter demonfiratum inuenitur .
symptoios & JeSiionem perne, nire ad interuallurn minus quolibet interuaU
lo dato .
Iifdem enim manentibus , fumatur interuallurn
e k dato interuallo minus : fiatq; ut k e ad eh, ita
h a ad aL&per 1 ipli ef «quidiftans ducatur mx
8. quinti lb. Quoniam igitur xb ad h f maiorem propor-
14-iexti tionem habet, quam lb ad hf. Vtautem xb ad
h i, ita headmx, propterea quod redangulum
is. huius ph e reflangulo bxm eft «quale : habebit h c ad
f mx maiorem proportionem, quam lb ad h f.fed
4 ' extl ut 1 b ad h f,ita 1 a ad a h:& ut 1 a ad a h,ita h e ad
8. quinti e ]j ; quare headmx maiorem proportionem habet,quam h e ad e K. minor igitur
eft mx,quam e K .
Inueniuntur in aliquibus codicibus etiam hac theoremata , qua d nobis tanquam fuperuacanea
14. hums yj funt . Quoniam enim demonfiratum esi , afymptotos propius accedere adfettionem 3 &ad
interuallurn peruenire , quolibet dato interuallo minus ; fuperuacuumfuit hac inquirere : quod ne-
que demonfirationes aliquas habent 3 fed dumtaxat figurarum differentias . 'uerum ut ijs, qui in hac '
inciderint 3 Jentent iam nofiram aperiamus , exponantur hoc loco ea 3 qua nos 3 ut fuperuacanea
fu flui imus .
'Afymptoti , de quibus ditium ett, propius accedunt ad feftionem 3 qudm ali <e,
fi qu<e fint afymptoti .
Sit hyperbole, cuius afymptoti ca,ad. Dico ca ad ad fedtionem accedere pro-
pius, quam ali.r afymptoti 3
fi qux fint. Namque ut in
prima figura, lineas e f, fg
afymptotos efie non pofie,
manifefte confiat: quod linea
ef «quidiftans fit ca; & fg
13, huius ij 3 .fi ad: demonfiratum fiqui
dem efi eas ; qua: in loco
afy mptotis & fedione termi
1 nato ducuntur, alteri afym-
“ ptoto«quidiftantes,cumfe- _
ritioneconuenire: fi uero, ut in fecunda figura apparet, e fjfg fint afymptoti, quippe
quaripfis ca,ad xquidiftant, tamen ca ad ad fedionem propius accedunt, quam
e f , f g . Quod fi , ut in tertia figura , c a, a d in infinitum producantur , ad fedionem
propius accedunt, & ad interuallurn perueniunt minus quolibet dato interuallo. fied
e f,f g,quanquam in pundo f, & intra angulum propinquiores fint fedioni , tamen
• r produda: ab ip fa magis recedunt : interuallurn
enim, quo nuncdiftant, eft quolibet alio inter-
11 alio minus . Rurfus fint afymptoti e f f g,ut in
quarta figura , confiat etiam hoc modo c a pro-
pinquiorem efie fefilioni, quam efifiue efxqui
diftans fit c a, fine cum ipfa conueniat . & fi qui-
i dem pandum, in quo conuenit cum a c,fit infra
eam , qu« per f fedionem contingit , fecabit e f
fedionem ipfam ; fi uero fit in loco intermedio
inter contingentem & angulum , non perueniet
ad interuallurn minus dato interuallo. quare ca propinquior efi fedionQ quam ef:
& a d
49
CONICORVM LIB. II.
& a d propinquior, quam fg, per eadem, qu® diximus in tertia figura .
_Atuero hne4m y qu<e conuenit cum a c y in-
fra eMn y qu<eper f ducta feHionem contingit ,
cum feclione ipfa conumirefic demoUrabitur .
Contingat fe fedtionemin e : &pun<ftum, in
quo efetim ca conuenit, fitfiipra f k.Dico fk
conuenire cum fedione. ducatur enim per tadu
e ipfi ca afymptoto xquidiftans eh.ergo eh fe
dionem in pundo e tantum fecat . Itaque quo-
niam a c ipfi e h eft xquidiftans : & f k conue- "
nit cum ac;& cum e h conueniat necefle eft . quare & cum ipfa fedione .
S i eft alter angulus redilineus,qui hyperbolen conti neat, non eft mi
lior angulo hyperbolen continente, de quo ante di dum eft .
Sit hyperbole,cuius afymptoti c a, a d:alix uero afymptoti fint e f, fg . Dico angu-
lum ad fnon minorem effe angulo ad a. fint enim primum e f,fg ipfis ca,ad xqui-
diftantes . ergo angulus ad fnon eft minor eo, qui ad a : fi uero non fint xquidiftan-
13. huius
tes,utin fecunda figura, conflat maiorem efTe angulum ad f angulo cad. Sedin ter-
tia figura angulus fh a, eo qui ad a maior efl ;& qui ad fxqualis eft angulo f h a .
Denique in quarta figura angulus,qui ad uertice, maior eft angulo, qui itidem ad uer-
ticem conftituitur . non igitur angulus ad f angulo, qui ad a, minor erit.
FED. COMMANDI. NVS*
Quoniam ergo redangulum cgd redangulo fhe eft «quale.] Ex decima huius :
utrimque enim eft aquale quarta parti figura, qua ad diametrum confiftit.
Ergo ln cum Tectione conucniet. ] Ex decima tertia huius .
Ex hoc manifeftum eft lineas a b,a c ad fedionem accedere propius,quam omnes
alix afymptoti.] Hoc demonftrauit Entocius in commentarii s . afymptotos autem uocat etiam
alias lineas, qua cum feclione non conucniunt.
Et angulum b a c minorem efte quolibet angulo , qui alijs eiufrnodi lineis contine
tur .] TS[on confentit hoc cum ijs,qua tradit Entocius :oftendit enim angulum, qui alijs eiufrnodi li ^
neis continetur, non efte minorem angulo h a c. quare uel locus corrigendus eft, uel intclhge punctu,
in quo dia afymptoti conueniunt idem efte, quod a, uel in ipfis asymptotis, uel etiam intra ipfis co
tineriiiia enim fiet, ut angulus hac quolibet alio eiufrnodi angulo fit minor . Illud autem , quod
hoc loco demonftratur accidere afymptotis & fettioni ,ut fcilicet in infinitum producta no coeant,
fed ad feipfas propius accedant, & aci internatium pcrucniant quolibet dato internatio ramus, acci-
dit etiam duabus byperbolis, qua circa eafidem afymptotos defcribtmtur,quod Tappus dcmbftrare
aggreffus eft in lemmatibus in quintum librum conicorum .Apollonij . fed quoniam ea dcmanfirdtb
®b temporum iniHYias & deprauata eft , & manca j non inutile erit uerba ipfir.s latine reddita u\
O
o W
APOLLO N I I P E R G AE I
medium afferre, ut quaperobfcura fiunt explicemus ; qua uero ad demonflrationem defider ari fo-
dentur 3 fup pleamus . efi enim res admirabilis 3 <& diligenti contemplatione dignijjima.
PAPPi LEMMA.
Circa afympiotos ab>b c byperboU de y
df dejcribJtntur . Dico eas inter Je non conue -
nire .
Si enim fieri potefi,conueniant ad punctum
d:&per d in fedtiones ducatur redta linea a de
fc . erit propter d ffedfcionem linea a d squalis
quare fc ipfi ce eftscualis.quodfierinonpo-
tefi.noniriiturfedlionesinterfeconueniunt.
Dico preeterea eas,jt in infinitum auge antur^ad je Je propius accedere y & ad mi
nus inter uailim peruenire ,
B C Ducatur enim alia linea h k : &fit diameter, cuius terminus m.erit igitur ut redfa-
D gulum mln ad quadratum lx, ita tranfuerfum figurar latus ad latus reftumiut autem
£ mop redtangulum ad quadratum o r,ita tranfuerfum latus ad redium.ergo ut redta-
gulum mln ad quadratum lx,ita redtangulum mop ad quadratum or:& permu-
P tan do. redtangulum uero mln maius eft redtagulo m op. Quare linea xf maior erit
quam rs. atque eft propter lectiones fdx squale redtangulo krh. minor igitur efl
x d,quam h r.quare femper ad minus interuallum perueniunt . fed & illud facile con-
flare poteft : fi enim utraque ipfaru m ad afymptotos propius accedit, & ad fe fe pro-
pius accedant necdfeeff.
COMMENTARIVS.
Ducatur enim alialinea h k .] Sint dux hyperbola x n f, d p e circa eafdem afympto-
tos ab ,hc deferipta , ut docetur m quarta propojitione hnius libri. & intelligantur refla linea
axdlefc, krosk ad earum diametrum b l ordinat im applicata , qua inter fe a qutdi flabunt :
utraque enim aquidiflat linea in p uel n f Bionem contingenti y ex quinta huius .
Et fit diameter, cuius terminus m .]
B
D
T<lpn poteft idem terminus effe diametri utri
uf que Jectionis. pro ducatur enim Ipnb dia-
meter in puncta m q,ita ut fit m b aqualis ip
fi bn,&bq aqualis b p . ent punUum m t er
minus diametri feUionis xnf 3 & q termi-
nus diametri fieftionis dpe , quod b fit utri-
mque centrum*. quare mirum uidetur Tappu
uno,eodemqp,punflo m uti pro termino utri-
ufqu.e diametri . nifi fortaffe intelligamus duo
puncta, qui termini funt, eadem littera notari,
quod notium efl,& inufitatum .
Erit igitur ut redtangulum mln ad
quadratum lx, ita tranfuerfum figurar
latus ad latus redtum.] Ex zi.primi libri
huius .
Vt autem mop redtagulum ad qua-
dratu m o r,ita tranfuerfum latus ad re-
ctum . ] Hoc efi ut rectiangulum qop ad
quadratum o rfita figura 3 qua fit ad p q dia-
metrum
"
*
■ m
Or\
, q?
V \f
/c
o \\l\.
/fi/ a
e\\\
/ /,.
2k
& <j»
CONICORVM LIBER II. 50
metrum feffionis dpe tranfuerfum Litus ad reclum-.alia enim funt huius figura latera, atque ea,
de quibus proxime dictum efi : quamquam eandem inter fe proportionem habeant . nam ut figar a, j
qua fit ad nm diametrum feffionis xnf tranfuerfum latus ad retium, ita esi figura ad diam etm
pq feffionis dp e tranfuerfum latus adreciumiquod facile demonfir ab it ur hoc modo. Ducatur li-
nea nt f effio nem xnf contingens m m&dmatyr p u,qua feffionem dpe contingat in p. a qui
difiabunt n t,p u inter fefe : utraque enim aquidifidminea ac, uel h k.: & fient triangula bnt, s huius
bpu frnilia . ergo ut b n ad n tfita bp ad pn-.& ut quadratum b n ad n t quadratum , ita qua- 4 - te *ti
dratum bp ad quadratum p u.fed ut quadratum b n ad quadratum n t, ita figura, qua fit ad dia-
metrum um tranfuerfum latus ad reffum,ex fis, qua tradita funt in prima huius : & eadem ratio
ne ut quadratum bp ad quadratum p u,ita figura, qua fit ad diametrum pq tranfuerfum latus ad
reffum . ergo ut figura ad diametrum nm tranfuerfum latus ad reff um, ita figura ad pq tranfuer
fum latus ad refftm.ex quibus confiat hyperbolas x nf,dp e inter fe fimdes effefitemq; alias, qua
cunque circa eafdem afymptotos] hoc pacto deferibuntur .
Ergo utre&angulum mln ad quadratum lx,itare&angulum mop ad quadratu E
0 r.] Sequitur enim ex iam diffis , ut re ff angulum m l n ad quadratum l x , ita efje reff angulum
qop ad quadratum 0 r. quare & permutando ut mln reff angulum ad reff angulum qopfitaqua
dratum Ix ad ox quadratum .
Re&angulum ucro m 1 n maius eft re&angulo mop.] Hoc efi reff angulum m l n ma F
ius reff angulo qop. nam reff angulum mln maius efi reff angulo qlp. ergo reff angulo qop mul
to maius erit-, quod punctu 0 fupra l fumatur. Illud autem ita demonfir abimus . reff angulum enim 3 - feciuli
mln aquale efi re ff angulo mn l,& quadrato nl; quorum quadratum nl efi aquale duobus qua 4
dr.it is np,pl,& ei,quodbis npl continetur . fimi liter reff angulum qlp efi aquale reff angulo
qpl,&pl quadrato ; quorum reff angulum .q p l rurfus efi aquale tribus reff angulis ,rectangulo
fcilicet contento lineis m n,p contento q m,p k& reff angulo n p l: qua duo pofirema reff an- 1 . fecudi.
gula funt aqualia ei, quod bis npl obtinetur-, efi enim qm ipfi np aqualis . Itaque fublatis ntrin-
que communibus , nempe quadrato yl,& reff angulo , quod bis continetur npl; relinquitur ex alte
ra quidem parte reff angulum m n l una cum quadrato n p; ex altera uero reff anguium contentum
mn,& p Lfed reff angulum mul efi aquale duobus reff angulis, uidelicet reff angulo mnp,&ei, It f cc - di
quod mn,& pl continetur. rcffangulu igitur mln maius efi, quam qlp, quadrato np ,<&* mnp
reff angulo. Vt autem reff angulum mln ad quadratum l x , ita reff angulum qlp ad quadratum
1 d:& permutando. ex quibus f iquitur quadratum x l maius efje quadrato l d.ergo linea x l maior
erit, quam l d:& tota xf maior, quam de ,& multo maior quam r s . Hac eo Jpeffare uidentur ,
ut ofiendat feffione dp e intra ipfam x nf contineri. quod tamen abfque his ex olfis, qua in primi
pio diffa funt, fatis confiat.fi enim punffump, per quodj effio dp l e tranfit , infra n fimttur;& fe
ffiones inter fefe conuenire non po jfunt : f uperuacaneum quodammodo fuit in his tantopere immo-
rari. Sed uereor,ne locus corruptus fit, ut Tappus aliud quoddam potius, quam hoc offendere uolue
ni. non enim ex diffis apparet lineam r hjmnorcm e fi c, quam df. quod ad propofitum concluden-
dum pramonfirare oportebat .
Atqueeftpropterfe&ionesre&angulum fdx arqualere&angulo k r h .] Hac nos q
itarefiituimus : nam gr acus codex h ab et,r e ff angulum f 'dx aquale reff angulo s rlr. &■ mendo fe
ut indetur :r e ff angulum enim fd x efi aquale reff angulo kjb, ut demonfir abimus : &ideo maius
reff angulo s rb . Traducatur h k ex utraque parte adeo ,ut fecet afymptoton a b in y , &afyiu -
ptoton b c m g. Quoniam igitur ut yb ad b a, it a y gjxd a c, atque efi y b minor, quam b a: erit & 4 .f e xti
y g,qudm a c minor lfed ex fis, qua proxime demonfir ata funt, a d minor efi quam yr : &■ fc mi- 14- qulti
nor, quam kgg^-, afymptoti enim & feff io producta ad feipfis propius accedunt . quare fi ex linea
ygjdemantury &ex ac demantur ad,f c-.rehnqmtur r hymnito minor quam df .Itaque
propter feffionem dpe reff angulum yrg • aquale efi reff angulo a d c ; utraque enim funt aqualia
quadrato pu,ex deama huius :& propter feffionem xnf reff angulum y h g^efi aquale re tiangu
lo axe ; quod utraque fmt aqualia quadrato n t.reffdgulum nero yhg j und cum reff angulo b r k
efi aquale reff angulo yrg^, & reff angulum axe und cum reff angulo xd f aquale reff angulo
a d Ci qmd idem Pappus demonfir auit in lemmatibus huius libri, lemmate tertio, quare ji X reff an
gulo y r g auferatur reff angulum y h g, relinquitur reff angulum h r k : & fi d reff angulo ade
auferatur rectanguiim axe, relinquitur x df rect angulum: ac propterea rect angulum h r k re-
ctangulo x df eji aquale . Vt igitur r s. ad dffita eji xd ad h r.fed r k minor ojlcnfa efi, quam r p exf -
N 2
APOLLONII PERGAEI
d f. ergo & x d quam h r minor erit .
H Quare femper ad minus interuallum perueniunt] Tfion folum ad minus internatium per
neniuntj cd ad mt er uallurn quolibet dato interuallo minus . producantur enim fcctiones una cum
afymptotis,quouf p:e interuallum 3 quod interimitur inter afymptotos ,& fectionem d p e 3 ftt dato in
teruallo minus ; quod quidem fieri pojfe ex 14. huius apparet, erit tunc interuallum inter fectiones
interiectum multo minus interuallo dato.& quoquam ha fectiones in infinitum producantur, nun-
quam tamen inter feconueniunt 3 ut d Ttappo fuperius efi demonfiratum:& ex proxime traditis ali-
ter demonfirare po fumus inhuncraodmn.fi enim fieri potefi 3 conuemant in 0 y :& ducatur linea
0% diametrum fecans in fi, qua primum aquidifiet lineis a c, y sg, ut fit ad diametrum b 4, ordi-
natim applicata . Eodem modo,quo fupra demonfir abimus rect angulum m n maius ejfe r octan-
gulo qfip-& ut rect angulum mfin ad quadratum 0 fi,ita rectangulum qfip ad idem 0 d qua
dratum:& permutando rectangulum mfin ad rectangulum qfip,ut quadratum 0fi ad femetip
jum. ergo rectangulum mfin aquale efi rect angulo q 4 pfied et maius : quod efi ab fur dum .
ji LIT Elf. Si fectiones conueniant in 0 y, producatur linea 0y uf que ad afymptotos in
.huius P uncta u i •erit rectangulum cc0$ propter fectionem x nf aquale quadrato n t:& propter fectio
nem dpe aquale quadrato p u. quare quadratum n t quadrato p u aquale erit . Itaque quoniam
ut quadratum nt ad quadratum p u 3 ita quadratum n b ad quadratum b p ; erit & quadratum n b
aquale quadrato bp:& ideo linea nb linea bp aqualis .quod itidem efi abfurdum.non igitur ha
fectiones inter fe conueniunt . Quod fi linea 0 y non aquidiflet lineis ac ,y g: dimdatur bif oriam
in puncto fi,&iuncta fib producatur ad m q: fecet autem hyperbolas dp e,xnf in punctis pn:
& ab ipfis ducantur p u,n t fectiones contingentes 3 qua lineis a c 3 y g aquidifiabunt 3 ex quinta hu
ius.-fiatq ; bm aqualis bn,& bq aqualis bp.erit nm fectionis x nf : & p q fectionis dpe dia
meter tranfuerfa . quare Jmiliter,nt fupra , demonfir abimus nullo modo fieri pojfe , ut ha fectiones
inter fe conueniant.
Sed & illud facile conflare poteft, fi enim utraque ipfarum ad afymptotos propius
accedit, & ad fe fe propius accedant necefle eft .] Vide quomodo hac ratio neceffitatem ha-
beat : poffet enim quis dicere utramque fectionem accedere quidem propius ad afymptotos ,fed ta-
men pari interuallo fit a ut femper inter fe fe aquidi flent.
THEOREMA XIIII. PROSITIO XV.
Oppolitarum fe&ionum afymptoti communes funt.
Sint
CONICORVM LIB. II.
5i
Sint oppofits fediones , quarum diameter a b , & centrum
€. Dico fedionum a b alymptotos communes elfe. Ducantur
enim per punda ab linea: dae, fbg.qus fediones contin-
gant . sequidiftantes igitur funt dae,f b g. Abfcindantur li-
nes da, a e, f b, b g, ita ut cuiufque earum quadratum squale
fitquarts parti figura: , qus ad diametrum ab conftituitur .
ergo da,ae,fb,bg inter fefiint squales, iungantur cd,ce,e£
c g.perlpicuum igitur eft d c,c g in eadem reda linea contine-
ri;itemq; ec,cf;proptereaquodsquidiftantesfunt dae,fbg.
Itaque quoniam hyperbole eft, cuius diameter ab; contin-
gens autem de; & unaqusque linearum da, a e poteft quar-
tam partem figurs, qus ad ab conftituitur; erunt dc,ce alymptoti. & eadem ratio
neipfius b fedionis alymptoti erunt fc,cg.oppofitarum igitur fedionum alympto
ti communes funt.
B
C
D
F E D. COMMANDINYS.
Aequidiftantes igitur funt d a e, f b g.] Vtraque enim c equidiflat lineis , qua ad diametrum ^
ab ordinatim applicantur.
Ergo d a,a e, fb,bg inter fe funt squales.] Ex i^.primi huius, nam tranfuerfum latus
ah efl utrique commune , & reEtaflgura latera inter fe aqualia .
Perfpicuum igitur eft dc,cg in eadem reda linea contineri :itemq; ec,cfipropte ^
rea quod squidiftantes funt d a e,fb g . ] Quoniam enim d ae 3 fbg inter fe aquidifiant ,
erit angulus dac angulo gbc aqualis . Imea uero ac efl aqualis cb: & da ipfi g b . quare & ^ - m -
bafis dc bafl c g,& reliqui anguli reliquis angulis aquales erunt, angulus igitur acd efl aqua- 4
lis angulo b cg.fed duo anguli dca,dcb funt aquales duobus retiis .itemq-, g c b,g c a. quare re- ij
liquus ex duobus rectis 3 angulus dcb efl aqualis reliquo a cg. Duo igitur anguli d ca,a cg duo-
bus rectis aquales er uni. & idcirco dc,cg in eadem relita linea continantur . Eodem quoque mo - r 4 _ prim j
do e c,cf in eadem relita linea contineri demonflr abimus .
Erunt dcjC e a lymp to ti . ] Ex prima huius . D
THEOREMA XV. PROPOSITIO XVI.
Sl in oppofitis fedionibus, quscdam reda linea ducatur ? fecans
utramque linearum continentium angulum? qui deinceps eft angulo
fediones continenti : cum utraque oppofitarum in uno tantum pundo
conueniet : Sc iinese , qua? cx ipfa abfcilfte inter afymptotos ? & fediones
interjiciuntur? aquales erunt .
Sint oppofits fediones a b, quarum quidem centrum
c;afymptotiuero d cg, e c f; & ducatur qusdamredali-
nea h k , qus utramque d c,c f fecet. Dico h K produ-
dam cum utraque ledioneinuno tantum pundo con-
uenire. Quoniam enim fedionis a alymptoti funt dc,
c e ; & duda eft qusdam reda linea h k,fecans utramque
continentium angulum , qui deinceps eft angulo fcdio-
nem continenti, uidelicet dcf.-produda hk cumfedio
ne a conueniet ;& (imiliter cum fedione b. conueniat
ir; putidis lm: &per c ipfi lm squidiftas ducatur acb.
squale igitur eft redangulum k 1 h quadrato a c ; & re-
dangulum h m k quadrato cb. quare & klh redan-
gulum squale eft redangulo h m k; & idcirco linea h 1 li-
nes k m eft squalis .
B
C
A
B
C
D
14-fexti'
9 . quinti.
A
B
C D
E E
G
A
B
C
D
I 7 .fexti.
E
F
le APOLLONII PER G AEI
F E D. COMMA NDINVS.
Prodvcta hk cum fedione a conueniet ; & fimiliter cum fedione b . ] Ex un- ->
decima huius . J *
Aequale eft igitur redangulum klh quadrato a c;& redangulum lirnk quadrato
c b . ] Ex eadem .
Quare & kft h redangulum eft squa-le redangu/o hmk.] Quoniam enim linea ac.
linea cb efiaqualis , quod c fit feflionis centrum -, erit & quadratum ac quadrato cb aquale .
Et idcirco linea hl lines km eft re qualis . ] Illud nos hoc lemmate demonflrabimus .
Sitrelia linea ab>inqua Jumantur duo funda cdijitj^ redangulum dac
aquale reliangulo c b d.Tft ico lineam ac ifji b d aqua- ^ c £
Um ejfe . ^ 1 ,
Si enim fieri potefl ,fit a c maior , quam bd:& addita utrique
communi c d, erit a d maior , quam cb : & propter e a reftangulum
dac maius reflangulo c b d.fed & aquale : quod eft abfurdum.linea igitur a c ipfi bdeft ecqualis.
ALITER. Tojfiumus etiam retia dcmonftratione uti hoc modo .
Opmium enim reit angulum dac reflangulo cbd eft ecquale , erit ut ad ad db , ita bc ad
c fc: & componendo ut ab ad b dfita b a ad ac. ergo linea ac ipfi b d aqual is erit .
THEOREMA XVI. PROPOSITIO XVII.
Opposita f vm fedtionum , qua: coniugat^appellanturjafympto-
ti communes funt .
Sint oppofi ts fediones,qus coniugats appellantur , quarum diametri coniugats
ab, c d j & centrum e. Dico earum afymp totos communes cfle . ducantur enim lines
fedionei- in pundisa,b, c, d, contingentes, qua; fint fag,gdh,hbk,k cfergo pa-
rallelogrammum eft fg h k. Itaq; ii iungantur feli, k e g, erunt
fe h , k e g reda: lineae , & diametri ipftus parallelogrammi ,
qus a putido e bifariam iecabuntur . & quoniam figura,qus
ad diametrum. a, b conftituitur, squalis eft quadrato cd: &
eft ce squalis ed : unumquodque quadratoru fa, ag, k b,
bh erit quarta pars Egurs , qus conftituitur ad ab. ergo
feli , k eg fedionum ab afymptoti funt. iimiliter demon-
ftrabimus" fedionum cd eafdem effe afymp totos, oppoiitaru
igitur fedionum , quas coniugatas dicimus , afymptoti com-
munes funt .
F E D. COMMANDI V S.
E R co parallelogrammum fg li k . ] ^ lequidiftant enimfg , k b lineis , qua ad ab dia-
metrum ordinatim applicantur . quare & inter fiefe. & eadem ratione k/, hg inter fe a qui-
distant .
Erunt fe h, k e g reds lineaq& diametri ipiiu ; 3 parallelogrammi . ] Hoc demonftra-
uimus in quintam decimam huius , uidelicet fe h m eadem retia linea contineri, & fimiliier k eg.
Q v A E d pun do e bifariam fecabuntur . ] Hoc etiam eodem inloco demon flr animus .
Et quoniam figura, qus ad diametrum a b conftituitur, squalis eft quadrato c d. ]
Quoniam enim linea c d fieflionum a b fecunda diameter eft,coniugata ipfi a b, mediani proportio
uem habet inter figurarum latera , ex diffinitione fecundae diametri . quare ut ab ai cd 3 ita c d
ad rectum figura latus : & idcirco r e ct angulum , quod fit ex ab, & latere reflo, quadrato cd
eft aquale .
Et eft c e squalis e d . ] militer enim non effiet fecunda diameter.
Vnumquodque quadratorum fa.,ag,kb 3 bh erit quarta pars eius figurs.] 'Pfa
cum
C O N I C O R V M L I B. I I. jz
cum cd aquidiftet fg,kb, & ab ipfis fk,gb; erunt linea f a, k b aquales ce;& ag,bb ipfi *4- F i)il8
cd. quare uniufcniufque quadratum quarta pars efl quadrati c d j hocejl figura eius > qua ad ab 10. fcxti
confiituitur .
Ergo fehjKeg fedionum a b afymptoti funt . ] Ex prima huius . G
THEOREMA XVII. PROPOSITIO XVIII.
S,i uni oppofitarum fedionum , qua: coniugata: dicuntur, occur-
rat reda linea > 6c produda ad utrafque partes extra
fedionem cadat : cum utraque fedionum , quas de-
inceps funt , in uno tantum pundo conueniet .
Sint oppofitar fediones,quse coniugata: dicuntur a b c d ; &
ipfi c occurrat reda linea e f, qua: produda ad utralque par-
tes extra fedioneni cadat. Dico e f cum utraque fedione a b
conuenire in uno tantum pundo.fint enim gh,Kl fedionum
afymptoti . ergo e f fecabit utramque gh , k 1 : & propterea
cum fedionibus a b in uno tantum pundo conueniet .
THEOREMA XVIII. PROPOSITIO XIX.
S i in oppofitis fedionibus , qua: coniugata: appellantur , ducatur
reda linea, quamuisipfarum contingens*, cum
fedionibus , qua: deinceps funt , conueniet : &c
ad taffcum bifariam fecabitur .
Sint oppofitse fediones , qua: coniugata: dicuntur a
b c d:&fedionem c contingatredalinea e fi Dico ef
produdam conuenire cum fedionibus ab:& adpun-
dum c bifariam fecari . Nam ipfam quidem conuenire
cum ipfis ab manifeftepatet.ltaqueconueniat inpun-
dis gh. Dico cg ipfi ch effe squalem . ducantur enim
fedionum afymptoti k fi m n . squales igitur funt e g ,
fh : Itemq; c e,c fi ergo & tota c g toti c h squalis erit. V / fi
J.huiu* '
16. huius
exantece
dente .
16. huius
3. huius
THEOREMA XIX, PROPOSITIO XX. \
Sr unam oppofitarum fedionum , qua: coniugata: appellantur, re-
da linea contingat *, &: per ipfarum centrum ducantur dua: linea:, una
quidem per tadum, altera uero contingenti arquidiftans, quoufque
occurrat uni earum fedionum , qua: deinceps funt : reda linea , qu& in
occurfu fedionem contingit , «quidiflans eritline^ per tadum, & cen-
trum duds: ; qmc uero per tadus Sc centrum ducentur, oppofitarum
fedionum coniugat* diametri erunt .
Sint oppofita* fediones , qua: coniugata appellantur j quarum diametri coniuga-
t^fint ab,cdjcentrum x:& fedionem a contingatredalinea efiqusprodudacon-
ueniat cmiT c '>Tn t;& iundae ^ad x producatur.deinde per ^ducatur ipfi e f sequi \
diilans yg:8c per g contingens fedionem h g. Dico h g ipfi y e sequidiffare: & g o
cx coniugatas diametros efle. applicentur enim ordigatim e k,gficrp : linea: uero ,
APOLLONII PERGAEI
,B iiixta quas po fiunt applicata?, fint a m,c n. Qu oniam igitur,ut b a ad a m, ita eft n c
C ad c d: & ut b a ad a m , ita re&angulum x k f ad quadratum /ge : ut uero n c ad c d,
ita quadratum gl ad redtangulum ^lh: eritutredangulum p^k f ad quadratum ke,
ita quadrarum gl.adre&angulum ^lh. Sed reftangulum ^ k f ad ke quadratum
'proportionem compofitam habet ex proportione
p ad K e , & ex proportione f k ad k e : & quadra-
tum gl ad redtangulum ^lh proportionem habet
t 3 .fext,i compofitam ex proportione gl ad Lp & proportio
ne gl ad lh. proportio igitur compofita ex propor
tione x h ad k e, & proportione fK ad k e eadem
eft, qus componitur ex proportione gl ad
D proportione gl ad 1 h. quarum quidem proportio
fx ad Ke eadem eft, qua? gl ad 1 p; linea: enim e x ,
k f,fe squidiftantipfis ;v 1,1 g,g ^.reliqua igitur pro-
portio yji ad ke eadem erit, qus gl ad lh. Quod
cum circa squales angulos,qui ad x 1, latera propor
6. fcxtl tionaliafint; triangulum c k p fimileerit triangulo
gh 1,& squales habebit angulos,fub quibus eiufdem
rationis latera fiubtenduntur. ergo squalis eft angu-
aj. primi l^s e ‘V k angulo 1 g h.cft autem & totus k^g squa-
lis toti lgj/ . quare reliquus e^g reliquo h g ;y 'eft
squalis ; ac propterea linea ex ipfi gh squidiftat
E
E
H K
L M
N
9 . quinti.
o
X J-. fcxtl
16 .
leminu
decimi
Itaque fiat ut pgad gr,ita hg ad lineam , in qua s.eritlinea s dimidia eius , iuxta
quam poliunt, qus ad diametrum og applicantur infectionibus cd.Sed a b feicio-
G num fecunda diameter eft c d,cum qua conuenitipfa e t. re&angulum igitur ex t _> s &
k e squale eft quadrato c x- fi enim a pundto e ipfi k x squidiftantem duxerimus,re
£cangulum,quod fit ex t ;\,& linea, qua? inter x & squidiflantem i n ten i ci t u r, q u a dr a-
to c\ squale erit.quare ut tg ad ke,ita tx quadratum ad quadratum x c.ut autem
t \ ad k e, ita t f ad f e;hoc eft triangulum t ^ f ad rriangulum e ^f. & ut quadratum
tv ad quadratum g c, ita triangulum t^f ad triangulum X c p;hoc eft ad triangulum
g h z. Vt igitur triangulum tzf ad triangulum e Z f,ita tzf rriangulum ad triangu-
lum £ 7 hZ r :&ideo triangulum ghZ squale eft triangulo Z e f. habet autem & angu-
lum huX angulo X e f squalenpquoniam eZ quidem squidiftat gh;& e f ipfi gZ.
erco latera qus funt circa squales angulos ex contraria parte fibiipfis refpondent;
cfiq j ut gh ad e Agita efad g Z. re&angulu igitur hgZ squale eft redangulo Zef.
Itaque quoniam utlinca s ad hg,ita rg ad gp:&ut rg ad gp,ita Ze ad efisquidi-
ftant enim. quare ut s ad hg,ita Ze ad ef. Vt autem s ad hg,fumpta Zg commu-
ni altitudine, ita eft re&angulum ex s & Zg ad redtangulum hgZ.& ut Ze ad ef,
ita quadratum Ze adre&angulum Zef. Vt igitur re&angulum ex s & Zg ad re-
dtangulum hZg,ita A' e quadratum ad redlangulum Zef: & permutando ut redtan-
uulurncx s & gZ ad quadratum Ze,ita redtangulum hgZ adrediangulum Zef.
Sed squale eft redangulum h gZ redtangulo Z^ef.ergoredfanguluex s & gZ squa
le eft quadrato Ze: & redtanguiumex s & gX quartapars eftfigurs,qusad go con
f:ituicur;nam & gZ eft dimidia ipfius go,& s dimidiaeius,iuxtaquampoffunt:qua-
drattimuero eZ quartapars eft quadrati ex, quod eZ squalisfit Z x. ergo quadra-
tum ex squale eft figurs ad go conftituts.fimiliterdemonftrabimus & quadratum
go figurs, qus fit ad e x,effe squale, ex quibus fequitur, ut ex,go oppofitarumfe-
dtdonum ab,cd diametri couiugats fint.
F E D. COMMANDINVS.
Deinde per x ducatur ipfi efsquidiftans g g.] Intelligendim gX productam feUio-
ni occurrere in o puncto. , Apollonius pn^ictum, in ejuo recta linea fecuoni 3 uel alteri linea occurrit
i$iv uocat } nobis occurfum latine liceat appellare .
Quo-
C O N I C O R V M L I E. II.
53
Quoniam igitur, ut b a ad a m,ita eft n c ad c d .] Hoc ita demonfir abimus .fint oppofi
ta feEiiones ,qua coniugata appellantur , quarum diametri coniugata
a b 3 cd; centrum afymptoti fh ,glg: muganturq; fag, gdb 3
bbn^c f: fit autem fectionis a reUiimlatus am,& fechonis c re
Pium latus cn. Dico ut ba ad amjtaejfe nc ad c d . Quoniam enim
ut ba ad amfita efl quadratum ea ad quadratum afiquodinprima
propofitione aftenfum fuit : & eadem ratione , ut nc ad cd 3 ita qua-
dratum f c ad quadratum ce.fed ut quadratum e a ad quadratum
affltaeflfc quadratum ad quadratum c e 3 quod ea,fc aquales fint;
itemq ; aquales af,c e. ergo ut b a ad a mfita nc ad cd.
Et ut b a ad am,itare&angnlum ^kf ad quadratu k e.]
Ex 37. primi huius.
Quarum quidem proportio fk ad kc eadem eft, qux gl
ad 1 y ; linea: enim e k,k f,fe ipfis 5/ 1,1 g,g y aequidiftant.] Cum enim g y aquidiftet ef;
&lg ipfi k f; er it angulus e fly a qualis angulo gyk, hoc eft angulo yg l: angulus autem e k^f
aqualis efl ipfi ylg 3 quod & e k, aquidiftet l y . reliquus igitur angulus reliquo efl aqualis : &
triangulum fk e triangulo g l y fimile . quare ut f\ad Ige 3 ita gl adi y.
Ac propterea linea ipfi gh eft aequidiftans.] Ex 28 . primi. fed hoc etiam ex fecun-
do lemmate Tappi conflare potefl .
Eritlinea s dimidiaeius,iuxtaquampoflunt,qua:addiametrum og applicatur.]
Ex 51. primi huius .
Reifiangulum igitur ex e^/ & ic e aequale^ft quadrato cy .fi enim a pu rufio e ipfi
k y sBquidiftantem duxerimus, redangulum,quodfit ex t^, & ea, qua; &c.] Ex 33.
primi huius.
Quare ut t y ad 'k e, ita t y quadratum ad quadratum y c.] J Qjioniam enim rc.Elangu
lum ex ty&fie aquale efl quadrato y c ; erunt tres linea t y 3 y c, Ige proportionales . ergo ut
ty ad k e Jta quadratum ty ad yc quadr atum y ex corollario ic.fexti.
Vt autem t v adk e, ita t f ad f e .] Ex 4 .fexti, propter fimilitudinem triangulorum
tfy 3 efk.
Hoc eft triangulum tyf ad triangulum e^f.] Ex prima fexti.
Etutquadratum ad quadratum yc, ita triangulum t^ f ad triangulum 2< C P]
J^urfus cum tres linea proportionales fint t y 3 y c,k eyrit triangulum tyf ad triangulum ycp 3
Ut ty ad k e;funt enim ea triangula inter fe fmilia 3 quod py aquidiftet ft.ut autem ty ad k e,
ita ty quadratum ad quadratum yc. triangulum igitur tyf ad triangulum ycp,efl ut quadra-
tum ty ad yc quadratum.
Hoc efi: ad triangulum g k y .] Efl enim triangulum ghy triangulo ycp aquale , quod
probatum efi in fecunda demonfir atione 43. primi huius .
Habet autem & angulum bgo< angulo y e f’ squalem, quoniam e^ quidem sequi
difiat g h,& e f ipfi g y .] .Angulus enim hgyefi aqualis angulo gye 3 hoc efl ipfi y ef.
Et ut rg ad gpfira ^ e ad e£sequidiftantenim.] Ex quarta fextfnam triangula r gp 3
yef fimilia funt 3 quod etiam yf ipfi rp aquidiftet.
B
11. fexti
34. primi
C
D
i9. primi
54
E
F
G
H
K
L
M
cor. 2o. fe-
xti.
N,
O
i9. primi
P
THEOREMA X;X. PROPOSITIO XXI.
lifdem pofitis offendendum efl: pun&um,in cjuo
contingentes linex conueniunt , ad unam afympto-
ton effe .
Sintoppofitae fe&iones, quse coniugatd appellantur ; & ea-
rum diametri a b c d;ducanturq; contingentes a e, e c . Dico
pun&um e ad afymptoton efie.eft enim quadratum c^asqua
lequart* parti figurse,quje ad ab conftituitur: quadrato aute
cy aquale efi quadratum a e.ergo quadratum a e quarte par
tididxfigurse erit sequale. Itaque iungatur ey . afymp totos
O
APOLLONII PERGAEI
igitur 'dl e^: &proptereapundum e adipfamafymptotonneceftarioconfiftit.
THEOREMA XXI. PROPOSITIO XXII.
S i in oppofitis fedionibus , quas coniugatas appellantur , ex centro
ad quamuis fedionem ducatur reda linea; 8c huic asquidiftans altera du
catur,quas cum una ex fedionibus, quas deinceps funt, &c cum afympto-
tis conueniat : redangulum conflans ex portionibus lineae dudas inter
icdionem,& afymptotos interiedis, quadrato lineas, quas ex centro du-
citur, asquale erit.
Sint oppofitis fediones, quas coiugatas appellantur a b
c d ; quarum afymptoti e ‘y f , g y h : & ex centro y duca-
tur quaedam reda linea ^ c d; & huic asquidiftans ducatur
e k 1 h,quas & fedionem, quas deinceps eft , & afymptotos
fecet. Dico redangulum ekh quadrato c ^ asquale dTe.
feccturenim kl bifaria in nq&iunda m^ producatur,
diameter igitur eft a bipfarum a b fedionum. Etquonia
y.huxus fi nea 5 qu*in pundo a fedionem contingit, asquidiftans
eftipfi eh:erit eh ad diametrum ab ordinatimapplica-
( . ta.centrum autem eft j/.ergo ab, cd coniugatas funtdia-
10. mnus metn . proptereaq; quadratum c y asquale eft quarta par
ro huius ^ fig ura? 5q ujsac f a b couftituitur.fedquartaspartididasfi
guras asquale eft redangulum h k e.redanguiu igitur hke quadrato orqualeerit.
THEOREMA XXII. PROPOSITIO XXIII.
A
B
S i in oppofitis fedionibus , quas coniugatas appellantur , ex centro
ducatur quasdam reda linea ad quamuis fedionem; & huic tequidiftans
ducatuiqqua: cum tribus, quas deinceps funt, fedionibus conueniat: re-
dangulum conflans ex portionibus lineas dudas inter tresfediones in-
teriedis, duplum erit quadrati eius lineas , quas ex centro ducitur.
B Redangulum autem h me unacumredangulo h k e squale eft redangulo lmk;
proptcrea quod extremas lineas funt xqwales .] Sit retia linea Ik : & fit l h aqualis e k ,•
& h n ipfi e m : ducantur autem d punctis m k perpendiculares linea m x, k o:ita ut mx Jit a~
qualis mkj& k o aqualis k e\& compleantur parallelogramma xhfoa . Itaque quoniam m x
aqualis ejl m kjjoc eft p o:& l b aqualis k efboc eft k o:erit h a parallelogrammum parallelo -
gramma
CONICORVM UBER II. 54
gramma ma aequale, commune apponatur xh . totum igitur par allelogrammum Ix aquale eH
duobus par alie iogrammis x h,m o; hoc ejl h o.pr.efl aut em par allelogrammum l x.quod contine -
tur l m k : & par allelogrammum h o continetur hkje;& par allelogrammum pr ,hme .fed licet
& aliter idem dernonftrare .
Secetur mn bifariam in s . conflat igitur & lk in s bifariam fecari , & rebtangulum h k e
aquale ejfe rebtangulo lek, quod hlgfit ae-
qualis l e. 'Et quoniam lk fecatur in partes
aquales in s,& m partes inaquales in e-, erit
rebtangulum lek und cum quadrato cs ae-
quale quadrato sk. quadratum autem es re-
btangulo h m e und cum quadrato s m efl ae-
quale . ergo quadratim s k aquale efl rect an
gulo lek , hoc efl h k e , & rebt angulo hme
und cum quadrato s m.eade ratione erit qua-
dratum s k aquale rebt angulo lmn,& qua
drato s m. quare rebtangulum h k e und cum
rebt angulo hme,& quadrato sm aquale efl rect angulo lmk,& quadrato s m. commune aufe-
ratur quadratum sm.reliqmm igitur rebtangulum bke und cumrebtangulo hme efl aquale re
bt angulo Imk.
FED. COMMANDINVS.
Ergo quadratum c x squale efl utrique redcangulorum h m e „ h k e .] Efl enim ex
antecedenti propofltione rebtangulum hme aquale quadrato c x:& ex undecima huius rebtangu
lum bke eidem quadrato cx efl aquale .
Kectangulum autem hme unacumre&angulo hke squale eftre&angulo lmk,
propterea quod extrems lines /iint squales .J Hoc apparet ex tertio & quarto lemmate
Tappi, quamquam in tertio alit er concludat. oflendit enim rebtangulum l e f und cum rebt angulo
hme aquale ejfe rebtangulo lmk. fed cum Ih.f e fmt aquales .rebtangulum hke aqnale efl ipfl
leK. quare fequitur rebtangulum h k e und cum rebtangulo hme aquale ejfe rebtangulo lmk.
Eutocius fecundam demonflrationem ex Tappo fumpfit . Istos uero pnuf ‘quam in lemmata Tappi.
uelEutocij commentarios incideremus .illud ex prima fecundi libri elementorum m hunc modum
demonflrauimus .
lifdem qua fupra manentibus dico rebtangulum hme und cum rebtangulo hke aquale ejfe re
btaugulo lmk. efl enim rebtangulum hKe aquale rebtangulo mKe.undcumeo.quodfitexhm
pgr K e. commune apponatur rebtangulum h m e. ergo rebtangula h m e.h K e aqualia funt rebtan
gulis h m e.m K e, und cum eo, quod fit ex h m,& K e. Pqirjus rebtangulum Ira %. aquale efl re-
btangulo h m K und cum eo, quod ex Ih. &rn K conflat, hoc efl rebtangulo e K fa:efl enim e K
aqualis l h. quorum quidem rebtangulum h m K efl aquale rebtangulo h m e, una cum eo, quod jit
ex hm,& K e. ergo rebtangulum l m K aquale efl rebt angulis h m e, e IC m, una cum eo, quod jit
ex h m, k e : quibus quidem aqualia erant rebtangula hme.hKe. rebtangulum igitur hme una,
cum rebtangulo h K e aquale efl rebtangulo ImK.
THEOREMA XXIII. PROPOSITIO XXIIII.
Si parabola; dua; r cdx linex occurrant , utra-
que in duobus pun(5Hs:& nullius ipfarum occur-
fus alterius occurfibus contineatur : conuenient
inter fe fe extra fedionem .
Sit parabole a b c d , cui dus re< 5 ts lines a b, c d occur-
rant, ita ut nullius ipiarum occurfus alterius occurfibus
contineatur.Dicoeasprodudasinterie conuenire. Du-
cantur enim per b,c diametxiiedionis ebf,g ch. squidi-
^ £ TTt IV h £
y
oc
Y
a
-m
s
n
b
C
y. fecudi.
A
B
i. fecudi,
£or. yi .
i. huius
2,6.1. hui’
tf. h^ius
30. primi
APOLLONII PERGAEI
frantes igitur lunt : & utraque fedionem in uno tantum pundo fecat . Itaque iunda
bc anguli ebc,gcb duobus redis funt xquales:& idcirco lines ba,dc angulos duo
bus redis minores efficiun t. ergo inter fe fe extra fedionem conuenient .
E V T O C I V S.
.Animaduertendum efl t Apollonium cf v intra oag > hoc efl 0 ccurfus, appellare punfla, in quibus
linea a b,c d fechom occurrunt. et obferuare oportet 3 ut puncta extra fefe pofita fint. eadem etiam
eueniunt in ipfls contingentibus .
THEOREMA XXIIII. PROPOSITIO XXV.
Si hyperbolar occurrant dua; redbe line#, utraque in duobus pundtis;
nullius autem ipfarum occurfus alterius occurfibus contineatunconue
nient quidem inter fe fe extra fedionem,fed tamen intra angulum, qui
hyperbolen continet .
Sit hyperbole, cuius afymp toti ab, ac: & duxredsrlinex
e f,g h fedioni occurrant, ita ut nullius ipfarum occurfus oc-
curfibus alterius contineatur . Dico e fg h produdas extra
fedionem quidem, fed tamen intra angulum bac inter fe co
uenire.iundxenim afiah producantur,- & iungatur fh. Ita-
que quoniam ef, gh produdxfecant angulos afh,ahf;&
funt dicti anguli duobus redis minores , conuenientinter fe
fe extra fedionem quidem, fed tamen intra angulum bac.fi-
militer demonflrabimus ef gh inter fe conuenire., etiam fi fe
dionem contingant.
FED. COMMANDINVS.
Similiter demonflrabimus e f,g h inter fe conuenire, etiam fi fectionem contingat]
Conuenire fcilicet intra angulum afymptotis contentum , quod quidem etiam patere potefl ex co
rollario trigeflma prima primi huius. linea enim, qua hyperbolen contingit ,ft producatur fecat dia
metrum inter uerticem & centrum fettionis.Idem quoque euenire perjpicuum efl 3 fi altera quidem
linea feftioncm contingat 3 alt era nero in duobus punctis fccet.
THEOREMA XXV. PROPOSITIO XXVI.'
Si in ellipfi , ucl circuli circumferentia dux reda; lineae non tranfeun
tes per centrum fe inuicetn fecent ; bifariam fe fe non fecabunt .
Si enim fieri potefl , in el-
i
lipfi, uel circuli circum feren
tia dux redx linex cd, e f
non tranfeun tes per centru
fe fe bifariam fccet in g: fitqi
h centrum fedionis.- &iun-
da g h ad a b punda pro-
ducatur. Quoniam igitur
a b diameter efl,ipfam e f bi
fariam fecans;linea,qux ad a
fedionem contingit, xquidi
lians erit e f. fimiliter demonflrabimus eandem etiam ipfi c d xquidiflare . ergo e f
xquidiflat c d,quod efl abfurdum . non igitur e f, c d fe fe bifariam fecant .
e O N I C O R V M I I B. II.
ss
THEOREMA XXVI. PROPOSITIO XXVII.
S r ellipfim,uel circuli circumferentiam du^ redse linea’ contin-
gant : 8c fi quidem ea, qua tadus coniungit per centrum tranleat ic-
dionis r contingentes linea fibi ipfis aquidillabunt : (in minus , conuc-
nient inter fe fe ad cafdem centri partes .
Sit ellipfis,uel circuli circumferentia a b, quam contingant dus reds lines cad,
eb f: iungaturq; a b;& primo
tranfeat per centrum . Dico
cd ipfi cf squidiftantem ef-
fe. Quoniam enim ab dia-
meter eft fedionis : & c d in
pundo a ipfam cotingit; erit
c d squidiftans lineis, qus ad
diametrum ab ordinatimap
plicantur : & iimiliratione e f
erit eifdem squidiftans. ergo
cd squidiftat ef. Siuero ab
f
per centrum non tranfeat, ut apparet in fecunda figura , ducatur a h diameter: A' per
h contingens k hl. squidiftat igitur kl ipfi cd. quare e f produda ad eafdem partes
centri , in quibus eft a b,cum c d conueniet .
THEOREMA XXVII. PROPOSITIO XXVIII.
Si in coni fedione, uel circuli circumferentia duas lineas cequidi-
flantes reda linea bifariam fecet , diameter erit fedionis .
In fedione enim coni dus lines squidiftantes ab, cd
in p undis ef bifariam fecentur: & iunda e f producatur.
Dico e f fedionis diametrum effe.Si enim non eft, fit g h f
diameter, fi fieri pofsit. ergo qus in pundp g contingit
fedionem , squidiftans eft ipfi ab.quare&ipfi cd. eft au-
tem gh diameter.ergo ch,hd squales funt, quod eft ab-
furdum : pofuimus enim c e squalem e d . non igitur g h
diameter eft fedionis . fimiliter demonftrabimus neque
aliam quampiam effe diametrum , prsterquam ipfam e f .
ergo e f fedionis diameter erit.
EVTOCIVS.
o n inutile erit data in plano curua linea , inuesligare utrum circuli circumferentia fit , uel
alia ex coni feElhnibus ; an uero ab bis ipfis diuerfa . Itaque fit abc;& oporteat jfieciem ipfius
inuesligare . fumantur in linea aliqua puncta c d,per -
quai ducantur intra ipfam line£ fiquidiflantes c b,d e:
& rurfins ab ij fidem punctis ali£ xquidifi antes dncan
tur c g, dfi bifariamq; fiecentur; c b,d e quidem in b
punbiis; cg,df uero in lm;& iungantur hk, lm.fi
igitur omnes , qu£ ipfi cb &quidifiant , a linea b k i
& qua aquidiftant cg ab ipfia ml bifariam diuidan
tur ; erit ab c una ex coni fictionibus, cuius diametri
b k, m hfin minus , non erit . Sed rnafit ex quatuar
comperiemus , lineas h k,lm in infinitum producen-
tes utraque exparte; uel enim aquidislant, &■ e fi pa-
rabole : uel ad partes quidem b l inter fe commiunt*
f
\6
ius .
ex demo-
ftratis in
6 piimi
huius,
f.hmus
APOLLONII P £ R G AE1
& efl eUipfis, aut circulus : uel ad alteras partes , & efi hyperbole . ellipfim nero a circulo dijlin -
guemus ex punblo } in quo conuemunt h k ,ml, quod efl centrum .fi enim abeo ad lineam dubia
funt aquales , confiat abc circuli circumferentiam ejje ; fin minus , eUipfim . Tojfumns autem &
<*liter ipfas cogno fcere exijs,qu£ ad diametrum ordinatim applicantur , uidelicet ch,dk. nam fi
fuerit ut quadratum ch ad quadratum dk,ita h a ad a k, parabole erit ; .At fi ch quadratum ad
quadratum dk^maiorem quidem habuerit proportionem , quam h a ad a lr, hyperbole ; fi uero mi-
norem, ellipfis . Sed etiam ex lineis contingentibus eafdem difeernere licebit, fi ea , qua fuperius
dicta funt, ipfis ineffe in memoriam redigemus .
THEOREMA XXVIII. PROPOSITIO XXIX.
Sr coni fedionem, uel circuli circumferentiam duasreto linea: coti
tingentes in idem pun&um conueniant ; & ab eo ad pundum, quod li-
neam tadhis coniungentem bifariam fecat , alia linea ducatur \ fedtionis
diameter erit .
Sit coni fedio , uel circuli circumferentia, quam con-
tingant vohtx lin ez ab, ac!,inpundum a conuenientes:
& duda b c fecetur bifariam in d ; & lungatur a d . Dico
ad diametrum eife fedio n-is . Si enim fieri poteft, fit de
diameter: &iungatur ce, qua: fedionem ipfam fecabit.
Secet autem in f:& per fipfi cdb ducatur cequidiftans
.fh g . Itaque quoniam cd asqualis efl d b , erit & fh ipfi
hg squalis. Sed linea , qus in 1 contingit fedionem ,
jequidiftans eft b c : & efl: fg eidem squidiftans . ergo fg
squidiftat lines fedionem in pundo 1 contingenti: & id-
circo fh efl squalis h k; quod fieri minime poteft. non igi
tur diameter eft de. Similiter demonftrabimus , prster
a d nullam aliam effe diametrum .
THEOREMA XXIX. PROPOSITIO XXX.
S r coni fe&ionem,ueI circuli circumferentiam duas reto linea: con
tingentes in unum pundtum conueniant : diameter , qua: ab eo punto
ducitur , lineam tactus coniungentem bifariam fecabit .
Sit
CONICOR VM L I B. II.
5 6
Sif coni /edio, upl circuli circumferentia bc:& ducantur dux redtx linea: ba,ac
ipiam contingentes , qux conueniant in a: & iunda bc
per a ducatur fedionis diameter a d . Dico b d ipii d c
x qualem effe. non enim , fed fi fieri poteft, fit b c aqualis
ec:&iungatur a e. ergo a e diameter eft: fedionis . eft au-
tem Sc a d; quod eft abfurdum . Si enim fedio eft ellipfis ,
pundum a ,in quo conueniuntdiametri, centrum eritfe-
dionis extra ipfam- quod fieri non poteft . fi uero fit para-
bo! e, diametri ipfius inter fe fe conuenient:quod fi hyper-
bole, quoniam linese b a,ac fedioni occurrunt, & unius
occurfus alterius occurfii non continetur; conuenient in- a
ter ie ieintra angulum hyperbolen continentem . fed & in
ipfo angulo; centrum enim ponitur, cum da,ae diametri
fint: quod eft abfurdum. non igitur be ipfi ec atqualis erit.
A
B
ij.hulu*
FED. COMMANDINVS.
Ergo a e diameter eft fedionis . ] Ex antecedente . A
Eft autem & a d;quod eft abfurdum . ] Tgamfi fint dute diametri a c,a d, (equitur abfur- B
dum in omnibus coni feclionibus. in parabola enim fequitur diametros inter fe fe conuenire , quas
aquidijlantes effe confiat .fed in reliquis , quoniam diametri in centro conueniunt , erit a ipfarum
centrum . quare in elhpfi & circulo centrum extra ponitur , quod fieri non potefl . In byperbola
uero cum Une ce b a, a c ipfam contingant , conuenient quidem extra , fed tamen intra angulum , qui
hyperbolen continet . atqui conueniunt in ipfo angulo , uidehcet in eius centro : quod itidem efi
abfurdum .
THEOREMA XXX. PROPOSITIO XXXI.
S i utramque oppoiitarum fe&ionum duae rcdix lines contingant ;
8c ii quidem ea ,qus ta&us cuniungit, per centrum tranfeat, contin-
gentes lines squidiftantes erunt j lin minus, conuenient inter fefe ad
eaiciem partes centri .
i
/
/
Sintoppofitcefediones ab : &ipfas contingant c a d,eb£ linea uero, qu^ex a ad
b ducitur,primumtranfeat per centrum fedionum. Dico cd ipfi ef «equidiftan-
tem efie . Quoniam enim
oppofit^ fediones funt,qua
fnrri diameter a b : & unam
earum cotingit linea c d in
pundo g:quasper b ipfi cd
jequidiftans ducitur, Tectio-
nem continget, contingit au
tem e f. ergo c d ipfi e f eft
aequidiftans . fed non tran-
feat per centrum , qus ex a f
ad b ducitur : fitq; ledionT
diameter ag:& h K fedionemm g contingat . ergo hk asquidiftans eft ipfi cd. Et
quoniam hyperbolen dux r eds line* contingunt e f, h k , conuenient inter <efe . eft
autem h K ipfi cd aquidiftans. quare & cd a e fprodutt* inter feconueniant necef-
fe eft , & ad eafdem centri partes .
i.j-.bnius
i . primi
Vitell.
APOLLONII PERGAEI
FED. COMMANDINVS.
Qu.rper b ipfi cd xquidiftans ducitur, fedionem continget.] Illud uero nos de -
monfirauimus in cammentanjs in 44 . primi huius .
THEOREMA XXXI. PROPOSITIO XXXII.
S 1 utrique oppofitarum fedionum redse li
ncae occurrant , ipfas uel in uno pundo contin-
gentes., uel in duobus fecantesj k produda: in-
ter le conueniantipundumfin quo coueniunt»
erit in angulo , qui deinceps eft angulo fedio-
nem continenti .
Sint oppofita: fediones , quas uel in uno pundo con-
tingant, uel m duobus fecent redis lines a b,c d.& pro-
dudts inter fe conueniant . Dico pundum, in quo con-
ueniunt.efle in angulo, qui deinceps ed angulo fedio-
nem continenti . fintenim fedionum afymptoti fg, h E.
s. huius ergo ab produda afymptotis occurret, occurrat in hg
pundis. & quoniam ponimus lineas c d,h g inter fe con
uenire, neceffe eft ut conueniant in locum , qui eftfub
B angulo h 1 f, uel k 1 g . iimiliter idem demonftrabitur, etiam fi a b,c d fediones con-
tingant .
FED. COMMANDINVS.
^ Dico pundnm,in quo conueniunt,eflein angulo, qui deinceps ed angulo iedio-
nem continenti . ] In angulo iutellige in loco , qui efl fuh lineis angulum continentibus .
^ Similiter idem demondrabitur, etiam fi a b,c d fediones contingant.] TS[am quam-
quam contingant fectiones , tamen afym-ptotis occurrent ex tertia huius, idem quoque Jequetur >fi
altera contingat fehtionem , altera in duobus punctis fecet .
THEOREMA XXXII. PROPOSITIO XXXIII.
S i uni oppofitarum fectionum reda linea occurrens , 8c produda
ex utraque parte extra fedionem cadat ; cum altera fedione non con-
ueniet; fed tranfibitper tres locos •, quorum unus quidem eftfub an-
gulo fedionem continente j duo uero fub iis an-
gulis , qui deinceps funt .
^ Sint oppofita: fediones ab : & fedionem a iecetqua:-
dam reda linea cd,- ita ut produda ex utraque parte ex-
tra fedionem cadat. Dico cd cum b fedione non con-
uenire. ducantur enimafymptotifedionum e fi gh. ergo
cd produda aiymptotis occurret . non occurret autem
in aliispundis, quam in e h.ergo non conueniet cum fe-
dione b:& per tres locos tranfi bit . fi enim cum utraque
oppofitarum fedionum conueniret, nulliipfarum in duo
bus pundis occurreret,propter ea,quse fuperius demon-
firata funt .
S.huius
B
EED.
57
CONICORVM L I B. II,
FED. COMMANDINVS.
Non occurret autem in aliis pundis.quam in eh.] lioqui fequeretur , ut duarum rc-
clarum linearum ijdem termini ejfent,quod e(l ab fur dum.
Si enim cum utraque oppofitarum fedionumconueniret,nulli ipfarum in duobus
pundis occurreret.] TStam linea, qux fecat utramque continentium angulum , qui deinceps ejl
angulo feBiones continentivum utraque oppofitarum fcclionum in uno tantum punito conuenit,ex
16 . huius. Idem etiam eueniet,fi linea c d jeci Ionem contingat, quoniam produdia cum utraque a-
fymptoton conueniet , ex terti huius-, & reliqua fimiliter demonfirabuntur .
THEOREMA XXXIII. PROPOSITIO XXXIIII.
Si imam oppofitarum fedionum reda linea contingat: & huic ctqui-
diftans ducatur in altera fedione-, qua’ k tadu ad mediam linea xquidi-
ftantis ducitur, oppofitarum fedionum diameter erit .
Sintoppofitsiediones ab, quarum unam,uidelicet aco
tingat in a pundoreda linea cd:ipfiq; c d squidiftans
ducatur e f in altera fedione:&feda efin g bifariam,
jungatur ag.Dico a g oppofitarum fedionum diametru
■ efie.fi enim fieri poteft , fit diameter a h k . ergo qus in h
ledionem contingit, squidiftans eftipli cd.fed& cd ipfi
e f eft squidiftans. quare ea, qua? contingit fedionein,s-
quidiftat ef: & propterea ek ipfi kfeft squalis: quod
fieri non poteft. eft enim e g squalis g f. non igitur ah
diameter eft oppofitarum iedionum.ex quibus maniiefte
conftat a b ipfarum diametrum efte .
THEOREMA XXXPIII. PROPOSITIO XXXV.
S r diameter in una oppofitarum fedionum redam lineam bifariam
fecevqua: in termino diametri contingit alteram fedionem > \mcx bifa-
riam fedirerit srquidiftans.
Sintoppofits fediones ab,quarum diameter ab inb
fedione redam lineam cd bifariam fecet in e. Dico li-
neam, qus in pundo a iedionem contingif,ipfi cdxqui
diftantemefie.fi enim fieri poteft, fit lines in a contingen
ti squidiftans df. ergo dg ipfi gf eft squalis . fed & de
squalis eft e c . squidiftatigitur c f ipfi e g : quod eft ab-
ftirdum;produdaenim cf cumipia eg conueniet. quare
neque dflinex ad a contingenti eft squidiftans, neque
alia quspiam prster ipfam c d .
THEOREMA XXXV. PROPOSITIO XXXVI.
S i in utraque oppofitarum fedionum reda:
linea 5 inter fe i^quidi itantes ducantur : qua: ipfa-
rum medium coniungit, oppofitarum fedio-
num diameter erit.
Sint oppofits fediones a b: in quarum utraque ducan
tur reds lines c d,e f inter fe squidiftantes : & in pundis
gh bifariamfecentun&iungatur gh. Dico gh diame-
trum efie oppofitarum fcdionum.fi enim non eft, fit g K.
ergo qusin a fediones contingit, ipfi cd eft squidiftas :
P
A
B
y.huhis
47. primi
huius .
4 S." primi
lucius •
i. texti
i2. primi
huius .
y.hutus
APOLLONII P E R G AE I
Sr idcirco ipfi e f. aquales igitur funt e k,k fi quod fieri non poteft-quoniarn & e h,h £
funt squales. ergo gk non eft diameter oppofitarum fectionum. quare relinquitur
gh ipfarum diametrum efle.
THEOREMA XXXVI. PROPOSITIO XXXVII.
S r oppofitas fediones reda linea fecet, non tranfiens per centrum ;
qus d medio ipfius ad centrum ducitur oppofitarum fedionum dianae
ter crit 5 qus reda appellatur ; tranfnerfa uero diameter , ipfi coniugata
eft ea>qus a centro ducitur squidiftans linea: bifariam feds .
Sintoppofitsfediones ab:&ipfas fecet reda linea cd,
non tranfiens per centrum, qua? bifariam in e diuidatur :
fitq; fedionum centrum ;y : & iungatur ^ e : & per ^ ipfi
cd squidiftans ducatur ab. Dico ab, e^ diametros efle
coniugatas oppofitarum fedionum. duda enim d^ ad f
A producatur; & iungatur cf.squalisigiturcft d^ipfi ^f.
i.fexti efi autem & d e squalis e c . ergo e c f inter Te squidi-
B fiant.Itaque producatur ba ad g.& quonia d r *, yi funt
(j. huius jequales,& e^,g f squales erunt.& proptercaipfie c g,gf.
C ergo qus ad a fedionem contingit, squidiftans eft c f.
i^. primi q nare & ipfi e ^.linex igitur a b,e^ oppofitarum fedtio-
!U1US ‘ imm coniugata? diametrierunt.
FED. COMMANDINVS.
A A equalis igitur eft dy ipfi ^f.J Ex ^o.propofitione primi huius.
B Et quoniam d v f funt aquales, & e y,g f aquales erunt.]C««2 enim e^cf aquidi-
jient, erit triangulum de yfimile triangulo ygft quare ut dyad y e jit a yfadfg: &pcrmu-
14. quiti tandout cl y ad yfjta ey adgf. aqualis igitur eft ey ipfi gf.
C Etproptereaipfte cg,g f.] Nam & cg eidem ey eft aqualis, ex trigeftma quarta primi
elementorum .
8. huius
A
B
C
D
THEOREMA XXXVII. PROPOSITIO XXXVIII.
S i oppofitas fediones duae redae lines contingant, in unum pun-
dum conuenientes:qus ab eo pundo ad medium lines tadus eoniun-
gentis ducitur, oppofitarum fedionum diemeter erit, quae reda uoca-
tur *, tranfuerla uero, ipfi coniugata, qus per centrum ducitur, lines ta-
dus coniungenti squidiftans . v ^
Sintoppofitsfediones a b,quasreds lines cp^d contin-
gant:&duda cd bifariam diuidatur in e.&iungatur e^.Dico
e y diametrum redam efle ; tranfuerfam u ero , ipfiq; coniuga-
tam, qua? per centrum duciturlines cd squidiftans . fit enim
diameter e fi fi fieri poteft:& fumatur quoduispundum f. ergo
d^ipfi ef occurret.occurratin f pundo, & iungatur c f. con-
ii eniet igitur cf cum fedione. coueniat autem in a:&per a du
catur ab, qua? lines cd fit squidiftans. Itaque quoniam ef dia
meter eft, fecans cd bifariam:& ipfi squidiftantes lineas bifa-
riam fecabit. quare ag ipfi g b eft squalis . fed cum ce fit s-
qualis e d ; erit in triangulo cfd linea ag squalis g k. ex quo
fequitur& g.^ipfi gb squalem elfe: quod fieri non poteft. non
igitur e f diameter erit .
FED.
58
CONICORVM L I B. II.
F E D. COMMANDINVS.
Ergo d o< ipfi ef occurrit.] Si enim a punclo d linea ordinat im applicetur in b fetlionc , A
xquidifiabit linea e f. quare & dX ipfi ef occurrat necejfe efl,ex fecunda propofitione Vitel-
lianis .
Conuenietigitur cf cum fedione.] TS^amcum cx contingat fetiionem, linea cfean - B
dem neceffario fecabit,ex 32. primi huius.
Erit in triangulo c f 'd linea ag «qualis g b.] Vide qua fcrip fimus in fextam primi C
huius .
Non igitur e f diameter erit.] Deefl hoc loco principalis conclufo, quam nos fupplere de- P
bemUs : ex his enim neceffario colligitur, lineam eX oppo fit arum feUionum diametrum retiam e f
fe . at uero tranfuerfam e[feeam,qua per centrum ducitur ipfi c d aquidiftans 3 demonfir abimus 3 ut
in antecedenti propofitione.
THEOREMA XXXVIII. PROPOSITIO XXXIX.
S i oppofitas fediones contingant duae redae linea; in unum pundu
conuenientes ; qua* per pundum illud, 5 c per centrum ducitur, lineam
tadus coniungentem bifariam fecabit .
Sint oppofitce fediones a b 3 quas duse red« line« c e, e d
contingant: &iunda cd ducatur diameter ef. Dico cf
ipfi fd effe «qualem . fi enim non ita fit,fecetur cd bifa-
riam in g : & iungatur g e.ergo g e diameter eft . fed & e f
eft diameter.pundum igitur e centrum erit : idcircoq; li-
nes , qu« contingunt fediones, in centro ipfarum conue-
nient : quod eil abfurdum . confiat ergo c fipfi fd «qua-
lem effe .
FED. COMMANDINVS. ,
Ergo ge diameter eft.] Ar antecedenti propofitione .
Punctum igitur e centrum erit.] Centrum enim eft 3 in quo oppojitarum fetlionum diame-
tri conueniunt .
Quod eft abfurdum .] Si quidem linea, qux contingunt oppofitas fetiiones , extra centrum £
earum conueniunt , uidelicet in angulo , qui deinceps esi angulo fetiiones continenti j ut conflat ex
trigefma fecunda huius .
, \
THEOREMA XX XIX. PROPOSITIO XL.
\
S 1 oppofitas fcdioncs duae redae lineae contingentes in unum con-
ueniant : Sc per pondum,in quo conueniunt, linea ducatur, tadus con-
jungenti aequidiftans , & fedionibus occurrens :
quae ab occurfibus ad medium lineae tadus con-
jungentis ducuntur, fediones ipfas contingunt .
Sint oppofitje fediones a b , quas duae red« linese c e ,
ed contingant riungaturq; cd:&per e ducatur fegipfi
cd «quidiitans.feda autem cd bifariam in h,iungantur
i h,h g. Dico f h, h g fediones contingere . ducatur enim
eh .ergo eh reda diameter eft, tranfuerfa uero,ipficon
iugata,qu« per centrum ducitur «quidiftans c d . Itaque
fumatur centrum 33 Seducatur a^b ipfi c d «quidiitas .
P 2
< PS U < cs
APOLLONII PERGAEI
ergo he,ab coniugata: diametri funt.atque ordinarim applicata eft ch ad fecundam
B diametrum j &c c e fedionem contingit , fecunda; diametro occurrens . redangulum
igitur e ^ h requale eft quadrato dimidia; fecundae diametri ; hoc eft quartre parti Hg u
rre,quread ab conftituitur.&quoniam fe ordinatim applicatur ; & iungitur fh,per
C fpicuum c-ft fh con tingere fedionem a.fimiliter& gh continget fedionem b. linere
igitur f h,h g fediones a b necdfario contingunt.
FED. COMMANDINVS.
A Ergo e h reda diameter eft,tranfuerfa uero ipfi coniugata,.] Ex 38. huius,
B Redangulum igitur e ^ h aquale eft quadrato dimidia: fecunda; diametri.] Ex 38.
primi huius .
C Peripicuum eft fh contingere fedionem a .] Ex tjs 3 qua nos demonfir animus in com-
mentari] s 38 . primi Imius .
THEOREMA XL. PROPOSITIO XLI.
Sr iu oppofitisfeftionibusdua; rc&x linea? fe inuicem fecent,non
tranfeuntesper centrum, fefe bifariam non fecabunt.
Sint oppofitre fediones ab, in quibus dure reda; linea;
c b,a d per centrum non tranfeuntes,feinuicem fecentin
e. Dico eas bifariamfefenonfecare.fi enim fieri poteft, fe
cent fe fe bifariam : fitq; x ipfarum centrum . & iungatur
A e^.ergo e \ diameter eft.ducatur per ^1 inere bc requidi
B ftans x ferit ^f diameter ipfi c v coniugata. qua: igitur
in f fedionem contingit, eft asquidiftans eo<. Eadem ra-
tione fi ducatur h X requidiftans ad, qua; in h contingit
fectionem ipfi e X erit requidiftans . ergo qua; contingit
fectionein frequidiftanseftlinereinh contingenti,quod
C fieri non poteft.-conueuiunt enim inter fe fe, ut iam demo
ftratum eft.non igitur c b, a d per centrum non tranfeun
tes fe fe bifariam fecant .
F E D. COMMANDINVS.
A Ergo e X diameter eft.] Ex 37. huius.
g Erit Xf diameter ipfi eX coniugata.] Ex eadem.
q Conueniunt enim inter fe fe,ut iam demonftratum eft.] Cum enim linea taElus fh con
i ungens non tranfeat per centrum , qua f ecl tonem contingit in fnon aquidijlabit linea in h contin
genti , fed cum ea conueniet ad eajdem partes centri } ex 34. primi huius .
THEOREMA XLI. PROPOSITIO XLII.
Si inoppoftis fe&ionibus , qua; coniugata; appellantur, dua; redx
linea; fe inuicem fecent,non tranfeuntes per centrum 3 bifariam fefe
non fecabunt .
Sint oppofitre fectiones,qure coniugata: appellantur a b,c d: &
in ipfis dure recta; linere e f,g h non tranfeuntes per centrum fe in
ilicem fecentin k . Dico e f,gh fefe bifariam non fecare . fi enim
fieri poteft,fecentfebifariam:& lit X fectionum centrum . duca-
tur autem ab requidiftans e£& cd ipfi gh requidiftans ;&iun-
A gatur k Z.ergo kl,a b coniugata: diametri funt.& fimiliter con
B fugatre funt diametri k X, c d, quare linea contingens fectionem
in a requidiftat linere in c contingenti : quod fieri non poteft:
C conueniunt enim inter fefe, quoniam contingens in c fectiones
CONICORVM LIBER II. j*
ab fecatr&contingensin a fec are ipfas cd.patet igitur eas conuenirc in locum, qui D
eft fub angulo a X c.non igitur e £g h per centrum non tranfeuntes,fe Te bifaria fccat.
F E D. COMMANDINVS.
Ergo k v,a b coniugatae diametri funt .] Ex trigefimafeptima huius . . ^
Quare linea contingens fedionem in a arquidiftat line* in c contingenti . ] TS(am B
qua in a feffiionem contingit , aquidiflans efl ipfi kjg : & fimiliter qua contingit in c eidem efl
aquidiHans . qua autem aquidifiant uni & eidem , & inter fefe aquidifiant . linea igitur contin- - 0, P rnni
gens f ittionem in a aquidiflat ei , qua in ipfo c contingit .
Conueniunteniminterfefe, quoniam contingens in c Tectiones ab fecat:&con- O
tingens in a Tecat ip fas c d . ] Ex decima nona huius .
Patet igitur eas conuenirc in locum , qui eft fub angulo a y c . ] Conueniunt enim ad D
eam asytnptoton , qua inter ay.gc interijeitur , ex nigefima prima huius .
THEOREMA XLII. PROPOSITIO XLIII.
S i unam oppofitarum fe&ionum , quae coniugatae appellantur reda
linea in duobus pundis fecet : & a centro dux linea? ducantur , una qui-
dem ad medium linea: fecantis, altera uero ipfi aequidiftans : erunt hae
oppofitarum fedionum coniugatae diametri .
Sint oppofita: fediones , quse coniugata: appellantur
ab,cd:& fedionem a qucedam reda linea fecet in duobus
pundis ef& cf bifariam diuidatur in g. fit autem xfc-
dionum centrum -.iungaturq; Xg:8c c X ipfi efaequidi-
ftans ducatur. Dico a X,X c coniugatas diametros effe .
Quoniam enim diameter efl a X, & lineam e f bifariam fe
ca£j qua: in a cotingit fedionem squidiftans eft ipfi ef.
quare &ipfi cX.dc quoniam oppofita: fediones funt , &
unam ipfarum , uideiicet a quaedam reda linea in a con-
tingit ;a centro uero X ducuntur duae linea:, una quidem
X a ad tadum, altera uero cX contingenti stquidiftans :
erunt aX,Xc fedionum coniugata: diametri : hoc enim
fuperius demonftratum eft .
PROBLEMA II. PROPOSITIO
Data coni fe&ione diametrum inuenire .
Sit data coni fedio , in qua punda a b c d e : & oporteat
ipfius diametrum inuenire . Itaque fadum iam fit,- & dia-
meter fit ch.-dudis autem ordinatim lineis df,eh,&pro-
dudisjerit df aequalis fb;& eh ipfi h a. fi igitur ordina-
bimus b d,a e, ut fint politione aequidiftantes ; data erunt
punda hfjquareSr hfc politione data erit.
Componetur autem in hunc modum, fitdata conife-
dio, in qua ab ede punda : ducanturq; linear b d, a e in-
ter fe aequidiftantes :& in pundis fh bifariam diuidantiir.
ergo iunda fh diameter erit fedionis . Eadem ration e & infinitas diametros inue-
niemus.
f. huius
10. huius
XLIIII,
APOLLONII PERGAEI'
PROBLEMA III. PROPOSITIO XLV.
v
D a Ta ellipfi,
ucl hyperbola ce-
trum inuenirc .
Hoc autem mani-
fefte conflat . Si enim
dux Tectionis diame
tri a b,c d ducantur;
punctum , in quo Te
fecant, centrum erit
fectioni.r,ut politum
iam eft .
PROBLEMA II IT. PROPOSITIO XLVI.
Data coni fe&ione axem inuenire .
Sit coni Tectio data primum parabole, in qua puncta fce. Itaque oportet ipfius
axem inuenire . Ducatur enim diameter ab :& fi quidem ab fi taxis. Tactum erit,
quod proponebatur ; fin minus , ponatur iam factum effe : & fit axis c d.ergo c d ipfi
a b eft xquidiftans : & qux ad ipTam ducuntur perpendiculares bifariam diuidit . Sed
perpendiculares ad cd, & ad ipfam ab perpendiculares funt. ergo cd bifariam di-
uidir perpendiculares,qux ad ab ducuntur, fi igitur ordinabimus e f perpendicula-
rem ad a b,erit ea politione data :& idcirco ed xqualis df. quare punctum d datum
erit . dato autem d puncto,& ducta dc,quxlinex ab po-
litione data* fitxquidiflans;erit&ipfa dc politione data.
Componetur autem in hunc modum. fit data Tectio pa-
rabole , in qua puncta f c e: ducaturq; diameter a b: & b e
ad ipfam perpendicularis, qua: ad f producatur, fi ergo
eb fitxqualis bfiperfpicuxcdnftat ab axem effe.- fin mi-
nus, diuidatur e fin d bifariam :& ipfi ab xquidiffans
ducatur c d . erit utique c d Tectionis axis;eft enim diame-
tro xquidiftans; hoc eft diameter, qua: lineam ef &bifa-
riam , & ad rectos angulos diuidit . Data: igitur parabola: axis inuentus eft c d . Ita-
quepatet unum effe parabola* axem, nam fi alius axis fit, ut ab,eritipfi cd xquidi-
ftans, & Tecabit e f. quare & bifariam Tecabit . ergo b e eft aequalis b f . quod fieri non
poteft.
PROBLEMA V. PROPOSITIO XLVII.
datorum
Data hyperbola, ucl ellipfi axem inuenirc.
Sit hyperbole, uelellipfis ab c; & oporteat ipfius axem inuenire.Sit iam inuentus;
& fit K d: centrum uero Tectionis fit k.ergo k d lineas , qua: ad ipfam ordinarim ap-
plicantur, bifariam,& ad rectos angulos Tec at. Itaque ducatur perpendicularis c d a;
& k a , k c iungantur . Quo-
niaigitur cd sequalis efl da;
& c K ipfi Ka efl aequalis. er-
go fi punctum K datum fit,
erit linea ck data, quare ex
centro k &interuallo ck cir
culus deferip tus,& per ip Tum
a tranfibit, & erit politione
datus. eft au te m & a b c Tectio
data pofition e . ergo & pun-
ctum a.fed& c elt datum. da-
ta
CONICORVM LIB. II. 60
ta igitur politione linea ca:&
eft c d ipfi d a sequalis . ergo
punctum d datur : fed & ip-
fiim K. linea igitur dk poli-
tione data erit. Compone-
tur autem hoc modo, fit data
hyperbole, ud ellipfis a b c:&
iiimpto k ipfius centro, in fe
ctione fumatur quod uis pun
ctum c- & ex centro k, inter-
ualloq; k c circulus defcriba-
tur ce a. ducta uero ca bifa^
riamfeceturin d: &iungatur
k c, k d, k a : & K d ad b pro-
ducatur. Itaque quoniam ad eft aqualis dc:& dk communis: erunt dua? linea? cd,
dk duabus ad dK a:quales:& bafis Ka «qualis bafi ^c.quare linea kdb ipfam adc
bifariam , & ad rectos angulos fecat : & idcirco k d eft axis . ducatur per K ipfi c a
arquidifians mkn.ergo mn eft axis fectionis ipfi bx coniugatus.
THEOREMA XLIII. PROPOSITIO XLVIII.
His autem demonftratis , reliquum eft, ut oftendamus non efle
alios axes ipfarum fe&ionum .
Si enim fieri poteft, fit axis alius k g. ergo duda perpendiculari ah, ex iis, qu«fu-
pra diximus, erit a h aequalis h 1. quare & a K ipfi K 1 . fed & ipfi k c . funt igitur k I,
Kc inter fe «quales, quod eft abfurdum . Atuero circulum aec non occurrere fe-
tftioni in alio pundo inter a c,in hyperbola quidem perfpicuum eft : fed in ellip fi, du-
cantur perpendiculares cr,ls. & quoniam Kc eft aqualis kl>
ex centro enim funt:erit& quadratum cK quadrato kl «qua
le. quadrato autem k c «qualia funt quadrata c r,r K: & qua-
drato k 1 aequalia quadrata ls,sk. ergo quadrata cr,rk qua-
dratis 1 s y s k aequalia erunt . quo igitur differt quadratum c r
a quadrato ls,eo quadratum sk differt a quadrato k r.Rur-
fus quoniam redcangulum mrn una cum quadrato rfg«qua-
le eft quadrato k m: redtangulum autem msn una cum qua-
drato sk eidem km quadrato eft squale: erit re&angulum
mrn una cum quadrato rk «quale re&angulo msn una
cum sK quadrato.ergo quo differt quadratum sk a quadra-
to kr, eo rectangulum mrn differt aredangulo msn. fed
demonftratum eft,quo quadratum s K differt a quadrato Kr, eo differre cr quadra-
tum a quadrato 1 s . quo igitur differt quadratum c r a quadrato 1 s, eo re&an gulu m
m r n a retftangulo m s n differt . Itaque cum applicata fint,c r,l s;erit ut quadratu m
cr ad re&angulum mrn, ita quadratum ls adredangulum m sn . demonftratum
autem eft in utrifque eundem eife excefliim . ergo quadratum cr rectangulo mrn
eft «quale : & quadratum 1 s aquale re&angulo msn. circulus igitur eft linea 1 c m.
quod eft abfurdum.pofuimus enim ellipfim efle .
EVTOCIVS.
Qtio igitur differt quadratum cr a quadrato 1 s , eo quadratum sk differta qua-
drato kr.
Sim dua magnitudines aquales ab ,cd: & dmidantur in partes in a quales m
frnflis ef. TJ ico quo differt a e a. cfeo eb differre ab fd .
z 6 . libri
datorum
7 -
8 i. primi
A
47. primi
B
j. fecudi'
|
D
C,
E
F
B
APOLLONII P £ R G AE I
Tonatur iffi cf aqualis a g. ergo eg efl excejfus magnitudinum ag ,
ag aqualis cf.j'ed& ab iffi e d. reliqua igitur g b
reliqua fd efl aqualis . quare eg efl excejfus ipfarum
ebflagflocefl ebfld. a €
Sed fint quatuor magnitudines a e y e b > ,
cf,fd: differat a e d cf eo , quo e b dif-
fert ab f d . Dico utraque ae, e b utrifque f
cffd aqualia efje .
a cjhoc efl c fla e: efl enim
8 6
— < /
f / i
— s ,
Tonatur rurflus ag aqualis cf.ergo eg efiexcef-
fus magnitudinum a e,c f. eodem autem differunt ae 3 cfl& eb 3 fd. aquales igitur funt gb 3 fd.fed
eri ag 3 cf aquales. ergo ab iffi cd aqualis erit. f er jpicuim igitur efl 3 fi prima excedat fecundam,
magnitudine aliqua;& eadem magnitudine tertia quartam excedat : primam eri quartam 3 fecunda
eri tertia aquales effle iuxta arithmeticam proportionem . Itaque his pofitis , fi fit ut prima ad
tertiam , ita fi ecunda ad quartam : prima quidem tertia aqualis erit : fecunda nero quarta, potefi
enim hoc in altj r demon flr ari 3 propterea quod in uigeflmo quinto theoremate quinti libri elemento-
rum Euclidis clemonflr at urn efl ,Ji quatuor magnitudines proportionales fint 3 primam & quar-
tam reliquis duabus maiores ejje .
F E D. COMMANDINVS.
A Et quoniam kceft squalis K 1, ex centro enim funt . ] Tflam fi ponamus utraquepun-
tta cl efl e in ellip fi eri circulo , erunt linea k cfifli ex circuli centro :<&■ idcirco inter fe aquales .
C Quo igitur differt quadratum cr a quadrato sI,eoredangulum mrn aredangu-
lo msn differt.] Ex his f equitur per ea, qua Eutocius hoc loco demon flr auit , quadratum cr
una cum redi angulo m s n aquale effle quadrato s l una cum mrn redi angulo .
D Itaque cum applicate fint c r 3 1 s , erit ut quadratum c r ad redangulum mrn, ita
quadratum 1 s ad redangulum msn.] Ex uigefima prima primi huius : quadratum enim
c r ad rcdlangulum m r n eam proportionem habet , quam figura redlum latus ad tranfuerfim , eri
ii. quinti eandem habet quadratum Is ad rcdlangulum m s n. quare [equitur , ut quadratum cr ad mrn
rcdlangulum 3 i ta efje quadratum l s ad rcdlangulum msn.
E Ergo quadratum c r redangulo m r n eft squale . ] Si enim fieri potefi; 3 non fit aquale
quadratum cr redi angulo m rn.& cum quadratum cr ad redtangulum mrn eandem proportio
nem habeat 3 quam quadratum Is ad msn redtangulum-, erit ex uigefima quinta quinti elemento-
rum quadratum cr una cum redi angulo msn,uel maius, uel minus quadrato sl und cumredtan-
gulo m r n: quod efl abfurdumfiupra enim demonfirauimus ea inter fefe aqualia effle .
F Circulus igitur eft lineam 1 c m . ] Ex a. lemmate Tappi in primum librum 3 & ex ijs ,
qua Eutocius in quintam propo fit Ionem primi libri demonftrauit .
PROBLEMA VI. PROPOSITIO XLIX.
Data coni fedione > 8c puncto non intra fedionem dato^ab co re-
dam lineam ducere , quas fedionem contingat .
Sit data conifedio primum parabole, cuius axis b d:& oporteat apundo non in-
tra feriionem dato redam lineam ducere, ut antepropofitum eft.Itaque datumpun-
dum uel eft in linea, uel inaxe,uelin locOjquodex-
tra relinquitur, fit primum in linea, quod fit a:po-
naturqj iam fadum efie : & fitlinea a e.ducatur autem
A B perpendicularis ad, qus politione data erit:& erit b e
squalis bd.at bd eft data.data igitur eft be:eftq;pun
q dtum b datum, ergo & pundum e.fed datum quoque
P) eft a pundum . linea igitur a e politione data erit .
Componetur autem in hunc modum . Ducatur ex
pundo a perpendicularis ad.-ponaturq; beipfi bd
E squalis : & iungatur a e . lineam igitur a e iedionem
con-
CONICORVM II B. II,
6 i
continget* e manifefto confiat . Sit rurfus punctum e in axe datum .* du<ftaq; iam fit
linea a e fe&ionem contingens : & perpendicularis ducatur a d . ergo beeft squalis
d;<& eft data b e.quare & b d. fed datum eft b pundhim. ergo & d datum erit.quod
cum da perpendicularis fit, & politione erit data, quare &pun6tum a. fed & e da-
tum . linea igitur a e pofitione data erit.
Componetur uero in hunc modum . ponatur ipfi b e squalis b d .• & a pun&o d
ducatur da ipfi ed perpendicularis : iungaturq; a e . manifeftum eft lineam a e con-
tingere lectionem .fed & illud confiat fi datum pun&uni fit idem,quod b, lineam, qus
ab eo perpendicularis ducitur,fedibnemiplam contingere .
Sit datum punctum c,&fadlum iam fit,quod proponebatur :fitq; linea ca contin
gens:&per c ducatur cf squidiftansaxi,hoceftipft
bd.ergocf pofitione data eft:& a punbto a ad cf or
dinatim applicetur a f.erit cg squalis g£& g eftda
tum. datum igitur erit & ipfum f. ordinatim autem
applicatur fa, hoc eft squidifians ei, qus in g fe&io-
nem contingit.dataigitureft fa pofitione.& idcirco
pundtum a datum . fed & pun&uni c . ergo c a pofi-
tione data erit.
Componetur autem hoc modo. ducatur per c ip-
fi bd squidifians c f: ponaturq; fg squalis gc; &
efqusin g contingit fe&ionem , squidifians duca-
tur fa: & ac iungatur.perlpicuurti igitur eft lineam
a c facere illud, quod faciendum proponebatur .
Sit rurfus hyperbole, cuius axis c b d, centrum h,
& afymptoti h e,h f: punctum uero datum, uelin fe-
dtione erit, uel in axe, uel intra angulum lineis e h f
contentum ; uelin loco , qui deinceps eft ; uel in una
alymptoton continentium lectionem, uel in loco in-
termedio inter continentes angulum ad uerticem
eius, qui lineis fhe comprehenditur .
1 taque fit primum in fe&ione, ut a : fadhimq; iam
fit, & linea a g fedtionem contingat . ducatur autem
perpendicularis ad;& bc fit tranfuerfum liguts la-
tus . erit ut c d ad d b, ita c g ad g b . fed proportio
c d ad d b eft data,quod utraque data fit. proportio
igitur c g ad g b erit data . &: eft data b c . quare & g
datum, fed & ipfum a.ergo a g pofitione data erit .
Componetur autem fic. Ducatur a pundfto a per-
pendicularis ad: & proportio cg ad gb eadem fit,
qus cd ad d b : br iungatur a g, patet igitur lineam
a g con tingere feftionem.
Rurfus fit datum pundum gin axe : & faftum iam fit:ducaturq; contingens a g-&
ad perpendicularis.eriteademratione,ut cg ad gb,ita cd ad db: & data eft cbd.
ergopun&um d datum. eft autem da perpendicularis . quare & pofitione data erit:
& eft fedio datapofitione.datum igitur eft a pim&um . fed & ipfum g . ergo a g po-
fitione dabitur . Componetur autem hoc modo.ponantur alia eadem : &fiatpro-
portio cd ad db eadem,quseft cg ad gb: &dufta da perpendiculari, iungatur a
g.conftatigiturlineam ag facere illud, quod proponebatur: & a pundo g ad partes
oppofitas alteraduci lineam, qus fe&ionem contingat .
lifdem politis, fit datum pumftum k in loco, qui intra angulum e h f contiae-
tur : & oporteat ab eo pundto lineam ducere , qus fedionem contingat . pona-
tur iam factum effe : & fit linea contingens k a: iungatur autem k h,& produ-
catur adeo , ut ipfi 1 h fit squalis h n . omnia igitur data erunt . quare & ipla
1 n . Itaque ordinatim applicetur a m ad m n . erit ut n k ad k l,ita nm ad
CL
V “
G H
primi
huius.
K
M
N
O
36. piimj
huius.
34. primi
huius.
&$
p
*,£. Dato.
7
»8
APOLLONII PLRGAEI
m 1. proportio autem nk ad k 1 efi: data, data igitur erit & proportio nm ad ml.
datorum c ^ rc b pundum 1 datum. ergo & m;& ordinatim ap
plicataeft ma, squidifians ei qus in 1 fedionem
i8.datot. contingit, quare & m a datur politione, at pofi-
tione datur fedio alb.ergo & pundum a.fed& k
datur, data igitur erit linea a k .
Componetur autem hoc modo . ponantur alia
eadem:& fit datum pundum k:iundaq; kh pro-
ducatur.^ fit hn squalis lh.fiat autem ut n k ad
If ljita n m ad m 1 .& ei, quas in 1 fedionem contin
git, squidifians ducatur m a; & k a iungatur . er-
go k a contingit fedionem . & manifefium eft ab
eodem pundo k ad partes oppofitas alteram li-
neam duci, qus fedionem contingit. /
lifdem pofitis fit pundum f datum in una afym
ptoton continentium fedionem : oporteatq; a
pundo f ducere lineam, qua; fedionem contin-
gat.I taque ponatur fadum effe : & fit linea contin
gens fae:&per a ducatur ad ipfi eh squidiftas.
erit hd squalis df, quoniam & fa ipfi aeells-
qualis;& data efi fh: ergo & pundum d datum. da
ta quoque erit pofitione da, qua? per d ducitur
squidifians ipfi h e pofitionedatae : & fedio data
efi: pofitione . ergo & pundum a . fed & f datum .
lineaigitur f a e pofitione data erit.
Componetur autem hoc pado.fitfedio ab, cuius afymptoti eh,h£ & datum p fi-
dum f fitinunaafymptoton fedionem continentium :feda autem fh bifariam in
d, ducatur per d linea da ipfi he squidiftans:&iungatur fa. Quoniam igitur f d
Q^eft squalis dh.& fa ipfi ae squalis erit, quare ex iis, qusdemonftratafiint,linea f a
fedionem contingit.
lifdem pofitis fit datum pundum k in loco,qui deinceps efi angulo fedionem con
tinenti & oporteat ab ipfo k lineam ducere,qus contingat fedionem.ltaque fadum
iam fit; & fit linea kaiundaq, kh producatur.eriteapo
fitione data, fi igitur in fedione fumatur pundum c,&
per c ducatur cd ipfi kh squidifians:erit cd datapofi
tione.atfi cd bifariam fecetur in e;iundaq; he produ-
37 huiu* catur;& pofitione data erit, diameter fcilicet ipfi kh con
iugata.ponatur hg squalis bh ; & per a ducatur a 1 s-
quidifians bg. Quoniam igitur k.l,b g coniugats diame
trifunt,& ak fedionem cotingit : ipfiq; bg squidifians
dudaeft ai: eritredangulum xhl squale quarts parti
figurs, qus ad bg conftituitur . quare & ipfum datum
erit, efi autem Kh data.ergo& hl.fed&pofitione.efiq;
datum pundum h.ergo& l.&cumper 1 dudafit la s-
quidiftans bg pofitione dats,ipfa quoquepofitione da-
bitur . Atfedio etiam datur pofitione. quare & a pun-
dum. fed & k.ergo linea ak pofitione data erit.
Componetur autem fic.ponantur alia eadem:fitq; datum pundum k in loco,que
diximus ;&iunda xh producatur, fumpto autem in fedione pundo c, ducatur cd
ipfikh squidiftans;& cd bifariamin e fecetur :iundaq; eh producatur: & ipfi bh
I7.huius ponatur squalis h g.ergo gb tranfuerfadiameterefi,ipfi slh coniugata.deinde po
natur quar ts parti figurs , qus efi; ad b g, squale rectangulum I h : perq; 1 ipfi b g
S squidiftans ducatur 1 a.-& k a iungatur.lineaigitur k a fectionem contingetper con
taerfionemtrigefimioctaui theorematis primi libri. At fi in loco inter f h p interie-
cto
•festi
ag.libri
«latorum
R
6z
CONICORVM L I B. II.
cto aliquod punctum detur, quod propofitum eft, fieri non poteft. linea enim contin
gensfecabit gh. quare & utrique ip far um fh, hp occurret; quod eft abfurdum^ex
ijs,qua:in 51. theoremate primi libri, & in tertio huius demonftratalimt.
lifdem politis fitfectio data ellipfis: datum uero pudum in fedione a. & oporteat
ab ipfo a ducere lineam, quae fedionem contingat . I taque ponatur fadum efle : fitq;
linea contingens ag:& ab a ad b c axem ordinatim applicetur a d . erit pundum d
datum ; & ut c d ad d b,ita erit c g ad g b . fed proportio c d ad d b eft data . ergo &
proportio c g ad g b data erit:& idcirco pundum g . fed & a. quare & a g erit poli-
tione data .
Componetur autem hoc pado. ducatur perpendicularis ad:& cg ad g b pro-
portio eadem fit,qu?e proportio cd ad dbdungaturq; a g. conflat igitur ag fcdio- 34-pmni
nem contingere , quemadmodum & in hyperbola .
Sit rurfus datum pundum k,aquo o-
porteat contingentem lineam ducere. Ita
que fadum iam fit :& fit linea k a : ductaq;
klh ad h centrum producatur in n. erit
ea politio ne data, quod fiam ordinatim
applicetur, erit ut nk ad kl,ita n m ad
mi. proportio autem n^ad kj eft data,
ergo & data proportio n m ad m 1. quare
& pundum m : & applicata eft m a;aequi-
diftat enim lineas in 1 contingenti, ergo
ma politione dabitur : & idcirco pundu
a . fed & ipfum K eft datum . linea igitur
ka politione data erit.
Compofitio autem eadem eft, qua; lupra .
FED. COMMANDINVS
Qua; politione data erit.] Ex 3 o.propofitione libri Datorum Euclidis . A
Et erit b e asqualis b d .] Ex 35. primi huius . B
Ergo & punctum e .] Ex 27. libri Datorum . C
Linea igitur a e politione data erit .] Ex 26. eiufdem . D
Lineam igitur a e lectionem contingere manifefto conflat.] Ex%.primi huius» E
Ergo be eft aequalis bd.] Ex 35. eiufdem. F
Ergo & d datum .] Ex 27 .libri Datorum . Q
Quod cum da perpendicularis fit,& politione data erit.] Ex 29. eiufdem, H
Sed & illud conflat, fi datum punctum fit idem quod b.] Ex 17. primi huius . K
Ergo cf politione data erit.] Ex 28. libri Datorum. L
Eritut cd ad db,ita cg ad gl.] Ex 36.primi huius. M
Et eft data bc.quare& g datum.] Quoniam enim linea bc data in datam proportionem N
dimdititr,ermt & cg,gb data ex feptima libri Dator um 3 & ejl datum punUum c.ergogr g erit
datum ex 27 .eiufdem.
Patet igitur lineam a g contingere lectionem.] Ex 34. primi huius . O
Erit h d aequalis d fi quoniam & f a ipfi a e eft aequalis.] Tfam cum fa fit aqualis a e P
ex tertia huius 3 & fd ipfi d h aqualis erit 3 ex fecunda fexti elementorum .
Quare ex ijs,quae demonftrata funt,linea fa fedionem contingit .] Ex 9. huius. Q
Erit redangulum K h 1 squale quartae parti figuras , qua: ad b g conftituitur .] Ejl R
enim ex 38. primi huius,reU angulum k h l aquale quadrato, quod fit ex dimidia fecunda diametri t
hoc eft aquale quarta parti figura ad bg conflituta ; quoniam fecunda diameter mediam propor-
tionem obtinet inter figura latera , ex diffinitione fecunda diametri .
Linea igitur k a fedionem contingit perconuerfionem trigefimi odaui theore- S
matis .] H une locum nos reslituimiis 3 etenim ingraco exemplari numerus theorematis deerat 3 ui
de eius d emonfirationem in commentarijs,qua nos in. 38. primi huius confcripfimus .
z
B
C
D
d
a
£
A
\
37 - primi
imius-
F
APOLLONII PERGAEI
PROBLEMA VII. PROPOSITIO L.
Data fedionc coni , lineam contingentem ducere , qua* cum axe ad
partes fe&ionis angulum faciat, dato angulo acuto arqualem .
Sit coni fe&io primum parabole, cuius axis a b.Itaque oportet lineam ducercjqu*
fedio nem contingat, A cum ab faciat an-
gulum ad partes fedionis , dato angulo a-
cuto squalem . ponatur facium effe : A fit
linea c d.datus igitur efl b d c angulus, du A /
caturperpendicnlaris bc.efl autem angu '
lus,quiad b datus. quare data efl propor-
tio d b ad b c.fed d b ad b a proportio efl
data, proportio igitur ab adbc data erit.
& datus angulus,qui ad b. ergo & b a c an
gulus efl datus. A efl ad lineam b a, quse da // /
tur politione; A ad datum pundum a . Ii- e J , /
nea igitur c a politione dabitur, at fedio ® ; \
data efl politione, ergo pudum c datum ;
& linea cd fectionem contingit, quare & politione data erit.
Componetur autem problema hoc modo . fit data coni fectio primum parabole ,
cuius axis ab:datus autem angulus acutus, qui lineis efg continetur: fumptoq, in li
nea e f puncto e, ducatur perpendicularis eg: A fgin h bifariam fecetur : Aiunga-
tur h e.deinde angulo g h e squalis conflituatur angulus b a c: A ducta perpendicu-
lari b c, lines ba ponatur squalis ad: A cd iungattir. ergo linea cd fectionem con-
tingit. Dico angulum c d b angulo efg squalem effe . Quoniam enim efl ut f g ad
gh,ita db ad ba:Aut hg ad ge,ita ab ad bc:erit ex squali ut fg ad ge,ita db ad
b c.fed anguli,qui ad gb recti funt. angulus igitur, f angulo d efl squalis.
Sit fectio hyperbole: ponaturq; iam factum effe, A linea c d fectionem contingat .
fumpto autem y fcctionis centro , iungatur c^:&cc
perpendicularis ducatur, ergo data efl proportio recta
guli ^ed ad quadratum e c: eadem enim efl, qustranf-
uerfi lateris ad rectum . proportio autem quadrati c e
ad quadratum ed efl data : quod datus fit uterque an-
gulorum c d e , d e c . quare & rectanguli y e d ad qua-
G
H dratum ed proportio data erit. & idcirco proportio
K y e ad e d. fed angulus qui ad e efl datus, ergo & qui ad
y. & ad lineam y e politione datam , & ad datum pun-
L ctum y ducta efl ,y c in dato angulo . ergo & y c poli-
tione dabitur, data efl aute & ipfa fectio pofitione.qua-
re& c puctum:& ducta efl cd contingens.lineaigitur cd politione erit data. Xta-
M que ducatur f y fectionis afymp totos. ergo c d producta afymptoto occurret.occur
N ratin f. erit fd e angulus angulo f^d maior: Aproptereain compofitione proble-
matis oportebit datum angulum acutu maiorem effe, quam fit dimidius eius , quem
afymptoti continent.
Componetur autem problema hoc
modo . Sit data hyperbole , cuius axis *
quidem a b,afymptotos autem o<f:&da '
tus angulus acutus khg, qui fit maior
angulo ayfi fitq; angulo a^f squalis
angulus khl: Aapundo a adredosan
gulos ipfi ab ducatur af:in linea uero
gh fumatur aliquod pundum g,aquo
ad hk perpedicularis ducatur gk. Quo
niam igitur angulus f y a angulo 1 h k efl
O squalis ; A anguli ad a k redi funt : erit
«£
CONICORVM LIBER II.
<*?
ut \a ad afiita hk ad kl:& hk ad kl maiorem proportionem habet, quam ad kg*
ergo & ya. ad af maiorem habet proportionem, quam hk ad kg:& idcirco quadra-
tum ya aci af quadratum maiorem habet, quam quadratum hk ad quadratum kg.
Vt autem quadratum ya. ad quadratum a f, ita tranfuerfum figurs latus ad rectum .
quare tranfuerfum figura: latus ad redum maiorem proportionem habet, quam qua-
dratum hk ad quadratum k g. fi igitur fiat ut quadratum ^a ad quadratum af,ita
aliud quoddam ad quadratum Kg; erit illud quadrato h k maius . fit redangulum
mkh: &iungatur gm. Itaque quoniam quadratum mk maius efi redangulo mkh,
habebit quadratum raK ad quadratum Kg maiorem proportionem, quam redan-
gulum mkh, ad idem kg quadratum, hoc efi maiorem, quam quadratum ya ad qua
dratum a £ Quod fi rurfus fiat, ut quadratum m k ad quadratum k g,fic quadratum
ya ad aliud quoddam: eritid minus quadrato a reda linea, qua: i'y ad fumptum
ptmdum ducitur, triangula fimilia efficiet; ac propterea angulus fy a angulo gmk
erit maior.ponatur angulo gm k ecqualis angulus a^c.ergo ^c fedionem fecat. fe-
cet in c:& a c ducatur cd fedionem contingens; & ce perpendicularis.triangulum
igitur cye fimile efi triangulo gm k. quare ut quadratum ^e ad quadratum ec, ita
quadratum m k^ad quadratum K g.cfi autem ut tranfuerfum figura: latus ad redum ,
itaredangulum ^ed ad quadratum e c:& redangulum mkh ad quadratum kg:&
conuertendo, ut quadratum ce ad redangulum y e d, ita quadratum kg adredan-
gulum mkh.ex squali igitur ut quadratum ^e ad redangulum y e d, ita quadratum
m k ad redangulum mkh: proptereaq; ut y e ad e d, ita m k ad k h . Sed ut c e ad
e ^,ita erat gk ad k m. quare rurfus ex ecquali ut ce ad edfitagK ad kh:&funt an-
guli, qui ad ek redi, angulus igitur ad d angulo ghk efi squalis.
Sit fedio ellipfis , cuius axis a b: & oporteat lineam ducere, quee fedionem contin-
gat ; & cum axe ad partes fedionis faciat angulum dato angulo acuto ecqualem . Ita-
que fadum fit : & fitiinea c d.ergo angulus c d a efi datus : & ducatur perpendicula-
ris ce.proportio igitur quadrati de ad quadratum ec data eft.Sit fedionis centrum
p^&iungatur c^.eritproportio quadrati ce ad redangulum d e y data: eadem enim
efi, quse proportio redi lateris ad tranfuerfum . ergo dabitur proportio quadrati de
ad redangulum d e y : & idcirco proportio de aci e^. proportio autem de ad e c
efi data. data igitur & proportio ce ad ey. fed
angulus , qui ad e redus efi . ergo datus angulus
ad y, qui quidem eftadlineam politione datam,
& ad datum pundum. quare datum eritpimdum
c:& linea cd a dato pundo ducitur , & fedionem
contingit . ergo politione data erit .
Corqponetur autem problema hoc modo . fit
datus angulus acutus fgh:fumaturq;inlinea fg
pundum fi & fh perpendicularis ducatur . dein-
de fiat ut redum latus ad tranfueriiim,ita quadra-
tum fh ad redangulum g h k.. & iungatur k fi fit
autem fedionis centrum y: & angulo h x f squa-
lis angulus conftituatur a y c:& ducatur c d,fiedio
nem contingens,. Dico lineam cd facere illud,
quod proponebatur ; uidelicet angulum c de angulo fg h squalem efle . Quoniam
enim ut ^ead ec,ita k h ad h ferit ut quadratu ad quadratu ec,ita kh quadra-
tu ad ipfum hfieft autem & ut quadratu ce adredangulu debita quadratum fh ad
redangulum ghk: utraque enim proportio eadem efi , qus redi lateris ad tranfuer-
iurft. quare ex squali ut quadratum ^ e ad redangulum y e d , ita quadratum k h ad
redangulum K h g . ergo ut linea y e ad e d , ita efi k h ad h g . efiq; ut y e ad e c, ita
kh ad h fi ex squali igitur ut de ad ec,ita gh ad h fi quod cum circa redos angulos
latera proportionalia lint, angulus ede angulo fgh efi squalis, linea igitur cd fa-
cit illud, quod propofitum fuerat.
8. quinti.
P
8. quind
CL
R
S
4.& n.ft
xti .
T
V
6 . fexti
37. r. hu
ius .
8.datorii
41. dato»
rum.
APOLLONII PERGAEl
A
B
C
D
E
F
G
H
K
L
M
N
O
P
Q.
R
S
T
V
FED. COMMANDINVS»
Qj are data efl proportio d b ad b c . ] Cum enim anguli cdb,dbc dati fmt , erit &
bcd reliquus ex duobus redis datus . quare ex quadragefima propofitione libri datorum Euclidis ,
triangulum dcb dabitur fyecie : & propterea laterum ipfius proportio data erit .
Proportio igitur a b ad b c data erit . ] Ex odaua propofitione libri datorum, utraque
enimipfiarum ab,bc ad eandem db proportionem habet datam .
Et datus angulus, qui ad b.ergo & b a c angulus efl: datus . ] Ex quadragefima prima
eiufdem libri . datur namque triangulum abc fiecie. ergo & reliqui ipfius anguli dabuntur i
Linea igitur c a politione dabitur . ] Ex tiigefima nona eiufdem libri .
Angulus igitur f angulo d eftasqualis.] Ex fiext a fiexti elementorum .
Proportio igitur quadrati ce ad quadratum ed efl: data, quod datus fit uterque
angulorum c d e,d e c . ] Latus efi enim angulus c d efitemq; d e c } qui efl redus. ergo & reli-
quus e c d;& triangulum dee (pe cie dabitur, ex quadragefima propofitione datorum . data efi igi-
tur proportio lateris ce ad e d :& idcirco ex quinquagefima eiufdem , quadrati ce ad quadratum
e d proportio data fit neceffe efl .
Quare & redt anguli g e d ad quadratum e d proportio data erit . ] Ex odaua eiuf-
dem. data efi enim utriufque proportio ad quadratum e c .
Et idcirco proportio gc ad c d . ] Eadem namque efl , qu£ redanguli ged ad quadra-
tum e d,ex prima fiexti elementorum, uel ex lemmate in 22. decimi .
Sed angulus, qui ad e efl: datus , ergo & qui ad ^ . ] Quoniam enim proportio ge ad
ed efi data : & data proportio ce ad ed,exijs, qua fupra dicta fiunt : erit ex odaua datorum ge
ad ec proportio quoque data: & efl datus angulus ad e redus . ergo triangulum gec fpecie da-
tur, ex quadragefima prima eiufdem propterea reliqui ipfius anguli dati erunt .
Ergo & g'c politione dabitur . ] Ex uigefima nona eiufdem .
Ergo c d produ&a afymptoto occurret . ] Ex tertia huius .
Erit f de angulus angulo fQd maior.] Ex decima fexta primi elementorum .
Erit ut ^ a ad a f,ita h K ad X 1 . ] Ex quarta fiexti ,fiequitur enim ex iam didis triangu-
lum fi ga triangulo g h Igfimile ejfie.
Vt autem quadratum g a ad quadratum a fi ita trafuerfum figura latus ad redlum.]
Ex demonfiratis in prima huius .
Itaque quoniam quadratum m k maius efl re&angulo m k h , ] TQam ex prima fe-
cundi quadratura m lg.ee quale efi r e cl angulo m k h } & red angulo kjn h.
Et propterea angulus fQa angulo gmk maior erit.] Hoc etiam ex fiexto lemmate
‘Pappimanifefio conflare poteft: cum m k ad Igg maioremkabeat proportionem, quam ga ad a fi,
Ergo g c lectionem fecat . ] Ex fecunda huius .
Efl autem & ut tranfuerfum latus ad reftum , ita reftangulum g e d ad quadratum
e c . ] Ex trigefima fieptima primi huius .
Et rcdtangulum m k h ad quadratum Ig g • ] -E* fupwius oflenfa fiunt . quare fie-
quiturex undecima quinti, red angulum ged ad, quadratum e c ita t ejfie, ut redangulum mkjt
ad quadratum fgg •
PROBLEMA VIII. PROPOSITIO LT>
Data fe&ione coni , lineam contingentem ducere , quae cum dia-
metro per ta&um du&a faciat angulum, dato angulo acuto aequalem .
Sit data coni feftio primum parabole , cuius axis a b : & datus angulus h . Itaque
' oportet ducere lineam , qua: parabolen contingat; & cum diametro , qua: per ta&um
ducitur, contineatangulum aqualem dato angulo h. fa&um iam fit : & linea contin-
gens fit cd,qua: quidem cum diametro ec per ta&um ducta faciat angulum ecd,an-
gulo
CONICORVM IIB, IXo
gnlo h squalem :& axi in pundro d occurrat. Quo-
niam igitur 2 d aequi diftat e c, angulus adc angulo ecd
eft aequalis :& datus eft angulus ecd; eft enim squalis
angulo h. ergo & a d c angulus datus erit.
Componetur autem hoc modo . Sit parabole, cuius
axis a b : & datus angulus h . Ducatur linea c d fe&io-
nem cotingens,quae cum axe faciat angulum cda aequa
lem angulo h : & per c ducatur e c ipfi a b aequidiftans.
Itaque quoniam angulus h angulo adc eft «qualis : an-
gulus autem adc eft aequalis angulo ecd:& h angulus
angulo e c d aqualis erit .
Sit fe&io hyperbole, cuius axis ab, centrum e,& afymptotos e t: datus autem an-
gulus acutus fit 'j>: & linea cd fe&ionem contingat:iungaturq; ce faciens illud,
quod propofitum eft :■& cg perpendicularis ducatur. Itaque proportio tranfuerft
lateris ad redmm data efbquare & data proportio redranguli e g d ad quadratum c g.
exponatur reda linea data th : &inipia circuli portio defcribatur,ftftcipiens angu-
lum squalem angulo quae quidem portio femicirculo maior erit : & ab aliquo pun- D
&o eorum , quae funtin circumferentia.
4 6 i primi
huius.
zS. primi
element.
jo. huius
A
B
C
Y A.J» O l L O N I I P E R G AE I
ad recuro , itare&angulum flh ad quadratum lly. quadratum autem fi ad 1 k qua-»
g quint! ^ ratum maiorem proportionem habet, quam redangulum fl h ad quadratum 1 k :
^ p * habebit quadratum fl ad quadratum 1.K maiorem proportionem, quam quadratum
ea ad quadratum at.&funtanguliad al redi: angulus igitur f angulo e minor erit.
Itaque conftituatur angulus aec aqualis angu-lp 1 f le. ergo linea ec iedioni occur-
ret. occurrat in pundo c&a c ducatur cd contingens fedionem; & cg perpendi-
37. primi cularis.eritut tranfuerfum latus adredum, ita redangulum egd ad quadratum cg.
fcums. yt igitur redangulum flh ad quadratum 1 k , ita redangulum egd ad quadratum
R S cgddeoq; triangulum K ; i\ triangulo ceg efi fimile :& triangulum J{hl fimi! e trian-
giilo cdg:& kfh ipfi ced.quare ecd angulus angulo f k h,hoc eftipfi a eftsqua-
T lis. fi uero tranfuerfi lateris ad rectum proportio fit squalis ad aquale; linea kl cir-
V culum fk h continget : & a centro ad k ducta squidiilans erit fh ; & ipfa problema
efficiet •
F E D. COMMANDINYS.
A
7 , 9 - dator.
i.
*o.
30. prima
datorum
lem ?nti
decimi
yr>, 8. da-
torum.
B
C
D
E
F
*3.fexti.
I t a qv e proportio tranfuerfi lateris ad rectum data cft . ] Quoniam enim pofitione
data efl et asymptotos 3 ji d punfto a ducatur ad reflos angulos ipfi a e linea, at , qua asympto-
toin t occurrat ierit at data: &data proportio ea ad at. quare & proportio quadrati ea ad
quadratum a t ,• hac autem eadem efl , qua tranfuerfi lateris ad reftum , ex d emo nf Iratis in prima
huius : quanquam data hyperbola , & latere eius tranfuerfi ) , slatim tranfuerfi lateris ad rcflum
proportio data erit ahfque asymptotis : fiunt enim asymptoti reflo latere quodammodo pofieriores.
Sit hyperbole c a , cuius tranfuerfum latus a b : & fumpto in fectione quouis punfio c, ducatur ad
ba. ordmatim linea cg.erit cg datator data ag,&gb. quoniam igitur data fiunt bg , ga 3 &
'Y
~y
+ a
earum proportio dabitur , hoc e fi proportio rc fi anguli bga ad quadratum g a:eflq;data cg. ergo
& data proportio ag ad gc.& idcirco quadrati ag ad quadratum gc. proportio igitur reflan-
guli bga ad quadratum cg data erit, qua efl tranfuerfi lateris ad re ftum, ex uigefiima prima pri-
mi huius .
Quare & data proportio rectanguli e g d ad quadratum c g . ] Eadem enim efl , qua
tranfuerfi latens ad refhm,ex trigefima f ipiima primi huius .
Et in ipfa circuli portio deferibatur , fufeipiens angulum squalem angulo a . ] Ex
trigefima tertia tertij elementorum .
Qus quidem portio iemicirculo maior erit . ] Ex trigefima p rima eiufdem tertij .
Faciens proportionem rectanguli flh ad quadratum lk eandem, qus efi tran/uer-
fi lateris ad rectum . ] Quomodo hoc fiat 3 mox apparebit , in problematis compofitione .
Eft autem ut tranfuerfum latus ad rectum , ita & rectangulum e g d ad quadratum
c g ; & rectanguium flh ad quadratum Kl.] Quare ex undecima quinti [equitur recian-
gulum fl h ad quadratum l K ita ej fle , ut reflangulum eg d ad quadratum g c . proportio autem
r efl anguli flh ad quadratum l K componitur ex proportione fl ad l K , & proportione h l ad
l K; & proportio rectanguli egd ad quadratum g c componitur ex proportione eg ad gc 3 &dg
ad g c.ergo proportio compofitaex proportionibus fl ad lK 3 & bl ad l K eadem efi , qua com -
CONICORVM L I B. IL
H
ponitur cx proportionibus eg ad gc ,<&dg ad gc.
Erit triangulum k f 1 triangulo c e g fimile : & triangulum f h K fimile triangulo G
e d c.] Efi enim fl adi K,ut eg ad g c-.quod poflea dernonflr abimus . Cum igitur circa aquales
angulos Ig latera proportionalia fint : triangulum f l K fimile erit triangulo ege. quare angu- ^(exd
lus ad f angulo ad c efi aqualis : & angulus fK l angulo e cg. erat autem & fK h angulus ae-
qualis angulo e cd.ergo& reliquus bKl reliquo deg aqualis :& triangulum K fh fimile tri-
angulo ced. Ithnq; triangulum b k l triangulo d cg .
nituero fl ad Ik ita ejfe,ut e g ad g c,hoc modo demonfirabimus.fi enim fieri potefi,fit pro-
portio fl ad Ik maior y quam eg ad gc:ent bl ad IK proportio minor, quam dg ad gc, quo -
niam proportio compofita ex proportiouibus fl ad Ik ,& hl ad / K eadem efi;, qua componitur
ex proportionibus eg ad gc 3 &dg ad gc: quod fupraofienfumejl. Itaquefiatut eg ad gc 9
ita ml ad l k. erit ml minor, quam fl. fiurfus fiat ut b
hl ad iK.ita og ad g c. eadem ratione minor erit o g ,
quam dg. Quoniam igitur ml ad Ik eandem habet pro
portionem, quam eg ad gc :& funt anguli ad l g reBi
inter fe aquales : triangulum ml k triangulo e g c fi-
mile erit .rurfus quoniam o g ad gc eandem propor- &
tiomm habet, quam hl ad l k, erit & triangulum ogc fimile ipfi blk. angulus igitur e c g a-
qualis efi angulo nzXl:& angulus ocg aqualis angulo h fil. ergo reliquus eco reliquo mkh
ecqualis erit.qmdfieri non patefi.ponebatur enim angulus ecd aqualis angulo fK h:& efi angu-
lus eco maiormgdo e c d.quare multo maior efi angulo m Kb. idem fequetur ab fur dum, fi pro-
portio fl ad l K ponatur minor, quam eg ad gc. ex quibus confiat fl ad Ik eandemhaberepro
portionem , quam sg ad gc.
Quare angulus k fl angulo ced efi aqualis.] Hunc locum nos ita eorreximus, in gra-
co enim exemplari legebatur .xan /imcnrtW u no £k 3 'ymia, rsvrlart^ x Twtnro e 7 &, hoc
efi , quare angulus f k h,uidelicet angulus x angulo ecd efi aqualis, & mendo fe,ut opinor. con-
cluderet enim, quod antea pofuerat:ejjetq; eadem conclufio in refolutione, & compofitione proble-
matis , quod efi abfurdum .
Ef aiymptotos e t.] Hac nos addidimus, qua ingraco exemplari non erant: fed tamen defi-
derari uidebantur .
Proptereaq] ut n p ad p o 5 hoc eft u ad u ^ ,ita x k ad k 1.] Quoniam enim n x,p K L
aquidifiant ipfi f h,& inttr J e aquidifiabmtiaquidifiani autem & n o,x l. quod utraque ad fh 30. primi.
fit perpendicularis . quare n p k x.p 0 1 k parallelogramma fiunt . & ideo xK efi aqualis np,& lS
k i ipfi po. 34 ' pnni?
Et antecedentium dupla., ut 4 u ad u g, ita m k ad k 1 .] Efarn cum fitut yu ad uy t M
Ha x k ad K l:ut autem 4 u ad y u,ita m k ad x k,efi enim & m K ipfius x K dupla, quoniam
n x perpendicularis ad m Kfipfim 'bifariam diuidit,per tertiam propofitionem tertij libri elemen-
tortm:erit ex aquali ut 4 u ad u y,ita mk ad Kl.
Hoc efi: rectangulum flh ad Ik quadratum.] T{efii angulum enim flh efi aquale re-
ti angulo m i k, quod utrumque fit aquale quadrato eius linea, qua ab l dutla circulum contin-
git, ex 3 6. tertij elementorum .
Ducatur a pun&o a linea at ad redos angulos ipfi a b.J Linea a t in pimtio a fe- O
tlioneni contingit afympioto occurrit in t. ergo quadratum ea ad quadratum at eam propor
tionem habet, quam traufuerfum latus ad retium, cx fis, qua in prima huius demonfirantur.
Habebit quadratum fl ad quadratum Ik maiorem proportionem, quam quadra P
tum ea ad quadratum, at ; & funt anguli a 1 redi, angulus igitur f angulo e minor
erit.] Quoniam enim quadratum f I ad quadratum lK maiorem proportionem habet, quam
quadratum e a ad quadratum a t, habebit linea f l ad l fi maiorem proportionem, quam ea ad
at. quare ex fexto lemmateTappi angulus f angulo e minor erit.
Ergo linea e c fodiam occurret.] Ex fecunda huius.
Ideocl [triangulum k fl triangulo ceg eit fimile.] Is (am angulus ceg faftus esi a- K
quahs angulo f: & angulus g reptus aqualis efi re£to l . ergo & reliquus reliquo aqualis erit:
& triangulum k f l triangulo ceg fimile .
Et triangulum khl fimile triangulo cdg:& k fh ipfi ced.] Confiat hoc ex feptimo S
K
K
\\
N
/$\ '
i. fexti
j. huius
34. primi
A
1 3. primi.
B
3I. tertii.
APOLLONII PERGAE1
lemmate Tappf .
Si uero tranfu erfilaterisproportio fit squalis ad aquale.] Hoc efi fi tranfuerfum la-
tus fit aequale r e£lo .
Linea xl circulum f\h continget: & a centro ad k dudasquidifians erit fh.]
Si enim a centro n ad circumferentiam circuli ducatur linea nk 3 quteipfifb aquidiflet: & a k
ad fh produSlam demittatur perpendicularis k l ; linea k l circulum continget ex i6.propofi~
tione tertij elementorum , quoniam & ad ipfiam n k efi perpendicularis ,
THEOREMA XLIIII. PROPOSITIO LII.
S i ellipfim reda linea contingat, angulus* quem facit cum diametro
per tactum duda,non cft minor angulo deinceps ei 3 qui lineis ad me-
diam fedionem inclinatis continetur .
Sit ellipfis, cuius axes a b,cd, centrum e:&fit axium maior ab:lmeauero g fl le-
ctionem contingat : & iundis a c,c b, f e, producatur b c ad 1 .
Dico angulum lfe non efle minorem angulo Ic a .linea enim
■f e,uei efi xquidiftans ipfi 1 b,uel non squidifians . Sit primum
squidiftans:& efi ae squalis eb.ergo& ah ipfi hc efi: squa-
lis. Sed f e diameter efi. linea igitur,qus in f fedionem contin
gitfipfi ac efi squidiftans.efi autem & f e squidifians lb. qua-
re parallelogrammum efi fh cl: & idcirco angulus Ifh squalis
efi angulo 1 ch. Quoniam igitur utraque ip larum ae,eb elima
ior e c, angulus a c b efi obtufus , ergo acutus angulus 1 c h , &
1 f e : & propterea g f e obtufiis erit . fed non fit e f squidifians
lb:& ducatur fk perpendicularis . non igitur angulus lbe s-
qualis efi ipfi fe a. r edus autem angulus ad e redo ad fi_efi s-
qualis . ergo triangulum cb e non efi fimile triangulo Fek- &
ideo non efi ut quadratum b e ad quadratum e.c, ita quadratum eK ad quadratum
k fi Sed ut quadratum be ad quadratum e c, hoc eft, ut redangulum aeb ad quadra-
tum e c,ita tranfuerfum latus ad redum:& redangulum g k e ad quadratum k 1 • er-
go linea g K non efi squalis ipfi k e . "
Exponatur circuli portio m.y n, fufei
piens angulum squalem angulo a c b.
angulus autem acb efi obtufiis. ergo
circuli portio m y n efi femicirculo
minor, fiat igitur ut g/t,ad ke,ita.nx
f/7
'(/{
V \,
A
1 \ 6
j
f
/
/
d
(X
■ffi-
tfi K.
£
C \
t
V\
■- - /
if
/ x
t '
Si
r
y
G
S. quinti.
30. quinti
,H
2^.quinti
K
li mn ducatur yx^-:&my,yn iun- r / 1 /n\ \ r
gantur.fecetur aute m n bifariam in t. * ff— ~ — d
& ad rectos angulos ducatur o tp.erit
o tp diameter.fit r circuli centrum, a
quo perpedicularis ducatur r s; & iun
gatur m 0,0 n.itaq; angulus m o n efi
squalis angulo a c b : & utraque ipfa-
rum ab,mn inpundis et bifariam fecatur; funtcfianguli ad et redi, triangula igi-
tur o t n,c e b inter fe fimilia erunt.ergo ut quadratum n t ad quadratum t o,ita qua
dratum be ad ec quadratum.& cum tr fit squalis sx,&ro maior, quam sy; ha-
bebit or ad rt maiorem proportionem, quam ys ad sx.& per conuerfionem ratio
nis ro ad ot minorem proportionem habebit, quam sy ad yx:& antecedentium
dupla po ad ot minorem habebit, quam yy ad yx: diuidendoq; pt ad to mino-
rem, quam .^x ad xy.fed.ut pt ad to, ita quadratum tn ad quadratum to;& qua-
dratum be ad quadratum e cj& tranfuerfum latus ad rectum j& redangulum g^e
ad quadratum kf- ergo redangulum g k e ad quadratum k f minore habet proper-
j< tionem.
CONICORVM LIBER II.
66
tlonem,quam yx ad xy,hoceftquamre&angulum yxy ad quadratum xyqhoceft «decimi
rcdangulum nxm ad quadratum xy.fi igitur fiat,utred:angulum gke ad quadra-
tum kfjitaredangulum nxm ad aliud quoddannerit illud maius quadrato xy. fit
quadratum x u.ltaque quoniam ut g k ad k e, ita nxadx m:&funt k f,x u ad redos L
anguIos:&utredangulum gkc ad quadratum k djitaredangulum nxm ad quadra
tum xu.-erit angulus gfe aequalis angulo num.ergo maior efl: angulus nym, hoc
efl acb angulo gfe. qui uero deinceps eft,uidelicet 1 f h eflmaior angulo lch. non
igitur angulus Ifh angulo lch minor erit,
F E D. COMMAHDINVS,
Quoniam igitur utraque iplarum ae,eb eflmaior e c; angulus acb eflobtufus.]
Si enim ex centro e,& interuaUo e a defcribatur circulus a qb:& producatur e c ufque ad eius cir
cumferentiamin qlunganturq ; aq,qb: erit angulus aqb reflui . quare acb efl dbtufus .
Ergo acutus angulus lch & lfe:&propterea gfe obtulus erit,] Hoc idcirco dixit,
ut ex duobus angulis 3 quos diameter cum linea contingente efficit , acutum intelligcwins , non obtu-
fura , qui efl ex parte g. hac enim omnia f iquenti probi emati inferuire perfficuum ejl.
Non igitur angulus lbe aequalis eftipfi fea.J Quoniam enim line* bl,ef nonfunta-
quidiflantes,fi producantur, conuenient inter fefe: atque erit angulus fek exterior quolibet inte-
riore & oppofito maior, ex 16. primi elementorum .
Et ideo non efl ut quadratum b c ad quadratum e c,ita quadratum e k ad quadra-
tum kf.] GrtZcus codex corruptus efl, quem mos ita rcflitmmns . ovviapciisris 1 $ rochro'
Trpdf 17,10 diro' tu,T rpoV r ocino' v.{. xMlrif rc chrd £ t irpo$ r d diro 17 Tj' vito
*tJ2> iifo$ro' ohto i v, rrx i irhxyct Trpo $ tbv dpflfav, vxx to vno h v. t irpdfTo dnd v.{* ovuolpx
iVwtVTiVK »k tb k i.Sed tamen ante ea uerba.ovvjlbodcv) tVr,' v d »k th ks, uerifimile efl non nui
\a defiderari in hanc f 'mtentiam.non igitur efl, ut r efl; angulum g k e ad quadratum Kffita quadra
tum e K ad. quadrat utu kf. quare reflangulum gk e quadrato K e non efl aquale. Hac autemfna
gis perfpicuaejjent.fi hoc modo explicarentur. ergo triangulum cbe non efl ftmile triangulo fe k,
& ideo non efl ut b e adec,ita e k ad kf neque ut quadratum b e ad quadratum cc, it a quadra-
tum e k^ad quadratum Kf.fed ut quadratum be ad quadratum e c , hoc efl ut rcflanguhm aeb
ad quadratum e c,ita tranfuerfum latus ad reflum;& ut tranfuerfum latus ad reflumfita reflan-
gulum g k e ad quadratum k f.non igitur ut reflangulum g k e ad quadratum kf, ita efl quadra-
tum e K ad quadratum k f. quare reflangulum gke quadrato k e non efl aquale . ut autem re-
flangulum g k e ad quadratum k e, ita linea g k ad k e\. ergo linea g k non efl aqualis ipfl k e .
Secetur autem mn bifariamin f.] ifion enim punflum x cadit in medio linea mn,quem
admodum neque k in medio g e,cutn pfienfum fit g k non effe aqualem k c.
Itaque angulus mon eft aequalis angulo a c b:& utraque iplarum a b, m n in pun-
gis e t bifariam fecatur.]Po/i ea uerba defiderari non nulla uidentur,cuiufmodi hac fiunt, qua-
dre angulus ton efl aqualis angulo ecb.efi enim angulus ton dimidius anguli mon, & ecb di
midius ipflus- a c b\.
Et ro maior quam sy.] Efl enim linea op maior, quam y y:& ut op ad y y,ita ro di-
midia op,ad sy dimidiam y y.ergo r o maior er it, quam s y.
Et antecedentium dupla p o ad o t minorem habebit, quam ^y ad yx.] Fiat ut
ro ad 0 tfi.ta sy ad aliam, qua fit y ^ erit y ^ maior quam yx.ut autem po,ad ro ,ita yy ad
■s y. ex aquali igitur, ut po ad 0 t,ita yy ad y •g. fed y y ad y ^minorem habet proportionem ,
quam ad y x.ergo & po ad ot minoremproportionemhabebit,qudm yy ad y x.
Sed ut pt ad to,ita quadratum tn ad quadratum to.] Ex corollario iiigcfima fexti,
fmt enm tres linea pt,tn,to proportionales. ut autem quadratum t n nd quadratum t o,ita qua
dratum b e ad quadratum e cfioc efl reflangulum aeb ad quadratum e c, hoc efl tranfuerfum la-
tus ad reflum:& ut tranfuerfum litus ad reflum , ita reflangulum gKC ad quadratum kf. ergo
ut pt ad t o,ita reflangulum glLe ad quadratum k f.& propter ea reflangulum gke ad qua-
dratum kf minorem proportionem habet, quam yx ad xy.
Itaque quoniam ut g k ad k e,ita n x ad x m:& funt k f,x u adre&os angulos;& ut
redangulum gke ad quadratum kf, ita re&angulum nxm ad quadratum xu: erit
R &
ji. terti?
11. pnnn
B
C
J>
4 . fest!
i ,z. fexti.
zt. primi
femfes-
37. primj
huius.
f
G
I f . tertii,
if. quitl
H
8 . quinti
K
cor. S fe-
xti
31. i.hui’.
37 primi
huius.
.Texti
y. huius
34,pnnu
APOLLONII PBRGAE1
angulus gfe squalis angulo num.] Illuducro not hoc lemmate demonjlrabimus , quoniam
d ‘Pappo demonfiratum ejfe non apparet.
Sint triangula ab c,efg:& dufiis ad,eb perpendicularibus ad bafes hc 3 fg,fitutb d ad dc 3
itafh ad b g: Jitq; ut reU angulum bdc ad qua
dratum da, ita fbg redi angulum ad quadrat it a
h e. Dico triangulum cfb triangulo abd Jimile
ejfe : triaugulumq; ebgfimile triangulo ad c,
& triangulum e fg triangulo abc . Ojcon re-
enim e fi , ut bd ad d cfita fh ad bg; &- utiam
ad d cfita quadratum bd ad redi angulum b bd
ut autem f b ad hgfita quadratum fb ad dc:
£1 angulum fbg . ergo ut quadratum b d ad re-
di angulum b d cfita quadratum f h ad rcclangu
lum fb g.fed ut redi angulum bdc ad quadratu
d a fit a erat redidgulim fbg ad quadratum b e.
ex aquali igitur ut quadratum bd ad quadra-
tum d a, ita quadratum fh ad quadratum be.
quare ut lirtea bd ad d afitalinea f b adbe:&
eadem ratione demonstrabitur , ut linea cd ad
d a fila ejfe lineam gb ad be. Cum igitur circa
aquales angulos , uidelicet circa rectos, qui funt
ad db , latera proportionalia fint : triangulum
e h f Jimile erit triangulo adb;& triangulum
ehg triangulo adc. quare angulus feh aqua-
lis efi angulo b a diet angulus h eg angulo dac„
angulus igitur f e g angulo bac edi aqualis :&
ejiangtdus efg aqualis angulo abc: & angu-
lus egf angulo acb. ergo & triangulum efg
triangulo abc Jimile erit .quod oportebat de-
monjirare . £ b
PROBLEMA IX. PROPOSITIO LIII.
Data ellipf! contingentem lineam ducere, quae cum diametro per ta-
dum du&a faciat angulum dato angulo acuto aqualem. oportet autem
acutum angulum datum non elTe minorem angulo deinceps d , qui li-
neis ad mediam fedionem inclinatis continetur.
Sit data ellipfis, cuius maior axis a bjminor c d;& centrum e:& iungantur a c, c b .
datus autem angulus fit y, non minor angulo acg.quare& acb angulus non eft mi-
nor angulo <g. ergo angulus y uel eft maior angulo
acgjueiipfiiequalis.fitjprimumiequalisi&per e du-
catur ek ipfi bc a;qui diftans.-& per k contingens fe
dionem k h. Quoniam igitur a e eftxqualis e b:& ut
a e ad eb,ita af ad fc.-erit afipfifc a?qualis.-& eftK
e diameter . ergo qua: in k fedionem cotingit,hoc eft
h k g, x qui diftat ipfi a c,fed& e it a>quidiftat bg.pa-
rallelogramum igitur eft kfcg:&ob id angulus gke
angulo gcf ecqualis. angulus autem gcf eft ecqualis
angulo dato y.ergo& gke angulo y aquales erit.
Sit deinde angulus y maior angulo a cg. erit contra
angulus g minor acb an gulo. Exponatur circulus;
& ab eo auferatur portio m n p, ftifcipiens angulum
ssqtiaiem angulo g:5c mp bifariamfedain o 3 &per o ducatur nor ad rectos angu-
los
CON.ICORV M LIB. II. <? 7
losipfi mpr&Innganmr nin,np.angiilus igitur mnp minor eft angulo acb:angu-
li autem mnp. dimidius eft angulus mno:& anguli acb dimidius eft ac e.ergo mno
angulus angulo ace eft minor: &qu i ad eo anguli redi ftunt . quare linea a e ad ec
maiorem prbportionem habet, quam mo ad o n:& ideo quadratum a e ad e c qua-
dratum maiorem habet proportionem, quam quadratum mo ad quadratum on.
Sed quadratum a e aquale eft redangulo a e b: & quadratum mo squale redangulo
m o p,hoc eft ipfl 11 o r.ergo redangulum a e b ad quadratum e cftioc eft tranfuerfum
latus ad .pedum, maiorem proportionem habet,quam redangulum nor ad quadra-;
tum onjhoc eft quam linea ro ad on. Itaque fiat ut tranfuerfum latus.ad redum, ita
ad «?:& ag bifariam fecetur in cp. Quoniam igitur tranfuerfum latus ad redum
maiorem proportionem habet, quam ro ad o ndiabcbit & a. x ad x g maiore propor
tionequam ro ad o n:& componendo as ad $x maiorem habebit,quamr n ad no.
fit u circuli centrum, er
go <$£ ad gx maiorem
habet proportionem ,
quam u n ad n o . diui-
dendoqj cp# ad «$ maio
rem habet, quam uo ad
o n. flat ut 0 x ad x s , ita
u o ad minorem ipfa o n,
hoc eft ad oi.perq; i du
catur i x ipfi mp sequi-
diftans : & ducatur x s t
squidiftans nr , & u 4*
sqiiidiftans eidem mp .
erit igitur ut cp x ad x s ,
ita u o ad o i 8 c fis ad
s x: componedoq; ut cp g
ad gx,ks. 41 ad xs: & antecedentium dupla, ut ag ad gx,ita tx a dxs:& diuiden-
do, ut eo x ad x ^,hoc eft ut tranfuerfum latus ad redum, ita ts ad sx.iungantur mx
xp: & ad lineam a e, & ad e punitum conftituatur angulus aeK squalis angulo
mpx:&per k ducatur Kh fedionem contingens, &: k 1 ordinatimapplicetur. ita-
que quoniam angulus mpx aqualis eft angulo a e/g:& redus angulus , qui ad s,eft
squalis redo, qui ad 1. erit triangulum x s p fimile triangulo k 1 e ; & ut tranfuerfum
latus ad redum, ita eft ts ad sx, hoc eft redangulum tsx ad quadratum xs, hoc eft
redangulu msp ad quadratum xs. fimile igitur eft triangulum hl k triangulo m s x i
& triangulum hic e fimile ipfi mxp: &propterea angulus mxp eft squalis angulo
h k e: eft autem m x p angulus aequalis angulo mnp, hoc eft angulo aquare & hke an
gulus angulo eft squalis.angulus igitur deinceps gke ei, qui deinceps eft angulo y,
squalis erit, ergo duda eft linea gh fedionemcontingens,quscumdiametro k e per
tadum duda facit g k e angulum dato angulo y squalem . quod fecifle oportebat .
F E 1). COMMANDINVS.
D at v s autem angulus fit y non minor angulo a c g . quare & a c b angulus non
eft minor angulo ^ . ] Si enim angulus y fit aqualis angulo acg, & angulus a angulo acb
a quali * erit: fi nero y angulo a c g fit maior 3 erit minor ipfo a c b. quare [equitur angulum acb
non e fi e minorem, angulo g .
Quare linea a e ad e c maiorem proportionem habet, quam mo ad on.] Hoc
in undecimo lemmate Tappi demonfiratur .
Quam redangulum nor ad quadratum o n . ] Hac nos appo fuimus , qua in graco
ex emplari decfie uidebantur .
Ergo <p$ ad gx maiorem habet proportionem, quam un ad no.] Quoniam enim
a 9 ad gct maiorem proportionem habet , quam rn ad no: & antecedentium dimidia cpg ad gx
habebit maior em proportionem, quam un ad no .
B
1
3 j-. tertii.-
C
lem.init,
decimi
18. quit!
apud.Ca.
D
a*}. quiti.
apud.Ca.'
£
f
lem.sn iz
decimi
3 s- tertii.
G
\ \ '
A
B
C
D
APOLLONII PERGAEI
S Percg i ducatur ix ipfi m p aiqwdiflansi&ducaturxst atquidiffans nn&u.^ «-
quidiftans eidem m p.] Hunc locum ita, refiituimus 3 nam ingrato exemplari, ut opinor , nonnul
la defunt .
F Erit igitur ut <p « ad <x c,ita u o ad o i 3 & 4 s ad s x. ] Ejl enim 4 s aqualis u o y & s x
aqualis o i , propter ea quod paraUelogramma funt outps ,oixs .
G Simile igitur eft triangulum h 1 k triangulo m s x , & triangulum h k e fimile ipfi
m x p.] Hoc eodem modo dcmonfimbitur, quo ufus ejl Tappus in feptimo lemmate y nam retiangu
lum ble ad quadratum Ik ejl, ut tranfuerfum latus ad retium 3 boc efi ut reti angulum m sp ad
quadratum s x .
SECVNDI LIBRI FINIS»
um ■
, • .1 ' ' 68
PAPPI ALEXANDRINI
LEMMATA IN TERTIVM LIBRVM
CONIC0RVM APOLLONII.
LEMMA PRIMVM.
; . . g .... - }r
/ T defcripta figura abcdefg:&fit
b g xqudis g e . X>ico ef ipfi bc <e§A,t-
dijlantem ejje . \
Ducatur enim per a linea h^ asquidi-
ftans bc: & bft ce ad punda k h produ-
cantur. Itaque quoniam bg eft «qualis
g c; erit & h a ipfi a k «qualis . ergo ut b c
ad h a, hoc eft ut b e ad e a, ita b c ad‘ k”. a, 7
hoc eft cfad la.quare
e f ipfi bc eft«quidiftans.
; ; * * ■ ■’ - ;
COMMENTARIVS.
•Ol
' ' '\1 J 'i
•) ' is;
•• 9
flL • •• JtA
A B
i.fexti
Erit & h a ipfi a K «qualis . ] Ob fimilitudinem triangulorum b dg , fida: itemq, triangu-
lorum cdgjjda. eflenimut bg ad gd,itaka ad ad-.&ut dg ad gc, ita. da ad ab. ex aquali
igitur ut bg ad g eft a ka ad a h. Sed bg efi aqualis g c.ergo &k a ipfi a b aqualis erit
Ergo ut b c ad h a, hoc eft ut b e ad e a, ita b c ad k a, hoc eft c f ad f a . \ Smt.emrr\
triangula fimilia bec 3 aeb: & triangula bfcfkfa itidem fimilia .
14. quin-
ti
B
L. E M M~ A II.
p «W!.
4.
1. Texti.
■ 5 V»
‘A
. . 1 ■ J ‘ ‘ ‘ • \ • > • p* A*: ' * ' 1 l ' * - V .
Sint duo triangula a h cfi efiqua angulos a , d aquales habeant:^ fit rettan-
gulum b ac aquale reHangulo edf. c Dico triangulum triangulo aquale ejfe.
Dudis enim perpendicularibus bg,
e h, erit ut b g ad b a, ita e h ad e d.ergo
uc redangulum ex b g & a c ad redan-
giilum b a c,ita redangulum ex e h & d f
ad redangulum edf: permutando ut
redangulum ex bg & ac ad redangu-
lurnex eh & df, ita redangulum bac
ad redangulum edf. eft autem f edangu
Ium bac redangulo edf «quale . ergo
& redangulum ex bg & ac «quale re-
dangulo ex eh & d f.Sed rectanguli ex bg & a c dimidium eft ab c triangulurfi: A re 4 1 - F‘ mi
d anguli ex eh & df dimidium triangulum d e L triangulum Igitur ab c triangulo
def «qualeerit .Perfpicnum autem eft & parallelogranima ipforum dupla inter fe
«qualia eife. ■ bt ' J
•«-. • ; *-s *\ -••TViL r v '
f « ■ ' J -
COMMENTARIVS.
ALonO
B
«t
j-» « - < ■-> iiS\.
A
Ergo ut redangulum ex b g & a c ad redangulum bac, ita redangulum ex. e h
& di adredangulum edf.] Ex prima fexti . efimimreitangulnm : ex bg grac adrectan -
gulrnn bac 3 ut bg ad ba 3 quod eandem altitudinem habeant 3 uiddicet liceam ac, &fitnihter :re-*:
ii angulum ex eo & df ad reci angulum edf , ut eh ad e d. quare ex undecima quinti f equitur,
propofitum . * " " ' <>■' : ' 4 ’
- , PAPPI LEMMATA
LEMMA III.
Sit triangulum a b a& fit de ipfi bc aquidijhns . Vico
ut quadratum ab ad quadratum a dflta ejfe triangulum ab c
ad triangulum ad e .
Quoniam enim triangulum abc firtiile eft triangulo a de, ha-
1 9.fexti bebit abc triagulum ad ipfmn a d e duplam proportionem eius,
*o. fextl . qu« eft b a ad ad. Sed & quadratum ab ad quadratum ad du-
* x. quinti piam proportionem habet eius , qua: eft b a ad a d . ergo ut qua- y
dratum ab ad quadratum ad, ita erit abc triangulum ad trian-
gulum ad e *
V • 4: V L E M Mq A III I.
. • ■ " _ r ; j* v v ■> d m f t • • . "• . ; j U • .
Sint linea ab,cd inter fe aquales , ig fumatur quoduis punfiu m e. Vicore-
tilangulum teb fuperan refiangulum cab, refiangulo dea .
Sccetur enim b c bifariam iri £ ergo punctum f lineam quoque a d bifariam fec at.
s» fecudi. & quoriiam redangulum ceb una cum bf quadrato «quale eft quadrato ef.re&an-
gulum autem dea una cum quadrato a f «quale eft qua
drato ef: atque eft quadrattim a f 'aequale rectangulo
cab una cum bf quadrato: commune auferatur qua- e ^ 1 > f f f
dratum b f . reliquum igitur rectangulum ceb «quale
eft rectangulo cab una cum rectangulo dea. quare
ceb rectangulum fup erat rectangulum cab, ipfo d e a rectangulo . quod demon-
ftrare'dportcbat r
C O M M E N T A R I V S.
a
Commune auferatur quadratum bf.] [Sequitur enim ex iam dictis refiangulum ceb
una cum quadrato b f aquale e fle refiangulis dea,cab una cum quadrato bf.
4 * vV ; ■ , \ L E M. M A V.
' i '•'cC* ' " * " ’ > '
Si\uero punflum e fit inter a & b, refiangulum
ceb minus efl , quam refiangulum c a bycodem ipfo fla- ■ — 4-i — K - — i }
tiOy uideheet refiangulo de a,quod fimili ratione demon-
Jlrabitur .
COMMENTARIVS,
i. fecudi' Quod fimili ratione demonftrabitur . ] Efl enim refiangulum cab und cum bf quadra -
H to aquale quadrato a f; & refiangulum de a und cum quadrato e f aquale efl quadrato af . qua-
dratum uero ef efl aquale refiangulo ceb, und cum bf quadrato . ergo refiangulum cab und
cum quadrato bf aquale e fi re fi angulis dca,ceb und cum quadrato bf.de dempto communi qua
drato bf, relinquitur refiangulum cab aquale refiangulis de a, c eb . refiangulum igitur ceb
minus efl, quam refiangulum c a b, refiangulo dea.
LEMMA VI.
Quod fi e punflumfit inter b & c } eadem ratione
refiangulum ceb minus efl y quam refiangulum a e d, b fec d
refiangulo abd ,
66
IN LIB. III. CONICORVM.
C O M M E N T A R I V S.
Nam cum reElanguhm. aed una. cum quadrato ef aquale fit quadrato a f-.rect angulum ue - s ' * ec ^ i
ro abd und cum quadrato bf eidem quadrato af jit aquale ; & quadratum bf aquale r octangu-
lo c c b und cum ef quadrato : dempto communi quadrato e f, fequitur reXangulnm aed aquale y
effer eXangulo abd und cum redi angulo ceb. ergo ceb reci angulum minus efl, quam redi angu-
lum aed, reciangulo ab d.id quod demonflrandum proponebatur .
L E M M A V I I. Vv
Sit linea a b <equalis ipfi b c; <3 duo punSia d e /rimantur. "Dico quadratum
ab quater fumptum aequale ejfe reSlangulo adc bis
una cum reflangulv aec bis,& quadratis d b,b e bis * ,
■ . . a l l e f.
Hoc autem perfpicuum e/1, quadratum enim ab bis > *— — — < * — i -
fumptum propter bipartitas fe&iones «quale e/1 re<5tan- ^ J de C yfecudi.
gulo adc bis , & quadrato d b bis . Itemq; quadratum v c. . . ,
a b bis e/1 aequale redlangulo aec bis , & bis e b quadra-
to . . ,
LEMMA VIII.
Su linea ab aequalis ipfi cd: fumatur pwStum e. THco quadrata ae,ed
aqualia e [fi quadratis b e, e c, <& refiangulo aed bis fumpto .
Secetur bc bifariam in f. & quoniam quadratum df
bis fumptum squale e/1 redlangulo aed bis, & bis quadra
to cf appofito communi quadrato e f bis; erit reftangu- e *
1
t ii *j
f 5
- - f » m j
l
lum aed bis , una cum quadratis c f fe bis , squale qua-
dratis d f , f e bis fumptis. fed quadratis df.fe bis fumptis #
b e f c
d
«qualia funt quadrata a e, e d. quadratis autem cfife bis
fumptis aequalia funt b e, e c quadrata . quadrata igitur i
r <
b
i i »
f
i 9.&io.fe
d. eundi.
a e, e d squaliafunt quadratis be,ec,& redangulo aed
bis fumpto .
A
LEMMA IX.
Sit reftangulum b ac und cum cd quadrato aequa-
le quadrato ad.Dico cd ipfi db aequalem effle . <t e d t
Commune enim auferatur quadratum cd. erit reli-
quum , quod continetur ac,db squale re&angulo dea.
squalis igitur e/1 d c ipfi d b .
COMMENTARI V S. ' u r ' ^
* $ ^\fy
Hoc lemma efl ueluti conuerfum fexta propofitionis fecundi libri elementorum , in cuius de-
monjl ratione cum non nulla defiderari uideantur , nos planius & apertius explicare lentabimus j>
hoc modo .
Commune auferatur quadratum cd.erit reliquum reelangulum bac aequale reciangulo dac ,
und cum reU angulo dea. efl enim ex fecunda propofitione fecundi libri elementorum quadratum
ad aquale reU angulo dac und cum redi angulo a d c, hoc cft und cum reEt angui o d c a, &• quadra
to id ex tertia eiufdem. Sed ex prima rebi angulum bac aquale ef reciangulo dac una cum eo,
quod bd & ac continetur, quare rurfus ablato communi rebhangido dac , relinquitur r exangu-
ium contentum bd & ac aquale reciangulo d c a. a qualis igitur ef linea c d ipf d b . *. f c «J
S
PAPPI LEMMATA
LEMMA X.
SiiYettangulum acb una cum quadrato cd tcquale db quadrato . T) ico li-
neam a d ecqualem ejfe db .
Ponatur ipfi cd squalis de.ergo re&angulum cb e una
cum quadrato d e,hoc eft quadrato c d, squale eft d b qua-
drato: hoc eftre&angulo acb una cum quadrato cd.qua- * € . d e v
j.fextu' rere&angulum cbe eft squale re&angulo acb:&propte-
rea linea a c squalis ipfi e b . fed & c d squalis eft de. tota
igitur ad toti db eft squalis.
C OMMENTARIVS.
O * * p.
Hoc lemma conuerfum efl quinta propofitionis fecundi libri elementorum .
Quare rcftangulum cbe eft squale re&angulo acb . ] ISfempe ablato communi ni -
dejicet c d quadrato . N
v y
LEMMA XI. j
Sit rurjus reSlangulum bac una cum db quadrato oequale quadrato ad. Di-
co lineam c d ecqualem ejfe d b .
Ponatur enim ipfi d b squalis a e. & quoniam redangulum bac una cum quadra
to db,hoc eft cum quadrato e a, squale eft quadrato ad:
A commune auferatur re&angulum da c. ergo reliquum, « * c d l
quod bd&ac continetur, uidelicet recfcangulum eae 1 1 ~~ i ■
g um cum quadr-ato c a, quod eft redlangulum c e a,squale
C eftipfi ade re&angulo. quare linea ea,hoceft bd ipfi dc eft squalis.
C O MMENTARIVS.
A Commune auferatur reftangulum d a c . ] Ejl enim rettangulum bac aquale reUangu-
t.fecudi lo da c,und cum eo, quod bd& ac continetur, quadratum uero a d aquale rettangulo d a c, una,
j.fecudi . cum reEtangulo ade .
Quod eft re&angulum c e a . ] Ex tertia f xmuii libri elementorum .
'C Quare linea c a, hoc eft b d ipfi d c eft squalis .J Hoc nos demonjlrauimus in commen-
taris mfextam decimam fecundi huius .
LEMMA XII.
Sit retta linea ab, in qua fumantur tria funSla ede, ita ut be fit aqualis
rettangulum aed ecquale quadrato c e. Dico ut b a ad ac, ita ejfe b d
ad dc.
Quoniam enim redangulum aed squale eft quadrato cl ede J,
A B 'Cejeritut a e, ad ec,ita ce ad e d. quare per couerfionem * — *
rationis; antecedentibusq; bis fumptis ; & diuidendo , ut
ba ad ac,itaerit bd ad dc.
COMMENTARIVS.]
i e
Ho c lemma, & quod [equitur in gr acis codicibus corruptijfima erunt, qua nos ita reflituimus .
A Erit ut a e ad e c,ita c e ad e d . ] Bac nos addidimus perfticuitatis cauffa 3 ingraco enim
-codice
7 o
IN II B. III. CONICORVM
codice tantum legitur *Vao70V .
Quare per conuerfionem rationis, antecedentibusq; bis iumptis, & diuidendo, ut B
b a ad a c,ita erit b d ad d c . ] : Quoniam enim ut a e ad e c,ita ce ad e d, erit per conuerfio-
nem rationis ut ea ad ac, it a ec ad cd;&* antecedentium dupla, ut ba,ac ad c a, it a bc ad cd‘>
eji enim b c ipftus c e dupla . ergo diuidendo ut b a ad a c,ita efl bd ad dc.
LEMMA XIII.
i / ' ~ : ( ■ • •• ' . . ' ->■ - - i - .
Sitrurfm retlangulum bcd aquale quadrato ce,<& ac ipfi ce 4 qualis* Vi-
co retlangulum ab e ce quale ejfe reti angulo cbd.
Quoniam enim re&angulum bcd quadrato ce efl
acquale,ut bc ad ce,hoceftad ca,itaerit ce,hoceft ac ad <1 e de I>
c d &tota ad totam ;& per conuerfionem rationis: &/pa~ 1 — 1 — 1 1
tium /patio «quale . ergo re&angulum ab e «quale eft
cbd redtan gulo. Sed illud etiam conflat , re&angulumfcilicet ade ipfi bde «qua- g
Jeefle. fi enim a quadrato ce & a re&angulo bcd auferatur commune quadratum
c d,qu« relinquentur aqualia erunt .
COMMENTARIVS.
Et tota ad totam , & per conuerfionem rationis :& /patium /patio «quale. ] Quo- ^
niam enim efl ut bc ad ca,ita ac ad c d: erit componendo, ut tota ba ad ac, hoc efl ad totam ec,
ita pars ad ad partem dc. ergo reliqua bd ad reliquam de, ut b a ad ac : &per conuerfionem t y, quiti.
rationis db ad be,ut ab ad bc.retl angulum igitur ab e reti angulo cbd efl aquale. if» • fextl.
Sed hoc etiam aliter demonfirarc poffumus . nam cum linea a e bifariam fecetur in c , atque ipfi
addatur e b-, erit reti angulum ab e una cum ec quadrato ecquale quadrato cb.fed eidem cb qua <s-f ecutii -
drato ecqualia funt utraque retlangula cbd,bc d. retlangulum igitur ab e una. cum quadrato ec x
aquale efl reci angulo cbd und cum retia gulo b c d. quare fiublato quadrato ec ex altera par t e, &
ex altera retlangula b c d , quee inter fe ecqualia funt ; [equitur reci angulum abe reti angulo cbd
aequale effe .
Sed illud etiam conflat, re&angulum fcilicet ade ipfi b d c «quale efle. ] Cum enim B
a c fit ecqualis c e, reti angulum ade und cum c d quadrato ecquale efl quadrato c e.fed reti angu-
lum bde und cum quadrato cd efl aquale reti angulo bcd, hoc efl quadrato c e . quare fiublato
communi quadrato c d, relinquitur reti angulum ade rettangulo bde ecquale .
iALIT E\ quoque idem demonftrari potefl hoc patio. Quoniam ut tota ba ade c,ita efl pars
ad ad dc-, erit & reliqua bd ad de, ut ad ad dc: &propterea retlangulum ade aquale re -
fecudf
ttangulo bde.
i 6 .f«xtfr
LEMMA XIII I.
In duas aquidijlantes ab,cd per idem puntlum e ireshne<e ducantur aed,
b e c,feg. Vico ut retlangulum aeb ad retlangulum afb, ita ejfe retlangulum
ced ad cgd retlangulum .
Hoc per compofitatn proportionem manifeflum efl . ut
enim a e ad e d,ita efl a f ad d g:& ut b e ad e c,ita f b ad g c:
& componuntur ex his proportionibus /patia . conflat igitur
p ropofitum . Sed licet & aliter demonflrare ab/que compo
fita proportione hocpa&o . Quoniam enim ut a e ad eb,
ita efl de ad e c; erit reftangulum aeb ad quadratum eb,
utre&angulum dec ad quadratum e c.ut autem quadratum
eb ad quadratum bfiita quadratum ec ad cg quadratu.qua
reex«qualiutreelangulumaeb ad quadratum b fjitaredtan
gulumdec ad quadratum cg.fed ut quadratum bf adre&agulu bfa,ita quadratum
S a
PAPPI L E M : MI A T
y\ i
fi
cg ad re&angulum cgd.exxqualiigiturutredangulum aeb ad redtangulum afb*'
itaredangulum ced adre&angulum cgd.
i; _ ' „ i. . ' , .. . >
COMMENTA Rlti ,
o a* i>\ uta.. ji- v.ii a ‘ii :
Hoc per compofitam proportionem manifeflum efl . ] Cum enim linea ab,cd inter
fe aquidiflent 3 erit a e f triangulum fimile triangulo 4 egi & t$angj$lim fe b fimile ipfi g e c.qua
reut ea ad af 3 ita ed ad dg:&iit eb ad b f,ita ec ad cg. proportio autem rebtanguli aeb ad
vcbl angulum afb componitur ex proportione ea ad a f\& proportione eb ad bfi & proportio
retlanguli ced ad reUangulum cgd componitur ex proportione ed ad dg 3 & proportione ec ad
€g . quare cim proportiones ex quibus componuntur 3 eadem fint , [equitur reU angulum aeb ad
afb rettangulum itaeffe, ut reUanguhm ced ad reUangulum egd.
I 3 *>' I:;. -as. Ci. : 'J '•■'sZ . -ii: ... t.
: . •> i;;r
muismrnJ
G
c :j
A
-» r
A POLL O N I I PERG AH I
C ONICORVM LIBER III.
CVM COMMENTARIIS EVTOCII ASCALONITAE,
ET FEDERICI COMM ANDINI.
THEOREMA I. PROPOSITIO I.
I coni fe&ionem , ucl circuli cir-
cumferentiam rete linea? contin
gentes inter fe conueniant: & per
rates ducantur diametri, qua? co
tingentibus occurrant : triangula
ad uerticem fada fibi ipfis a?qua-
lia erunt.
Sit coni fe&io , uel circuli circumferentia a b ; quam contin-
gant re<3:« linea: ac,bd conuenientesinpun&o e:&pertadus
a,b diametri fe&ionis c b,d a ducantur, quse contingentibus oc
currant in pundis cd. Dico triangulum ade triangulo ebear-
quale efle.ducatur enim a pun&o a linea afipfi bd sequidiftas,
qu« ordinarim applicata erit .* & in parabola quidem parallelo-
grammum a b d f «quale erit triangulo a c f. quare ablato com-
muni a e b £ triangulum ade, quod relin qui tur, «quale eft triangulo cbe.
In alijs uero conueniant diametri in centro g.& quoniam ordmatim applicata eft B
ab& ac fedhonem contingit ; re&angulum fgc «quale eft quadrato bg.ut igitur
fg ad gb,itaeft bg ad gc. quare ut fg ad g c, ita quadratum fg ad quadratum gb.
fed ut quadratum ig ad quadratum gb, ita triangulum agf ad triangulum dgb: .
& ut 1 g ad g c , ita triangulum a g f ad triangulum age. ergo ut triangulum a g f ad 1 ’ *
triangulum a gc,ita triangulum agf ad triangulum d g b . 2c propterea triangulum
age triangulo dgb eft «quale. Comune auferatur a g b e . reliquum igitur triangu- ^quinti
lum a e d reliquo c e b «quale erit « D
/• a
Tertius conicorum liber, amiciffime ^Anatk emi, dignus ab antiquis exiflimatus ejljin quemmul
tumjludij,ac diligentia conferretur:id,quod uaria ipfius editiones oflendunt .fed neque epiflolam
habet, quemadmodum alij libri,neque commentarios in ipfum dotli alicuius uiri ex ijs,qui ante nos
fuerunt ,quanquam in eo multa fint cotemplatione dignijjima; ut ipf e ^Apollonius in prooemio totius
libri afferit. omnia autem d nobis manifefte explicata funt t ac demoHrataex procedentibus libris *
APOLLONII PERGAEI
& commenta rij i, quo s in ipfos confcnp fimus . Inuenitur etiam alia demonjlratio , in parabola
quidem, huiufinodi.
E Quoniam ac fe£Honemcontingit,&ordinatimapplicataeft a£erit& cb aqua-
§4. primi, lis bf:& bfipfi ad.ergo ad, cb in ter fe aquales funt.fed& aquidiftantcs . triangu-
F Ium igitur a d e aquale eft,& iimile triangulo e b c.] In alijs uero hocpabto.
G H Iunganturab, cd:& quoniam ut fg ad gb,itaeft bg ad gc:&ut fg ad gb 3 ita ag
K ad gd: eft enim af ipfi db aquidiftans.ergout bg ad gc,ita ag ad gd:& propter-
L ea a b aquidiftat ipfi c d. triangulum igitur a d c aquale eft triangulo b d e : & com-
M muni ede ablato, relinquitur triangulum ade triangulo cbe aquale.
Hoc theorema in parabola quidem, & hyperbola non habet cafus : in ellipji uero , & circuli cir-
cumferentia duos habet: fiquidem contingentes linea in tattibus dumtaxat diametris oc currunt :
& ipfis prodidtis uel occurrunt ,ficuti in propofita figura , uel ad alteras partes , in quibus eft e ,
quemadmodum & in hyperbola .
F I I). C O M M A N D I N V S.
A Et in parabola quidem parallelogrammum abdf aquale erit triangulo a c f.] Ex
42 * . primi huius .
B Et quoniam ordinatim applicata eft a £ & a c fe&ionem contingit : re&angulum
fgc aquale eft quadrato bg.] Ex 37.; primi huius.
C Sed ut quadratum fg ad quadratum gb,ita triangulum agf ad triangulum d g b]
Ex tertio lemmate “Pappi .
D Commune auferatur a g b e. reliquum igitur triangulum a e d reliquo c e b aqua
le erit.] In ellipji quidem & circuli circumferentia ablato, uel addito communi agb e,fed in hy-
perbola, ablato communi decg fequitur illud, quod propofitum e fi ; uidelicet triangulum aedtri -
angulo btc aquale effe.
IN ALIAM DEMONSTRATIONEM,
QJV AE AB E V T OCIO PONITVR.
E Erit & c b aqualis b f.] Ex 35. primi huius.
E Triangulum igitur ade aquale eft,& iimile triangulo c b c.] Ejl enim ex 2 9. primi an
vulus d aqualis angulo b:& angulus a angulo c: fiunt q; anguli ad uerticem aquales : triangula
igitur aqualia & Jimilia erunt .
G Et quoniam ut fg ad g b 3 ita eft b g ad g c.] Efi enim reffangulum fg c xquale quadra-
to bg exyj. primi huius .
H Et ut fg ad g bjita a g ad g d .] Ex quarta fexti,quod triangula agf, dg h Jimilia fiunt .
K Etpropterea a b aquidiftat ip ii c d.] Igam cum fit ag ad g d 3 ut bg ad gc 3 ent permu-
tando
CONICORVM LIBER Iit
tando cg ad gd,ut bg ad ga: & funt circa eofdem,uel £ quales angulos Utera proportionalia. € :
ergo triangulum cgd fvmile efl triangulo, bg a: & angulus gdc angulo gab aqualis . lineaigi - ^ pnusl
tnr dc linea ab efl aquidiflans. fed illud etiam po [fumus ex primo, lemmate Tappi demonflrare .
iundtaemm ge lineam ab bifariam fecabit ex 30.. fecundi libri huius. quare & ipfam cd x cxde-
monflratis in fextam propofitionem primi libri huius .
Triangulum igitur ade squale eft triangulo b d c .] Ex $7. primi elementorum . t
Et communi ede ablato, relinquitur triangulum ade triangulo cbe squale.] M
Verum efl hoc in hyperbola quidem femper , in dlipfi uero. & circuli circumferentia in uno tantum
cafu.ntmin altero cafu ablato communi cgd>& communi aeb addito J equitur triangulum ade
aquale effe triangulo cbe .
r
THEOREMA II. PROPOSITIO II. ,
lifdem pofitis fi in coni fe&ione, uel circuli circumferentia fumatur
aliquod pun&um:& per ipfum arquidiftantes contingentibus ufque ad
diametros ducantur: quadrilaterum facium ad unam contingentium ,
& ad unam diametrorum, cequale erit trian gulo , quod ad eandem con-
ti n gentem, &: ad alteram diametrum conftituitur;
Sit coni feitio, uel circuli circumferentia a b, qua contingant re&s lines a e c,b e a:
& diametri iint ad, befumpto autem infeCtione punCto g,ducatitur gkl,gmfcon
tingentibussquididantes.Dicotriangulu aim squale effe quadrilatero. clgi. Quo
nianienimoltenfumeft gkm triangulum squale quadrilatero al> commune appo-
nacur,uel auferatur quadrilateru i k. ergo triaugulu ai m quadrilatero c g eft squale.
\\
\
’ APOLLONII P E R G AE I
E V T O C I V S.
Ccifus huius theorematis imementur per quadr agefimim fecundum , & quadragefimum terti »
theorema primi libri, & per commentarios, quos in ed corifcrip fimus . oportet autem fcire , fi pun~
Sium g inter ab fumatur, it a ut aquidiftantes fint deb,mgf,itemq- y aec ,h K g i, & protrahatur
l k ufque ad jectionem in n-.&per n du-
catur n xipfi' b d aqnidiflans :ex.ij s ,qua
tradita fiunt in theoremate quadragefimo
nono,& quinqiiagcftmo primi libri, & in
ipfis commentarijs-.erit triangulum k nx
Aquale quadr Hat ero fic.fed triangulum
knx fimile e fi triangulo k gm, cum mg
aquidiftans fit n x. eft autem & aqudlc,
quoniam lim,a contingens e fi ac, cui re qui
difiat gn: & diameter efi m x:& n f ae-
qualis. kg\. Quoniam igitur triangulum Knx aquale efi quadr Hat ero K.c ,& triangulo fg m ;
communi ablato a g, reliquum triangulum aim reliquo cg quadrilatero aquale erit.
: . THEOREMA III. PROPOSITIO III.
lildem pofitis li in coni fe&ione,uel circuli circumferentia duo pun
&afumantur$& per ipla ducantur aquidiftantes contingentibus ufque
ad diametros:quadrilatera,qua* ab ipfis fiunt, in diametris conftituta, in
ter fe arquafia erunt .
Sit coni fe<ftio,uel circuli circuferentiadineaq;
continge ntek,& diametri, fituti didium eft.-& fum
ptis in fe&ione duobus pundtis f g, ducantur per
1 quidem linea? contingentibus aquidiftantes fh
^l,nf,i m.-per g uero ducantur ngxo,ghpr.Di
co quadrilaterum 1 g quadrilatero mh,& quadri
laterum ln ipfi rn aquale efte. Quoniam enim
antea demonftratum eft triangulum rpa aequale
quadrilatero gc. & triangulum aim quadrilate-
rocfteft autem arp triangulum maius, quam tri
angulum am i, quadrilatero p m : erit& quadrila
terum cg maius,quam cf, eodem p m quadrila-
tero : &' propterea quadrilaterum cg aquale eft
quadrilateris cf,pm;hoc eft ipfis ch,r£commu~
ne auferatur c h . reliquum igitur quadrilaterum 1 g aquale eft reliquo h m . quare &
totum ln toti rn aquale erit.
75
CONICORVM 1 I B. II I.
A
C
D
B
E V T O C I V S.
Hoc eheoremaplures cafus habet, quos ut in antecedente inueniemiis.fed animaduertendim efl
duo punEla,quafumuntur,ueleff f inter duas diametros, uel extra, & ad eafidem parte s . nam fi al-
terum quidem extra fumatur, alterum uero infer diametros, non confhtuentur quadrilatera,de qui
bus in propofitione alcium efhfed neque ad utra/ 'que diametrorum partes confhtuentur .
' * •
THEOREMA XIII. • PROPOSITIO III I.
Si oppofitas fe&iones dux reda? linea? contingentes inter fe conue-
nianr, & per tadus ducantur diametri contingentibus occurrentes:
triangula, qua? ad contingentes conflituuntur,fjbi ipfis arqualia erunt.
Sintoppofitsfeeliones ab, quas con tingant re&s lines ac, b cinpundto c con-
uenientcs:Etq; lectionum centrum d;&iundtis ab, cd produ
catur cd ufqucad e iungantur etiam ad,bd, &ad jfg produ
cantur . Dico triangulum a g d aquale ede triangulo b d f: &
acf triangulum triangulo b cg. Ducatur enim per h contin-
gens febbonem hl, qusipli ag squididabit. & quoniam ad
squalis ed d h , erit a g d triangulum squale triangulo h 1 d .
ftd & triangulum d b 1 squale ed triangulo b d f. ergo & trian
f uium a g,d triangulo b d £ & propterea triangulum acfipli
cg ed squale.
E y T O C I V S.
• ’ ' ' ‘fi Ap • •••• f
I n propofitione huius theorematis, & eorum qurc fequuntur,oportet fcire , Apollonium inde-
terminate dicere oppoftas fehtiones. & nonnulli, quidem codices habent duas contingentes in una
fehtione: n o nnulU ues o non duas contingentes in una,fed fingulas in utraque feShone contingentes,
qua inter fe conuer.iunt ( uti dictum efl in fecundo libro) in angulo , qui deinceps ef angulo afiym -
ptoton.&itu euenimt ea, qua in propofitione dicuntur. licet aut em ii s, qui nolunt hoc ex deferiptio
nibus co fiderare.quanquam fi unam quidem f e titionum dua retia linea contingant , qua perpun-
ctum in quo conueniunt,&’ per centrum ducitur lineatranfuerfa diameter efl -fi uero utranque fe-
lllonem jingula linea contingant , qua per dittum punctum & centrum ducitur, rebta efl diameter
oppo fit arum fdiionmi .
F E D. COMMANDI NVS.
Qus i pii ag squididabit .] Ex ijs , qua ab Eutocio demonflrata fiunt in quadragefimarrt A
quartam p,- imi huius .
j. t quoniam ad ed squalis dh.] Ex trigefima primi huius . B
Lnt agd triangulum squale triangulo hld.j TS[am cum linea ag,hl inter fe aquidi C
fient arn angulus agd aqualis angulo hld:& anguli qui ad d aquales fuut ; quare & reliquus primi.
aqualis reliquo triangulum triangulo fimile.ut igitur a d addb,ita gd ad dl, & ag ad hl. 1 i
ftd ud eji aqualis dh.ergo &■ gd aqualis dl,& ag ipfi h l:& idcirco triangulum agd trian
gulo bid aquale erit .
Sed A triangulum dh 1 squale edtriangulo b df.] Demonflratum esi hoc in prima D
* propofitione huius libri .
THEOREMA V. PROPOSITIO V.'
Si oppofitas fedi on es dua? reda? linea? contingentes fibiipfis occur-
rant : & sn qua uis fedionum aliquod pundum fumatur , a quo ducan-
tur dua: linea?, unacpiidem contingenti atquidiftans, altera uero a?quidi
propofv
32-
APOnONII PEKGAE I*
flans ei>qua? ta&us coniungit : triangulum,quod ab ipfis collituitur ad
diametrum per occu.rfum du&am , a triangulo , quod eft ad occurfum
contingentium>difFert triangulo fatfto ad contingentem &ad diame-
trum,qux per ta&um du<fta tiierit.
Sint oppofirx Tectiones ab,quarum centrum c;&line$ contingentes fint ed s d£
quajfibiipfisoccnrrantin diundtaq; ef &cd;ac prodii
ctapungantur fc,ec,& producantur : infectione autem
fumatur aliquod pun&um g;per quod ducatur gkhl
afqtiidiftans e'F,& ; gm abquidiftans d f. Dico triangulum
^ gh m a triangulo h k d differre triangulo klf. Quonia
enimofienfa eft cd diameter oppofitarum fedtionum ;
& e f ad ipfam ordinatim applicatur : & g k h 1 quidem
g ducitur a?quidiftans e fi m g ueroiequidiftans dftrian-
guiu m g h a triangulo c 1 h differt triangulo c d f. qua-
re m g h triangulum a triangulo K h d differt triangu-
lo k fl. -v
; Conftat igitur triangulum K f 1 quadrilatero m g K d aquale efte.
'J 5 v • - ' \ — * J. ■ :
' E V T O C I V S.
Quintum theorema manifeftnm eft. Ferum in figura quidem, qua unam diametrum habet, uide-
licet rebtam ita dicemus. Quoniam oftenfim eft triangulum g h m maius effe,quam triangulu ci h ,
triangulo c df; erit triangulum g h m triangulo chl,& triangulo c df ecquale . ergo & ecquale
triangulo k d hund cum triangulo fl k. triangulum igitur gmh d triangulo k d h differt trian-
gulo k l f. commune auferatur triangulum hd k .quare reliquum klf triangulum ecquale eft qua
drilatero k d m g.
A Quoniam enim cd oflenfaeft diameter oppofitarum fedtionum .] K[am in primo
cafiu,cmi f edicet duee lincec contingunt utramque fdtionem , erit c d diameter reffa : quod elicitur
ex trigefima oitaua & tngefima nona fecundi libri huius . In fecundo autem cafu quando dux li-
nex aueram tantum fictionem contingunt, diameter erit tranfuerja, quod apparet ex uigefima no-
na %r. trigefima eiufdem.
Tnan-
74
CONICORVM LIBER, IU
Triangulum mgh d. triangulo clh differt trian-
gula c d f.] Cojlat hoc in primo cafu ex quadragefima quin
tcLprimi huius, fed in altero cafu hac modo demonfirabitur .
Ii fidem. enim manentibus , qua in figura , d uertice fieUionis
linea a n ordinatim applicetur 3 quaipfam fcinpimbto n fe
cet. triangulum igitur mgh d triangulo clh differt , trian-
gulo c n a 3 ex quadragefma tertia primi huius, fed triangu-
lum cdf triangulo cna efl aquale 3 ut oflenfum efl in qua-
dragefma tertia primi libri huius x ,in fecunda demon fratio-
ne 3 qua ab Eutocio c&nfcribitur . ergo triangulum mgh 1
triangulo clh di fert triangulo cdf.
c
B
THEOREMA VI. PROPOSITIO VI. X \
lifdem pofitis (i in unaoppafitarum fedi°Hurn aliquod pundum fu-
matur:& abeo ducantur reda? lineae contingentibus arquidiltates^quae
Sc contingentibus, Sc diametris
occurrant:quadrilaterum ab ip-
fisfadum ad unam contingen-
tium,^ ad unam diametrorum.
teram diametrum conftituitur.
Sintoppofit*fediones,quaru-dia- yr aN.
metri aec,b ed. &fedionem ab con f
tingant red* line* a f, b g cqnuenien /gyi
tesinterfeinpudoh.-fumaturautem / x
aliquodpundum k mTedione^aquo
«quidiftantes contingentibus ducantur k 1 m, k n x . Dico quadrilaterum k f *quale
die triangulo a i n. Quoniam enim oppofit* fediones funt a b c d : & fedionem a b
contingit reda linea af,ipfi bd occurrens : &duda eft k I «quidiftans af: triangu-
lum ain quadrilatero ki «quale erit.
FED. COMMANDINVS.
Triangulum ain quadrilatero k f «quale erit .] In figura enim t qua hic apponi folet 3
mdeheet habente punitum k infieElione ab ;quanquam ad fie-
i.kuiut
4 huiu*
l.buiu»
i
1
APOLLONII P E R G AE I
THEOREMA VII. PROPOSITIO VII.
Iifdcm politis fi in utraque fe&ione aliqua puncta fumantur: Sc ab ip
fisducanturiinex contingentibussquidifiantes, qua: Sc contingenti-
bus,& diametris occurrant : quadrilatera a lineis dudis eonfiituta ad
diametros, inter fe aqualia erunt .
Ponantur enim eadem, qus fupra: & in utraque fe&io-
nepundta K\ fumantur : per qus ducantur mkpr^,nst
1 no ipfi a f squidiftantes:& n i o k x,\ (p y 1 4- squidiftantes
b g. Dico ea euenire,qus in propofitione di&afunt . nam
t. huius . cum triangulum a o i quadrilatero r o squale fit,commu
ne apponatur eo. erit totum triangulum aef squale qua
drilatero k e. eft autem & bge triangulum quadrilatero
1 e quale: & triangulum a e f triangulo b g e.ergo & qua-
drilaterum 1 e squ ale eft: quadrilatero ikreoommuneap
ponatur ne.totum igitur tk toti il:& ky ipfi rl aquale
erit,
F E D. COMMANDINVS.
Eft autem & bge triangulum quadrilatero le squale.] Hoc nos demonjlrauimus in
antecedente } fed cum triangulum af e Jit aquale quadrilatero l e, quod etiam demonjlrauimus , for
tajfe licebit Hlud } quodpropofitum ejl expeditius o flender e ab fque triangulo b g e . Quoniam enim
triangulum aef aquale ejl quadrilatero ke:& ejl aquale quadrilatero l e,ent ^quadrilaterum
l e ipfi ke aquale:& communi appofito nepotum f k toti U-.& totum Ky toti rl aquale erit ,
. . • . * t /#
THEOREMA VIII. PROPOSITIO VIII.
t' #'
lifdem pofitispro pundis id fumantur c d,in quibus diametri cum
fedionibus conueniant Sc per ipfa contingentibus aequi di flantes du-
cintuf.Dico dg qua-dtiUterum quadrilatero fc:& quadrilaterum xi
quadrilatero t o ecquale cfle.
A B Quoniam enim triangulum a g h oftenfum eft squale triangulo b h f: & linea, qua:
4.1exti apundo a ducitur ad b'sqM'diftatlines apundtog ad f du&s.-eritut ae ad eg,ita
bp ad . e.f:&.per connekfionem rationis , ut ea ad ag,ita eb ad bf.eftautemut qa
ad a e,ita d b ad b e : utraque enim utriufque eft du-
pla.ergo ex squali, ut ca ad ag,ita db ad bf.& fiunt
C triangula fimilia propter lineassquidiftantes.ut igi-
tur cta triangulum ad triangulum a h g,ita triangu
lum xdb ad triangulum bhf-& permutando. trian-
gulum autem ah g sequale eft triangulo b h fiergo &
cta triangulum triangulo xdb eftsquale. quorum
triangulum ah g squale eft triangulo bh fi, ut often
Tum eft.reliquum igitur quadrilaterum dh eft squale
quadrilatero c h:& propterea quadrilatmi dg qua-
I> drilatero cf.Itaque quoniam co squidiftat afitrian
gulum co e squale eft triangulo a fe.fimiliter autem
E & triangulum d e i triangulo b e g. fied b e g triangu
lum triangulo aef eftsquale.ergo &triangulu eoe
triangulo dic.cftq; gd quadrilaterum squale qua-
drilatero fc.totum igitur xi toti o t squale erit.
€ T
FEEVi
75
CONI COR VM L I B. HIv
F E D. COMMANDI NVS.
Quoniam enim triangulum a g h oftenfum eft 'arquale triangulo b h f. ]T« r. huius * A
Et linea, qus apun&o a ducitur ad b squidiftat lines a pundto g ad f duris . ] B
Hoc ex primo lemmate Tappi apparere potefi.
Vt igitur c t a triangulum ad triangulum a h g,ita triangulum x d b ad triangulum C
b h f . ] Quoniam enim ut ca ad agjta esi db ad bf y erit ut quadratum ca ad quadratum ag ,
ita quadra$wn db ad quadratum b f. ut autem quadratum ca ad quadratum ag y ita triangulum
cta ad triangulum g h a-.quod triangula fmihafint : & eadem ratione ut quadratum db ad qua-
dratum b fyita triangulum xdb ad triangulum hfb } ex tertio lemmate Tappi. ergo ut cta trian-
gulum ad triangulum g h a, ita triangulum xdb ad triangulam b bf.
Itaque quoniam co squidiftat af, triangulum coe squale eft: triangulo affe.] D
Sunt enim triangula coe y af e fimilia : & efl a e aqualis e c . quare f equitur , ut &alia latera ,
gjr idcirco ipfa triangula inter fe aqualia fint .
Sed beg triangulum triangulo a ef efl squale.] Ojlenfum efl hoc in prima huius . E
THEOREMA IX. PROPOSITIO IX.
Iisdem pofitis, fi alterum quidem pun&um fit
inter -diametros , ut k) alterum ue.ro iit idem , quod
unum punctorum cd,ut c: Sc arquidiftantes ducan-
tur. Dico triangulum ceo ecquale die quadrilate-
ro ice : <3e quadrilaterum 1 o aequale- ip-fi i m .
Illud uero perfpicue apparet, nam cum demonftratum fit
ceo triangulum squale triagulo aef- triangulumq; aef squa
le quadrilatero k e: & triangulum ceo quadrilatero Ke squa
le erit, ergo & triangulum crm quadrilatero K o.& quadrila-
teruin 1 m quadrilatero lo eft squale.
C D
F E D. C O M M A N D I N V S.
Nam cum demonflratum fit c e o triangulum squale triagulo a e quarta huius. A
Triangulumq; aef squale quadrilatero Ke.] Hoc nos fupra demonflrauimus in fe- E
xtam huius . •
Ergo & triangulum crm quadrilatero K o . ] .Ablato nimirum communi quadrilatero C
om. Zitqui hoc prius per fe patet ex fecunda huius ; linea enim co fedtionem contingit : ex quo
contra f equitur , appofito communi om } triangulum ceo quadrilatero ke aquale ejje .
Et quadrilaterum 1 m quadrilatero 1 o eft squale. ] TSJamcum triangulum cem aqua- D
le Jit quadrilatero K o , communi appofito l r , erit l m quadrilaterum quadrilatero l o aquale .
THEOREMA X. PROPOSITIO X.
Iisdem politis fumantur k l,non tamen
in p undis, in quibus diametri fe&ionibus oc-
currunt. demon ffcrandum eft quadrilaterum.
It rx quadrilatero x&i arquale efte.
Quoniam enim reris lines a f,b g feriionem con-
tingunt ;& per tarius diametri ae, be ducuntur ;&
funt 1 1 , k i contingentibus squidiflantes: triangulum
t y e maius eft quam triangulum y co 1 , triangulo e f a .
fi militer & triangulum x ei maius efl, quam triangu-
lum xr K,triangulo b e g.fed triangulum aef squa-
le eft triangulo b e g.quare eodem exceftu & triangu-
lum tye excedit triangulum yo>b& triangulum xei
APOLLONII P E R G AE I
C excedit ipfum x r k . triangulum igitur ty e una cum triangulo x squale efl trian
gulo xei una cum triangulo yuA. commune apponatur kxeyl^. ergo quadrila*
terum Itr^ quadrilatero &^ki efl squale.
FED. COMMANDI NVS.
A Triangulum ty e maius efl quam triangulum y u 1. triangulo efa.1 Ex quadrare #- -
ma tertia primi huius .
B Sed triangulum a e f squale efl triangulo b e g . ] Ex prima huius .
C Triangulum igitur t y e una cum triangulo x rk squale efl triangulo x e i una cum
. triangulo y a L~\Hoc dmonjlrauit Eutocius in commentarijs in quadragefmam oliiaud 2 . huius.
THEOREMA XI. PROPOSITIO XI.
. s' K f - ' . ■ , 1 p* 9 : .t
Iisdem pofitis fi in quauis fe&ione punchim fumatur : &ab ipfo
linea: sequi di ftarites ducantur; una quidem contingentixquidiftans; al-
tera uero sequidiftans ei, qua? ta&us coniungit : triangulum , quod ab
ipfisfitad diametrum per occurfum contingentium du&am, a triano-u-
Io contento linea contingente, & diametro pertadlum, differt triangu-
lo , quod ad contingentium occurfum conftituitur .
Sint fe&iones oppofi ts ab,cd: & lines contingentes
ae,de,qusinpund:o e fibiipfisoccurrant.fitautemcen-
trum h: iunganturq; ad,& e h g:& fumpto in fedfcion e ab
q[UOuispund:o b, ducatur bfl quidem ip fi ag squidiflans
bm ueto squidiflans ae.Dicotriangulu bfm a triangulo
a k 1 differre triangulo k e f.lineam enim a d ab ipfa e h bifa
dam fecari perfpicuum efl.- & eh diametrum effe coniuga-
^aei 3 qusper h dudtaipfi ad squidiflat.quare ag applica
■ia efl ad e g. Quoniam igitur g e diameter efl;lineaq; a e fe
donem contmgit:& applicata efl a g fumpto autem in fe-
dtionepundlo b;ad eg applicatur b fjipfi a g squidiflans;
4 f. primi & b m squidiflans ae:triangulum b m t a triangulo lhf differt triangulo hae. ergo
huius . b m f triangulum a triangulo a k 1 differt k fe triangulo .
Conftat igitur quadrilaterum bxem triangulo lfca aquale effe.
THEOREMA XII. PROPOSITIO XII.
Iisdem pofitis fi in una fe&ione fumantur duo pun&a:& ab utrif
que fimiliter cequidiffantes ducantur: quadrila- ^
tera ab ipfis conftituta inter fe arqualia erunt .
Sint eadem,qus fupra: & in fedtione ab fumantur quar-
uis pundla b k ; a quibus ducantur lines b 1 m m , kjx. o y p
ipfi ad squidiflantes : itemq; bxr,kls squidiflantes a e.
Dico quadrilaterum b p squale effe quadrilatero k r.Quo
niam enim demonflratum efl triangulum a o p squale qua
drilatero k o e s;& triangulum amn squale quadrilatero
bmer: erit reliquum kr deficiens quadrilatero bo, uel
; ipfiimaffumens, squale quadrilatero mp:& communi ap-
polito, uel ablato b o, quadrilaterum bp quadrilatero xs «quale erit.
FED.
CONICORVM LIBER II I.
F E D. C O M M A N D I N V S.
7 S
Quoniam enim demonfiratum eft , triangulum aop arquale quadrilatero k ocs :
& triangulum a m n aquale quadrilatero bmer]
Demonfiratur hoc in antecedente . triangulum namque
ksy maius efi, quam triangulum phy , triangulo h a e >
ex quadr age fima quinta primi huius . f :d triangulu apo
una cum triangulo y oe aquale ejl triangulo phy unci
cum triangula h a e.qiiarefequitur triangulum k s y ma-
ius ejfe , quam triangulum a o p, triangulo y o e:& dem-
to communi y o e,reliquim aop triangulum quadrilate-
ro k o es e fi £ quale . Jturfus linea h n fecet diametrum
eh vn puncto t. erit triangulum hrt maius , quam trian-
gulum n h t, triangulo h a e. triangulum autem amn una
cum ipfo etm aquale e fi triangulo nh t und cum hae.,
ergo triagulum hrt maius erit, quam triangulum a m n %
tnagulo etm:& dempto communi triangulo e t m, quod
relinquitur triangulum amn quadrilatero bmer aqua
le erit . Itaque in prima figura , cum triangulum aop
excedat triangulum a m n, quadrilatero tnp- & quadri-
latermn k oes excedat bm er quadrilatero k r , dem-
pto tamen ex eo prius quadrilatero bo-fiipfum bo qua-
drilaterum utrinque apponatur , erit quadrilaterum K r»
hoc efi xs quadrilatero bp aquale. In fecunda uero
figura triangulum amn excedit triangulum a o p , qua-
dr ilat ero m p : & quadrilaterum bmer excedit k oes,
quadrilatero k r , dempto tamen ex eo quadrilatero bo.
quare b o utrique addito , erit quadrilaterum k r aqua-
le quadrilatero Ip. Denique m tertia figura , quoniam triangulum aop efi aquate quadrilatem
ko e s, dempto communi k o a u, reliquum triangulum u k p aquale erit quadrilatero uae s .efi
aut em triangulo amn £quale quadrilaterum bmer .triangulum igitur ukp und cum quadrila-
tero b m e r, aquale efi triangulo amn und cum quadrilatero uaes :& dempto ex utrifque com-
muni Ime s, reliquum u K p triangulum und cum blsr efi aquale triagulo amn und cum uaml.
ifuod fi utris que addatur commune xp ulb, erit quadrilaterum a r aquale quadrilatero xpnb.
fimili ratione & alia eiufmodi dernonfirare licebit .
THEOREMA XIII. [PROPOSITIO XIII.
S r in oppolitis lectionibus, qu# coniugataeappellantur, re&a: linea:
contingentes fe&iones , quie deinceps funt , in unum pun&um conue-
niant*, 5c per tadus diametri ducantur:
triangula, quorum communis uertexeft
lectionum centrum , inter fe gequalia erut.
Sint oppofitx fe&iones , qua: coniugatx appel-
lantur abcd;& fectioues ab contingant reCta li-
nea: a e , b e in pun&o e conuenientes ; fit autem
centrum h,&mn<5hx ah 3 bh ad cd producantur.
Dico b fh triangulum triangulo a g h xquale ef-
fe . ducantur enim per ah linex a^., hlm ipfi b e
xquidirtantes.& quoniam bfe fectionem contin-
gi4 & per ta&um diameter efi: dh b: ducitur q; 1 m
Squidifians b ei erit Im diameter coniugata ipfi
&o faciicU
ftiUlUk.
%
Jg. pruni
huius.
14« iexti.
9. quinti
i.lexti
it j.fexti
} 6. ferti.
ii>. pruni
/4. fexti
41. primi
I j.qumti
A
B C
rt APOIION I 1 P E IIG AE I
d b; qtls fecunda diameter appellatur : & propterea ak ad bd ordinatim efl applica-
ta. contingit aurem 3 a g.ergoredangulum khg squale eft quadrato bh;&uc /<h ad
h.bjita b h ad hg.fedut kh ad.hb,ita ka ad b§&ah ad h f.ut igitur ah ad hfjita
bh ad hg. & funt anguli b h f , g h i duobus rectis squales „ ergo agh triangulum
triangulo bhf squale erit*
> E V T O C I V S.
Vtigitur ah ad h f,ita bh ad h g. & funt anguli bhfghf duobus redis sqtiales *
ergo agh triangulum triangulo b ht squale erit.
DefaibantuYfeo+fim triangula : & proditttd.-ah ad x,fiatut gh ad hbjtafh ad hx. Itaque
quoniamut bb ad bgfitdcfi ab ad b ferit ab ipfi b x aqualis, & propter ea triangulum 'agh
aquale triangulo g b x.fed ut x b ad bf,ita b b ad hg:& circa aquales angulos, qiiifunt ad uer-
ticem b Utera ex contraria parte fibi ipfis
refpondeni . triangulum igitur fh b trian-
gulo gh x ejl aquale : & idcirco aquale
triangulo agh .
Sed & aliter demonflrare poffumus trian
gula aqualia ejje . iQuoniam enim oslrnfum
efit,ut k h ad b b, ita b h ad b g:& ut k b
ad bb,ita ak ad bf: erit ut ak ad bf ita
b b ad h g. quare re fi angulum ex ak & bg
aquale ejl reci angulo fbh. & cum anguli
g b l,b bf fini aquales , fi parallelogramma
vomboidea def cr ip feiimus, ii f dem lateribus
contenta i qua angulos ad bb aquales ha-
beant, tiiam inter fiefe aqualia erunt, pro p -
ter ea quod latera ex cotraria parte fibi ipfis
refiondent : atque erit romboides fb h l in
angulo b trianguli bb f duplum-, cuius qui-
dem diameter esi fh : romboides autem,
quod continetur gh , & linea aquali a K ,
uidelicct bln in angulo ghn, duplum trianguli agh .fiunt enim in eadem bafi gh ,& fub eadem
linea , qua d puncto a ducitur ipfi gh aquidifians. triangulum igitur agh triangulo fbh aqua-
le efje mani fe sio confiat .
THEOREMA xiiii. propositio XII ir.
; ■■■ J - . ..
Iisdem politis > ii in cjuauis fe&ione punctum fumatur : 5 c ab ipfo
clueantur linea? sequidifiantes contingentibus ufque ad diametros: trian
gulum, quod ad centrum conftituitur* a triangulo circa eundem an-
gulum dilfert triangulo bafim habente lineam contingentem, <3 c uer-
ticem lectionum centrum *
Sintalia quidem eadem; fumatur autem punftumin b fedione,, quodlit x; &per
jpfurn ducatur xrs arquidiftans ag;& xo t squiciiftans be. Dico triangulum oht
a triangulo xts difterre triangulo h bf» ducatur enim a pundo a linea ay ipfi bf
aquidifians, quoniam igitur ex iis, qus dida fiunt, fcdionis al diameter dt ih m :
coningata autem ipfi fecunda diameter dh b atqueapundo a ducitur ag fedio-
nem contingens ; & applicata cft a y,qus ipfi 1 m sqtiidiitat . habebit ay ad y g pro-
portionem compofitam ex proportione hy ad y a : & ex proportione traniueni la-
teris £gur*> qu* fit ad lm adlatusredum.iedut ay ad ygdta xt ad ts.&ut hy ad
ya,ita
77
CONXCORVM LIBER. III.
ya,ita ht ad to,& hb ad bf.utautem fi-
gura: , qux ad 1 m , tranfuerfum latus ad re-
ctum , ita figurat, qua: ad bd redum latus
ad tranfuerfum. ergo x t ad ts proportio-
nem habebit compofitam' ex proportione
h b ad b f,hoc eft h t ad t o;& ex proportio-
ne redi lateris figurx , qux eft ad b d , ad la-
tus tranfuerfum . quare per ea, qux demon-
ftrata funt in quadragefimo primo theore-
mate primi libri , triangulum rho a trian-
gulo x t s differt triangulo b f h : & propte-
rea triangulo agh.
FE1). COMMANDINVS.
Quoniam igitur ex iis,quxdidafuntfe&ionis al diameter efi: Ih m-coniugataau- A
tem ipfi, & fecunda diameter d h b . ] Hoc ex uigefima propofitione fecundi libri .ApoUonij
conflare pote fi : fed tamen nos ex alijs demonflrare conabimur . Traducatur enim ay nfquc adfe-
Bionem c m in k, qux fe clamem b fecetin pundtis qu : conueniet enim ay cum utraque fedlione
a l,c m m uno tantum puncto, quod in fexta decima fecundi huius demonfiratur : & erunt ay ,yk.
inter fe <e quales dubiis namque fettionum afymptotis nh ,
h p , linea an e(l aqualis p k ex fexta decima , quam dixi-
mus :& nq aqualis up ,ex ociaua eiuf dem: fed <&■ qy aqua
lis efi yu,quod qu contingenti be aquidiftet. ergo ay,y k
inter fe aquales funt . Itaque quoniam linea a K oppofitas
feci tones al,cm fecat 3 nontranfiens per centrum: & d pun-
Boipfius medio y ad centrum b ducitur ybhd: erit ex tri-
gefima feptima fecundi huius dhb oppo fit arum feclionum.
diameter , qua retia appellatur ; l h m aero , qua aquidifictt
a k, tranfuerfa ipfi conmgata . Totefi etiam hoc pfitndi ex
quadragefima tertia eiuf dem . nam cum linea qu feSiionsm
b in duobus pundtis fecet: & per centrum h ad medium qui-
dem, linea qu dubia fit hydhm uero ipfi aquidiflans ■ erunt
l m, b d febtionum coniugata diametri : & id circo feci iouis
al diameter efi lm\& db ipfi coniugata ,& fecunda diameter .
Et applicata eft a y, qux ipfi lm xquidiftat.] * Applicatur enim ay ad diametrum db g
ordinatmi, quoniam ut demonftr animus , linea ak abipfa db bifariam fec at ur i
Kabebit ay ad yg proportionem compofitam ex proportione h y ad y a,& ex £
proportione tranfuerii lateris figurx, qux fitad lm, ad latus redum.] Ex quadragefi-
ma primi huius : recta enim linea a g febtionem al contingens cum fecimda diametro conuenit: &
apunBo a ad eandem diametrum applicatur a y, alteri diametro lm cequidifians ,ut ofiendimus.
vd autem figurx, qux ad lm tranfuerfumlatusadredum, itafigurxadbd redum q
latus ad tranfuerfum . ] Hoc ita ejfe nos demonflr nuimus in commentam s in uigefimam fecun-
di huius ,
Quareper ea , qux demonftrata funt in quadragefimo primo theoremate primi li- £
bri , triangulum tho a triangulo xts differt triangulo b fh: & propterea triangulo
agh.] Defcribantur enim d lineis x t 3 h b,h t parallelogramma
a qui angui a xts,hb f 3 h t o in triangulorum angulis. & quoniam
linea xt in feblione b ad diametrum ordinatim applicatur : ha-
betq , xt ad t s proportionem compofitam ex proportione h b ad
bf: & proportione redii lateris ad tranfuerfum : & efi paradelo-
grammum ht o fimile par aUelogrammo hbf 3 quod triangulum
triangulo fimile : erit ex quadragefima prima primi huius paral-
kiogrammum htg maius } quam par allelogrammum x t s ,paraUdogrammo hbf .fed parallelo-
V
It
D
/APOLLONII PERGAEI
gramma, triangulorum dupla funt. triangulum igitur hto a triangulo xts differt triangulo hbf j
hoc ejl triangulo agh 3 quodipfi hbf esi aquale 3 ex antecedenti.
THEOREMA XV, PROPOSITIO XV.
A
B
C
D
lem in 2.2,
decimi
l.iexti.
E
to. fexti.
F
G
9 . quinti.
r 5-. quinti
H K
S i unam oppofitarum fe&ionum , qu# coniugat£e appellantur, re-
te lineas contingentes cotiuenianr, 8c per cadus diametri ducantunfu-
matur autem pundum in quauisfcdionum coniugatarum * &c ab ipfo
ducantur sequidiftantes contingentibus ufque ad diametros : triangu-
lum, quodabipfis ad fedionem conftituitur, maius cft, quam trian-
gulum , quod ad centrum , triangulo bafim habente lineam contingen-
tem , & uerticem centrum fedionum .
Sint oppofi ts fediones, qua: coniugats dicuntur; ab, gs,t, x, quarum centrum h :
& fedionem a b contingant a d e, b d c: & per tadus a b diametri a h f, b h t ducan-
tur. Sumatur autem in gs fedione pundum s; a quo ducatur sfl ipfi bc squidi-
ftans, & sy squidiftans a e. Dico s 1 y triangulum maius effe, quam triangulum
hlf, triangulo hcb. ducatur enim per h,xhg squidiftans bc:&per g ipft a e ^qui-
diftans ducatur xig:& so squidiftans bt. qua-
reperfpicuum eft diametrum xg coniugatam ef-
fe ipfi bt:& s o,qussquidiftat btad hgo ordi-
narim effe applicatam itemq; paraiielogrammu
effe slho. quoniam igitur bc fedionem contin-
git; duciturq; bh pertadum;& contingit altera
a e: fiat ut d b ad b e, ita linea m n ad duplam ip-
fius b c: erit m n linea , qus figura ad b t confti-
tutsre&um latus appellatur, ergo feda mn bi-
fariam in p,ut db aci be,itaeft mp ad bc.Dein
de fiat ut x g ad t b , ita t b adlineam r . erit & r
latus redum figura: , qua: fit ad xg. Itaque quo-
niam ut d b ad b e, ita m p ad c b : & ut db ad
b e, ita quadratum d b ad db e redangulum : ut
autem mp ad cb, ita redangulum ex mp & bh
ad redangulum cbh : erit ut quadratum db ad
redangulum d b e, ita redangulum ex m p & b h
ad redangulum cbh. Sed redangulum ex mp,
& bh squale eft quadrato hg: proptereaquod
quadratum xg eft squale redangulo ex tb & mn:&redanguluex mp & bh quar-
tapars eftredanguliex tb,& m mquadratumuero gh eft item quarta pars quadrati
xg.ut igitur quadratum db adredangulum d b e, ita eft quadratum gh adredangu
lum cbh:& permutando ut quadratum db ad quadratum gh, ita redangulum cibe
ad cbh redangulum. fed ut quadratum db ad quadratum g h, ita triangulum dbe
ad triangulum g h i; fimilia enim funt: & ut redangulum dbe adredangulum cbh,
ita dbe triangulum ad triangulum cbh. ut ergo triangulum dbe ad triangulum
g hi, ita triangulum dbe ad ipfum cbh triangulum . quare triangulum ghi trian-
gulo cbh eftsquale: & idcirco triangulum ghK a triangulo hiK differt, triangulo
ghi; hoc eft triangulo cbh. Rurfus quoniam hb ad bc compofitam proportionem
habet ex proportione hb ad mp,& ex proportione mp ad bc:& ut hb ad mp,ita
t b ad m n , & linea r ad x g . ut autem m p ad b c , ita d b ad b e: habebit h b ad b c
proportionem compofitaexproportione db ad be 5 & proportione r ad xg.Quid
cum squidiftent b c, s 1 ; triangulum hcb fimile eft triangulo h 1 f: & ob id ut h b ad
b c, ita
CONICORVM LIBER III.
7§
b c, ita eft h 1 ad 1 h quare b 1 ad 1 f compofitam proportionem habet ex proportio-
ne linea: r ad xg;& proportione db ad b e; hoc eft gh ad hi. Quoniam igitur hy-
perbole eft s g, cuius diameter quidem x g,re<ftum uero latus r: & ab aliquo lpfius pii
dto s applicatur s o: defcribiturq; ab ea, qus ex centro , uideiicet ab h g figura h i g :
& ab applicata s o,uel h 1 ipfi squali figura h 1 f ab h o autem, qus eft inter centrum
& appiicatam,uelab sl ipii ho squali defcribitur sly fTgura,fimilis figurs hig,quae
fit ab e a, qus ex centro : & proportiones habet compofitas,ut di&um eft; erit rrian- j,
gulum s 1 y maius, quam h 1 f triangulum, triangulo h c b .
F E D. COMMANDINVS.
Quare pcrfpicuum eft diametrum x g coniugatam efle ipfi b t . ] Ex uigefima fecundi ^
huius : line, t enim h c fetlionem contingit- & per centrum h ducitur thb quidem ad taclum-.x hg
uero contingenti aquidiflans .
Et s o,qu e re qui di liat b t ad h g o ordinarim efle applicatam.] Si enim fer g ducatur g
linea fetlionem contingens, aquidifiabit ipfi tb b ex eadem uigefima fecundi, quare & ipfi s o:pro -
pterca q-, ex quadragefima feptima primi huius so ad hgo ordinatim erit applicata .
Erit m n linea, qus figurs ad b t conftituts recftum latus appellatur . ] Ex quinqua- £
gefima primi huius .
Erit & r re&um latus figurs, qus fit ad x g.] Efi enim fetiionis sg diameter, fiuc tran-
fuerfum latus xg:& bt fecunda diameter ipfi coniugata , ut ditium efi .fecunda autem diameter
mediam proportionem habet inter figura latera, quod ex eius diffinitione apparet .
Propterea quod quadratum xg squale eft re&angulo ex tb&mn. ] Ex diffinitio- £
ne fecunda diametri: nam xg fecunda diameter efi fetiionis ab, cuius quidem tranfuerfum latus
efi tb,retlumuero mn.
Sed ut quadratum db ad quadratum gh;ita triangulum dbe ad triangulum ghi,
fimilia enim funt . ] T riangula enim d b e,g h i fimilia funt oh aquidiftantiam linearim d b,hg:
iternq-, linearum a e, Kg. quare triangulum dbe adipfum ghi duplam proportionem habet eius ,
qua efi linea db ad gh .& fimiht er quadratum db ad quadratum gh proportione habet eiufdem
proportionis duplam . ut igitur quadratum db ad quadratum gh , ita triangulum dbe ad trian-
gulum ghi.
Et ut reciangulum dbe adrectangulum
cbh, ita dbe triangulum ad triangulum
c b h.] Defcribantur feorfum triangula dbe, cbh:
& ducantur perpendiculares dq,cu, erunt dbq
cbu triangula inter fe fimilia . quare ut dq ad db,
ita efi cu ad c b:ut autem dq ad d b,ita reciangu-
lum ex dq & be ad reti angulum dbe, ex prima
fexti elementorum : & eadem ratione ut cu ad cb
ita retlangulum ex cu & bh ad retlagulum cbh.
ergo ut retlangulum ex dq & b e ad reti angulum
d b e, ita reti angulum ex c u & b h ad rctlangulum
c b h:& per mutando, reti an gulum ex dq&b e ad
retlangulum ex cu & bh, ut db e reti angulum
ad retlangulum c b h.retlangulum autem exdq&
b e duplum efi trianguli dbe: & retlangulum ex
cu, & hb duplum trianguli c bh. ergo ut retlan-
gulum dbe ad retlangulum c b h,ita dbe triangu
lum ad triangulum cbh .
E t linea r ad x g.] Vt enim figura, qua: ad tb coflituitur,trdfuerfum latus tb ad retlu mn, H
ita figura, qua ad xg retium latus rad xg tranfucrj imr, quod nos in zo.fecudi huius oflendimus.
V t autem m p ad b c,ita d b ad b e . ] Tatuit hoc fupra . K
Erit triangulum sly maius,quam hlf triangulum, triangulo hcb.jls {amexqua- L
drafimaprima primi huius fequitur triangulum s Ly maius ejfe,quam triangulum h I f, triangulo
g h ifijoc efi triangulo c b h 3 quod ipfi g h i efi aquale, ut ofienfum etl fuperius .
\ \
F
rp. fexti.
G
V a
A P O L L O N I I FE RG AE X
illud autem, quod hic demonfirat .Apollonius ,fiequitur , etiam fi recta linea feEtiones oppofitas
contingant . Sint enim oppofita f Diones, qua coniugata appellantur, a h c,d efi.cnius centrum g:
&feEliones afy,de contingant recta linea ahi,ei inpimtlo i conuenientesiperq; ae duEtis dia-
metris ag d,e g h, fumatur infectione c punctum k , d quo ducatur K l m quidem ipfi ei aquidi-
flans- :i & k n aquidiflans ai * Dico triangulum k m n maius e f e, quam triangulum hng,triangu
lo g ah .Ducatur per h linea bop feEtionemin h contingens , qua ipfi ci aqnidiflabit ex demon-
Jlratis ab Eutocio in quadragefimam quartam huius, quare & km aquidiflat b p. Itaque quoniam
feciionem a b contingunt recta linea ao ,ob:&a puncto k in feblione Jumpto ducuntur k l m ,
kn contingentibus aqmdi flant es: eodem modo , quo fupra.demon
ftrabitur triangulum Kmn maius, quam triangulum l mg,trian
gulo g a h. at que hoceft quod demonflrandum proponebatur . Ex
iam dictis etiam illud Theorema ofiendi potefi .
Tifckm pofitis , fi in qua uis fedione aliqua punda fu-
mati tur:& ab ipfis ducantur linea; contingentibus «qui-
diftantes,qu« & contingentibus, & diametris occurrat;
quadrilatera a lineis dudis coiiftituta ad diametros inter
--- fe «qualia erunt.
Maneant enim eadem , qua fupra : & in fietiione c aliud pnn-
Uum fumatur, quod fit c^atque ab eo ducantur cqr s ,ct contin-
gentibus aquidiflantes . Dico quadrilaterum 'k l r q quadrilate-
ro cqnt aquale effe. ex ijs enim,qua demonElratafiunt,triangu
v lum c s t maius efi,qudm triangulum r s g, triangulo g a h. qua-
re quadrilaterum crgt triangulo gab efi aquale . & fiimili ratione cum triangulum i \m n ma-
ius fit, quam triangulum Img, triangulo gah , erit & quadrilaterum k Iga aquale eidem vah
: triangulo, quadrilatera igitur crgt,klgn inter fie aqualia erunt : & dempto communi quadnla-
tero r gn q, relinquetur quadrilaterum k Irq quadrilatero cqnt aquale-, quod quidem demon-
flrare oportebat .
THEOREMA XVI. PROPOSITIO XVI.
1 S i coni Tectionem, uel circuli circumferentiam dux reda: lineet con
tingentes in unum conueniant : Bc ab aliquo pundo eorum, quae funt in
Tc 6 tione , ducatur linea uni contingentium xquidiftans , quar & .fedio-
nem & alteram contingentium fecet : ut quadrata contingentium inter
fefe, ita eritredangulum contentum lineis, qua: interjiciuntur inter fe-
dionem, & contingentem, ad quadratum lineae inter etquidiftantem Sc
tadum interi eda:.
Sit coni fedio, uel circuli circumferentia a b,quam con
tingant redte lineae a c , c b , in pundo c conuenientes : &
fumpto aliquo pundo d in fedione,ab eo ducatur d fiquse
ipfi cb «qbidiftet . Dico ut quadratum bc ad c a qua-
dratum , ita efle redangulum f e d ad quadratum e a-, du-
cantur enim per a b diametri a g h , k b 1 : & per d ducatur
45. & 47. fl m n xqu idiilans al , perfpicuum eft , lineam d k ipfi hj
EuSui. «qualem effe:triangulumq; a e g «quale-quadrilatero d 1 :
z- huius- & triangulum blc triangulo ach. Itaquequoniam fK
1 . h uiuV aqualis efi: k d , & ipfi adiicitur d e, redangulum f e d una
6 . fecudi . ct J m quadrato «quale erit quadrato ke. eft autem
3.‘ e iem&a triangulum e 1 K fimile triangulo d n k . quare & e k quadratum ad quadratum- k d,
Pappi' i ira triangulum e 1 k ad triangulum d n k:& permutando ut totum quadratum e k ad
s9 quiti. ' totum triangulum e ita ablatum quadratum dk ad ablatum triangulum dnk.er
J ^ 'eo & 1 eliquum f e d redangulum ad reliquum quadrilaterum d 1 , ut quadratum e k
& a ■ adtrian-
79
C-QNIC O RVM LIBER II I.
ad triangulum e lh. fed ut quadratum ek ad eljr triangulum, ita eft quadratum cb
ad triangulum lcb.utigitur fed redangulum ad quadrilaterum dl, ita quadrarum ^ ] emma
cb ad 1 cb triangulum. eft autem quadrilaterum dl triangulo aeg aequale ;&trian p appi>
gulum lcb xquale triangulo ah c. quare ut re&angulum fed ad triangulum aeg,
itaquadratum cb ad ahc triangulum:& permutando utred-angulum fed ad qua-
drarum cb,ita aeg triangulum ad triangulum ah c.fed ut triangulum age adtrian
gulum ah c, ita quadratum ea ad ac quadratum, ergo ut redtangulum fed ad qua-
dratum cb, ita quadratum ea ad quadratum ac &permutado ut quadratum bcad
quadratum ca,ita fed redtangulum ad quadratum ea.
EVTOCIVS.
In aliquibus codicibus hoc theorema^ut feptimum decimum apponitur, fed re uera cafus efl fex -
ti decimi theorematis ; eo enim tantum differt , quod linece contingentes ac,cb diametris cequidi-
flant,alia uero eadem effle conflat . In commentarijs igitur illud ponere oportebat , ut ferip fimus in
quadragefninm primum theorema primi libri.
Sim eilipji circulo diametrirfUce trunfeunt per ta&us, contingentibus cequi-
chftanies fint^eadem prorjus euenient^quae m propofitione dicuntur .
Quoniam enim ut quadratum
bh ad redtangulum Iha, ita d g
quadratum ad redtangulum Iga:
atque eft redtangulum quide lha
quadrato a h aequale : recftangulu
ante 1 ga aequale re&angulo iag;
quod linea ah cequalis iit hl , &
dk ipii kf proptereaq, gh aequa
lis h i,& ag ipii i 1: erit ut quadra
tum a h ad h b quadratum , hoc
eft quadratum b c ad quadratum
ca^itaredangulum iag ad qua-
dratum dg;hoc eft reriangulum
f e d ad e a quadratum .
ir. primi
lauius.
\\
THEOREMA XVII. PROPOSITIO XVII.
Si coni fe&ionem>uel circuli circumferentiam duce retice linece con-
ti figentes in unum conueniant: fumantur autem in fedione duo <qux-
uis punda:5c ab ljs ducantur linece contingentibus cequidillantes , quee
& fibi ipiis 8c linece occurrant : ut quadrata contingentium inter ie fe ,
ita erit redangulum contentum lineis , quee inteniciuntur inter fedio-
nem &c linearum occurfum ad re&angulum , quod lineis fimiliter funi-
ptis continetur»
A
f.fecudi
B
C
D
E
ii. primi
iuuus.
APOLLONII PERGAEI
Sit coni iedio,uel circuli circumferentia a b,quam contingant ac,cb reda; lines,
in puncto c conuenientes:fumanturq; in fedionepunda d e, & ab ipiis ducantur c f
i k,dfgh,qus lineis ac, cb arquidiftent. Dico ut quadratum ac ad cb quadratum,
ita effe redangulum kfe ad redangulum h fd. ducantur enim per ab diametri al
m n, b o x p:& producatur contingentes linea;; & ipiis squidillantes ufque ad diame-
tros :& a pundis d e arquidiftantes contingentibus ducatur d x,e m. lam condat k. i
squalem elfe ie;& hgipfi g d. Quoniam igitur ke fecaturin partes squales in pun
do i,& in partes insquales in f: redangulum kfe unaemn fi quadrato squale eft
qu adrato e i: & cum trian gula fimilia fint ob lineas xquidiftantes , erit ut totum qua-
dratum ei ad totum ime triangulnm,ita ablatum quadratum i i ad ablatu?» trian-
gulum f i 1 . quare & reliquum k fe redangulum
ad reliquum quadrilaterum f m, efc ut totam qua-
dratum ei ad totum ime triangulum, fed ut qua
dratum ei ad triangulum i m e,ita quadratum a c
ad triangulum can . ut igitur k f e redangulum
ad quadrilaterum fm, ita quadratum ac ad can
triangulum. atque eft squale triangulum can tri-
angulo cp b , & quadrilaterum f m quadrilatero
fx. ergo ut redangulum f e ad fx quadrilate-
rum,ita quadratum ac ad triangulum cpb.limi-
li ter demo nferabitur & ut redangulum h f d ad
quadrilaterum fx, ita elfe quadratum cb ad trian
gulum c p b. Itaque quoniam ut redangulum k fe
ad quadrilaterum f x, ita quadratum ac ad cp b
triangulum:& conuertendo, ut quadrilaterum f x
ad redangulum h fd, ita triangulum cpb ad qua
dratum cb^erit ex squali ut quadratum ac adeb
quadratum, ita redangulum Kfe adredangu-
lum h f d.
EVTOCIVS
Hoc etiam theorema fimiliter ac procedens pofitum eft>quod nos ut cafum auferentes , hoc loco
conferip fimus .
dim circuli circumferentia diametri , quee per taflus ducuntur,# qui'
dijfantes Jwt contingentibus a c,c b ; erit itidem ut quadratum ac ad quadratum
c b)ita retianguium K f e ad reSlangulum d fb .
Ducantur enim per dh ordinarim applicats dp, hm.& quoniam ut quadratum
ac ad cb quadratum, ita quadratum bn adquadratum n a, hoc eft ad redangulum
ani. ut autem quadratum b n ad redangulum ani, ita quadratum d p , hoc eft qua-
dratum fo ad redangulum api; & quadratum eo adredangulum a oberit & reli-
quum ad reliquum,ut totum ad totum.fed li a quadrato eo auferatur dp quadratu,
\ hoc
I I T.
80
5 fecudL
FED. COMMANDINVS.
Quoniam igitur K e fecatur in partes aequales in pun&o i , & in partes inaequales A
in fire&angulum K fe una cum f i quadrato aequale efi quadrato e i .] Ita quidem ar-
gumentabimur cum punctum f intra feEiionem cadit :fed cum cadit extra Jn hunc modum dicemus .
Quoniam k e inpuntto i bifariam fecatur, & ipfi adijeitur reEla linea e fuerit reti angulum k fe
una cum e i quadrato aquale quadrato cf funt autem triangula f l i>e m i inter fe fimilia . quare
cum fit ut totum quadratum i f ad totum triangulum f 1 1 , ita ablatum quadratum ei adablatum
emi triangulum ; erit & reliquum reEi angulum k fe ad reliquum quadrilat erum fm,ut i f qua-
dratum ad triangulum f l i.cetera>qu£ deinceps feqnuntur s eodem modo concludemus . >
Etcum triangula fimilia fintob lineas asquidiftantes , erituttotum quadratum ei B
ad totum ime triangulum,ita ablatum quadratum if ad ablatum triangulum fi 1.]
E/l enim per tertium lemmaTappi ut quadratum ei ad quadratum i fit a triangulum ime ad.
f if triangulum. quare & permutando ut quadratum ei ad triangulum ime 3 ita quadratum i f
ad triangulum f i l.
Atque efi squale triangulum can triangulo cpb.] Exprimahuius .
Et quadiilarerum fm quadrilat ero f x -] Ex tertia huius .
Etconuertendo,utquadrilaterum fx adredtangulum h fd, ita triangulum cpb
ad quadratum cb.] Superius enim demonfir at umeft , utre Uangulum bfd ad quadrilaterum
fxfita quadratum cb ad triangulum cpb .
IN ALIAM DEMONSTRATIONEM,
Q_VAE AB E V T OCIO AFFERT VR.
Rurfus fi a rc&angulo a o 1 auferatur re&angulum a p firelinquitur mop re&an- F
gulum .] 'Tgam reEi angulum aol aquale efi rell angulo mop una. cum reciangulo api i quod
quidem primum demonfir atum efi d Tappo in tertio , &■ quarto eorum lemmatum , qua in fecun-
dum libi um ^ ipoUomj confcripfit : deinde ab Eutocio in commentariis in uigefimam tertiam fecun *
di butus .
THEOREMA XVIII. PROPOSI TIO XVIII.
Si oppolitas Tectiones duse reto linea: contingentes in unum conuc
nianttfumatur autem in quauis fedione aliquod pun&um : & ab eo du-
catur linea uni contingentium a*quidiftans,qu2e Sc fe&ioncm & alteram
contingentium fecettut quadrata contingentium inter fe fe , ita erit re-
tongulum contentum lineis>qu£e interiiciuntur inter fe&ionem & con
CONICORVM L I B.
hoc efi quadratum f o; relinquitur
re&angulum X f e: efi enim K o ipfi
o e squalis . rurfus fi a redtangulo
aol auferatur re&angulum api, re-
linquitur mop re&angulum , hoc
eft re&angulum hfdmamque apeft
squalis ml,& pn ipfi nm.utigitur
quadratum a c ad quadratum cb,
ita reliquum re&angulum K f e ad
reliquum h fd. Quodfipun&um f
extra fe&ionem cadat, additiones &
ablationes contra facere oportebit.
I
: APOLLONII PER GAE I
tingentem ad quadratum lineae inter ^quidiftantem &ta<5him inter-
l icCtx .
- Sintoppofitasfe&iones a b,m n:& contingentes lines acle^chjquscinpundo c
conueniant : per tadtus autem ducantur diametri
a m,b n: & fumatur in fe&ione mn quoduispun-
dtum d,a quo ducatur dfge ipfi bc arquidiftans.
Dico ut quadratum b c ad quadratum c a, ita ede
redagulum fed ad quadratum a e. ducatur enim
per d ipfi a e sequidiftans d x . & quoniam hyper-
bole eft a b,cuius diameter bn.-fineaq; bh fedio-
^ nem contingit, •& ipfi «quidiftat d ferit fo xqua
g.fccudi, hs o d : adiungitur autem d e . ergo redangulum
fed una cum d o quadrato aquale eft quadrato
oe.&cum el xqnidiftet dx, triangulum eoi fimi
le eft triangulo d o x . eft igitur ut totum quadratu
e o ad triangulum eoi, ita ablatum quadratu d o
tj.qmnti ad ablatum do x triangulum, quare & reliquum
B re&angulmn fed ad quadrilaterum dl,ut eo quadratum ad triangulum eoi. fed ut
quadratum eo ad eoi triangulum,itaquadratum bc ad triangulum bcl. ut igitur
q re<ftangulum fed ad quadrilaterum dl,ita quadratum bc ad bcl triangulum . z-
p quale autem eft quadrilaterum dl triangulo a e g.& triangulum bcl triagulo ach.
ergo ut fed redangulum ad triangulum a e g, ita quadratum b c ad ach triangu-
lum.fed ut triangulum aeg ad quadratum e a, ita triangulum ach ad quadratum
a c.exsequali igitur ut quadratum bc ad quadratum ca,itare<ftanguium fed ad ea
quadratum .
E V T O C I V s.
In aliquibus exemplaribus alia demonflratio huius theorematis inuenitur 3 cum utramque feci io
nem contingentes retia linea conueniant .
Sint enim oppofitsfediones a b, quas contingant lineje ac, cb inpundo c con-
uenientes:fumattirq; aliquod pundum d in b fectione:& ab eo ducatur defiipfi ac
sequidiftans. Dico ut quadratum ac ad cb quadratumfitaefleredangulum e f d ad
quadratum fb. ducatur enim per a diameter ah g: & per
b g ducantur b l,g k sequidiftantes e f . Quoniam igitur b h
inpunbto b hyperbolen contingit : & ordinatim applicata
p eft bl: erit ut al ad 1 g, ita ah ad hg.fedut al ad lg,ita cb
q ad b k. & ut a h ad h g,ita a c ad k g.quare ut c b ad b kfita
a c ad k g,& permutando ut a c ad c b /ita g K ad K b . fed
ut quadratum a c ad quadratum c b, ita quadratum g K ad
pj K b quadratum : & ut quadratum gK ad quadratum Kb,
itademonftratum eftreftangulum efd ad quadratum fb.
ergo ut quadratum ac ad cb quadratum,ita efd redlangu
lum ad quadratum fb.
FED. COMMANDINVS.
Erit fo aequalis o d.] Ex 4.8. primi huius.
*: Sed ut quadratum e o ad e o 1 triangulum, ita quadratum b c ad triangulum b c 1]
" enim triangulum bcl fimile triangulo e 0 1 } propterea quod linea eo aquidiftat contingenti
< l c.ergo triangulum eoi ad triangulum b c l duplam proportionem habet eius , qua ef linea e 0
lo iCxu. ad b c. quadratum autem eo ad quadratum b c proportionem itidem habet duplam eiufdem pro-
1 portionis
c O N I C O & V;M L I B. • III.
Sr
portionis. ut igitur quadratum eo ad bc quadratum,ita triangulum e o l ad triangulum bcl:&,
permutando ut quadratum eo ad eo l triangulum, ita quadratum bc ad triangulum bcl.
Aequale autem eft quadrilaterum d 1 triangulo a e g ,] Ex [exta huius „
Et triangulum bcl triangulo ach.] Exprimahuius.,
"'V- ^ -Oiiddl -v r , n \ r. -^j .z-yj 'C' '
.. katsaa ■ i •■'..'■'•jnv- :: ■" ‘d
. I N A I I A M »;:E M O N S T. R A T IO N E M
QV A M .io N I T EVroCIVS.
- * / \ / . ■'^ V * * .
C
D
r
‘..j.
2 c d
-rauv.)
! .i V>
Erit ut a l ad I g, ita a h ad h g.} Ex 3,6. primi huius . . M
Sed ut a 1 ad Ignita eb ad bk ^ E^am cum triangula ahc,lhb fimilia. fmt,eritut ah F
ad h c.ita Ih ad h b:& permutando ut' ab ad hljta ch ad h b : companendoq;ut al, ad.
lh,itd cb ad bh.ut autem hl ad lg,ita hb ad bk. ex aequali igitur ut al ad lg,ita cb
ad b K.
■Et ut ah ad hg,ita ac ad Kg] Qb Jimilitudinemuidelicet triangulorum abc,ghk : G
Et ut quadratum g K ad quadratum K b,ita demonfi: ratum eft re&agulum efd H
ad quadratum f b.] Demonstratur hoc in \6. huius.
£-.U . n ; a rr
i • i i:.
THEOREMATI X. PROPOSITIO XIX.
f v ^ fui j ' i * i a j dii — .* j ,j * i ... .. v „ ,
Si oppofitas fc&iones dux re&x lincx contingentes in unum conue-
niant:5c ducantur contingentibus xc|uidiftantes>c|iix & fibiipfiis, & fc-
dioni occu rrant:ut quadrata co ntingentiu tli inter fe fe , ita erit redan-
guknn contentum lineis, qnx interiiciuntur interiedionem, & linearu
occurfum,ad redangultim,quod lineis (imiliter fumptis continetur.
Sint o ppofitac fe&ion es, quarum diametri a c,b d, centrum e i & contingentes a f,
fd,qu«in t conueniant: fumantur autem quieuis
pundla: & a b ipfis ducantur ghikl,mnxol!i-
neis a f,fd «quidiftantes . Dico ut a f quadratum
ad quadratum fd, itaefteredftingulum gliadre-
dtangulum mlx. ducantur enim per xi lines xr,
ip «quidiftantes ipfis afifd. Itaque quoniam ut
quadratum afad afs triangulum,ita quadratum
hl ad triangulum h 1 o: & quadratum hi ad trian
gulum hi p:erit& reliquum re&angulum gli ad
reliquum i pol quadrilaterum, ut quadratum af
ad triangulum a fs . atque eft triangulum afs tri-
angulo dft «quale. & opii quadrilaterum. qua-
drilatero krxl. ut igitur quadratum afad trian-
gulum dtf, itare&angulum gli ad quadrilateru
r x 1 k. eft autem ut triangulum dtf ad fd quadra
tum, ita quadrilaterum r x i k ad redangulu m 1 x.
ergo ex «quali ut quadratum afad fd quadratu,
ita re&angulum g 1 i adredangulum mlx.
£.fecud£.
19. quinti
A
B
E V T O C I y S.
1 n aliquibus codicibus demonfiratio huius theorematis inuenitur huiufmodi .
Ducatur ral quidemipfi fa «quidiftans,qu«fe&ionem dc fecetjgl uero«quh
X
K
%
y
A P O L £ O N II P E R G AE I
D
E
V
G
K
K
L
M
cfiftans fd , & Ipfam a b fetans . demonftrandum eft
iit quadratum df ad fa quadratum, ita ede rcdan-
gulum gli ad reitangulum m lx- ducatur enim per
tadus ad diametri ac, db: & per cb ipfae b p , p J c '
contingentibus squidiftantes . ergo b p, p c fedio-
nesinpundis bc contingunt.& quoniam e centru
eft fectitfmmj, erit b e ipfi. e d sqiialiS;,& ae&qualiSl
e c . quare cum squidiflent a tf, cs p, & te squalis
erit es:&propterea bs ipii d t; triangu/umq; bps
triagulo dtf squale.linea igitur bp squaliseft df;
& fimiliter cp squali? a f dem‘q'ftiR;rabitur . fed Ut
quadratum bp ad p c iquadratafn’, ita eft redaiigu-
lttfri gii adredanguliim mix. ut igitur quadratum
d f ad quadratum f a;ita g i i ' re&angUluhi ad re&aii
gulummlx. T . .... ., , , r
ALITER I N l t> ;E M .
Ruriiis ducatur utraque linearum g h k,i h 1 a: qui
diftans contingenti, fecanscj; d c fe itio nem . often-
dendum eit ut quadratum d f ad quadratum fa , ita
efleredangulum ihl ad.reiiangulum gh k . duca-
tur enim per a tactu cfiamfetef a c & per cipfa cm,
qus squidiftet af . ergo cm continget fedionem
cd in puncto c.atque er if ut quadratu dm ad qua-
dratum mc,ita reitangulum i h 1 ad redangulum
g h k.ut autem d m quadratum ad quadratum m c,
ita quadratum d f ad quadratum f a. quare ut qua-
dratum df ad fa quadratdm, ita reitangulum ihl
ad reitangulum g h k .
F E D. C OMMiANDIN V S.
A Atque eft triangulum afs triangulo d f t squale.] Ex quarta huius*
B Et o p il quadrilaterum anadrilatero k,r x.] Exfepiima huius .
C Fit au^em ut triangulum d t f ad fd quadratum, ita quadrilaterum r x 1 k ad reda
gulum m lx.] Eodem euimmodo ,quofupra demonflratum efi,re5langulum g 1 i ad quadrilate-
rum iplo ,ut quadratum af ad triangulum a f s : demonfirabitur etiam mlx reffi angulum ad
quadrilaterum rxl k e) fe ,ut quadratum d f ad triangulum dtf quare & convertendo, ut trian-
gulum dtf ad quadratum fd,ita erit quadrilaterum txIk ad mlx reci angulum .
IN ALIAS DEMONSTRATIONES
Q_V AE AB E V T OCIO AFFERVNTVR.
p Ergobp,pc fediones in pundis, bc contingunt.] Hoc nos demonjlrauimus in com-
mentariis in quadragefimam quartam primi huius .
E Et quoniam e centrum eit fedionum, erit b e ipfi e d squalis & a e squalis e c .]
Ex trigejima primi huius .
F Quare cum squidiilent at£csp,& te squalis erit es.] Quonia enim linea atfcsf
inter fe aquidifiant, erunt triangula qte,cse fimilia & propterea ut a e ad et, ita ce ad cs: &
permutando ut a e ad ec,ita te ad e s .linea igitur., t e inter fe aquales funt . & addita s c ip
fi eb,& te ipfi e d, erit & bs aqualis dt.
G Triangulumq; bpf triangulo defsqual e.^Eurfus enim ob lineas aquidiflantes bp,df,
itemq; a f,cp: triangulum bps fimile efl triangulo dtf) & ut s b ad bp,ita td ad d f: & per-
mutando ut bs ad dtfita bp ad df. eft autem bs aqualis d t,ut demouftratum cfi . ergo & bp
ipfi
i
♦
CONICORVM LIBER IIT. Sz
ipft d f.ex quibus conflat triangulum hps triangulo d tf etiam aquale e fle .. .
Sed ut quadratum b p ad p c quadratum,ita eft redangulum g 1 i ad redangulum H
m 1 x. j Ex proxime demonflratis. .
Ergo c m continget fe dio a em. c d in pundo c .] Ex ijs ,. qua dmonflrauimus in. qua - K
dragejtmam quartam primi huius .
Atque erit ut quadratum d m ad quadratum m c,ita redangulum i h 1 ad redan- E
gulum g h K ,] Ex 17. huius .
Vt autem d m quadratum ad quadratum m c,ita quadratum d f ad quadratu fa.] M
lifdem enim manentibus ducatur d c:& iuncia fc producatur, ut cum linea cm in punito n co
ueniat ierit ex trigeflmafeptima & trigefima nona fecundi huius ,f en refla diameter oppofita -
rum feftionum ; qua ipft d c aquidi flabit' : <& idcirco triangula d m c, fm n inter fefimilia erunt.
Itaqueut fm ad mn,ita drn ad m c: & permutando ut fm ad m djta nm ad m c.ergo compo-
nendo, conuertendoq; ut md ad dflita mc ad c n:& rurfus permutando , ut dm ad mc , ita d f
ad 1 n.eft autem fa ipfl cn aqualis, quod iam demonflratum fuit, quare ut dm ad mcflta df ad
fd.ut igitur quadratum dm ad mc quadratum, ita quadratum df ad quadrat um f 'a.
THEOREMA XX. PROPOSITIO XX.
Si oppolltas fe&iones dux redbe linea; contingentes fibi ipfis occur-
ranct&per occurkim ducatur linea tactas coniungenti tcquidiftans ,
qua; fecet utramque feCtionenr.ducatur autem alia linea .Tquidiffons ei
dem *, ie&ionesq;, & contingentes fecans : erit ut redtangulum conten-
tum lineis, qua; inter occurfum contingentium Sc fe^iones interiiciun-
tur ad quadratum linea; contingentis, it£ redangulum , quod contine-
tur linas inter fedianes Sc contingentem intencdis, ad quadratum li-
ti ex ad tadtum abfciflx .
Sint oppofitx fediones ab, cd, quarum centrum e, & aQfc linea; contingentes,
jungantur autem ac, e f,a e,& protrahantur : perq; f ducatur b fh d ipfi a c xquidi-
flans. & fumpto in fedionequouispundo g, ducatur glsmnx xquidiftans ac. Di-
co ut redangulum b fd ad quadratum fa,ita effe redangulum
glx ad quadratum a 1.. ducantur enim a pundis gb linex gp,
b r xquidiftantes ipli a f. & quoniam ut quadratum b fad b fr
triangulum,ita quadratum gs ad triangulum gsp.& quadra-
tum Is ad triangulum Is f: erit & reliquum redangulum gl x
ad quadtilaterum gl fp,ut quadratum b fad triangulum b fr .
quadratum autem b f xquale efl redagulo bfd: triangulumq;
brf triangulo afh & quadrilaterum glfp triangulo a In. er-
go ut redangulum bfd ad triangulum afh, ita glx redangu
Ium ad triangulum a 1 n. fed ut triangulum afh ad quadratum
a f, ita triangulum aln ad quadratum ahex aquali igitur, utre
dangulum bfd ad quadratum fa , ita redangulum g 1 x ad quadratum al.
E E D. COMMANDINVS.
f f “ '
Erit& reliquum redangulum glx ad quadrilaterum glfp, ut quadratum b fad A
triangulum b f r.] Ex decima nona quinti. nam r efl angulum glx und cum quadrato l s aquale <■ fecuds
efl quadrato gs. quare fi d quadrato gs auferatur Is quadratum, relinquitur r efl angulum g l x.
Vt quadratum b f ad triangulum b fr.] Defiderabantur hac ingraco codice , qua nos fup B
akuirnus .
a.
Quadratum autem b f xquale efl redangulo b fd .] Linea enim b ffd aquales funt , C
urn recia diameter Jit e flui exg 8 .& 39 -fecundi huius manifeste apparet .
X %
A
B\
C D
E
APO L L O N II P E R G AE I
D Triangulumd; brf triangulo a fh .] Jgam ex quadragefima quinta primi huius Jriangu
lum brf maius e fi, quam triangulum e h [triangulo fae. quare [equitur triangulum brf aquale
ejfe duobus triangulis ehfe af hoc efl aquale triangulo a fh .
E Etquadrilaterum gl-ftp triangulo aln.] Ex quinta huius .
THEOREMA XXI. PROPOSITIO XXI.
lifdem pofitisfi in fe&ione duo pun&a fumantur : & per ipfa ducan
tur reto linea ; una quidem contingenti aquidifhns, altera uero aqui-
diftans lineae tadus conjungenti *, qua fibi ip(is*& fedionibus occur-
rant : erit ut redangulum contentum lineis,qua interiiciuntur inter oc
curium contingentmm,&: fedionesad quadratum contingentis, ita re-
dangulum contentum lineis inter feitiones, & linearum occurfum in-
A teriedis>ad retongulum . quod lineis fi militer fu mptis continetur.
Sint eadem, qusefuprS: & fumptisin fe&ionepunriis gk, per ea’ ducan tur nxgo,
pr,kstipfi af requidiftantes;.& g 1 m A o ,u i y 4 (>- requidiftantes ac.Dico utreftan-
gulum b fd ad quadratum fa,itaeffe Ko cSs redtangulumadre&anguluiurnog. Quo
liiam enim eft ut quadratum a f ad tri
angulum a fh, ita quadratum al ad al
fn triangulum , & quadratum x o ad
triangulum xo j, & quadratum xg
ad triangulum xgm • erituttotu qua
dratum xo ad totum triangulu xo4»
ita quadratum xg ablatum ad ablatu
triangulum xgm. quare & reliquum
reriangulum nog ad reliquum qua-
drilaterum go i m erit, ut quadratu
E a f ad a fh triangulum . fed triangulu
C a fh aiquale eft triangulo b y f & qua-
drilaterum g o 4. m quadrilatero k,o
rt.ergo ut quadratum afad triangu-
li lum b y f,ita re&angulum 11 o g ad quadrilaterum k o r t . ut’ autem triangulum b y f
ad quadratum b f,hoc eft ad redtangulum b fd, ita demonftratum ell quadrilaterum
kjort adredtangulum ko c,;. ex aquali igitur ut af quadratum ad reriangulum b fd,
itare&angulum n o g ad re&angulum k o v: & conuertendo ut re&aguium b fd ad
quadratum fa,ita k o x redtangulum ad redtangulum nog.
FED. COMMANDI NVS.
^ Ad re< 5 Iangulum,quod lineis fimiliterlumptis continetur .] Hacnos addidimus , qua
in gr aco codice defiderari uidcbantur,uel alia in eandem fententiam.
U Sed triangulum afh aquale eft triangulo byf.J Sequitur hoc ex quadr age fima quinta
primi huius , ut nos proxime oftendimus .
Etquadrilaterum go< 4 tn quadrilatero k o r t .4 Ex 12. huius .
Yt autem triangulum b y f ad quadratum b fhoc eft ad redtangulum b fd , ita de-
monftratum eft quadrilaterum k o r t ad rectangulum K o rc .] Demonflr abimus enim ,
ut in antec edente, rectangulum k oa ad quadrilaterum K ort ita eft, ut quadratum b f, hoctH
rectangulum bfd ad triangulum b f y . quare & conuertendo .
THEOREMA XXII. PROPOSITIO XXII.
S i oppofitas Tectiones contingant dua reto linea* , inter fe aquidi-
flantes
CONTCORVM LIBER. III.
A
B
flantes : ducantur autem alia? linea?, qua? & fibi ipfis &c fedionibus oc-
currant ; una quidem contingenti a?quidiftans, altera uero xquidifians
ei , qua? cadus coniungit : erit ut tranfuerfum latusad redum -figura? >
qux ad lineam tadus coniungentcm confiituitur, ita redangulum con-
tentum lineis inter fedionem & linearum occurfum interiedis ad re-
dangulum , quod lineis fi militer fumptis continetur .
Sintoppofifcc fediones ab, quas contingant reda: linea:
ac,bd inter fecequidiflantes-.&iunda ab, ducatur exg ip-
fi ab xquidifians, & k elm xquidifians ac. Dico ut ab ad
redum figura latus , ita efie g e x redangulum ad redangu-
lum k em. ducantur enim per xg linea: gf,xn ipfi ac xqui
difiantes. & quoniam ac,bd xquidifiantesinterfe,fedio-
nes contingunt, erit & ab diameter, & linea: AJ,xn,gfadip
fam ordinatim applicabun tur. ut igitur a b ad redum latus ,
ita b 1 a redangulum ad quadratum 1 k, & redagulum b n a
ad quadratum n x , hoc efi ad quadratum 1 e . quare ut totu
redangulum b 1 a ad totum quadratum K I , ita erit redan-
gulum b n aablatum,hoc efi f a n ; quod n a,b f xquales fint ,
ad ablatum quadratu 1 e.reliquum igitur fl n redangulum ad reliquum redangulum D
k em erit ut ab adredum latus . efi: autem redangulum fl n aquale ipfi g ex. ergo ut
a b tranfuerfum figurae latus ad redum, itag ex redangulum ad redangulum k e m.
F E D. COMMANDINVS.
Erit & a b diameter . ] Ts Jxmfi a b non efl diameter , per centrum non tranfibit . quare ^
ac,bd conucment inter fe fe ad eafidem partes centri ex trigejima prima fecundi huius , quod quide
jieri no, npot efl, ponebantur enim ce quidijiantes .
Vt igitur a b ad redum latus , ita b 1 a redangulum ad quadratum 1 k . ] Ex uigefl -
ma prima primi huius .
Quod n a, b fxquales fint . ] Efl enim ut quadratum nx ad redangulum bna, ita fedio - q
nis : a redum latusad tranfuerfum : &■ ut quadratum fg ad redangulum af bfitafedionis b re tl . pri
dum latus ad tranfuerfum . harum autem fedionum tranfuerfum latus idem efl,uidelicet ab : & hui»»*
fedtonis a latus rtdumefl x quale redo lateri fedionis b-, quod apparet ex decima quarta primi
huius. ut igitur quadratum nx ad rectangulum b n a , ita quadratum fg ad afb rectangulum:
& permutando ut quadratum nx ad quadratum f g,ita rectangulum bnaad rectangulum afb.
fed quadratum n x efl cequale quadrato fg;quod linea nx ce qualis fg, efl enim nx gl parallelo -
gr amnium . ergo rectangulum bna rectangulo a fb efl cequale : & propterea f equitur lineam
n a ipfi fb cequalem e fle, ex lemmate , quod confcripfimus in fextam decimam fecundi huius .
Reliquum igitur fln redangulum ad reliquum redangulum k em, erit ut a b ad D
redum latus . J Rectangulum enim bla fuperat rectangulum bna rectangulo fln: quod
Tappus in quarto lemmate demonflrauit .
THEOREMA XXIII. PROPOSITIO XXIII.
S r in oppofitis fedionibus , qux coniugatx appellantur , dux reda:
linea? oppofitas fediones contingentes conueniantin quauis ledione*
ducantur autem aliqua? linea? contingentibus xquidiftantcs, qua? 6c fibi
ipfis, & aliis fedionibus oppofitis occurrant: ut quadrata contingen-
tium inter fe fe, ita erit redangulum contentum lineis, qua? inter fedio-
nes ,& occurfum iuteniciuntur,ad redangulum, quod lineis fimiliter
A POLION I I FER G AE I
fumtms comiti erur . •; . f
Sint oppofits fe&iones,qus coniugafx appellantur a b,c d,e f,g h:fitq,- earum cen-
trum Kr&iedrones ab,ef contingant re £tx lineae au c I, e.^.d l,coniienientes in I :&
iiin&s a K,e k ad b f producantur, a pUndoauterri g ducatur gm n xo ipfi al squi
diftans : & a pun&o h ducantur h p r x s xquidifians e 1 . Dico ut quadratum e 1 ad
quadratum 1 a, ita e fle h x s reftangulum ad re-
<ft angulum gx o . ducatur enim per s linea s t
squidiftas al &per o ducatur oy ipfi el squi
difians. Quoniam igitur oppofxtarumfe&io- &
num , qus coniugats appellantur, a b,c d,e f,gh
diameter eft be & el lectionem contingit: ip-
fic; squidiftans ducta eft h s : erit hp ecqualis
ps: & eadem ratione gm aqualis mo.& quo-
niam ut quadratum el ad eul triangulum , ita
eft quadratum p s ad triangulum p t s : & qua-
Sc \^> C qui iratum a d triangulum p n x: erit & reliqim
ex rcdrangulum hx s ad quadrilaterum tnxs,ut
A quadratum el adtriagulum eul.fed eul trian
£ gulum aquale eft triangulo a 1 ^ & quadrilate-
rum tnxs quadnlatero xry o . ut igitur quadratum el ad alj/ triangulum , ita re-
C dtangulum h x s ad quadrilaterum x r y o . ut autem triangulum a fy ad quadratum
al,itaquadrilaterum xryo adre&angulum gxo . ergo ex aquali ut quadratum el
ad quadratum 1 a,ita eft h x s re&angulum ad redangulum g x o.
i . i ./ W ~ 'M M O D Jl 3 3
E V T O C I V S.
- • ■ ' : • V : ; f .ir :r;lbrf ■■
■ i'. 1 r' • 1 v ";V. . -re "
Hoc theorcmaplures habet cafus, quemadmodum & aUa,uerum quoniam in aliquibus exem
flatibus loco theorematum cafus deferipti inueniuntur , & alia quadam demonftrationes , nobis
uiftm eft ipfas auferre . Vt autem ij, qui in hac inciderunt , ex differenti appofitio/ie fententiam
meam perpendere pojfint , eas in commentarijs expofitimus .
Itaque contingentibus xquidiftantes g k o,h k s per centrum, quod fit k tranfeat.
Dico iam ut quadratum el ad quadratum la,ita etiam effer e&angulum h Ks adre-
dangulum g Ko. ducantur enim per gh lines gm,hn, qus contingentibus xquidi-
D ftent . erit triangulum g K m triangulo a K t squa-
le triangulum autem hkn squale triangulo ekp:
E & triangulo e K p squale a k t triangulum . ergo
triangulum g k m ipfi hkn squale erit, fed ut qua-
dratum el ad triangulum 1 et, ita quadratum hK
ad triangulum hk n. atque eft triangulum let squa
le triangulo 1 ap : triangulum uero hkn triangulo
,g K m . ut igitur quadratum e 1 ad triangulum 1 a p ,
/ . ita quadratum hk ad triangulum glcm:& ut trian-
gulum iap ad quadratum 1 a, ita triangulum g k m
ad quadratum gk.ergo ex squali ut quadratum el
ad quadratum 1 a, ita quadratum h k,hoc eft rerian-
gulum hks ad quadratum gk, hoceftadreriangu-
lum g k o .
iifdem manetibus fi linea ‘hkp,qus ipfi el squidiftans ducitur,tranfeatper k cen
trum j go uero per centrum non tranfeat: dico fimiliter ut quadratum el ad qua-
dratum la, ita efie rectangulum hxp ad redtangulum gxo. ducantur enim per op
I 5 contingentibus squidiftantes,o r,p s.& quoniam triangulum m o r maius eft , quam
triangulum mnk, triangulo a kt. triangulum autem akt squale eft triangulo x s p;
erit
C <5 N I G 6' R V M I. I B. II*.
erit mor triangulum aquale triangulis fiink»
k s p.quare fuhlato coiimnini,uidclicet triangulo
m x K ..reliquum quadrilaterum xs quadrilatero
xr efl: xquale. Quod cum fit ut quadratum el ad
triangulum e 1 1 , ita quadratum k p ad ; triihgu-
lum k ps, & ita quadratum Kx ad triangulum
k x n : erit ut quadratum e 1 ad e I t triangiilmfi V
ita reliquum 3 re<flangulumfcilicet h x p ad qua-
drilaterum xs. eflautem triangulum d It Aquale 1
triangulo a lujSf quadrilaterum xr quadrilatero
xs.ergo ut quadratutn el ad triangulum a Iu, ita
rectahguium hxp ad quldrilaterum x s . & ei-
dem ratione, ut triangulum alti ad quadratum
d 1 , ita quadrilaterum ks ad rediafigufiim gxo .
-quali igitur u t quadratum e l ad quadratam 1 a,lta re&an|ulurfr h x p ad re &ari^
uft ilxo. I : " 11 1
ex ae<
tj')
i ; 1 sin
r>£
F E D. C O M M A N D t >} V S .
iIU T2
i.J snu
Sed eul triangulum arquale cfi triangulo a 1 \. ] Ex' quarta huius .
Et quadrilaterum tnxs quadrilatero xryo.] Hoc nos Jupra demonflrauimus in eam-*
tnentartjs in quintam decimam propofitionem huius libri .
Vt autem triangulum a \y ad quadrilaterum a 1 ,-ita quadrilaterum x r y o adre-
dtangulum g x ori] Eodem enim modo } quo j 'upra, demonflr abimus r e cl angulum gxo ad qua-
drilatenm xryo ita ejje>ut quadratum al ad al \ triangulum, quare & comertendo quadrila-*
terum xryo ai reclangulum gxo erit ,ut triangulum aly ad quadratum a l .
IN ALIAS DEMONSTRATIONES»
gVAE AB EVTOCIO AFFERVNTVR*
Erit triangulum gkm triangulo akt nrquale;triagulum autem hkn arquale trian
gulo e ] Hoc enim fupra demondratum efl in quinta decima propofitione huius libri .
Et triangulo e k p arquale a k t triangulum , Ex quarta huius .
Et quoniam triangulum m o r maius eft,quam triangulum m n k, triangulo a k t.|
Ex eadem quinta decima huius . „ >
Et eadem ratione ut triangulum alu ad quadratum al,ita quadrilaterum x s ad G
redtangulum gxo.] Vt enim quadratum a l ad triangulum alu , ita efl quadratum mo ad
triangulum m o r:& ita quadratum m x ad triangulum m x k- quare reliquum reclangulum gxo
ad quadrilaterum x r erit ut quadratum a l ad triangulum alu: & conuertendo quadrilaterum
x r 3 hoc efl xs ad reclangulum g x o,nt triangulum alu ad quadratum al .
THEOREMA XXIIII. PROPOSITIO XXIIII.
St inoppofitis fedionibus, quas cohiugatas appellamus , a centro
ad fediones ducantur duce reder linece, quarum una quidem fit trarifuer
{x diameter, altera uero reda* & ducantur alice linea: his diametris sequi-
di Itantes, qua: & (ibi ipfis Sc fedionibus occu rran t, ita ut occurfus fit in
loto inter quatuor fediones intermedio: redangulum contentum por-
tionibus linece diametro tranfuerict arqu i di Itantis, una cum eo, ad quod
redangulum exportiombus lmea: sequidiftantis redit diametro propor
o O
t- &
4 » Kj>
^tPjO J. L O U tflx *>%$ G A;E :;I
tioncm habet eandem, quam 4^r^t;WfFed^qna4ranini ad quadratum
tranfeerfe : aequale erit duplo qliadrari- 5 , qubd ^-dimidi^traniuerfaL’ dia-
• *V /P * * * ’ A f J J - -i • » . i» .- i.-' i -J i- *- I
metri sonftituitur.,/
i ■*> quadrato, d e; erit ut rectangulum s a U fd qu^rdtuny , ita quadratum- d r e ad e, a
aj. fextTr qua^fatum . re&angulum autem sau ad quadratum e,a ; .p(jbpqrtionem : habetcomT-
4 ' exu * politam ex proportione s a ad a e;&^x prqpjd^tiqne u %g<| a e r ,fqd, : ut ; s'a ad a e^ita
jpx ad x h: ,&.ut q a^^d r a,fj i,t% p \ p^g^^qg^propqgtip.qpad^ti de ad quadra-
*3 {cxti, turn e * componitur ex proportione n x aa i. h, & proportione f> x ad xk. prqppr-
tio autem reClanguli pxn ad re<ftangulum kxh compofitaeft ex eifdem proportio-
nibus. ut igitur quadfatpi?v de ad ea quac{r|tpip., itare^anguium pxn adre&an-
nti gulum kxh .& prOptefednttjuadratum d e dd quadratum ea, ita quadratum d e,
E una cum re&anaulo pxn ad quadratum e a una cum re&angulo kx h.atque eifc qua
F **. j ; 1 & oiJjigflfctll } S : ! , fpsKmumsft^r | 1
li.quinti
'-^ry;vr:tv.
:>
X)
E
.inv.-cl ^
drapum d e «quale re Ctangulo p m n,hoc eft rcctangulo r n m; St quadratu a e «qua
le rcctangulo k f h,hoc eit 1 h F. quare ut quadratum d e ad quadratum e a, ita redtan
gulum pxn una cum r.eCtangulo rnm ad redtangulum kxh una cum redtangulo
lhF re&angulumaute.pxn una cum reCtangulo rn m «quale eft reCtangulo rxm.
ergo ut quadratum de ad quadratum e a, ita rxm re&anguluadreClangu!um k x h
una cum re&angulo kfh.ltaquedemonflrare oportet rectangulum fxl una cum re
ctangulo kxh,& rectangulo Kfh aquale ede duplo quadrati ea. commune au fera-
tur quadratum a e,hoc elt rectangulum is fh. reliquum igitur rectagulum k x h una
cum rectangulo Ixf demonitrandum eft «quale quadrato a e.quod quidem ita fe ha-
bet, nam rectangulum Kxh una cum rectangulo 1 xf «quate' eft rcctangulo kfh,
hoc eit a e’ quadrato .
Conueniant deinde fl,mr in una afvmptoton ad punctum h . erit rectangulum
fhf «quale quadrato a e;& rectangulum. rahr «quale quadrato de. quare ut qua-
dratum d e ad quadratum e a, ita rectangulum mhr adrectangulum fhi.&propte
rea afldrddiidum eit duplum, rectanguli i h 1 «qiidte duplo quadrati a e . Illud uero
ita of e 'pe0fp r icue ; conflat . : : , r ' • " D£i
Sit pqllremo x intra angulum s e y, uel u e t. erit fimiliter ob coniunctionempro
portionum, ut quadratum de ad quadratum e a, ita pxn rectangulum ad rectan-
gulum k X h •; fed quadrato d e rectangulum p m n,hoc eft f n m eft «quale j & qua-
drato de «quale rectangulum Ihf.ergo ut rectangulum r n m adrectangulum 1 hr’
ita ablatum pxn rectangulum ad ablatum rectangulum kxh. reliquum igitur re,
' ctan-
CONICORVM L r B. III. 8*
dangulum rxm ad reliquum, uidelicetad exccflum, quo quadratum ac excedit re-
danguluni kxh 'eft ut quadratum de ad quadratum e a. Itaque demonftrare opor- H
tetre&agulum fxl una cum exceflu,qho quadratum ae excedit kxh redanguium
«quale die duplo quadrati a e. Commune auferatur a e quadratum, hoc eft redi an-
gulum fh 1 . ergo demcmirandum eft reliquum redanguium kxh una cum exceftii , K
quo quadratum a e excedit redanguium iCxh, quadrato ac «quale efte « quod qui-
dem ita eft : nam minus , hoc eft redtangulum kxh una cum cxcdTu cft «quale maio-
ri , uidelicet quadrato a e .
v 1: . v
F E D. COMMANDI N V S.
tf' , ■ . AV ; d s :
Quoniam igitur redanguium sau «quale eft quadrato de.] Ex quinquageftmafe-
Xta primi , & prima fecmdi huius ; utrumque enim eft aquale quarta parti figura , qua ad diame-
trum a c conftitmtur .
Atque eft quadratum d e «quale redangulo p mn .] Ex undecima fecmdi huius . 3
Hoc eft redangulo r n m . ] Sunt enim ' linea mn,pr inter fe aquales ex oftaua fecundi q
huius .
- Redanguium autem pxn una cum redangulo rnm «quale eft redagulo rxm.] j)
Hoc nos demonftrauimus in commentaris infextum lemma Tappi .
Itaque demonftrare oportet redanguium fxl una cum redangulo kxh.] Eft enim p
quadratum db ad quadratum a c 3 ut quadratum de ad quadratum e a , quod utrumque utriufque
quadruplum fit. ergo ut quadratum db ad quadratum a c, ita reftangulum rxm ad r exanguium
kxh una cum r eft angulo k fh.r eft angulum autem hjch una cum re ft angulo Ixf esi aquale re-
ft angulo K fhjooc eft quadrato a e, quod nos in quintum Tappi lemma demonftrauimus .fi igitur
utrique addatur commune quadratum a e, erit reftangulum fx l una cum reftangulo k xb,& qua
drato a e, hoc eft reftangulo K fh, aquale reftangulo kfb ,& quadrato a e ; hoc eft duplo qua-
drati a e. quod quidem demonftrare oportebat .
E ritfimiliterobconiundionem proportionum, ut quadratum de ad quadratum p
ea.] Hoc demonftrdbitur eadem prorfus ratione , qua fupra uft fuimus .
Reliquum igitur rcdangulum rxm ad reliquum uidelicetad exceffum, quo qua- q
dratum a e excedit redanguium k xh.] Tftam reftangulum pmn, hoc eft rnm excedit
pxn reftangulum, reftangulo r xm,ut demonftrauimus . quare reliquum reftangulum rxm ad
reliquum , quo reftangulum l h f,hoc eft quadratum a e excedit reftangulum k x b, erit ut reftan -
gulum rnm ad reftangulum ib f , hoc eft ut quadratum de ad quadratum e a, uidelicet nt qua-
dratum db ad quadratum a C .
, Eft ut quadratum d e ad quadratum e a.]H^c nos addidimus, qua: dcfideran uidebantur. jx
Ergo demonftrandum eft reliquum rcdangulum k xh una cum excdfu, quo qua-
dratum a e excedit redanguium kxh quadrato a e «quale effe.] Bgftangulum enim
fx l excedit reftangulum fh l, reftangulo Kxh.
THEOREMA XXV. PROPOSITIO XXV.
Iisdem pofitis , iit linearum ipfis a c,b d a?quidiftantium occurfus
in una fedionum d b, atque in pundo x, ut pofitum eft . Dico redan-
giifum contentum portionibus linea?, quae tranfuerf^ diametro aequidi-
ftat,uidelicet o x n,maius eile,quam illud, ad quod redanguium ex por
tionibus linea? a?quidiftantis reda? diametro, hoc eft r x m, eandem pro-
portionem habet, quam reda? diametri quadratum ad quadratu trafucr
fe, duplo quadrati eius, quod a dimidia tranfueria? diametri coftituitur .
Eft enim propter eadem rationemjUt quadratum d e ad quadratum ca,itarcdan A
gulum p xh ad redanguium s x l.quadratum autem de «quale eft redangulo p mhj B
Y
■ i%
APOLIO N r I H P E R' G- AE I
C & quadratum e a «quale redangulo I k s.ergo ut quadratum de ad quadratum c a,
ita pm h redangulumad redangulum Iks. Itaque
quoniani ut totum redangulum pxh ad totum 1 x s,
D ira ablatum redangulum pmh ad ablatum 1 k s , hoc
E' eftad 1 1 s;erit& reliquum r xm adreliquum txK,ut
de quadratum ad quadratum ea. offendere igitur
opbrtet redangulum o x n maius effe , quam redan-
gulum t x k,duplo quadrati a e . commune auferatur
T tx k.ergo offendendum relinquitur redagjftum o t n
G xquale du pio quadrati a e; hoc autem ita effe manife-
fto apparet .
FED. COMMANDI N V S .
• . • . * •• [ \ \ o . nur-w.r’ . Av; ■
A Eft enim propter eandem rationem, ut quadratum
de ad quadratum ea.] Ex demonflratis in antecedente .
B Quadratum aute de «quale eft redangulo pmh. j ,,
Ex undecima fecundi huius, ut didum efl .
C Et quadratum e a «quale redangulo 1 k s . ] Ex decima fecundi huius, ita uero Corrigen-
dum e fi, nam ingraco codice legitur A o g & ita inferius in multis locis.
D Ita ablatum redangulum p m h ad ablatum 1 k s hoc eft: ad 1 1 s . hac ita refli-
tuimus , ingraco enim codice legebatur , ovTccexipoupidivi-o dnro iry-d 7rpoV«$a/pdtVro v 7 ro a a
c:,7oi rioTtro vtio v cr e: hoc e fi ita ablatum redi angulum pmh ad ablatum lo s,hoc efl ad yso.
E Erit&reliquum rxm adreliquum txk,ut de quadratum ad quadratum ea.j
'K[am reti ungulum pxh fuperat redangulum r x m, redangulo pmh, ex quarto lemmate "Pap-
pi ; redangulum uero Ixs ex fexto lemmate eiufdem fuperat redangulum t x k, redangulo Iks .
F Commune auferatur tx k.ergo offendendum relinquitur redangulum otn «qua
ex i.parte le duplo quadrati a e . ] Redangulum enim oxn efl aquale redangulo t x K una cumredan -
fdera. gulo otn. , . *
G Hoc autem ita effe manifefto apparet . ] Ex uigefima tertia f i eundi' huius .
THEOREMA XXVI. PROPOSITIO XXVI.
Qj/ od fi requidiftantium occurfus ad pun&-um x fit in una fe&io-
num a c,ut pofitum efi: *, redangulum, quod continetur portionibus li-
nere requidillantis tranfuerfre diametro , hoc eft 1 x f minus erit , quam
illud, ad quod redangulum portionibus alterius linere contentum , hoc
ed rxg, eandem proportionem habet, quam redre diametri quadra-
tum ad quadratum tranfuerfre, duplo quadrati eius > quod a dinndia
tranfuerfre diametri confiituitur .
Quoniam enim propter eadem, qu« prius didafunt,
A ut quadratum d e ad quadratum e a 5 ita eft u x s redan-
B gulum ad redangulum k xh : habebit totum redangu-
lum rxg ad redangulum k xh una cum quadrato a e,
proportionem eandem, quam red« diametri quadra-
tum ad quadratum tranfuerfre . ergo dcmonftrare opor-
tetredangulu lxf minus elfe, quam redangulum xxh
una cum quadrato ae, duplo a e quadrati, commune
auferaturquadratum a e. reliquum igitur redangulum
lxf demonftrandum eft minus , quam k x h , quadrato
a e, -hoc eft redangulo lhf:quod quidem ita fe habet.
C nam redangulum lhf una cum lxf «quale eftredangulo kxh.
CONICORVM LIRER» f II. 86
F E D. C O M M A N D I N V S.
Vt quadratum de ad quadratum ea, ita eft uxs rectangulum adreetangulum
Kxh. Ob compofitionem uidelicet proportionum
Habebit totum rectangulum rxg adreetangulum kxh una cum quadrato a e,
proportionem eandem, quam recte diametri quadratum ad quadratum tranfiuerfis.]
Quoniam enim eft ut quadratum de dd quadratum e a, ita rcotangidum uxs ad rectangulum
k x h : erit quoque ut quadratum de ad quadratum, e a ^ ita quadratum de una cum redi angulo
uxs ad quadratum ea und cum reti angulo k x b . fed quadrato de x quale cfl rectangulum ugs
hoc efi r s g. quare ut quadratum de ad quadratum e a, ita rectangulum uxs und cum r sg re -
^tangulo. adreetangulum Kxh und cum quadrato a e : rediangulurn autem uxs una cum rettan
gulo rsg eft aquale reci angulo rxg ex quinio lemmate . ut igitur quadratum de ad quadratum
e ajooc efi, ut recta diametri quadratum ad. quadratum tranfuerfx , ita rett angulum rxg ad re-
angulum !gx h und cum a e quadrato .
Nam rectangulum llifunacum 1 x f «quale eft rectangulo kxh.] Ex quarto lem-
mate "Pappi c
THEOREMA XXVII. PROPOSITIO XXVIiI.
S i in eliipfi 5 , uel circuli circumferentia coniugatas diametri ducan-
tur, quarum altera quidem fit re&a , altera uero tranfuerfar & ducantur
dux.rc&x lineas diametris sequidi dantes, qua? 6c libi ipfis &c feftioni qc-
currant : quadrata ex portionibus lineae asquididantis tranfuerfas diame-
tro, quas inter fedioiiern,8dineariim occurfum interiiciuntunaifumen
tia figuras ex portionibus linete , quas re£ta? diametro asquidiftat > inter
linearum occurfum , & febfionem interieris, fi miles, fimiliter defori-
ptasei, qux ad redam diametrum conifituitiir , quadrato tranfuerfie
diametri aqualia erunt .
Sitellipfis , uel circuli circumferentia a b c d , cuius centrum e: ducanturcpipfius
dus coniugate diametri , recta quidem a e c , tranfuerfa uero b e d ;& ducantur k.f
lm,nf'g h,qusipfi a c,b d squidiftent. Dico quadrata n fifh ailiimenda figuras ex
k f.f m fimiles,& fimiliter deferiptas ei, qus fit ad a c, quadrato b d squalia efle . du-
catur enim a puncto n linea
nx aeguidiftans a e, qua* ad
B d' ordinatim applicata erit :
& b p fit rectum figura; latus. /
Quoniam igitur ut b p ad a c,
ita eft a c ad b d ; erit ut pb ft
ad b d , ita' a c quadratum ad
quadratum b d . quadratum
autem fad eft squale figurs ,
qua ad ac conftituitiir . ergo
i ■
/ X
J Ni - + 1
^ . \
H.
\
1 (I
■
f O
/bl- ' iW-
t
> S
IrV
{* ■
• t
m ‘i: lr.
<• .* .*• « ■
T
ut pb aa b d,ita quadratum ac ad figuram quae eft ad ac. fed: ut quadratum a c ad
figuram, qus ad a c, ita quadratura nx ad figuram, qus fit ab nx firnilemei, qus ad
a c. ergo & ut p o ad b d, ita quadratum n x ad figuram' , qus ab n x,fimilem ei , qus
ad ac.eft autem &ut pb ad bd,ita nx quadratum ad rectangulum bxd . quare fi-
gura, quae fit ab nx, hoc eft ab fl , fimilis ei , quae ad a c, rectangulo b x d effisqualis s
Eodem modo ciemonftrabimus figurani, quae fit a,xl,fi.milemilli, quae ad. ac,reciaiir
gulo bld squalem efle-.- Et quoniam recta linea n h fecdturin partes squales ili' gq
& in partes insquales in i i quadrata h f, fn dupla fiunt quadratorum’ Irgfi gfidhbc eft
tig , g fi eadem quoque ratione quadrata mf,fx quadratorum xl,lfifun£dypla;^
Y 3
A
B
12. quinti
C
A
cor. io T#
xti
B
C
9- quinti,’
D
APOLLONII PERGAEI
figura;, qua; fiunt ab m fi,fik,fimiles ei, qua; ad a c,dup]«fiunt figurarum fimilium, qua*
a k 1,1 f. figura; autem, qu« fiunt a k 1,1 f' redangulis bld,bxd fiunt «quales : & qua-
drata n g,g f aqualia funt quadratis xe,el. ergo quadrata nfifh una cum figuris kf,
f m fimilibus ei, qua; ad a c, dupla fiunt redangulorum b 1 d,b x d, & quadratorum x e
f.fecudi e ]. Itaque quoniam refitali-
nea b d fiecatur in partes
«quales in e,& in partes in«
quales in x;redangulu b x d ^ j
una cum xe quadrato «qua
le eft quadrato b e. Similiter
&redagulum bld una cum
quadrato le «quale efl: be
quadrato . quare redangula
b x d b 1 d , & quadrata x e ,
1 e «qualia fiunt duplo quadrati b e. quadrata igitur nfifih una cuHi figuris kfifim fi-
milibusei,qu«ad ac, dupli quadrati bs fiunt dupla, atque eft Quadratum bd duplu
dupli quadrati be.ergo quadrata -nijfh aifiumentiafiguras k fifim fimiles ei, qusead
a c,quadrato b d aqualia erunt .
tSM
A
B
C
D
4. fecudi
F E D. COMMANDINVS.
^ •--- i,. * J • ; ■
Quoniam igitur ut b p ad a c,ita eft ac ad b d .] Ex diffinitione fecunda diametri ,qu<z
mediam proportionem habet inter figura latera .
Quadratum autem ‘b d efl: «quale figur«,qu« ad a c conftituitur . ] Habet enim b d
mediam proportionem inter latera figura, qua fit ad a c,ex decima quinta primi huius .
Efl autem & ut p b ad b d,ita' n x quadratum ad redangulum b x d . ] Ex uigefima
primaprimi huius .
Et quoniam reda linea n h fiecatur in partes «quales in g,& in partes inequales in
f, quadrata h fi, fin dupla fiunt, quadratorum h g,gfi. J Hoc demonflrauit Euclides in fecun-
do libro elementorum, propofitione riona.fed & aliter demonfirar e pofiumus, hoc paEto .
Secetur reda linea ab in partes «quales ad pundum c, & in partes inequales ad
d. Dico quadrata ad,db quadratorum dc,cb dupla eifie.] x*uomamenm ac,cb aqua
les funt, erit ad linea, qua bc-kpfam cd fupe
rat.ergo ex ijs , qua demoufiiauimus in trige-
fimam tertiam propofitidnem primi huius, qua f a £ b
drata d c,cb aqualia funt -r-eU angulo j quod
bis dcb continetur , <&- quadrato a d . Idcir-
coq; quadrata dc,cb una cum rdl angulo, quod bis dcb continetur, & quadrato ad, dupla funt
quadratorum d c,c b.fed quadratum db efi aquale quadratis dc,c b,&rttt angulo, quod bis dcb
continetur. quadrata igitur ad,db quadratorum dc,cb funt dupla . quod demonfirar e oportebat .
THEOREMA XXVIII. PROPOSITIO XXVIII.
> -f '4 / . V
St in oppofitis Tectidnibws, quas coniugatas appellamws, coniugi
tx diametri ducantur , ut earum altera recta iit , altera tranfueria: & du-
cantur duat recta: linese diametris atquidiftantes, qua?& fibi ipTis&ie-
ctionibus occurrant: quadrata ex portionibus linea? a:quidiftantis rectie
diametro, quxinterlincarum occurfum, 5c Tectiones interiiciuntur , ad
quadrata ex portionibus alterius linea:, qua: tranfuerTa? diametro a:quidi
ftat, inter Tectiones 6c occurTum linearum interiectis; eandem propor-
tionem habent, quam recix diametri quadratum ad quadratum tran-
fueriie .
Sitit
CONICORVM LIBER III. § 7
Sint oppofit# fe< 5 tiones,qua: coniugata; appellantur a b c d, quarum diameter qui-
dem recta fit aec,tranfiuerfiauero b e d:&ipfis xquidiftantcs ducatur fgh\,lgmn,
quas & fibi ipfis & fie&ionibus occurrant.Dico quadrata 1 g , g n ad quadrata fig, g k
eandem proportionem habere, quam ac quadratum ad quadratum bd.a pu rufiis
enim If ordinarim applicentur lx,fio,quae;acqiiidiftahtes erunt diametris ac, b d: &
apundto b ducatur ipfius bd redum latus bp. Itaque confiat ut pb ad bd,ita effe
quadratum ac ad bd quadratum ,& quadratum a e ad quadratum e b;& quadra-
tum fo adre&angulurn b o d;& redtangulum cxa ad quadra-
tum lx. efi igitur ficut unum antecedentium ad unum confie-
quentium,ita antecedentia omnia ad omnia conlequentia.qua
re ut quadratum ac ad quadratum bd,ita redangulum cxa
una cum quadrato a e,& quadrato ofihocefie h,adredangu-
lum d o b una cum quadrato b e,& quadrato 1 x , hoc efi me.
fed redangulum cxa una cum quadrato a e jequale efi quadra
to xe;& redangulum dob una cum quadrato be sequalequa
drato oe.ergout ac quadratum ad quadratu b d, ita lunt qua-
drata xe,eh ad quadrata o e,ein; hoc efi quadrata lm,mg ad
quadrata fh,hg.quadratorumautem lm,mg dupla fiunt quadrata lg,gn, ut demon
firatum efi:& quadratum fh,hg quadrata fig,g k fiunt dupla.ut igitur quadratum ac’
ad quadratum* b d,ita lg,gn quadrata ad quadrata fg,glt.
F E D. C O M M A N D I N V S.
Itaque confiat, ut p b,ad b d, ita efie quadratum a c ad b d quadratum W enim
a c proportionalis inter pb,bd, ex diffinitione fecunda diametri . quare per corollarium decima no
na fexti,ut pb ad b d , ita quadratum pb ad quadratum ac i & ita quadratum ac ad b d qua-
dratum .
Et quadratum a e ad quadratum e b.] Ex 15. quinti.
Et quadratum fio ad reclangulum bod.] Tslam ex uigefima prima primi huius, ut figu-
ra re clam latus ad tranfu&rfumjjoc ejl ut p b ad bdftafo quadratum ad recianguium bod.
EtreCfcangulum cxa ad quadratum 1 x.~\ Efi enim ex eadem 21. primi huius , ut febiionis
a tranf ter fum latus ad reUumfhoc efi ut quadratum ac ad quadratum bd, ita redt angulum cxa
ad quadratum l x .
Efi igitur ficut unum antecedentium ad unum conficquentium,ita antecedentia o- E
mnia ad omnia confiequentia.] Ex 12. quinti.
Quadratorum autem 1 m,m g dupla fiunt quadrata n g, g l,ut demonfiratum efi .] F
Infecundo libro elementorum propojitione nona , ut diximus .
be J. .tf.vjp
.THEOREMA XXIX. PROPOSITIO XXIX.
lifHem pofitis fi linea reda: diametro aequidiftans fecet afymprotos ;
quadrata ex portionibus ipfius,qua: inter linearum occurfum , dc afym-
ptotos interliduntur, afiumentia dimidium quadrati fadi a reda dia-
metro, ad quadrata ex portionibus linea:, qua: tranfuerfe diametro asqui
diftat, inter occurfum linearam , Sc afymptotosinteriedis, eandem pro-
portionem habent, quam reda: diametri quadratum ad quadratum
tranfuerfe .
APOLLONII PERGAEI
Sint eadem , qusfupra: & linea ln fecet afymptotos in
A pundis x o.demonftrandum eft, quadrata xg,goaflumen
B tia dimidium quadrati a c, hoc eft dupiu quadrati e a , hoc
eft duplum redanguli Ixn, ad quadrata fg, gK eandepro
portionem habere, quam ac quadratum ad quadratu bd.
C Quoniam enim 1 x squalis eft o n, quadrata 1 g, g n fupe-
rant quadrata xg,go duplo redanguli lxn. ergo quadra-
ta xg,go una cum duplo quadrati a e, «qualia funt qua-
D dratis lg,gn.fed lg,gn quadrata ad quadrata fg, gk ean
dem habentproportionem, quam quadratum a c ad qua-
dratum b d. Quadrataigitur x g, g o una cum duplo qua-
drati ea ad quadrata fg,gk eandem proportionem habent, quam ac quadratum
ad quadratum b d .
• F E V T O C I V S.
E
Quoniam enim lx «qualis efton; quadrata 1 g j0 -
pio redanguli lxn.] sit reda linea l n ; aufer anturq;
ab ipfa aquales l x,n o 3 & figura defcribatur.manifefium
efi oh fimihtudinem 3 & propterea qubdlinea lx e fi aqua
lis n o, quadrata l c,d n,a k,m b inter fe aqualia e fi e. fluo
niam igitur quadrata, qua fiunt ex Ig , g nffiunt quadrata
a f,fn: & qua ex g x 3 g o funt kfifd; fequitur ut quadra
taex lg,gn fuperent. quadrata ex g x 3 g o 3 gnomonibus
q r s 3 t uy . Quod cum r e cl angulum g d fit aquale reEi an-
gulo mp ,■& rec i angulum ei ipfi mh ; erunt gnomones
qrsjtuy aquales recl angulis am 3 db.fed am efiaqua -
le Id; redangiila uero ld 3 db funt 3 qua lxn 3 hocefi lon
continentur .ergo quadrata ex lg->gn 3 bocefi af 3 fn,fupe
rant quadrata ex gx,go, hoc efi k ffd 3 duplo re& angu-
li lxn, hoc efi rdt angulis l d 3 d b.
n fup erant quadrata xg,go,du
FED. COMMANDINVSc
> \ •• i ’ . ; v ; , • .
A A Ifum entia dimidium quadrati a c , hoc eft duplum quadrati e a .] Cum enim linea
a.c dupla fit ipfius a e 3 er it quadratum ac quadrati a e quapruplum , ex lo.fexti.
B Hoc eft duplum redanguli ln x.] Ex lo.fecudi huius 3 & ex diffinitione fecunda diametri.
C Quoniam enim lx «qualis eft on, quadrata lg,gn fuperant quadrata xg 3 go du
pio redanguli lxn.] Confiat etiam hoc ex odauo lemmate Tappi .
D Sed 1 g,g n quadrata ad quadrata fg,g k eandem habent proportione,quam qua-
dratum a c ad quadratum b d .] Ex antecedente .
THEOREMA XXX. PROPOSITIO XXX.
Si hyperbolen contingentes dure redta: linea: Tibi ipfis occurrant: Sc
per tadius linea producatur : per occurfum uero ducatur linea uni afym
p t o t o n re c] u i d i 1 tan s > fe&ionemcj; & lineam coniungentem tadfcus fecas:
cjuiemtenicitur inter occurfum, & lineam tadfcus coniungentem a fe-
dtioitte bifariam diuidetur .
* : Sit hyperbole a b c, quam contingant red« lines a d, ,d c . afymptoti uero fint e f,
fg:& iunda ac, ducatur per d linea dkl «quidiftans eftDico dk ipfi k_l squalem
elfe.iungatur enimfd,b m 3 & exutraciueparteproducatur,utfit ih squalis fb;&pet
bk
CON I C ORVM LIBER III.
b !< ducantur b e,kn arquidiftantes a c,qu* ordinarim appli
cata:- erunt.& quoniam triangulum feb triangulo
d k n , erit ut quadratum d n ad quadratum n k, ita quadra-
tum fbqadjbe quadratum. Vt autem quadratum fb ad qua
dratum b c, ita linea hb ad redum latus, quare ut quadratu
d n ad quadratum n kfitz h b ad redum latus . fed ut h b ad
rectum latus , ita redangulum h n b ad quadratum n k . ut
igitur quadratum dn ad quadratum nk,ita hnb redangu
lum. ad quadratum' nk. ergo redangulum h n b quadrato
dn elbxquale. eftautem & redangulum mfd aquale qua-
drato f bjpropterea quod linea ad fedionem contingit , &
am ordinarim eft applicata. quare redangulum hmb una
cum quadrato b f sequale eft redangulo mfd una cum dn quadrato . fed redangu-
lum hn b una cum quadrato bf eft tequale quadrato f n . ergo & redangulum mfd
una cum quadrato dn aquale eft quadrato fn: idcircoq; linea dm adpundnm n bi
faciam fecatur,adiundarn habens d£&Kn,lm sequidiftantes funt.linea igitur dk ip
ft kl eftxqualis.
-FED. COMMANDINVS.
Vt autem quadratum fb ad quadratum be,italinea hb adlatus redum.] Exde-
mohjlratis in prima fecundi huius.
Sed ut hb ad redum latuSjita redangulum htib ad quadratum n K.] Ex uigefima
prima primi huius .
Eft autem 8 t redangulum mfd squale quadrato fb,propterea quod linea a d fe-
dioiiem contingit,& a m ordinarim eft applicata.] Ex 37. primi huius.
Quare redangulum h n b una cum quadrato bf squale eft redangulo mfd una
cum d 11 quadrato.] V enim aqualibus aqualia addantur , qua fient aqualia enmt.
Sed redangulum hnb una cum quadrato bf eft squale quadrato fn.] Ex 6 .fecim
di elementorum.
Idcircoqj linea dm ad pundum n" bifariam fecaturadiundam habens d£.~]Ex no-
no lemmate Tappi ijs > qua in ipfum confer ip fimus .
TEIEOREMA XXXI. PROPOSITIO XXXI.
Si oppofitas fe&iones diftE re&a: lineat contingentes fibi ipfis o ccur-
rant:& per tactos linea producatur : per occurfum uero ducatur linea
afymptoto aequidi Itans, quat fe&ionem ■& lineam ta&us coniungentem
fecetdinea inter occurfum 3 & eam^quse ta&us coniungit,interie&a a fe-
dione bifariam diuidetur.
Sint oppofits fediones a b ; & contingentes line*
ae,cb:iundaq; ab producatur.-afymptotos uero fit
ef: & per c ducatur c gh,ipfi ef aequidiftans . Dico
c g aequalem eife g h.iungatur enim c e, & ad d pro-
ducatur: & per e g ducantur eKmn, g x ipft ab
*qiudiftantes:& per Kg ducantur k f , g 1 requidiftan-
tes c d. Quoniam igitur triangulum k f e fimi-
le eft triangulo mlg,ut quadratum e k ad quadratu'
k fit a erit m 1 quadratum ad quadratum 1 g . fed ut
quadratum e R ad quadratum k ftita demonftratum
eft nlk redangulum ad quadratum 1 g.ergo redan-
gulum n 1 quadrato m 1 eft aequale.communeappo
natur quadratum ke. redangulum igitur n 1/^una
cum quadrato K e, hoc eft quadratum 1 e, hoc eft gx,
uaie eft quadratis m l,k e . ut autem quadratu g x
4. fexti'
11
A
B
2 . quinti.
C
D
E
F
1. fexti,
A
B
C
D
E
F
4. fexti
12 ,
A
9- quftf.
6 . fecudL
14. quin-
ti
B
APOLLONII PERGAEI
i 4 . quxti ad quadrata m I, k e , ita quadratum x c ad quadratal g, k f. ex quibus /equitur qua-
dratu x c «quale efte quadratis g 1,k f atque eft quadratu g 1 «quale quadrato x e :
O D & quadratum k f* «quale quadrato dimidia: fecunda; diametri, hoc eft re&anguio
E c e d . quadratum igitur c x quadrato x e,& redtagulo c e d eft «quale ac propterea
linea c d in partes quidem «quales fecatur ad pundum x, in partes uero in«quales
e. fexti ad e,& dh «quidiftat g x.ergo c g ipfi gh «qualis erit.
E V T O C I V S.
Tofiumus etiam hoc theorema demonfirare,ut antecedens , fi duce redi a linea fettionem unam
contingant, fed quoniam omnino idem eH, atque illud, quod in una byperbola demonfiratumfuit,de
monflratio eadem repetatur.
FED. COMMANDINVS.
A Sed ut quadratum e /q ad quadratum k f, ita demonftratum eft n 1 k redangulum
ad quadratum 1 g.] In antecedente fcilicet .
B Vt autem quadratu g x ad quadrata m 1, K e, ita quadraturo x c ad quadrata 1 g ,
k f.] Is Jam ob fimilitudinem triangulorum cxg,glm,f ke ,ut linea gx ad xc, ita erit e k ad
k/.- & permutando ut gx ad e fi, ita xc ad d. /' & eademratione demonfirabitur ut ml ad
ck,ita ig ad K f. quare & componendo ,ut ml,e k,ad ek,ita lg,kf ad k / : conuertendoq; ut
ek ad ml,e K,ita kf ad Igfkf. Quoniam igitur ut gx ad e fi, ita x c ad k f: &ut ek ad
fci. fexti m l >e kfita K f ad lg, K fient ex aquali ut gx ad m l,e Kfita xc ad l g, k f.ergo ut quadratum
g x ad m l , e k quadrata, ita quadratum xc ad quadrata lg,kf.
£ Et quadratum K f «quale quadrato dimidi« fecunda diametri.] Qiiadratumenim
Kf efi aquale quarta parti figura, qua fit ad diametrum fin,ex prima fecundi Imus :& cumje-.
eunda diameter mediam propor tiontm habeat inter figura latera , erit dimidia ipfius quadratum
itidem aquale quarta parti figura .
D Hoc eft redangulo c e d.] Ex 38. primi huius.
£ Ac propterea linea c d in partes quidem «quales fecatur ad punctum x,inpartes
nero in«quales ad e .] Ex decimo lemmate Tappi .
THEOREMA XXXII. PROPOSI TIO XXXII.
Si hyperbole dux re<5be lincte contingentes fibiipfis occurrant :5c
per tactus linea producarur : per occurium uero contingentium duca-
tur lineajta£tus coni ungenti £quichftans:&: per punctum, quod comun
gentem tadus bifariam fecat,ducatur linea ieqmdiibansalten afympto-
la ton:t]use inter di£tum pundtum,& lineam ^quidiftantem internatura
fedtio ne bifariam ciiujdetur.
Sit hyperbole a bc,cuius centrum d &a/ymptotos de: contingant autem fedio-
jo.fecudi nemlme« affc.iunganturq; ca;& fd,&ad gh producatur.erit ah «qualis heuta-
buiu«. queper f ducatur f^ipfi ac «quidiftans:&per h,hlk «quidiftans de.Dico kl lpli
lh «qualem e/Te.ducantur enim per bl line« be,lm, qu««qui
diftent a c.iam ex ijs,qu« dcmonftratafunt, ut quadratum db
ad quadratum b e, ita erit h m quadratum ad quadratum m 1 ;
f. quinti. & redangulum gmb ad quadratum ml. redangulum igitur
primi gmb «quale eft quadrato mh. eft autem & h d f redangulum
huiu*. quadrato db «quale ; propterea quod af fedionem contin-
git,&ah ordinatim applicata eft.ergo redangulum gmb una
6 fecundi cum quadrato db,hoc eft quadratum dm «quale eft redangu c
n.Iemma lo h d f una cum quadrato mh :& ideo linea fh bifariam feca-
Fappi . tur in m,adiundam habens d f: funtq; k f*, 1 m «quididantes . *
x.fexti «qualis igitur eft Kl ipfi lh.
THEO-
CONTCORVM LIBER II L
THEOREMA XXXITL PROPOSITIO XXXIII.
* V
Si oppofitas fediones dua? redse linea? contingentes fibi ipfis occur-
rant : fk per radiis linea producatur : per occurfiini nero coringentium
ducatur !mea tadus coniungcnti xquidiftasr&l per pu netum, quod' con
jungentem tactus bifariam fecat, ducatur linea squidiftans alteri afym-
ptotoiEcoueniensq; cum fedtione, Sc cum linea atquidi itante per occur
lum duda:qux inter didum pundum* & lineam sequidiftanrem interii
citur ? a fedione bifariam diuidetur.
Sint oppofi ts fcdiones a b c,d e f dc contingentes lines a g,g tbcentrum autem fit
h, & alymptotos h k.-dudaqj h g producatur.-diunda ald, qus bifariam fecabkur
inljducantur per g,h linea? cgfibhe ipfi ad squidiftantes.-&per 1 ducatur lmti x-
quidiftans hic. Dico lm squalem ede m n. applicentur enim a pundis em lines e k,
mx squidiftantes gh;&per m ducatur mp squidiftans ad.t^uoniami^iturexijs,
qus ante demonftratafunr, ut quadratum he ad quadratam e k, ita eft rcdaiumlum
bxe ad quadratum xm erit ut h e quadratum ad quadratum
ek,ita redangulum bxe una cum quadrato h e ; hoc eft qua-
dratum h x ad quadrata k e,x m. quadratum autem k e often-
fum eft squale redangulo ghl: & quadratum xm squale eft
quadrato h p . ut igitur quadratum h e ad quadratum e k ita
quadratum h x, hoc eft mp ad redangulum ghl unacumqua
draro h p. fed ut quadratum he ad quadratum e k, ita eft qua-
dratum mp ad quadratum pl. quare ut quadratu mp ad qua-
dratum p 1, ita quadratum mp ad redangulum ghl una cum
quadrato hp;& propterea quadratum Ip redagulo ghl una
cum quadrato hp squale ent.ergo leda linea Ig in partes x-
quales fecatur ad p,& in partes insquales ad h. & funt squidi-
ftantes mpjgn. linea igitur lm ipfi tnn eft squalis.
THEOREMA XXXIIII. PROPOSITIO XXXIIII.
Si in una afymptoton hyperboles aliquod pundum fumatur : ab coq;
reda linea lectionem contingat* & per tadum ducatur arquidiftas afym
ptoto:qua? per dictum pundum tranfit 3 alteri afymptoton squidiftans,
a iedione bifariam diuidetur.
Sit hyperbole ab,afymptoti ucro cd,de.-&fiimpto in linea cd quouispundo c»
periplum ducatur cbe lectionem contingens & per b qui-
dem ducatur i bg squidiftans c d;per c autem cag,qus
ipfi de squidiftet. Dico lineam ca squalem e ile ag. duca-
tur enim per a linea ah, squidiftans cd;&pcr b linea bk,
squidiftans de. itaque quoniam cb squalis eft b e, erit &
c k ipfi k d; & d f ipfi i e squalis . quod cum redangulum
k b J squale fit redangulo cah,& linea b f squalis d k, hoc
eft c K, & ah ipfi dc.-rectangulum dea squale erit redan-
gulo Kcg.Vtigitur dc ad cK,ita cg ad a c.eftautem d c
ipfms ck dnpla.ergo& cg dupla c a. idcirco linea ca ipfi ag eft squalis ..
3 fecun
<il ilUlUft.
1 1, quinti
3& primi
huius.
4. (dxti
ii.
9. quinti.
/
io lemma
Fnrpi .
2 Citi .
A B
C
D
/
E
F G
A
B
C
D
E
F
G
A
54. primi.
B
C D
1 .fexti.
E
F
i^.qumti
G
S . fexti .
4. texti.
APOLLONII PERGAEI
E V T O C I V S.
ALITER. Sit hyperbole a b, cuius afymptoti c d,d e ;
& contingens cb e. «quidiftantes autem cagftbg.Dico ca
ipfi ag «qualem efte.coniungatur enim ab, &ad hk pro-
ducatur.itaque quoniam cb «qualis eft be;erit& k b ipfi
ba «qualis.fed& k b eft «qualis ah.ereo & ca ipfi au se-
quatis erit .
F E D. C O M M A N D I N V S.
Itaque quoniam cb «qualis eftbe.] Ex tertia fecundi huius.
Erit & c K ipfi k d,& d f ipfi fe «qualis .] Ex fecunda fexti.
Quod cum re&angulum k b f «quale fit rectangulo cah.] Ex 12. fecundi huius .
\t igitur de ad ck,ita cg ad ac.] Ex 15. fexti.
IN ALIAM DEMONSTRATIONEM
Q_V A M AFFERT EVTOCIVS.
Itaque quoniam cb «qualis eft b e, erit & k b ipfi ba «qualis.] Ob fimilitudinem
nanque triangulorum abe, K b ederit ut cb ad b a, ita e b ad b k : & per /nutando ut cb ad b e,
ita ab ad bk . aequalis igitur efl k b ipfi b a.
Sed & k b «qualis a h.] Ex oftuua fecundi huius. unde f equitur & ha ecqualem effe a b.
Ergo & ca ipfi ag «qualis erit.] Cum enim triangulum abg jit .equule triangulo ahc ,
& linea ba ecqualis a n.j rurfus eadem ratione demonfir ab itur linea ca ecqualis ag.
THEOREMA XXXV. PROPOSITIO XXXV.
Iifdem pofitis fi a fumpto pundo recta linea ducatur, fedionem in
duobus pundis fecans *, erit ut tota ad eam,quar extra luantur , ita inter
ie fe portiones illius, qua: intra Tectionem continetur.
Sit ab hyperbole,ciiius afymptoti cd,de;contingensq; cbe,-& hb «quidiftans :
ducatur autem per c recta linea c a 1 fg, qu« feCtionem in punctis at lecet. Dico ut
fc ad c a, ita efle fl ad 1 a.ducantur enim per punita c a b Ili nece c n x, k a u m,o p b r,
fy, ipfi de «quidiftantes &per at ducantur aps, tfrm x
«quidiftantes cd. Quoniam igitur «qualis eft ac ipfi fg,
erit& k.3. «qualis tg.fed k a eit«qualis ds.ergo& tg ip-
fi ds eftasqualis:& propter e a ck ipfi dy.Rurlus quoniam
c K «qualis eft dy; 6 c d/^ ipfi cy «quaiis erit.Vtigitur d k
ad k.c,it a ycadc K.&ut yca^c iC,ita fc ad c a iecl ut f c
ad ca, ita 111 k ad k a : & ut m k ad k a,ita m d rectangulu
ad redi anguium da. Xtautem dk ad A c,itareCtangulum
h k ad redtangulum K n . ergo ut reitangulum m d ad re-
ctangulum d a, ita rectangulu m hk adipium kn. atque eft
rectangulum ad «quale rectangulo d b,hoc eft ipfi o n.eft
enim linea .e b «qualis be,& do ipfi o c. quare ut redtangulum dm ad o n, ita hk
ad k n. reliquum igitur mh ad reliquum ba eft, utrorum dm ad totum on . Quod
cum reitangulum ks «quale fit ho.commune auferatur dp. erit reliquum kp 1 eli-
quo ph «quale.commuue apponatur ab. totum igitur k b «quale eft ah : & ut m d
ad da, ita mh ad ha.fedut md ad da^italnica mk ad Ra,hoc eft f c ad c a. Vt au-
tem mh ad h a,ita m u ad u a, hoc eft i i ad ia. ergo ut tc ad ca,ita fl ad 1 a.
EVTO
I
/
CONICORVM LIB. III.
90
\
EVTOCIVS.
ALITER. Sit hyperbole ab, cuius afymptati cd,de: & apumfto c linea quide
cb dudafeAionem contingat; cagh uero in duobus pun&isfccet & per b ducatur
fbk ipfi cd «quidiftans. itaque demonftrare oportet ut gc ad ca,itaeiTe gt’ ad t a.
coniungaturenim a'b,acquead 1 tu producatur:&apu
do e ducatur en «quidiftans ch. Quoniam igitur cb d
«qualis eft be,& ca ipfi en eft «qualis, & ab ipfi bn.
fedeum bm fit «qualis la,erir ntn excellus linearum
1 a, ab. Et quoniam in triangulo amh dudaeft en ipfi
ah «quidiftans,ut am ad inn, ita erit ah ad ne.&eft
ne «qualis ac. Vt igitur h a ad a c, ita am adexcefsu
linearum ab,bm,hoccft Ib ad excefium linearum la,
ab. Vtautem h a ad ac, ita gc ad ca eftenim ca «qua
lis h g.ergo ut g c ad ca, ita 1 b ad excefium linearum H
la,ab;& cf ad excefium linearum c a, a f. fcd quoniam qu«rebatur, fi ut gc ad ca,
ita fit gf ad f«,demonftrareoportet,uttota gc ad totarn ca,itaefle gf ablatam ad
ablatam fa,& reliquam cfadreliquam,uidelicetadexceflumlinearum ca,af.quare K
demonfirandum eii ut gc ad c afita c f ad excefium linearum ca, af.
FED. COMMANDINVS.
Quoniam igitur «qualis eft ac ipfi fg, erit & Ka «qualis tg.j Linea ac eft aqualis A
fg ex offiaua fecundi huius , quare ob fimilitudinem triangulorum a k c,g fit, eodem, quo fiup/a, mo
do demonftrabitur K a ipfi tg aqualis .
Etpropterea ck ipfi dy.] Lft enim fimilitcr ck aqualis ft, hoc eft ipfi dy . B
Et ut yc ad c ti.,ita fc ad ca.] Ex quarta fexhob fimilitudinem triangulorum fic y, C
a c k .
Sedat f c ad c afita m k ad k a.] Obfimlitudinem triangulorum ac k ,afm. D
Atque eft redangulum ad «quale rcdtangulo db.] Ex 12 . fecundi huius . E'
Hoc eft ipfi o n,eft enim linea cb «qualis be.] Tfiamcum fit linea cb aqualis b e ex F
tertia fecundi huius, erit ob fimilitudinem triangulorum cbn,ebh,& hb aqualis bn , idcirco qq
reclangulum h 0 rettangulo 0 n aquale.
Et ut m d ad da, ita mh ad ha.] Superius enim demon ftrauit , ut reclangulum md ad G
da fit a effit m h ad b Q
H' ' ' \\
IN ALIAM DEMONSTRAT IONEM " \
CLV AM SCRIBIT EVTOCIVS.
Et c f ad excefium linearum c a,a f.] Ifianque ut gc ad c afita eft Ib ad excefium linea- H
rmn La,ab : ut autem Ib ad excefium linearum l a, ab, ita c fi ad excefium linearum ca , a fi, quod
mox demonftr abimus .ergo ut gc ad c afita cf ad excefium c a, a f. eft enim ob fimilitudinem trian
gulorum acl,afb,utla ad ab, ita ca ad afi& diuidendo ut excejjus ,quo la excedit ab ad ip~
fiam ab, ita excejjus ,cfuo ca excedit af ad ad af,& conuer t endo. i{ur jus quoniam ut la ad ab,
ita ca ad a fierit componendo ut Ib ad b afita cf adfia.Sedut ab ad excefium , quo la excedit
ab, ita af ad excefium, quo ca excedit af .ex aquali igitur ut ib ad excefium linearum l a, ab, ita
cf ad excefium linearum c a, a f .
Quare demonfirandum eft , ut g c ad c afita c f ad excefium linearum c a , a f .] K
Hoc a utem eft, quod proxime dernonfirauit. fed licet etiam in hunc modum concludere .fit enim 0 a
excefi/is, quo linea ca ipfiam af excedit ;ut fit co aqualis a fi. Jfuoniam igitur eft uttota gc ad
tota mia, ita cf ablata ad ablatam a 0 , erit & reliqua gf ad reliquam 0 c,loc eft ad fia ,ut gc
ad c a. quod demonftr are oportebat «.
8 . fecundi
huius.
4. lexti
8 fecundi
unius.
Z a
APOLLONII P E R G AE I
THEOREMA XXXVI. PROPOSITIO XXXVI.
lifdem politis , fi a pimdo duda linea 3 neque fedionetn in duobus
pundis fecet, neque cequidillans iit afymptotcqfed cum oppofita iedio
ne conueniaf.erit ut tota ad lineam,quar inter fe&ionem, dc arquidiftan
tem per tadum cludam interiicitur, ita qucceft inter oppofitam iedio-
nem,& afymptoton ad eam, quae inter afymptoton & alteram fcdione.
Sintoppofit« fe&iones ab, quarum centrum c;aiymptoti d e, fg :& in linea gc
fumatur pundum g; a quo ducatur gbe quidem fedionem contingens; gh uero
. neque «quidiftans Ipfi c e, neque fedionem in duobus pundis fecans.iam conftath g
r. productam conuenire cum linea c d.&proptereacumfedione a, ut demonftratum
eft . Conueniat igiturin pundo a: & per b duca-
tur k b 1 «quidiftans cg . Dico ut a k ad k h , ita
eftfe a g ad gh. ducantur enim .i pundis a h linea:
h m,a n,qu« ipfi c g «quidiftent.& a pundis b g h
C ducantur b x,gp,r h s n,qu« «quidiftent de. Ita-
1) que quonia ad «qualis eft gh.erit ut ag adgh,
i.fexti. ita dh ad h g.Vt autem ag ad gh,ita ns adsh: n
&ut dh adhgfita cs ad s g.Vt igitur n s adsh,
i lexti. ita cs ad s g. fed ut n s ad s h, ita redangulum
n c ad redangulum c h & ut cs ad s g, itaredan
gulum cr adredangulum rg. ergo ut redangu-
lum nc adredangulum ch,ita redangulum cr
ji.qu ti adipium rg.& utunumad unum,ita omnia ad o-
nirna, quare ut n c ad ch, ita totum nl ad ch &
3 i-rtidi rg.& quoniam eb eft «qualis bg;erir& lb ipfi bp squalis : A redangulum lx *-
bmus. quale icdangulo b g.Icd redangulum lx redangulo ch eft squale . ergo & bg ipfi
£ ch.Vt gitur nc ad chfita totum In ad bg,& gr;hoceit ad rx.fed rx e ft «quale
lh, quoniam & ch ipfi bh,& m b ipfi xh. ergo ut nc ad chfita nl ad Ih. Vt autem
n c ad chfita n s ad sh, hoc eft ag ad gh & ut nl ad lh, ita linea nr ad rh, hoc eft
aK ad Kh. quare ut ak ad kh;ita ag ad gh.
EVTOCIVS.
ALITER. Sint oppofita: fediones a I, quarum aiymptoti bk,dc,& contingens
b a d . du catur autem lxdgfi&fitfa ipfi c d «-
quidiftans.demonftrandum eft ut If ad fg,it a ld
ad dg.coniungaturenim ag,&ad eh protraha-
hiuu? ldi tlir - el 'it ah «qualis eg,& h g ipfi a e.ducatur per
d linea dm «quidiftans ch.ergo b a ipfi ad eft
F «qualis: & h a ipfi a m . quare m g eftexceftus li-
nearum h a, a g ; hoc eft a g,g e.& quoniam b k «-
quidiftat dm,ut hg ad gm, ita erit kg adgd.st-
que eft a e «qualis h g, & 1 d ipfi k g . ergo ut 1 d
ad d g, fic a e ad g m , hoc eft ad exceftum linearu
G ag,ge.fedut a e ad exceftum linearum ag,ge,ita
Jlfljg - d i ad exceftum linearum d g , g i . ergo ut 1 d ad
d g,ita d f ad exceftum linearum d g,g f. & ut unu
ad unum, ita omnia ad omnia, ut igitur 1 d ad d g
H ita tota 1 f ad d g,& exceftum linearum d g,g f; hoc eft ad g fi
ALITER.
tjfexti
CONICORVM LIBER. III. 9 1
ALITER Sint eadem, qus fupra,& per a du
catur am ipfi bc squidiftans. Quoniam igitur
ba eft squalis ad, erit & km squalis md.&cum
squidiftantesfint h ^,am, ut gm ad m f, ita erit-
g a ad ah, hoc eft ag ad ge. Vt autem ag ad
ge,ita fg ad gd;Stut gm ad mic,ita dupla ip*
fius gm ad duplam mk. ergo ut fh ad gd, ita au
pia g m ad duplam m k . atque eft 1 g dupla g m :
eft enim 1 k ipfi d g squalis , & k m ipfi md:&
d dupla k_m . Vt igitur lg ad kd,ita fg ad
g d : & permutando , ut 1 g ad g fi ita k d ad d g .
quare componendo ut Ifad fg,ita k,g ad gd,
hoc eft ld ad dg.
nf.fecudl
huius..
FED. COMMANDINVS.
Iam conftat h g productam conuenire cum linea c d . ] Quoniam enim linea g h non
aquidijlat c e /neque feSiionem in duobus punctis fecat, neceffe eft ut conueniat cum ipfa cd ad par
tes d: nam fi conueniret ad partes cjebtioni prius occurreret ; atque ita eam in duobus punctis Je-
cur et , quod non ponitur .
Et propter ea cum fe&ione a ut demonftratum eft . ] In undecima fecundi huius.
Itaque quoniam ad squalis eft gh.] Ex fexta decima fecundi huius .
Erit ut a g ad g h,ita d h ad h g . ut autem a g ad g h , ita n s ad s h , & ut d h ad
h g,ita es ad s g. ] Hunc locum nos reflituimus ; ingraco enim exemplari ita legebatur . luei <uv
/Vi) tV'Ti V M xd' TW Tt V X H 7 7p0$ H - ,*) V rf d B, (1$ cV H JV TCpOg 6 V, A 7 tS 1 rpog tf Y, .
Sed rx eft squale lh,quoniam& ch ipfi bh.] Vereor ne codex mendofus Jit ; non enim
uideo , quorfum hac faciant . <At uero r x ipfi i h aquale effe manifejlo conflat . nam fi d r e bt an-
gulo c r auferantur aqualia , uiddicet reEt angulum b c 3 & reti angulum ch;quie remanent rx &
Ih aqualia erunt . Sed & aliter idem conflare poteft . efl enim r octangulum b h utrique commu-
ne, ,& mb aquale x h 3 cx duodecima fecundi huius, quare fortajfie hoc modo legendum cjl.fed rx
efl x quale lh i quomam& ch ipfi bc 3 & mb ipfi x h , ut utrumque demdjlrationis modu innuat»
h
IN ALIAM DEMONSTRATIONEM,
q.VAB AB BYT OCIO AFFERTVR.
Et ha ipfi am .] Ob fimilitudinem triangulorum abh,adm.
Sed ut a e ad exceflum linearum ag,ge,ita dfi ad excefliim linearum dg,gf.]Hoc
demo njlr abimus, ut in antecedente .
Hoc eft ad g f. ] Linea enim dg und cum exceffu,quo exceditur d gfiefl ipfi gf aqualis . jj
THEOREMA XXXVII. PROPOSITIO XXXVII.
5 1 coni fedionem,nel circuli circumferentiam , uel fediones oppo-
fitasj contingentes duce redas lineae fibi iplis occurrant; 8c per tadus li-
nea producatur; ab occurfu uero contingentium ducatur linea fedio-
nemin duobus pundis fecans ierit ut tota ad eam, quae extra fumitur*
ita portiones inter fe fe , quae a linea tadus conjungente fiunt .
n o A rt fe O
APOLLONII P £ R G AE I
Sit coni fe< 5 Ho a b;contingentesq; a c,c b:
&iun< 5 ta ab ducatur c def. Dico ut fc ad
c djita efle fe ad e d. ducantur enim per c a
iedionis diametri ch,ak:& per f d ducan-
tur d p,fr,l fm,n d o squidiftantes ah, lc.
4.fexti Quoniam igitur 1 f m squidiftat xdo, erit
ut fc ad c d,ita lf ad xd, & fm ad do, &
n.fexti 1 m ad x 9 . ergo ut quadratum 1 m ad qua- £
dratum x o , ita quadratum fm ad quadra-
\ tum do. fed ut quadratum lm ad quadra-
B tum x o,ita 1 m c triangulum ad triagulum x c o:& ut quadratum fm ad quadratum
d o, ita triangulum frm ad triangulum dp o. quare ut triangulum lcm ad triangu-
li, qulti lum xoc,ita frm triangulum adtriangulum dpo i & ita reliquum quadrilaterum
C lcrf ad reliquum x c p d . eft autem 1 c r f quadrilaterum triangulo alk squale, 8 c
/
c *
quadrilaterum x e pd squale triangulo anx. Vt igitur quadratum Im adquadra-
tum xo,ita alk triangulum ad triangulum anx. fed ut quadratum lm ad quadra-
tum x o, ita quadratum fc ad quadratum cd: &ut triangulum alk ad triangulum
£ a n x,ita quadratum 1 a ad quadratum ax;& quadratum fe ad quadratum e d . ergo
f ext i ut quadratum f c ad quadratum c d, ita fe quadratum ad quadratum e d : & ideo ut
linea fc ad cd,ita fe ad ed.
FED. COMMANDINVS.
A Sed ut quadratum 1 m ad quadratum x o,ita 1 c m triangulum
ao.fexti Quadratum enim l m ad quadratum x o duplam -proportionem habet eius ;
& triangulum lcm ad triangulum xco proportionem habet duplam eius , qua eft l m ad x o ;
ftmilia namque funt triangula lcm 3 xco . ergo ut quadratum lm ad quadratum x o, ita triangu-
lum lcm ad triangulum xco.
B Etutquadratum fm ad quadratu d o, ita triangulum frm adtriangulum dpo.]
Ob fimilitudinem triangulorum frm,dpo,ut ditium esi .
C Eft autem lcrf quadrilaterum triangulo al K squale, & quadrilaterum xcp d
squale triangulo anx.] Tftam in coni fetlione , circuli circumferentia , & fettionibus oppo-
fitis diameter , qua per occurfum contingentium ducitur , uidelicet per puntlurn c bifariam fecat
lineam tactus coniungentem ex trigefima , & t rige fima nona fecundi huius ;& propterea linea
a h b,fm ad diametrum c h ordinatim applicata funt . ergo exijs , qua demonftrantur in quadra-
ge fima nona , <& quinquage fima primi huius quadrilaterum xcpd triangulo anx eft aquale: &
quadrilaterum acrg (fecet enim linea ak ipfam fr in g) aquale triangulo f gk . quare utrique
addito quadrilatero lagf , erit totum quadrilaterum lcrf aquale triangulo lak,. Inoppofitis
uero
adtriangulu xco.]
qua eft lm ad xo.fed
CONICORYM LIB. III.
92
uero f eElionibus illud idem f 'equitur ex demonflratis in undecima huius .
Sed ut quadratum lm ad quadratum x o, ita quadratum fc ad quadratum cd.J D
7 'Jam ut lm ad x ofita l c ad c x; &ut Ic ad c xfita fc ad c d.ergo ut lm ad x o } ita fc ad cd: 4. ferti
& propter ea ut quadratum lm ad quadratum x o,ita quadratum fc ad ipfum cd. z
Ita quadratum la ad quadratum a x,& quadratum fe ad quadratum ed.]Eflenim a ;
ut la ad a cfita fe ad e c,ut autem ca ad a x, ita ce ad e d. ex cequali igitur ut la ad a xfita f e ^
ad e di & ut quadratum la ad quadratum a xfita f e quadratum ad quadratum e d.
THEOREMA XXXVIII. PROPOSITIO XXXVIII.
Iisdem pofitis fi per contingentium occurfum ducatur recta li-
nea, tactus coniungenti arquidifians ; & per punelum, quod coniun-
gentem tactus bifariam diuidit, ducatur linea lecans , & lectionem ip-
fam in duobus punctis , Sc lineam sequidiftantem per occurfum ductam:
erit ut tota ad eam, qu« extra fumitur inter fectionem, & lineam jequi-
di Itantem , ita portiones inter fe fe , qu& a linea tactus coniungente ef-
ficiuntur .
Sit fe&io ab, quam contingant re-
da; linea; a c, cb : fitq; a b coniungens
ta&us: & diametri a n,c m.manifeftum
eft lineam ab ad pundtum e bifariam
fecari. Itaque ducatur a pundo c linea
co ipfi ab «quidiftans. &per e duca-
tur f e d o . Dico ut fo ad o d , ita efle
fe ad ed . Ducantur enim a pundis
f d, lin ex 1 f k m , d h g x n , arquidiftan-
tes ab; & per fg ducantur fr, gp,
quadpli lc squidiftent. Eodem mo-
do, quo fupra,demonftrabimus ut qua
dratum lm ad quadratum xh,ita qua-
dratum la ad quadratum ax.atqueeft
ut quadratum 1 m ad quadratum x h ,
ita 1 c quadratum ad quadratum cx,&
quadratum fo ad quadratum od. ut
autem quadratum 1 a ad quadratum
ax,ita fe quadratum ad quadratum
ed, ergo ut quadratum fo ad quadra-
tum o d, ita quadratum fe ad quadra-
tum ed . & ut linea fo ad od,ita fe
ad ed.
I
fed. commandinvs.
Manifeflum eft lineam a b ad pun-
ctum e bifariam fecari . ] 'Ex trigefima ,
<& trigefima nona fecundi huius , ut fupra
admonuimus .
Eodem modo , quo fupra, demon-
ftrabimus, ut quadratum lm ad quadratum xh,ita quadratum 1 a ad quadratum B
ax.] Demonflr abimus enim } ut quadratum lm ad quadratum xh fit a triangulum alk ad trian-
gulum an x. fed ut triangulum al K ad triangulum anx t ita quadratum la ad quadratum ax;
APOLLONII P E R G AE I
C
D
A
2,1. fexti
B
ISi.quitx.
c
D
x
A
B
C
utrumque enim proportionem habet duplam cius , quaefl la ad a x. ergo ut quadratum Im ad
quadratum x h, ita quadratum la ad quadratum ax .
Atque eft ut quadratum Im ad quadratum xh,ita Ic quadratum ad quadratum
c x ; & quadratum fo ad quadratum o d . ] Eft enim ut Ic ad c x 3 ita fo ad o d, propter ea
quod linea C o, x d inter fefe aquidiflant .
Vt autem quadratum la ad quadratum a x, ita quadratum fe ad quadratum ed.]
Bjirfus cum aquidiftantes fint ae,xd,erit fe ad e d, ut la ad ax .
THEOREMA XXXIX. PROPOSITIO XXXIX.
S i oppobtas fe&iones dua? reto linea? contingentes fibi ipbs occur-
rant :Sc per tadus linea producatur: ab occurlu uero contingentium
du&a linea, Sc utramcjue fe£tionem,& lineam tadus coniungentem fe-
cet: erit ut tota ad eam, quas extra lumitur, inter fe&ionem Sc coniun-
gentcm tadus , ita portiones inter fefe , quse inter fe&iones Sc contin-
gentium occurfum interiiciuntur .
Sintoppofitsfe&iones a b;quarum centrum c:St lines contingentes ad,db.-iun-
€tx uero a b,c d producatur; & per d ducatur e d fg. Dico ut e g ad g f , ita efle e d
ad df.iungaturenim ac,prodttcaturq;: & per ef ducantur ehs.jK,fnl mxo ipfi ab
acquidiftantes ep,fr squidiftantes ad. Quoniamigitur fx,es inter fesqui di-
ftant, & adipfas ducuntur cfxs,h m;eritut eh ad hs,ita fm ad mx: & permutan-
do ut eh ad fm,ita hs ad mx. ergo ut quadratum eh ad quadratum fm,ita qua-
dratum h s, ad quadratum mx. ut autem quadratum eh ad quadratum fm,ita e hp
triangulum ad triangulum fm r:<?« ut quadratum hs ad quadratum m x,ita triangu-
lum dhs ad d mx triangulum. ergo ut trian
gulum ehp ad triangulum fm r, ita triangu
lum dhs ad triangulum dmx. Sed triangu-,
lum ehp triangulis a s k,h d s eft squale: &
triangulum fmr squale triangulis axn,
dmx. Vtigitur triangulum dhs ad trian-
gulum 'dmx, ita triangulum ask una cum
triangulo d h s ad triangulum a x n una cum
triangulo d m x. quare & reliquum triangu- r
lum asK ad reliquum axn erit, ut triangu-
lum dhs adipfum dmx. ut autem triangu-
lum ask ad axn, ita quadratum ka ad qua
dratum an; hoc eft quadratum eg ad qua-
dratum g£& ut triangulum dhs ad triangu
ium dmx, ita quadratum hd ad quadratum a
dm,hoc eft quadratum ed ad quadratum ^
d f. ergo ut e g ad g f ita e d ad d f.
FED. COMMANDINVS.
Quoniamigitur fx,e s inter fesquidiftant; & adipfas ducuntur ef,xs, h m .-erit
ut eh ad hs,ita fm ad mx.] Fiunt enim triangula fimil ia edh ,f dm;itemq, fvmilia inter
fe d h s,d m x . quare ut eh ad hd, ita fm ad md;& ut dh ad h s , ita d m ad mx. ex aquali
igitur ut e h ad h s,ita fm ad mx .
Sed triangulum ehp triangulis ask,hds eft squale :& triangulum fmr squale
triangulis a x n,d m x . ] Ex undecima huius .
Hoc eft quadratum e g ad quadratum g f.] Ob fimilitudinem triangulorum k n e,ang.
Ergo
CONICORVM LIBER III.
93
Ergo ut eg ad gf,ita e d ad d f.]Exijs, quce diEla funt ,fequhur , ut quadratum eg ad E)
quadratum gffita ejje quadratum ed ad df quadratum . ergo ex zz . fexti ut linea eg ad gf 3 .
itaefi cd ad df.
THEOREMA XL. PROPOSITIO XL.
Iifdem pofitis fi per occurfum contingentium ducatur reda linea, ta-
dus conjungenti arquidiftans *, & iipundo, quod coniungentem tadus
bifariam diuidit, ducatur linea fecans utranque ledionem,&tequidilM-
tem ei,quse tadus coniungit : erit ut tota ad eam,, qute extra fumitur in-
ter cequidi flantem & fedione,ita portiones inter fe fe, qusc inter fedio-
nes,& coniungentem tadus interiiciuntur.
Sint oppo fit* fe&iones ab , quarum centrum c ; & contingentes linea: a d, d b :
iungaturq; a b,& cd c.erit ae ipfi eb sequalis. ducatur per d linea fdg jequidiftas
ab:&per e quomodocunque contingat h e k l. Dico ut hi ad 1 k^, ita efie h e ad e/^.
ducantur enim a pun&is h k line® hnmxjkop ipfi a b jequidillantes ; & h r , k s
sequidiilantes a d:& ducatur a c x t. Itaque quoniam in lineas «equidiftantes x m, ic p
cadunt x ay,m a p,- erit ut xa ad ay,ita m a ad a p . Vtautem xa ad ay, i ta h e ad
c k:& ut he ad ek,itahnad Ko,propterfimilitudinem triangulorum h en, it eo.
quare ut hn ad Ko,ita ma ad a p:& idcirco ut quadratum hn ad quadratum k o,
ita ma quadratum ad quadratum a p.fed ut qua-
dratum h n ad quadratum K o,ita triangulu h r n
ad triangulum k s o:& ut quadratum m a ad qua-
dratum ap,ita xma triangulumad triangulum
a yp.utigitur triangulu hrn ad triangulum k s o,
ita triangulum xma ad triangulum ayp.triangu
lum autem hrn triangulis x a m , m n d eflarqua-
le:& triangulu ic s o aquale triangulis ay p,p o d.
ergo ut triangulum xam unacum-triagulo mnd
ad triangulum ayp una cum triangulo pod,ita
xma triangulum ad triangulum ayp.quare&re
liqutim triangulum mnd ad reliquum dop eft*
ut totum ad totum, fed ut triangulum xma ad tri
angulum ayp, ita quadratum xa ad ay quadra-
tum, & ut triangulum mn d ad triangulum do p,
ita mn quadratum ad quadratu p o. ergo ut qua-
dratum mn ad quadratum p o, ita quadratum x a
ad quadratum ay . Vtautem quadratum mn ad
quadratum po,ita nd quadratum ad quadratum do :& ut quadratum xa ad qua-
dratum a y^ita quadratum h e ad quadratum e k . fed ut quadratum nd ad quadra-
tum do, ita quadratum hl ad quadratum 1 K. ut igitur quadratum he ad quadratu
e K,ita h 1 quadratum ad quadratu 1 K.& propterea ut linea h e ad e k, ita h 1 ad lk«
A
B C
D
AI
P
G
FED. COMMANDINVS.
En? a e ipfi e b aqualis.] Ex 39 . fecundi huius . A
Erit ut x a ad ay,ita ma ad ap.] oh fimilitudinem triangulorum amx,apy. B
Vtautem xa ad ay,ita h e ad e f] "Producantur ea,op ufque ad lineam hr in pun- C
ila iq:erit h i ipfi m a aqudlis } & hq aqualis mp.ergout xa ad a y fit a ma ad ap 3 hoc ejl >4 primi'
h i ad iq-.&ut hi ad i qfita h e ad ef. ut igitur xa ad ayfitahead e k. %.ExE.
sed ut quadratum h n ad quadratum k o,ita triangulum h r n ad triangulu Ks 0 ] D
Smt enim triangula hrn 3 K so inter f ? f milia *
c
APOLLONII PERGAEI
Triangulum autem h r n triagulis x a m, m n d
eft xquale : & triangulum k^s o sequale triangulis
ayp,p°d.] Ex undecima, huius.
Et ut quadratum xa ad quadratu a y, ita qua-
dratum h e ad quadratum e k .] Superius enim o-
fienfum efl,ut xa ad a y, ita h e ad e k .
Sed ut quadratum n d ad quadratum do, ita
quadratum hl ad quadratum 1 /^.] Secet enim d f
lineam hr in u.eritut nd ad do, ita md ad dp,hocejl
h u ad u q.fed ut h u ad u q,ita hl ad l K. quaye ut n d
ad d o,ita hl ad lK. & ut quadratum nd ad quadra-
tum d o 3 ita quadratum h l ad quadratum l k. ’
THEOREMA XLI. PROPOSITIO XLI,
• primi
huius .
i.fexti.
exti
psimi
huius.
4.fexti
e
<c/
6 '
6
Si parabolen contingentes tres reda! linea? inter fe conueniant, in ean
dem proportionem fecabuntur.
Sitparabole ab c, quam reda; linea; a de,efc,dbf contingant. Dico ut cf ad fe*
ita efle e d ad da,& fb ad b d . coniungatur enim ac:&
A bifariam in g diuidatur . perfpicuum eft lineam, qua; ab e
B ducitur ad g fedionis diametrum efTe.fi igitur per b tran
,C fit,erit linea df a;quidiftans ac,&ab eg bifariamin pun
D dio b fecabitur : proptereaq; a d ipfi d e; & e f ipfi fc a: -
qualis erit.conftat igitur uerum efle illud, quod propone-
batur.Sednon tranieat e g per b,fed per aliud pundlum,
E quod fit h . & per h ducatur khl a;quidiftans ac,qua; in
h fe&ionemcontinget . erit per ea, qua: didla funt,a k ip-
fi k e, squalis, & cl ipfi le. Itaque per pundum quidem
b ducatur m n bx sequidiftans eg : per a c uero ducan-
tur ao,cp tequidifiantes df.Quoniam igitur mb ipfi eh
F sequidiftat, erit m b diameter: & d f in b fedionem con-
tinget.quare ao,c p ordinatim applicabutur. & quoniam
mb diameter eft ; & cm fedione contingit ; ordiuatimq;
applicatur cp: erit mb ipfi b p xqualis. ergo mf ipfi f c.
Quod cum mf fit .aequalis fc; & el ipfi lc';ut mc ad cfj
itaeft ec ad cl:&p'ermutado ut m c ad ce, ita fc ad cl.
Vtautem m c ad ce, ita xc ad c g . ergo ut fc ad cl,ita
xc ad c g.fedut gc ad c a, ita lc ad ce, quod utraque
utriufque dupla fit.ex squali igitur,ut e c ad c fqta ac’ ad
cx : & per conuerfionem rationis , ut c e ad e f, ita c a ad
axmiuidendoq; ut c f ad fe,ita cx ad xa.Rurfus quonia
diameter eft m b,contingitq; a n:& ordinatim applicatur
ao,erit nbipftbo,& ndipfi da aqualis, eft autem & e K
sequalis ka.ergout ea ad ak,ita na ad a d.& permutan-
do ut e a ad a n,ita k a ad a d. fed ut e a ad a n,ita g a ad
ax . quare ut k a ad a d, ita ga ad ax. atque eft ut c a ad
ag,ita ea ad a k: uiraque enim utriufque eft dupla, ex a; quali igitur ut c a ad ax, ita
e a ad a d : & diuidendo ut c x ad x a, ita e d ad d a.demonftratum eft autem, ut cx
H ad xa.,ita cf ad fe.ergo ut cf ad fe,ita ed ad da.Rudus quoniam ut cx ad xa,ita
cp
CONICORVM L I B, III. «»4
cp ad ao.&eftlinea quidem cp dupla bfiqudd cm ipfius m f fit dhpla i linea uero
ao dupla db,quod& an ipfius nd.Vtigitur cx ad xa,ita f b ad b d, & cf ad fe,
& e d ad d a.
FED. COMMANDINVS.
Perfificuumeftlineam,quaiab e duciturad g fe&ionis diametrum cffe .] Ex 2,9. A
fecundi huius .
Si igitur per b tranfit, erit linea d f jequidiftans ac.] Ex 5. fecundi huius .
Et ab e g bifariam in puncto b fecabitur.] Esi enim d b ad bfiut ag ad g ecquod de
monslrauimus in commentarljs in [extern primi huius .
Proptereaq; a d ipfi d e,& cfipfi f e ecqualis erit.] Sequitur ex iam ditiis, & ex 3 5.
primi huius [ineam g b ipft be aqualemejfe. quare ex fecunda fexti 3 & a d ipfi de 3 & cf ipfi fe
ejl aqualis .
Quee in h iedionem continget.] Ex 32. primi huius, quod & aliter c6flarepoteft.fi enim
k hl non contingit feclionem 3 ducatur per h linea contingens 3 que aquidiftabit ipfi agc 3 ex quin-
ta fecundi hums.fed cum k h l eidem aquidiftet 3 erunt amba inter fe aquidift antes 3 quod eft ab fur
dum : [quidem in puncto h conuenimt .
Erit m b diameter .] Ex demonftratis in 4 6. primi huius .
Ex squali igitur ut e c ad c fi ita ac ad c x.J Sequitur hoc ex aquali, & conuertendo.
Rurfus quoniam ut cx ad x apta c p ad a 0] Ob fimilitudine triangulorum cpx 3 x a 0.
THEOREMA XLII. PROPOSITIO XLII.
Si in hypcrbola,uele!lipfi>ueI circuli circum ferentia, ucl oppofitis fe
dionibus ab extremo diametri ducantur linere requidiiiantes ebqure or
dinatim applicata eit : &ahaqurepiam linea quomodocunquc contin-
gens ducantunabfcindet ex ipfis lineas continentes redtangulum requa-
le quartre parti Hgurre ? qure ad eandem diametrum conftituitur .
Sitaliquapraedidarum fedtionumreuius diameter a b:atque a pundis ab ducan-
tur lines a c,b d sequidiftantes ei, qus ordinatim applicata edi : & alia quaepiam linea
c e d xn pundto e feccionem contingat.Dico redangulum lineis a c,b d contentum
C
C
6
aequale eiTe quartae parti figuras, quae ad diametrum ab confiituitur . fit enimfe&io-
nis centrum f: &per f ducatur *fgh ipfis ac,b d aequidiftas. Itaque quoniam ac,b d
asquidiftantes fimt , & eft «quidiftans fg:erit fg diameter ipfi ab coniugata. ergo
quadratum fg aquale eft quarte parti figurae, qu* fit ad a b . fi igitur in ellipfi & cir-
culo linea fg per e tranfit, aequales funt ac,fg,bd: & ideo per femanifeftum eft, re-
&angulum,quod continetur ac,bd aequale effe quadrato fg, hoc cftquarta: parti fi-
gurae, quae ad ab conftituitur.fed non tranieatpere;& dc,ba produda: conueniant
a z
pq U Q W ftOSJ
APOLLONII PERGAEI
in K-.ducaturcgper e linea quidem el ipfi ac squidiftas:
A em nero sequidiftans ab. Quoniam igitur redangulum
B k fl quadrato a f eft «quale; ut k f ad f a, ita erit af ad
C fi.eft autem ut K f ad f a, hoc eft ad f b,ita k a ad a 1 ;& con
uertendout bf ad if, ita la ad a K: componendoq; uel
D diuidendOjUt b k ad Qf ; ita 1 k ad k a . fed ut b K ad k £
ita db ad f h; & ut 1 k ad l^a,ita el ad c a. ergo ut d b
E ad f h,ita e 1 ad c a : & proptere a redangulum cotentum
db 3 ca squale eft ei, quod fh,el continetur, hoc eftreda-
F gulo hfrmredangulum autem hfm eft aequale quadrato
% ; hoc eft quarta parti figuras , quae ad ab . redangulum
igitur ex d b,c a aquale eft quartseparti figurs,qux ad dia
metrum ab confti tuitur.
FED. COMMANDINVS.
A Quoniam igitur redangulum k fl quadrato a f eft aequale .] Ex trigefima feptima
primi huius .
B - Vt Kfad fa, ita erit af ad fl.] Ex 15 .fexti.
C Eft autem tit kfad f aftioceft ad fb,ita k a ad al.] Inhyperholahoc [equitur ex 12.
quinti. Quoniam enim ut kf ad fajta af ad f [erit ut Qf ad f a, ita kf 3 & fa ad af, & ff
hoc eft k a ad' a l.fedin eilipfi & circuloita dicemus . Quoniam ut k/ ad fajta af ad f l,per
conuerfionem rationis erit ut j k ad ka 3 ita f a ad al: & permutando ut ic f ad fa , ita ka
ad a i .
£> Sed ut b ad K f, ita d b ad fh : ut 1 k ad k a, ita e 1 ad c a .] Hac nos addidimus
perspicuitatis caujfa , qua tamen defiderari indebantur .
£ Et propterearedanguMm contentum db,ca aequale eft ei, quod fh, ei contine-
tur.] Ext 6 . fexti.
p Redangulum autem h fm sequale eft quadrato f g.] Ex 38. primi huius .
THEOREMA XLIII. PROPOSITIO XLIII.
Si hyperbolen reda linea contingat , abfeindet ex afymptotis ad fe-
«ftionis centrum lineas continentes redangulum aequale ei, quod conti-
netur lineis ab altera contingente abfeisiis ad uerticem fedionis,qui eft
ad axem.
Sithyperbole a b, cuius afymptoti c d,d e ; & axis b d : ducatur autem per b linea
fb g fedionem contingens : & alia quapiam utcunque con tingens ducatur c a h. Di-
co redangulum fdg redangulo cdh aquale efte. Ducatur enim a p undis ab lines
a k ,b Equas ipfi dg asquidiftent; & lineas am, bn, qwe x-
quidiftent c d. Quoniam igitur c ah fedionem contingit,-
3.fecudi erit c a squalis a h . quare c h dupla eft h a; & c d ipfius
hu ius. a m ; & d h ipfius a k dupla, ergo rcdangulum c d h qua
4.iexti. druplum eft rcdanguli k a m. Eodem modo demonftrabi
ii.feeudi tur redangulum fdg rcdanguli lbn quadruplum . Sed
Euius . redangulum k a m eft squale redangulo 1 b n. redangu-
lum igitur cdh redangulo fdg squale eri t.fimili ter de-
moniUabitur etiam fi' db fit alia quaspiam diameter, &
non axis.
THEO
C O N I C O R V M II B. III.
THEOREMA XLIIII. PROPOSITIO XLIIII.
Si hyperbolen, uel oppodtas le&iones contingentes dux redbc linex
afymptotis occurrant *, qux ad occudus ducuntur, linex ta6tus coniun-
genti xquidillantes erunt.
Sit hyperboIe,iidoppofit® lediones a b.afymptatiuero cd,de;& contingentes
cah ftebhg. iunganturq; ab,fg,ce^Dico eas inter fejtquidiftantes effe. Quoniam
enim redangnlum c d f «quale eft re&angulo gde; ut cd ad de,itacrit gd ad df..
A
IJ". Cexti*
aquidiftat igitur c e ipfi g f:& ideo ut h g ad g e,ita h f ad fc . Vt autem e g ad gb, B C
ita cf ad famtraque enim utriufque eft dupla, ergo ex ecquali ut hg ad gb,itahfad
i a . linea igitur gfipft ab eft tequidiftans . D
E V T O C I V S.
Demonftratis lineis c e,gf inter fe a qui d iftantib us,co niungantur ga,fb. & quoniam x qui di
Jiant fg,c e-ycrit triangulum cgf triangulo e.gf aquale .. atque eft triangulum quidem cgf dti - 1 Texti.
pium trianguli agf; quod linea c f ipfius f a fit dupla r
triangulum uero eg f duplum trianguli bgfiergo trian~
gulurn a gf triangulo b gf eft d quale : & propter ea li-
nea fg ipft ab aquidiftat. In oppofitis uero fe&ionihus,
fi linea fl b per centrum d non tranfeat, ducatur per d ip
fi ec cequidiftans £ dh&per £ l ducantur m k n,xlo ,
qua fetliones contingant . Qgioniam igitur reti angulum
X do aquale eft reclangulo mdn : retianguhm autem
xdo reclangulo e dg eft aquale: & redi angulum mdn
aquale reclangulo c df: [equitur re fi angulum edgre~
£1 angulo cdf aquale ejje .
c
/
APOLLONII PERGAEf
B
6 . fexti
F E D. COMMANDINVS*
Quoniam enim redangulum c d f aquale eft redagulo g d e,ut c d ad d e, ita erit
g d ad d fj Hoc in byperbola ita ejje ex antecedente confiat :fed in oppofitis jeUionibus,cum li-
nea ab per centrum d non tranfit , ab Eutocio in fine commentar fi demonfiratur . Quod fi ab
tranfeat per d, illud facile conflare potesl.defcripta etenim figura linea
cf, e g aquidiftantcs fiunt. quare triangula a df, b de fimilia : & cum \\
a d fit aqualis d b, etiam inter fie aqualia erunt. Eadem quoque ratione
aqualia ofiendentur triangula cda 3 gdb. ergo totum triangulum cdf
toti gde efl aquale : & ex quintadecima propofitione fexti elemento-
rum, ut cd ad dg, ita efl ed ad dfpermutandoq-, ut cd ad de fit a gd
ad df.ergo c e,g f inter fe aquidifiant.
Traterea ex demonflratis in quinta decima fecundi huius fiinea c a,
af,eb,hg aquales funtiideoq ; & aquales & aquidiflantes linea, qua
ipfas coniungunt . cum igitur c e, fg aquidifient ipfi a b , etiam inter fe
fe aquidifiabunt .
A equidiftat igitur c e ipfi g f.] Cum enim fit ut cd ad de, ita gd ad df:& angulus ad
d,uel communis, uel aqualis: erit triangulum gdf triangulo c.de fimile: & angulus dgf aqualis
is ' angulo dce.ergo gfice inter fe aquidifient neceffeefi .
D
fexti
41. huius
1 y.fexti
6. fexti-.
Et ideo ut hg ad ge,ita hfiad fc.] In oppofitis feBionibus fequitur illud ex fecunda fe
xti. .At uero in eUipfi ob fimilitudinem triangulorum che,ghf,ut eh ad hgfitaefl c h ad h f &
componendo, conuertendoq, ut hg ad gefita hf ad fc. Hic autem incipit clcmonflrare lineam
gf ipfi ab aquidifiantem effe, quod quidem ab Eutocio etiam aliter demonfiratur.
Linea igitur gf ipfi ab eft a?quidiftans. j Ex fecunda fexti in oppofitis f cilionibus .fedin
byperbola cum fit ut hg ad g bfita hf ad fa,& comertendo, diuidendoq , erit ut b h ad hg, ita
ah ad h f:& permutando ut b h ad ha, ita gh ad h f. fiunt autem anguli ad h inter fe aquales .
triangulum igitur ah b fimile esi triangulo gbf,& angulus abg ce qualis angulo bgfquaregf
ipfi ab aquidifiat.
THEOREMA XLV. PROPOSITIO XIV.
Si in hyperbola,ucl ellipfi,uel circuli circumfereniia,ueloppofiris fc
dionibus ab extremo axis lineas ad redos angulos ducantur, &; quartas
parti figura aquale redangulum comparetur ad axem ex utraque par-
te ; quod 111 byperbola quidem , Sc fedionibus oppofitis excedat figura
quadrata*, in ellipfi nero deficiat: & ducatur linea fedionem contin-
gens, occurrensq; eis, quas funt ad redos angulos : lineas, quje ab occur-
fibus ducuntur ad punda ex comparatione fada , angulos redos ad ea
efficient .
Sit una didarum fedionum,cuius axis ab:&linea? ac,bd ad redos angulos duca
tur.contingat autem c e d ;& quarta? parti figura? asquale redangulum comparetur ex
utraque parte, ficuti didum eft; uidelicet redangulum a fb,& a g b;& coniungantur
c fjc g,d 'fjd g. Dico angulum c fd,& an
gulurn cgd. reduefte. Quoniam enim
oftenfum eftredangulum ex ac,b d a?-
quale quarta parti figura? , qua? ad a b
confiituitur: atque eftredangulum a fb
s?quale quarta? parti eiufdem figurse.-re-
danguluin ex a c, b d redangulo a f b
teqtiale erit.ergo ut ca ad afiita fb ad
bd:&fimtanguli,quiad ab redi.angu
lus igitur ac f angulo bfd efta?qualis :
angulus q; afe a? qualis angulo fdb.&
CONICORVM LIBER. III.
96
quoniam angulus ca f eft r edus, anguli a c f,a fc uni redo squales erunt, demonftra 3 1. primi
tum autem eft angulum aci squalem elle angulo d t b.ergo c fa 3 d f b anguli uni re-
do funtsquales.reliquus igitur angulus dfc redus eft. limiliter & angulus cgd re-
dus demonftrabitur.
F E D. COMMANDINVS.
Reliquus igitur angulus d fc redus eft.] In dlipfi fcilicet 3 nam in hyperbola angulus dfc
ex duobus angulis cfa 3 dfb confiat.
THEOREMA XLVI. PROPOSITIO XLVI.
Iifdem politis linea? coniimcta? «quales facient angulos ad contin-
gentes .
Iifdem nanque pofitis , dico angulum a cf angulo d c g ; & angulum c d f angulo in antece
b dg squalem efte. Quoniam enim oftendimus utrunque angulorum cfd, cg d re- ciente ; ...
dum die. 11 circa diametrum c d circulus defcribatur per panda fg tranlibit . qua- t el- t ii!
re angulus dcg squalis eft angulo d fg, quod ftnt in eadem circuli portione, angu-
lus autem dfg angulo acf eft «qualis, ut demonftratum fuit. ergo& dcg angulus inantece
«qualis erit angulo a cf. Eodem modo & angulus cdf angulo bdg «qualis often- dente,
detur .
THEOREMA XXVII. PROPOSITIO XLVII.
Iifdem politis linea ab occurfu coniiin&arumadta&um duda, per-
pendicularis eft ad contingentem .
Ponantur eadem, qu« prius; &line« cg,fd libi ipfts occurrant in h:& cd,ba pro
dud« occurrant in k : coniungaturq; eh. Dico eh ad cd perpendicularem effe . ft
enim non eft ita^ducatur apundo h ad c d perpendicularis h 1 . Quoniam igitur an- A
.APOLLONII PERGAEI
gulus cdf«qualisefiangulo gdb,& angulus dbg redus «qualis redo dlh:trian~
. festi gulum dgb triangulo Ih d fimile erit, quare ut gd ad dh,ita b d ad dl.Sedut gd
g ad d h,ita fc ad c h,propterea quod anguli ad fg redi , & qui ad h «quales funt
q ut fc ad chfita ac ad cfiobfimilitudinem triangulorum afc,lch. Vtigitur b d ad
D dl,ita ac ad cl:&permutando ut db ad c a, ita dl ad lc.ut autem db ad cajita
b^ad ka.ergout dl ad lc,ita bk ad ka. Itaque a pundo e ducatur linea e m ipfi
E ac «quidiftans,qu« ad a b ordinarim applicata erit;& ut b k ad k a, ita erit b m ad
F G 111 a ’ ut b m ad m a , ita d e ad e c . quare ut d 1 ad 1 c,ita erit d e ad e c : quod eft
abfurdum. non igitur hl perpendicularis eft ad lc,nequealia ulla,pr«teriplam he.
E E D. COMMANDINVS.
A Quoniam igitur angulus c d f «qualis eft angulo g d b .] Eft enim cx antecedente an-
gulus cdf aqualis angulo g d l):itemq; angulo Id ex quintadecima primi elementorum . ergo an-
gulus gdb ipfi Idh eft a qualis . eft autem & dbg rectus aqualis r effio dlb. triangulum igitur
dgb triangulo dhl fimile erit.
g Et quiad h «quales funt.] In ellipfi enim anguli ad h funt fecundum uerticem.fed inhyper
hola idem eft utrique communis . ergo & reliquus reliquo aqualis 3 & triangulum fc b triangulo
gdb fimile erit .
q Ob fi militudinem triangulorum afcylch.]
IStdnque angulus fa c tetius eji aqualis angulo c lb 3 qui
reffius ponitur ; & angulus f c a ipfi Ic h aqualis ex an-
tecedente. ergo triangulum afc fimile eft triangulo Ih c.
j) Vt autem d b ad c a, ita b k ad k a .] Ob fimili-
tudinem triangulorum dbk,c a k.
g Et ut b k ad k a, ita erit b m ad m a .] Eft enim
ex trigefimafext a primi huius 3 ut ak ad kb ,ita am ad
mb.quare & conuertendout bk ad kajtabm ad ma.
p Sed ut b m ad m a, ita d e ad e c.] Hoc in ellipfi
fexti. perffticuum eft 3 fed in hyperbola iungatur rn c , & db ad
iexti . ipfam producatur in n . erit ut bm ad ma 3 ita nm ad
m c. ut autem n m ad m c, ita de ad ec . ergo ut bm ad
m a, ita de ad e c . '■
G Q uare ut d 1 ad 1 c,ita d e ad e c, quod efi: ab-
iurdum.] Sienimfieripoteft 3 fttut dl ad leftta de ad e c.erit conuerter.do ut cl ad Id, ita ce
ad eci:&' d addendo ut cd addifita cd ad de.ergo ex nona quinti d l eft aqualis de, pars toti,
quod eft abfurdum,
1 * THEO
97
CONICORVM II B. III.
THEOREMA XLV11I. PROPOSITIO XLVIII.
lifclem pofitis>oftendendume(l:lineas,qutf ataftu ducuntur, ad pun
dta ex comparatione facta, a-quaieS continere angulos ad contingentem.
Ponanrareadem,qua: prius:& coniungantur e f, e g . Dico angulum c e f angulo
ged aqualem efTe. Quoniam enim anguli dgh,deh redifunt; circulus circa diam e
trum dh defcriptus perpuncta eg tranfibit. quare angulus dhg aeqfcalis eritangu
lo deg in eadem enim portione confidunt. Similiter& c e f angulus angulo chfelt
sequal is,& angulus chf' angulo dhg;quodlintfecundumuerticem.angulusigitur A
cef angulo ged aequalis erit.
FED. COjMMANDINVS.
Q uodfint fecundum uerticem.] Intelligendum est hoc in dlipfi j nam vn hyperbola eH A
idem angulus.
THEOREMA XLIX. PROPOSITIO XLIX.
Iifdem politis fi ab aliquo pundtorum ad contingentem perpendicu
laris agatur, quar afa<ftopun&o ducuntur ad axis extrema, redtos angu-
los continebunt.
Ponantur eadem ; & a pundo g ad c d ducatur perpendicularis g h ; & a h , b h
iungantur.Dico angulum ah b redum die. Quoniam enim angulus db g,& dhg \\
e •? «
eft redu$,fi circa diametrum d g circulus defcribatur,tranfibit per punda h b, & an ^
gulus ghb angulo bdg aequalis erit.angulus autem age oftenfus eft aequalis angu
n APOLLONII PERGAEI
Io bdg.ergo ghb angulus aqualis' efc angulo age, hoc efi angulo ah C:&propterea
angulus cli g angulo a hb.fed rectus eft angulus cli g.ergo & ah b redtus erit .
, F E D. C O M M A N D I N V S.
A , Angulus autem age oftenfus eft squalis angulo bdg.] In 45. huius.
.Hoc eft angulo a,h^.] -Spnt enim anguli cag,cbg recti, quare fi circa dimetrum, cg cir-
ttdus deferibatutype? pundta at? trar.fibif ;& anguli age, ah c in eadem circuli -portione inter
fe aquales erunt .
C Et propter ea angulus chg angulo ah b.] .Addito Jciiicet uinque angulo communiam
hyperbola quidem hh c,in elUpfi nero a hg angulo.
THEOREMA L. PROPOSITIO L.
lifdetn politis , fi a centro fedionis clueatur linea contingenti occur-
rens ; icquidiftansq,’ lineor per tadum , & per unum pundorum cludae :
dimidio axis aetpalis erit . ' J
Sint eadem, quae. ftipra,& centrum fit h.iungatur autem e f:& lines d c, b a inter fe
conueniantin K:&per h ducatur hlsquidiftans
e f .Dico 1 h ipfi h b squalem efte.Iungantur enim
eg,a 1,1 g,lb:&per g ducatur gm ipfi e fisquidi
A fians. Quoniam igitur rcLiangulum afb eftsqua
le rediatigulo agb,& linea af lines gb squalis
erit . eft autem &. a h sq ualis h b . ergo & f h ipfi
B C h g : & propterea e 1 ipfi 1 m efi squalis . Itaque
quoniam demonftratum efi angulum cefangu-
zj?. primi. 1 G deg squalem efie: eftq; angulus c e fi squalis
angulo e m g : erit & e m g angulus ipfi m e g ec-
qualis ■ & linea eg lines gm . fed& e 1 efi squalis
1 m, ut demonfirauimus. linea igitur gl ad em efi
B perpendicularis. efi autem & angulus alb rectus.
■ quare fi circa diametrum ab circulus deferiba-
tur,perpimdtiim 1- trqnfibit . atque efi a h . squa-
lis h b.ergo & h 3,qus efi ex centro circuli, ipfi h b
squalis erit .
UUTDtm
FE D. C O M M A N D I N V S .
A
B
a.fexti*
C
D
Quoniam igitur redtangulum afib efi squale
redtagulo a g b- & lirfea allines g b .squalis ent]
Hoc dnobis demonfiratim efi in commentari] s in fextam
decimam fecundi huius/.
Et propterea el/ipfi Im efi squalis .] Hoc in el~
lipfi manifejlum efl, in hyperbola uero producatur Ih uf-
que ad eg in n : & ckm f b fi aqualis Irg , erit en a-
qualis ng. ut autem e\ ad n’g,ita el ad Im.ergo el ipfi lm aqualis erit.
Itaque quoniam dqmpnfiratum efi angulum cef angulo deg. squalem efie.] 7
quadragefma o/tauahmiiS'. \
linea igitur gl ad em qft perpendicularis.] Ex diffinitione Ifhea pe ,pendicniarh ./
quitur enim ex dictis angulum g l e angulo 'g l m effe aqualem.
Efi autem & angulus a Ib refitus.] Ex antecedente ,
n r,
1,J« M» -' -
d
-t-j.
/.i. ifitUo O EL
' ' .
1
CONICORVM LIB. III.
9 %
THEOREMA LI. PROPOSITIO LI.
SI in hyperbola,uel oppofitis fedionibus ad axem comparetur redati
gulum aquale quartae parti figurar.excedcnsq; figura quadrata:&; a pun
dis ex comparatione factis ad quamlibet fedionem reda? lineae incline-
tunitiaior minorem quantitate axis fuperabit .
Sit hyperbole, ueloppofitsfediones,quarumaxis ab,centrumc: & quarts parti
figurs squale fit utrumq;re&angulorum a db,aeb:& apunctis ed adfedionem in
clinentur efif' d.Dico ef ipfiam fd fuperare quantitate ab.ducatur enim per f linea
fxh fedionemcontingensi&per c ducatur gch squidiftans fd . erit angulus khg imprimi
angulo K fd squalis 3 alterni enim iunt: & angulus k fd squa
lis angulo g fh. ergo & g f h ipfi ghffiineaq; fg lines gh,&
linea fg ipfi g e squalis erit ; quod & a e squalis fit d b, & a c
ipfi c b, & dcipfi ce. eft igitur linea gh squalis ge: & ob id
fe ipfius gh dupla. Itaque quoniam demonfirata eft c h ipfi
cb squalis ; erit e f utriufque g c,c b dupla.fed ipfius quidem
gc dupktreft fd; ipfius uero c b dupla a b.linea igitur ef utri-
que fd, ab eftsqualis;&proptereaef ipfam fd iuperat quan-
titate ab.
FED. COMMANDINVS.
Et angulus k f d squalis angulo g f h .] Ex 40. ottaua huius . A
Quod & a e squalis fit d b .] Superius enim demonflrauimus e b ipfi a d aqualem effe , B
quare addita utrique ab 3 erit a e aqualis bd . uereor tamen, ne potius legendum fit : quod & ad
aqualis fit b e . hoc enim ad propojitum magis attinere uidetur .
Itaque quoniam demonfirata efi: ch ipfi cb squalis .] In antecedente fcilicet . C
Sed ipfius quidem gc dupla efi fd.] Eflenimut fe ad egfita f d ad gc .[ed f e dupla D
tfi eg . ergo & fd ipfius gc dupla . 4-fexti'.
THEOREMA LII. PROPOSITIO LII.
Siinellipfi ad maiorem axem ex utraque parte comparetur redan-
gulum squale quarta; parti figura^ deficiensq; figura quadrata: 8c a pun
Sis ex comparatione fadis ad fedionem reda: linea: inclinentur } ipfi
axi aquales erunt .
Sit ellipfis, cuius maior axis a b.-& fit utrumque re&angulcrum acb, adb squale
quarts parti figurs : & apundis c d ad fedionem inclinentur
reds lines ce,ed. Dico ce,ed axi ab squales dfe. Ducatur
enim linea contingens e f h:& per centrum, qnod fit g, ducatur
gK h ipfi ce squidiftans. Quoniam igitur angulus cef efi s-
quaiis angulo h e K , & angulus fc e angulo e h k ; & e h K an-
gulus ipfi h efi squalis erit;& linea h k squalis lines ke. &
quoniam ag eft squalis gb,& ac ipfi db;erit& cg ipfi gd
squalis, ergo & e k squalis fid . & ob id linea quidem e d du-
pla eft h k ; linea uero e c dupla fi, g. Ytraque igitur c e, e d ip-
fius h g eft dupla . fed & ab dupla h g. quare a b ipfis c e , e d
squalis er it. .
b a
A
1. fextl
B
C
APOLLONII PERGAEI
F E D. COMMA NDINVS.
^ Quoniam igitur angulus cef efl«qualis angulo hex.] Ex 40. oclaua huius .
g Et ob id linea quidem e d dupla efl h k .] Efl enim d e dupla e k , hoc eFl h k , qua ipji
k e aqualis demonttrata eH .
q Sed & ab dupla hg.] In qiimquagefirm enim huius demon firauit hg aqualem e jfe ga.
THEOREMA £ 111 . PROPOSITIO LIII.
Si in hyperbolajuel cllipii^uel circuli circumferentia , uel fedionibus
oppofitisab extremo diametri ducantur linea? ordinatim applicatis se-
qui diftantes, & a didis terminis ad idem feefionis pundum lincte du-
fecent ^quidiilantesiredangulum ex abfcisfis factum arquale erit fi-
gura, qua? ad eandem diametrum conftituitur .
Situnadidcarumfedionum ab c, cuius diameter ac: ducanturq; ad, ce ordina-
tim applicatis «quidiflantes:& a b e,c b d producantur. Dico rebtangulum conten-
tum a d,c e figura , qu« fit ad ac «quale efle . a pundto enim b linea b f ordinatim
applicetur.ergo utredangulum a fc ad quadratum f b,ita tranfuerfum figura latus
® ad rebtum,-& ita quadratum ac adipfam figuram .fedre&anguli a f c ad quadratu
Z3 ‘ CXt c ^ proportio componitur ex proportione af ad fb,& proportione cfad fb. ergo
proportio figura ad quadratum a c compofita efl ex proportione b f ad fa , & pro-
D portione b f ad fc. Vt autem af ad fb , ita a c ad ce:& ut c f ad f b,ita ca ad a d .
£ proportio igitur figunt ad quadratum ac componitur ex proportione ec ad ca,&
aj.fextx da ad ac.fedredlangulum contentum ad, ce ad ac quadratum ex eifdem propor-
tionibus componitur, ergo ut figura ad quadratum, ita efl re&angulum co ntentiim
ad, ce ad quadratum a c.redangulum igitur contentum a d, ce figura:, quae Et ad
ac «quale erit.
FED. COMMANDINVS.
^ - Ergo utredtangulum a fc ad quadratum f b , ita tranfuerfum figura latus ad re-
dtum.] Ex 21. primi huius.
B Et ita quadratum ac adipfam figuram.] Efl enim ut tranfuerfum latm ad retium , ita
quadratum tranfuerfi lateris 3 hoc efl quadratum a c ad reUangulum diBis lateribus cantent tm\
hoc efl ad figuram ipfam , txpnma fexti 3 uel ex lemmate m 22. decimi elementorum.
q Ergo proportio figura ad quadratum a c compofita efl ex proportione b f ad f a;
& proportione bfad fc.] Quoniam enim ut reEt angulum afe ad quadratura fb , ha qua-
dratum ac adipfam figuram ; erijt conuertendo,ut quadratum fb adreUanguhini afe, ita figu-
ra ipf a ad quadratum a c.fed proportio quadrati f b adrettangulum afe cor, -.ponitur e> tropa -
tione bf adfa 3 & bf ad fc.ergo & proportio figura ad quadratum ac ex eifdem piopomom-
bus componitur .
D Vt autem af ad fb,ita ac ad cej&ut cf ad fb ita ca ad ad.] Ex quarta /b t i c t>
-4 u fimi Ii
99
CONICO RVM LIBER III.
fitnilitudinem triangulorum abf,dec: & triangulorum cbf cda.
Proportio igitur figura? ad quadratum ac coniponitur ex proportione ec ad ca. E
& cl a ad a c . ] Tgam conuerfa proportio ex eifdemproportionibus comer jis componitur , ut fu-
perius probatum esi . uereor tamen ne hacpropofiiio ab aliquo inuerfa fit , manifefiior enim ejfiet ,
fi hoc modo explicaretur .
,A punflo enim b linea bf ordinatim applicetur, ergo ut quadratum fb ad reclangulum afc s
ita rectum figura latus ad tranfuerfum: & ita figura ipfa ad quadratum a c.fed proportio quadra-
ti fb ad rebt angulum afc componitur exproportione bf ad fa & proportione bf ad fc.ergo
& proportio figura ad quadratum ac ex eifdem proportionibus componitur. Vt autem bf ad
fafita ec ad ca : & ut bf adfcfita da ad a c. proportio igitur figurat ad quadratum ac compo-
fita efi exproportione e c ad c a, & proportione da ad ac. & reliqua , qua deinceps fequuntur .
THEOREMA LIIII. PROPOSITIO LIIII.
S i coni lectionem, uel circuli circumferentiam contingentes duae
reda; linere libi ipfis occurrant : &c per tadus ducantur contingentibus
a:qoidiltantes : a tadibus uero ad idem fedionis pundum dudx linea:
sequidifhntes fecent : redangulum exabfcifsis conftans ad quadratum
linea: tadus coniungentis, proportionem habebit compolitam ex pro-
portione, quam habet quadratum portionis linea: aboccurfu contin-
gentium ad pundum medium coniungentis tadus duda:, qua: eft intra
fedionem, ad reliqua portionis quadratum : <5r ex proportione , quam
habet redangulum ex contingentibus fadum ad quartam partem qua-
drati linere tadus coniungentis .
Sit coni fedio , uel circuli circumferentia a b c ; quam contingant recte lineis ad,
d c: & itinda a c, bifariam in pundo e diuidatur : iungaturq; d b e . a punito autem
a ducatur linea a f ipfi cd ajquidiflans : & a pundo c linea cg reqiiidiftans ad.deni-
que (umpto in fedione quouis puncto h, iungantnr a h, c h: & ad punita g f produ-
cantur . Dico redangulum conftans ex a f c g ad quadratum a c proportionem ha-
bere compofitam ex proportione quadrati e b ad quadratum b d>& proportione re
danguli a d c ad quartam partem quadrati a c; hoc eft ad redangulum a e c . Duca-
tur enim a pundo quidem h linea hklx o : a pundo autem b linea b m n , quis ipfi
ac cequidiftent.peripicuum eft lineam mn fedionemcontingere.&cum a e fit. i qua \ ]3
lis ec,erit& mb ipfi bn aequalis;& ko ipfi ol;& ho ipfi ox;& kja ipfi xl. Itaque C D E
quoniam b m m a fedionem contingunt , d ipfi m b jequidiftans ducta eft k h 1, erit
ut quadratum a na ad quadratum m b, hoc eft ad redangulum mbn,ita ax quadra-
tum ad redangulum xith,hoc eft ad redangulum 1 h K : & permutando ut quadratu
a m ad quadratum a k ,ita m b n redangulum ad redangulum f h ut autem redan p
gulumex nema ad quadratum am,itaredagulum
ex lc,x a ad quadratum a k. ergo ex aequali ut redan
gulum ex n c,m a ad redangulum mbn, ita redan -
gulum ex 1 c, k a ad redangulum 1 h V fed redangu-
lum ex 1 c, k a ad redangulum 1 h K proportionem
habet compolitam exproportione cl ad 1 h , hoc eft
fa ad ac, & proportione a K ad k h , hoc eft gc ad
c a.hisc autem eadem eft, quae proportio redanguli ex
g c,fa ad quadratum ac. Vt igitur redangulum ex
n c,m a ad redangulum m b n,itaredagulum ex g c,
fa ad quadratum a c . redangulum uero ex n c , m a
ad redangulum m b n , fumpto medio redan gulo
n d m, habet propoi-tionem compolitam expropor-
G
H
APOLLONII P ER G AE I
tione rfpanguli ex nc,ma adredangulmn n d m , & proportione redanguli n d m
adredangulutn m bn.ergo &redanguhitn ex gc,fa ad quadratum ac compeditam
habet proportionem ex proportione redanguli ex nc,ma adrech.ngulum ndm,&
K proportione redanguli ndm ad rectangulum mbn.fedutredangulurriex nc, ma
L ad rectanguluin n d m, ita quadratum e h ad quadratum b d; & ut rcdaguluni ndm
ad rectanguluin mb n,itaredangulum cda ad redangulurri aec. redangulum igi-
tur ex g e, fa ad quadratum ac compofitam propofitionem habet ex proportione
quadrati eb ad bd quadratum, & proportione redanguli cda adredangulu aec.
EVTO CIVS.
F Vt autem redangulum ex n c, m a ad quadratum a m , ita redangulum ex 1 c , k a
ad quadratum a k . J Quoniam enim ut ad ad d rnjta c d ad d n,erit per conuerfionem ratio-
nis ut d a ad a m,ita d c ad c n. eadem quoque ratione , & connertendo demonfirabitur ut k a ad
a d,ita Ic ad c d. ergo ex aquali & conucrtendo ut ma ad a k, ita nc ad cl:& permutando ut
ma ad n i, ita a k ad cl. Vt igitur recl angulum ex nc,ma ad quadratum am , ita reffi angulum
ex lc } k a ad quadrat um al ^ .
K Sed ut redangulum ex n c,m a ad redangulum ndm, ita quadratum e b ad qua-
dratum b d . ] TQam cum rectangulum ex am,cn ad redangulum n dm compofitam propor-
tionem habeat ex proportione am admd , & proportione cn ad nd: ut autem am ad md , ita
eb ad b d:& ut cn ad ndfta eb ad b d: habebit reti angulum ex am,cn ad redangulum ndm
»o.Lxti proportionem duplam eius ,qua est eb ad b d.fed & quadratum eb ad quadratum bd duplam
proportionem habet eius, qua efl eb ad b d. quare ut reti angulum ex a m,c n ad redangulu ndm ,
ita quadratum eb ad bd quadratum .
^ E t ut rectangulum n d m ad redangulum m b n , ita redangulum c d a ad redan-
gulum a e c . j Quoniam enim rectangulum ndm ad redangulum mbn proportionem habet
4 .fexti compofitam ex proportione d n ad nb,& proportione dm ad mb : ut autem dn ad nb , ita dc
ad cr.&ut dm ad mbjta da ad a e : habebit quoque proportionem compofitam ex proportione
dc ad c e,& proportione da ad a e -.qua quidem proportio eadem M, quam redangulum cda ha
bet ad rectangulum aec. ut igitur reltangulum ndm ad redangulum mbn.ita rectangulum
cda, ad rectangulum aec »
F E D. COMMANDINVS.
A Perfpicuum efl: lineam m n fedionem contingere . ] Ex trigefima fecunda primi huius .
B Et cum a e iit squalis ec,erit& mb ipfi bn squalis, & ko ipfi ol.] Ex demon -
flratis m f extern primi huius .
C E t h o ipfi o x . ] Ex quadragefima f ixta, & quadragefima f iptima primi huius .
D Et k h ipfi xl.] Quoniam enim ko e (i aqualis ol,<& ho ipfi ox,erit& reliqua kh re-
liqua x l aqualis .
E itaque quoniam m b,m a fedionem contingunt, &ipfi m b sqtiidiftans duda efi
Khl,erit ut quadratum am ad quadratum m b, hoc efi ad redangulum mbn,ita ak
quadratum ad rectangulum x k h . ] Ex fexta decima huius .
G Ex proportione cl ad 1 h,hoc efi fa ad a c.] ob fimilitudinem triangulorum l b c,cfa.
efl enim angulus l c h aqualis angulo afe: & angulus Ihc angulo fcaj. quare & reliquus reli-
quo efl aqualis .
jq Etproportione ak ad kh,hocefi gc ad ca.] Sunt enim triangula kh a, a cg inter
fe Jimitia .
THEOREMA LV. PROPOSITIO LV.
■t * Y" ' ; ' f‘.Y • . , O L .. .
S i oppofitas fe&iones du£ refix lineae contingentes bbiipfis occnr
rant: o c per occurfum ducatur linea coniungenti tactus ^quidiftans:per
tactus uero ducantur sequidillantes contingentibus: Sc a ta&ibus aci
idem
IOO
eONICORVM LIBER III.
idem alterius fe&ionis pnn&um ducantur linea: ? qua! arquidiflantes fe-
cent : redangulum ex abfcifsis confla iis ad quadratum linea: tactus con-
jungentis eandem' proportionem habebit > quam re&angulum ex con-
tingentibus fastam ad quadratum linea: ab occurfu ad fedioncm clu-
dta q ii ce quidem coniungenti tacfbus tequidiftet .
Sintoppofitsefeffciones abc, deQquas contingantre&adineie ag,gd: Sci undta
ad, ducatur per g linea cgejpii ad aequidiRans :& a pun&o a ducatur am a;qui-
diftans dg;atqtiea d linea dm sequidiftans a g.
Sumatur autem in feclione df aliquod pudtum
£ & iungantur a fn , d fh . Dico ut quadratum
cg adredangulum agd,itaelfe ad quadratum
ad redtangulum ex a h , n d . ducatur enim per f
linea f 1 k b , quxipfi a d a-quidiftet . Quoniam
igitur demonftratum eft, ut quadratum e g ad
quadratum gd,itaredangulum blfad ld qua
dratum: & eft cg sequalis g e;& b k i pii 1 f: erit
ut quadratum cg ad quadratum g d,ita redan-
gulum kfl ad quadratum 1 d:eft autem & ut qua
dratum dg adre&angulum dga , ita quadratu
d 1 aci reci an gulum ex d 1, a k . ergo ex aquali ut
quadratum cg aci redangulum dga,itareftan
gulum kfl aci redangulum ex dbak.fed proportio rcdanguli kj'l ad re cian gulum
ex dl,a k componitur ex proportione fk ad k a, & proportione fl ad 1 d. tit autem £
fk ad k a, ita ad ad dn:&ut fl adld,ita da ad a h.proportio igitur quadrati cg ad
redangulum dga compoiita eft ex proportione ad ad dn, & proportione da ad
ah . fed quadrati ad ad redangiilum ex ah, nd proportio ex eifdem componitur,
ergo ut quadratum cg ad re&angulum agd, ita eft ad quadratum ad redangulum
ex a h,n d: & conuertendo utrcdanguium agd ad quadratum cg, itare ctangulura
ex ah, n d ad quadratum ad.
EED. COMMANDINYS.
Dico ut quadratum c g ad red angulum agd,itaefte ad quadratum ad redarimi
limi ex a h,n d . ] Sic habent grati codices ,fed ego potius ita legendum arbitror . Dico ut re-
£t angulum agd ad cg quadratum , ita efe retiangulum ex ah,nd ad quadratum ad.boc enim
eft, quod ef in principio proponit , & in fine concludit .
Quoniam igitur demonftratum eft,pt quadratum eg ad quadratum e d itaret n
gulum b 1 f ad Id quadratum . ] Iu uigefima huius . °
Et cil cg x qualis ge : & b k ipfi !£] Secetur li-
nea a d bifariam in punitio o, & iungdtur g o, qua lineam
bf in p fecet. erit og oppo fit arum feciionum diameter
retia ; tranfuerjfauero , aux per centrum ducitur, ipfi ad
aqtddiftans . ergo cg eft aqualis ge,& bp ipfi pf. fed
& k p aqmlis eft pl , quoniam & ao ipfi o d . reliqua
igitur b k . reliqua If eft aqualis .
Eli autem & ut quadratum d g adrectangulum
dga, ita quadratum dl ad re&agulum ex dftak.]
Quoniam enim xqiiidiflant a d, bf, ut d l ad Ig , ita erit
a K ad k g: componendo q; ut dg ad gl, ita ag ad g k:
& per conuerftonem rationis , ut gd ad di, ita g a ad
a h& permutando ut dg ad g a fit a dl ad a k . Vt nero
dg ad g a Jia quadratum dg adretiangdm dga;&ut
B
D
z.fexti.
Iem mu
decimi .
APOLLONII PERGAEI
dl ad a KJta dl quadratum ad reEt angulum ex dl,& a K . ergo ut quadratum dg ad rediangu-
lum dg a, ita quadratum d l ad redi angulum ex d l:& a K .
E Vt autem fK ad k a, ita a d ad d n : & ut 0 ad 1 d, ita d a ad ah .] Ob fimilitudinem
triangulorum afk>n a d ; itemq-, triangulorum lfd>a d b .
THEOREMA LVI. PROPOSITIO LVI.
A
B
C
D
F
G
$ i unam oppofitarum fe&ionum dua? redfcse linea? contingentes fibi
ipfis occurrant : Sc per ta&us ducantur contingentibus sequidiftantes :
d tadlbus uero ad idem alterius fedtionis pun&um ducantur lineae , qux
aequidiftantesfecent: redangulum ex abfcifsis conflans ad quadratum
linea? ta&us coniungentis proportionem habebit compohtam ex pro-
portione 5 quam habet quadratum portionis linex ad pudum medium
coniungentis ta&us duda? , qua? eft inter di dum pundum > & alteram
fedionem , ad quadratum eius , qux inter fedionem & occurfum inte-
riicitur : 5c ex proportione, quam habet redangulum ex contingentibus
fadum ad quartam partem quadrati linea? tadus coniun gentis .
Sint oppofit« fediones ab, c d, quarum centrum o : Iinearq j contingentes aefg,
b ehk:&iunda ab diuidatur bifariam in k&iungatur le, &ad d producatur a pun
do autem a ducatur am ipfi be «quidiflans : & a pundo b ducatur bn «quidi-
Rans ae.deniquefumpto in cd fedionequouispundo c,iungantur c b m,c an. Di-
co redangulum ex b n,am conflans ad quadratum ab proportionem habere com-
pofitam ex proportione quadrati Jd ad quadra-
tum de, & proportione redanguli aeb ad quar-
tam partem quadrati a b ; hoc dl ad redangulum
a lb. ducantur enim a pundis cd linea: cg£, dhf,
quaesequidiflent ab. Cum igitur al fit «qualis lb,
erit& hd ipfi df «qualis :& ipfi xg. fed cx
efl «qualis x p . ergo & k c ipfi p g . Et quoniam
ab cd oppoht« fediones funt:line«q;contingen
tes,behk, aefg, & dudacfl k g «quidiflans hd:
erit ut quadratum bh ad quadratum hd, ita qua-
dratum b h. ad redangulum p k c. quadratum au-
tem hd efl «quale redangulo hdf:& redangu-
lum p K c redangulo k c g.ergo ut quadratum bh
ad redangulum h d fpt a quadratum b k ad redan
gulum k cg. fed & ut redangulum ex fa,hb adquadratum hb, ita redangulum ex
ga, k b ad quadratum^ b .ex «quali igitur ut redangulum ex af,hb ad redangu-
lum h d i, ita i ectangulu ex a g kb adrectangulum kcd.proportioauterectaguliex
a C h b adrectangulu h dfi fumpto medioiedangulo h e fi componitur ex proportio
ne redanguli ex a f,h b ad tedan gulum h e f ,& proportione redanguli h e f ad redan
gulum h d f. fed ut rectangulu ex af,hb adredagulum h e f, ita quadratum ld ad qua
dratu d e.& ut redangulum h e f ad redangulum h d f,ita redangulum a e b ad redan
gulum al b. ergo proportio redanguli ex ag,kb adredangulum /qcg compofitaefl
ex proportione quadrati ld adquadratum de,& proportione redanguli aeb ad
redangulum a lb, habet autem redangulum ex ag,.Kb ad redangulum k err pro-
portionem compofitam exproportione b ad k c,& proportione ag ad gc. Vtqj
b k ad kc,itaeff ma ad ab;& ut ag ad gc,ita n b ad ba.proportio igitur compo-
lita ex proportione m a ad a b, & proportione n b ad ba, qu« quidem eadem eft,
quam
CONICORVM LIBER III.
i oi
quam habet rectangulum ex am,bn ad quadratum ab;coponiturexpropQrtione
quadrati Id ad quadratum d e,& proportione rectanguli aeb ad rectangulum alb .
F E D. C O M M A N D I N V S.
' ’ £ - * \
Cum igitur a 1 fit arqualis 1 b ; erit h d ipfi df aqualis j & k x ipfi x g . ] Ob fimili - A
tudinem triangulorum d e l,f e d,g e x ; & triangulorum be l,b e d,fe x .
Sed eft: cx squalis xp.ergo& kc ipfi pg.] cx cfl x qualis xp ex quadragefma fepti- B
ma primi huius 3 quare & reliqua k c reliqua pg aqualis erit .
Et quoniam ab,cd oppofits Tectiones funt;linesq; contingentes be hk;aefg C
& ducta eft k g asquidiftans hd erit ut quadratum bh ad quadratum hd,ita quadra
tum b k ad rectangulum p k c . ] Ex decima oEtaua huius .
Quadratum autem h d eft squale rectangulo h d f : Sr rectangulum p k c rectan- D
gulo kcg.] Igam hd eft a qualis d f, ut demonstratum e fi-, & gc ipfi plg.
Sed Se ut rectangulum ex fa,h b ad quadratum h b, ita rectangulum ex ga, k b ad E
quadratum k b . j Quoniam enim triangula aeb,h ef 3 keg f milia finit , erit ut fe ad e a , ita
be aci e b: & componendo ut f a ad a e, ita hb ad b e. eadem quoque ratione demonftr abimus } ut
ga ad ac 3 ita kb ad b e . quare & convertendo ut ea ad ag 3 ita eb ad b k. erat autem ut fa
ad a eft a hb ad b e. ergo ex aquali ut f a ad ag,ita h b ad b k: & permutando ut fa ad hb 3
ita ga ad k b.Sedut fa ad h b ,H a reht angulum ex fa 3 hb ad quadratum h b :&ut ga ad k b,
itarebiangulumex ga 3 kb ad quadratum kb ex prima fexti , uel ex lemmate tn 22. decimi, ut igi-
tur rectangulum ex f a 3 h b ad quadratum h b, ita redi angulum ex ga, k b ad quadratum Igb .
Sed ut rectangulum ex a f,h b ad rectangulum h e f 3 ita quadraturn-1 d ad quadra- F
tum de.] TSfam rebtangulum ex a f,bb ad redi angulum h e f proportionem habet compoftam
ex proportione afad fe 3 & proportione bh ad h e. Vt autem af ad fefita l d ad d e[& ut b h
adhefta Id ad d e. rectangulum igitur cx afihb aarediangulmn h e f duplam proportionem ha
bet eius , qua eft Id ad de .fed & quadratum Id ad quadratum d e proportionem habet eiufdem
proportionis duplam, ergo ut rectangulum ex af, h b ad rectangulum h cf, ita quadratum l d
ad quadratum d e .
. Et ut rectangulum hef ad rectangulum hdf, ita rectangulum aeb ad rectangu- G
Ium alb.] i\ef angulum enim h cf ad rectangulum hdf proportionem compofitam habet, ex
proportione eh ad bd,<&p' 0 portione ef ad fd . Vt autem e h ad h d, ita eb ad hl, &ut ef
ad f djtaf ea ad a L quare rebk angui urh h e f ad rectangulum h df proportionem quoque compo-
fttatn habebit ex proportione eb ad b l- 3 & proportione ea ad a l ; qua quidem proportio eadem
eft , quam habet rectangulum a eb ad reSt angulum alb. ergo ut rectangulum h ef ad reftangu-
lum hdf ita erit rectangulum aeb ad rectangulum alb . hoc etiam ex quartodecimo lemmate
Tappi conflare poteft .
TERTII LIBRI FINIS.
e
APOLLONII PERGAEI
CONIC.ORVM LIBER I I I I.
• ■■■j ■ x»4 - l •' - •' » V* v. * . . - i J
CVM COMMENTARIIS EVTOCII ASCALONIT AE?
ET FEDERICI COMMANDINI,
\AfOLLOmVS „ ATTULO $. Z>.
R i v s quidem ex o&o libris,quos de conicis com-
pofuimusjtres primos edidi ad Eudemum Pergame
num fcriptos . Eo autem mortuo cum reliquos ad
te mittere decreuerimus, quod meorum lcripto-
rum ledionem ambitiofe deftderas, in praffientia
quartum librum mittimus . in eo liare continentur ,
ad quot puncla plurima conorum lectiones inter fe
fe, St circuli circumferentia: occurrere pofsint , nifi tota: totis con-
gruant. pmerea coni fectio , St circuli circumferenda , St oppofita: Te-
ctiones oppofitis Tectionibus ad quot puncta plurima occurrant.ad haec
alia non pauca his fimilia . Ex his quod primo loco dictum eft , Conon
-Samius ad Trafideum fcribens explicauit, non recte in demonitrationi-
bus uerfatus. Itaque Nicoteles Cyren^us eum leuiter reprehendit.
De fecundo Nicoteles in libro contra Cononem mentionem fic fecit,
tanquam quod demonlfrari facile pollet. Sed tamen nos neque ab ip-
To , neque ab alio quopiam demonftratum inuenimus . Tertium uero,
Steiufdem genens alia, ne in mentem quidem alicui unquam uenifle
comperimus. At qua: diximus ab aliis demonftrata non fuiife, omnia
multis, ac uariis, nouisq; theorematibus indigent, quorum plurimam
tribus primis libris , reliqua in hoc expofuimus . Horum igitur contem-
platio non paruam utilitatem affert, St ad compodtiones problematum.
St ad determinationes. Nicoteles quidem ob diflenfionem , qua: illi
cum Conone erat , feribit nihil eorum , qua: a Conone inuenta Tunt, ad
detenninationespertinere. quod ille falfo affirmat, nam St fi omnino
abfque his determinationes reddere pofsimus , tamen ex his ipfisnon
nulla facilius percipiuntur ;uelut hoc, quod aliquid multipliciter fiat,
uel quotupliciter, uel rurfus quod nullo modo fiat, qua: quidem cogni-
tiodi antecefferit, ad quaffiiones magnam praffiat facultatem . prarterea
ad diffinitionum relolutiones theoremata ha:c ualde utilia funt.qute
etiam fiabfit utilitas, propter ipfas demonftrationes digna funt, ut re-
cipiantur . multa enim alia in mathematicis difciplinis ob hoc ipfum , St
non ob aliquod aliud recipere confueuimus .
EVTO
loa
CONICORVM LIRE R HII.
E Y T O C I V S. '
jQVatitvs -liber Jinthemi Sodalis chariffime qu&fiionem quidem habet, quot modis- cono-
rum feUioms inter fefe, & circuli circumferentia ; itemifi oppofi txf xiiones oppofi tisfeciionibus
occurrant . Sed efl tamen elegans, & legentibus perjfticuus , prxfertim ex editione nofira: ac ne
commcnidrifs quidem ullis indiget: quod enim deefi ipfa explent adferiptiones . In eo autem om-
nia demonferantur 'argumentatione ducente ad id , quod fieri nonpotefl ; fidit & Euclides fecit iit
ijs , qua de feclionibus , circulo , & taMiombus sonfcifipfitu qua fime ratio & ad ufum accommo-
data , & necejfaria iAnftoteti , ac Geometris pracipue uero . Archimedi uifa efl . Itaque tibi qua-
titor libros perlegenti licebit ex conicorum tradi at ion e refoluere , & componere quodeumque pra~
pofitum fuerit . quo circa & ipfe . Apollonius in principio libri dixit quatuor libros ad huius difei -
plina dementa fujficere : reliquos autem quatuor ad abundantiOrem f cientium pert inere . perlege
igitur eos diligenter : & fi tibi placuerit reliquos ad eandem formam d nobis edi , id quoque Deo
duce fiet. Vale. i RD *
THEOREMA I,
1 'j . ;
PROPOSITIO I.
S t in coni Tectione ucl circuli circumferentia aliquod punctum
tra fumatur: atque ab eo ad Tectionem ducantur dua: rectae linea:, utfa
quidem contingens, altera uero in duobus punctis fecans: 8c quam pro-
portionem habet tota linea fecans ad paftem fui ipfius , qua: extra fumi-
tu r inter punctum Bc Tectionem interiecta • in eandem diuidatur ,.qua:
eft intra , ita ut recta: linea: eiufdem rationis ad unum punctum conue-
niant: quas a tactu ad diuiftonem ducitur occurret Tectioni : df qua: ab
occurfu ducitur ad punctum, extra fqmptum Tectionem continget.
Sit coni Tectio , uel circuli circumferentia a b c;& puncto extra Tectionem fumpto,
quod Iit d,ab eo ducaturlinea db quidem. contingens Tectionem in b:dec uero in
punctis e c fecans: & quam proportionefn habet edi, ad de,
eandem habeat cf ad Fe. Dico' lineam, qtpe a puncto b ad T
ducitur, occurrere Tectioni ; & quse ab occiprfu ducitur ad di-
ctionem contingere. Quoniam enim linea clc fectionemin
duobuspunctisTecatjiion erit ipfius diameter . quare licebit
per d & diametrum, & lineam contingentem fiucere. ducatur
a puncto d linea da fcctionemcontmgens;&iuncta b a fccct
iplam ec non in f, fed in aiio puncto g , ii fieri poisit . Itaque
quoniam lineae b d,d a Tectionem contingunt; Se ad tactus du-
cta eft b a: linea uero c d Tectionem in punctis c e Tecat ; & ip4ni a b fecat in g •• erit
ut cd ad de,ita cg ad ge,quodeftabfurdum . pofiiimus enim , ut cd ad de,itaef- B
fe c f ad fe. non igitur b a Tecat, e c in alio puncto t quare in ipfq f Tecet necefte eft .
F E D. € O M M AND I.N V S. ~ 7 -'
r r\ . b f. f
nauq .'Txup
r (,
_ Itaque quoniam lineae bd 5 da Tectionem contingunt, & ad tactus ducta eft ba; A
linea uero cd Tectionem in punctis cte : ftcat;& ipfani ab fecatin g, eritut cd ad
de,ita cg adge.] Ex trigelimafcptima tertij, huius . .
Quod eft abliirdum,] 'Nfim cum pofuer imus cf ad fe,utcd ad<d'4,e(fet c-gad geuf-df R
ad f c, & permutando gc, ad cf,ut g.e ad e f. efl autem gc maior, quarti €f. ergo & ge maior ,
quam e f , fed & minat, quqd fieri non potefi, - r, s- -■ r, - ; f , :
" r
. SHjUrf
■ i ^ .. ' H r
\
A P O L L O N I I P E R G AE I
THEOREMA II. PROPOSITIO II.
H ae c quidem communiter in omnibus rectionibus demonftrata
funt.atin fola hyperbola, fi linea db fectionem contingat: &; dc in
punctis e c fecet: puncta uero ec contineant tactum ad b: & punctum
d fit intra angulum afymptotis compradienfum i.fimiliter fiet demon-
ftratio.poirumusenim lpuneto^ d aliam ducere contingentem da, 8c
quce reliqua lunt ad demonfirationem ., perficere .
i v L
THEOREMA III. PROPOSITIO III.
. _
Iisdem exifientibus puncta ec tactum
ad b non contineant : fitq; punctum d intra
angulum afymptotis compradienfum : . poteri-
mus d puncto d alteram contingentem duce-
re y qua; fit da, Sc reliqua fimiliter demon-
llrare .
THEOREMA III.I. PROPOSITIO .1111.
I i s d em pofitis, fi occurfus e c contineant tactum ad b : & pun-
ctum d fit in angulo , qui deinceps eft angulo asymptotis comprarhen-
fo : linea , qua; a tactu ad diuifionem ducitur, occurret oppofita; jectio-
ni : &c qua; ab occurfu ducitur eandem fectionem continget .
Sint oppofite Pectiones E h,quarunl aiymptoti k 1,
mxn:& punctum d fitin angulo lxn.ab eo aute du-
cta linea db fectionem contingat: & d cTecct, ita ut
occurfus e c tactum ad b contineant: & quam pro-
portionem habet cd ad d e, habeat cfiid fc.dcmon
ftrandum eft lineam, qua* a puncto b ad f ducitur, oc-
currere fecdoni k&qtoe ab occurfu ducitur ad d fe-
ctionem contingere, ducatur enim a puncto d linea
d h fectionem contingens:&iuncta h b,fi fieri pofsit,
I7.tertif non tranfeat per fifed per aliud punctum g. ell: igitur
huius . ut c d ad d e,ita c g ad g e. quod cftabfurdumtpofui
mus emm,ut cd adfd e,ita efte c f ad fe .
i D
O D JlJ
THEOREMA V. PROPOSITIO V.
fj o
3J-revti i
huius.
Iisdem pofitis , fj; punctura d fit m una .u
afymptoton ; qua; a puncto b ad f ducitur, ei-
dem afymptptoa; qujdiftabit .
Ponantur enim eadem & punctum d fit in aliqua
afymptoton , uidelicet in mn. demonftrandum eft li-
neam, qu?e a puncto b ipfi m n «quidiftans ducitur,
in, punctum f cadere, non enim, fed fi fieri poteft, fit
b g . eri figitur ut c d ad d e, ita c g ad g e. quod eft ab-
furdum .
ili
THEO-
103
C O N I C O R V M L1B. I I I I.
THEOREMA VI. PROPOSITIO VI.
: Si inh^perbolaaiiquod pundum extra fumatur, a quo ad fedionem
ducantur dux redae lineae } altera quidem contingens * altera uero xqui
diftans uni afymptoton: & portio aequidiftantis inter fedionem, &pun
dum interieda , xqualis iit ei , qux intra fcdioncm continetur : linea >
qux a tadu ad fadum pundum ducitur occurret fedioni j & quae ab
occurfu ducitur ad pundum extra fumptum fedionem continget .
Sit hyperbole aeb,& fipnatur aliquod pundum extra, quod iit d. fit autem primo
d intra angulum afymptotis contentum : & ab ipib d linea
quidem db du&a fedionem contingat; def uero squidi-
ftet alteri aiymptoton-ponaturq;ipfi de aqualis e f. Dico
lineam, quae a pundo b ad f ducitur,occurrere.fedioni, &
qus ab occuriii ducitur ad d, fedionem contingere. Duca-
tur enim d a , qua?. fedionem contingat : & iunda b a fecet
ipfarn d e, fi fieri potefl: , non in f, fed in alio pundo g . erit
d'e aequalis e g, quod eft abfurdum, ponebatur enim de ip-
fi e f aequalis.
THEOREMA VII. PROPOSITIO VII.
r . “* r.~ • ,
Iifdem pofitis , fit pundum d in angulo dein-
ceps ei,quiafymptotis contmetur.Dico etiam fic
eadem euenire .
Ducatur enim dh fedionem contingens, & iunda hb,
fi fieri potefl:, non cadatin f, fed in aliud pundum g. ergo
de eff squalis e g. quod eft abfurdum; ponebatur enim
de squalis ef.
THEOREMA VIII. PROPOSITIO VITI.
Iifdem pofitis, iit pundum d in una afymptoton *, 5c reliqua eadem
fiant.Dico lineam, quae a tadtu ad extremam partem
fumptx ducitur ; xquidiftantem eile afymptoto , in
qua eft pundum d.
Sint enim eadem, qns fupra: ponaturq; ipfi de squalis ef:
&ap,tindo b ducatur b g squidifians mn,fi fieri posfit. s-
quaiis igitur eft de ipff e g . quod eft abfurdum : pofuimus
euim d e ipfi e f squalem elfe .
THEOREMA IX. PROPOSITIO IX.
fftah eodem puncto dux rectae lineae ducantur , quarum utraque co-
ni fecdonem,uel circuli circumferentiam in duobus punctis fecet :&c
quum proportionem habent totae linex ad portiones, quae extra fumun-
turftn eam diuidantur , qux funr intra, ita ut partes eiufdem rationis ad
idem punctum conueniant : qux per diuifiones ducitur linea fectioni
in duobus punctis occurret : & qux ab occurfu ad punctum extra fum-
ptum»ducuntur,fectioiiem contingent .
30 . tertii
huius.
31 . tertii
huius.
APOLLONII P E R G AE I
Sit aliqua prgdi&arom fe&ionum ab,& ab aliquo pun&o d ducatur linea: de, df
qua: fedtionem fecent ; illa quidem in h e punftis^hsec liero in fg.-& quam proportio
nem habet e d ad dh, eandem habeat el ad 1 h:& rurfus quam habet fd ad dg,ha-
beat fk ad kg. Dicblinea^qua: ab 1 ad k ducitur utraque
ex parte occurrere fe&ioni : & qua: ab occurfibus ducun- .
turad d fedionem contingere. Quoniam enim utraque li
nearum e d,d f feetionem in duobus punctis fecat, poteri
musabipfo d Tectionis diametrum ducere, quare & con-
tingentes ex utraque parte.ducantur igitur da,db,qu$fe
ctionem con tingant; &iuncta ba,fi fieri poslit, nontran-
feat per 1 X,fed uel per alterum ipforum tantuqiel per neu-
trum . tranfeat primo per 1 tantum , & lineam f g in pun-
cto m fecet.ergout fd ad dg,ita fm ad mg,quodeii:ab-
furdnm; ponitur enim ut fd ad dg,ita f k ad Kg.fi uero
linea b a per neutrum punctorum k 1 tranfeat, in utraque ipfarum de,d£idquodeft
abfurdum fequetur.
THEOREMA X. PROPOSITIO X.
Hxc quidem communiterin omnibus , at in fola hyperbola , fi alia
quidem eadem fint, unius autem rectae lineae occurfus contineant oc-
curfus alterius:8c punctum d fit intra angulum afymptotis comprehen
fiim, eadem prorlus eiienient,quae dicta funt, ut in fecundo theoremate
tradidimus.
THEOREMA XI. PROPOSITIO XI» *
Iifde pofitis>fi unius lineae occurfus occurfus alterius non contineat ,
Sc punctum d fit intra hngulum afymptotis comprehenfumj & figura,
&; demonftratio eadem erit , qux in tertio theoremate .
THEOREMA XII. PROPOSITIO XII.*
Iifdem pofitis fi occurfus unius lineae , alterius occurfus contineant*'
& punctum fumptum fit in angulo deinceps ei,quiafymptotis compre
henditunlinea per diuifiohesducta,fiproducatur,occurret oppofitae fe
ctioni:6c quae ab occurfibus ducuntur ad punctum d, oppofitas fectio-
nes contingent.
Sit hyperbole e g, cuius afymptoti nx,.op,& centrum r:punctum uero
gulo xrp:& ducantur de,d fiquarum utraquehyper
bolen in duobus punctis fecet:& puncta eh a pun-
ctis' fg co tineantur fitcg ut e d ad dh,ita e-^adK h:
& Ut fd ad dg,ita fl ad lg.demonfirandum elHinea
per k 1 ductam occurrere lectioni e f, & ei, qua: ipfl
opponitur : & quae ab occurfibus ducuntur ad d , le-
ctiones. contingere, fit fectio . oppofita m : & a pun-
cto d ducamur d m, d s, qua: lectiones contingant':
iunctaq; nvs-, fi fieri posfit , non tranfeat per kl, fed
uel per alterumipforum , uel per neutrum , tranfeat
primu per k , & fecet fgin x . eft igitur ut. f d ad d g,
ita f;q ad xg/qtfod eftabfurdom:p6niturenim utfd
ad d gjita 11 ad 1 g. fi uero m*s per neutrutn pUncto
rum ic 1 tra;nfeat,inut:raqu,eipfarum ed, df ejieniet
illud, quod fieri non poteR .
d fit in an
THEO
CONI COR VM LIBER I I I I. 104
THEOREMA XIII. PROPOSITIO XIII.
lifdem politis fi punctum d fit in una afymptoton,&: reliqua eadem
exiftanquae per diuifiones tranfit linea afymptoto, in qua eft punctum ,
aequidiftabirA producta occurret fe&ioni:quae uero ab occurfu ad pu-
erum ducitur, Tectionem continget.
Sit hyperbole, & afymptoti fumptoq; in una afympto-
ton puncto d, ducantur rects iinese,& diuidantur,ut di-
ctum eft. & ab ipfo d linea d b Tectionem contingat.Dico
eam, quas a. puncto b ducituripfi op cTquidiftans,perpu
cta \t 1 traniire.fi enim non , uel per unum ipforum tranfi
bitjiiei per neutrum. tranfeat primo per k tantum. quare
ut jfd ad d g,ita fy ad y g.quod eft abfiirdum. non igitur
a. puncto b ducta aiquidiftans po per unum tantum eo-
rum tranftbit . ergo per utrumque tranfeat ncceffe eft .
THEOREMA XIIII. PROPOSITIO XIIII.
lifdem pofitis fi punctum d fit in una afymptoton :& linea quidem
d e lectionem in duobus punctis fecer, d g uero alteri afymptoto sequi
diftans fecet in uno tantum , quod fit g : fiatq; ut e d ad d h^ita e K ad
idr.&ipfi dg ponatur aequalis gl: quae per puncta kI tranfit linea, 8c
afymptoto aequidiftabit , & fectioni occurrat: quae uero ab occurfu du
citurad d, fectionem continget.
Similiter enim,ut in fuperioribus,ducta linea d bcon
tingente, dico eam,qus a puncto b ducitur, afymptoto
po sequidiftans, perpuncta ki tranfire.fi enim per K
folum tranfeat, non erit dg ipfi gl aqualis i quod eft
abfiirdum : fi uero per 1 folum , non erit ut e d ad d h ,
ita e K ad Kh. Quod fi neque per K tranfeat, neque
per l,in utrifque id , quod eft, abfiirdum, fequetur . ergo
per utraque puncta tranfire necelfarium eft .
THEOREMA XV. PROPOSITIO XV.
Si in fectionibus oppofitis inter duas fectiones fumatur aliquod pun-
ctum, & ab ipfo duae lineae ducantur *, altera quidem contingens unam
oppofitaru.m *, altera uero utramque fecans:5c quam proportionem ha-
bet linea inter fectionem , quam non contingit , 8c punctum interiecta
ad lineam, quae eftinter punctum, & alteram fectionem,eandem habeat
linea quaedam maior ea, quae inter fectiones interiicitur ad exceffum ip-
fius in eadem recta, 6c ad eundem terminum cum linea eiufdem ratio-
nis: quas & termino maioris lineas ad tactum ducitur, occurret fectioni ,
&c quae ab occurfu ducitur ad fu raptum punctum, fectionem cotinget .
Sint fectiones oppofita? a bTumptoq; inter fectiones aliquo puncto d, intra angu-
lum afymp totis contentum, ab ipfo ducatur linea quidem d f cotingens fectionem ;
adb ueio fectiones kcans;& quam proportionem habet ad ad db 3 habeat ac ad
49 .fecudi
huius,
36 . primi
huius.
35. tertii,
huius*
31? . tertii
huius.
APOLLONII PER G A£ I
c b.demonflrandum eft,Iiiieam a puncto T,a d c productam oc-
currere Tectioni . & eam , quae ab occurTu ducitur ad d Tectio-
nem contingere Quoniam enim punctum d eft intra an gulii,
qui Tectionem continet; poterimus ab ipfo d aliam contingen
tem ducere , qua? fit de;&iuncta Te, fi fieri poteft, per c non
tranTeatjTedperaliudpunctum g . erit igitur ut ad ad db . ita
a g ad g b , quod efl abTurdum : poTuimus. enim ut a d ad d b
ita efte a c ad c b . „ : '
THEOREMA XVI. PROP O S ITI O X VI.
..'I
TiTdem politis , fit punctum d in angulo deinceps efi qui afymptotis
continetur:&: reliqua eadem fiant.Dico lineam a puncto r ad c produ-
ctam occurrere oppofitae Tectioni: & qux ab oc
curfu ducitur ad d,eandem lectionem eontin-
gere
Sint enim eadem, qus Tupra : & punctum d fit in an-
gulo deinceps ei, qui afymptotis continetur: atque a pu
cto d ducatur de Tectionem a contingens : iuncta au-
tem e ft& producta, fi fieri poteft,non tranTeatper c,Ted
per aliud punctum g erit ut ag ad g b, ita ad ad db ;
quod eft abTurdum r ponebatur enim ut ad ad db,ita
a' c ad c b .
THEOREMA XVII. PROPOSITIO XVII.
Lfdem pofitis fit punctum d in una afym-
ptoton. Dico lineam , quxab f ad c ducitur >
afymptotofin qua elt punctum 3 cequidifi:are.
Sint eadem, quae Tupra; & punctum d in unaafympto
ton-dnctaq; per T eidem afymptoto aequidiftans non
tranTeat per c,fi fieripoteft, Tedper g.eritut a d ad d b,
ita a g ad g b , quod eft abTurdum . ergo quas a puncto f
ducitur afymptoto aequidiftans per punctum c trafibit.
THEOREMA XVIII. PROPOSITIO XVIII.
Si in Tectionibus oppofitis aliquod punctum Tumatur inter duas Te-
ctiones ab ipTo duce lineae ducantur, utramque, Tectionem Tecantes:
& quam proportionem habent interiecta: inter unam Tectionem & pu n
ctum ad eas, quae inter idem punctum, & alteram Tectionem interiici.uu
tur, eandem habeant lineae maiores iis , quae Tunt inter Tectiones oppofi*
tas ad excefilis ipfarum : quae per terminos maiorum linearum tranTeur,
occurrent Tectionibus * 8c quae ab occurfibus ad Tumptum punctum du
cuntur,fectiones contingent .
Sintoppofitaefectiones a b:& punctum d inter Tectiones: quod quidem primum
ponatur in angulo afymptotis contento : & per d lineae a d b,c d h ducantur . maior
igitur eft a d,quam db,& cd maior, quam dh, quoniam bn eft squalis am:quam
/ uero
CONICO RVM L I B. I I I I. 105
nero proportionem habet a d ad d b,habeat a k ad k b: & qua c d habet ad d h,iia-
beat cg ad gh . Dico lineam, quceper kg tranfit, occurrere fe-
dioni ; & qua? a pundo d ad occurfus ducuntur, fedionem con
tingere*Quoniam enim pundum d eftin angulo afymptotisco
tento,polfumus ab eo duas lineas contingentes ducere . Itaque
ducantur d e,df:& ef iungatur, quce per punda kg tranfibit.
fi enim non,uel tranfibitper unumipforum tantum, uelper neu
trum.& fi quidem per unum tantum, altera linearum in eandem
proportionem ad aliud pundum fecabitur; quod fieri non po-
teft:fi uero per neutrum, in utrifque id, quod fieri non poteft,
continget.
THEOREMA XIX. PROPOSITIO XIX.
•- J i ■ ' - t,- ■ 9 ) * J v ’ • ■ '
Sumatur pundum d in angulo deinceps ei,
qui afymptotis continetur : ducanturq; redseli
nex fediones fecantes : &c ut didum eft, diui-
dantur.Dico eam,qUcTper Kg producitur, oc
currere utrique fedionum : &c quce ab occurfi-
bus ducuntur ad d fedion es contingere .
Ducantur enim a pundo d linea? d e, dfiquse utram-
que fedionem contingant.ergo qua? ducitur per e fjper S
k g tranfibit.fi enim non,uel tranfibit per alterum ipla-^
rum,uel per neutrum ; & rurfus eodem modo id , quod .
efc abfur dum, concludetur . k
6
THEOREMA XX. PROPOSITIO XX.
Si fumptum pundum fit in una afymptoton, & reliqua eadem fiant:
linea, quae tranfit per terminos exce{fuum,afymptQto,inqua eftpundu
requidiftabit: qute a pundo ducitur ad occurfium
jfedtonis, & line® per terminos tranfeuntis, fedio-
nem continget .
.Sint oppofitefedioiies ab:& pundum d fit in una afym-
ptotoni& reliqua eadem fiant.Dico lineam, qua? per kgtran-
-fit, occurrere fedioni, & qua’ 'ab occurfu ad d ducitur, fedio-
nem contingere, ducatur enim a pundo d contingens linea
dfi& ab f ducatur afymptoto a?quidiftans,in qua eftpundum
d. tranfibit igitur ea per punda k g ; alioqui uel per alterum
tantum tranfibit, uel per neutrum;& ita ea, de quibus didum
eft,abfurdafequentur. r- £'
THEOREMA XXI. PROPOSITIO XXI.
Sint rurfus oppofitre fediones abtfitq; pundum d in unaafymptd-
ton : & linea quidem d b K in uno tantum pundo occurrat fedioni b ,
alteri afymptoto «cqujdiitans; linea uero c d h g utrique fedioni occur
rat : 8c ut c d ad - d h,ita c g ad g h:& ipii d b sequelis fit b s . Dico lj-
d
APOLLONII P ERGAE I
neam,qutrper pundta Kg tranfit, occurrere fedioni;
afymptotoa; , inquaeftpundum d, arquidiftare :&c
qux ab occurfu ad pundum d ducitur, fedionem
contingere.
Ducatur enim linea contingens df:& ab f ducatur zquidi-
flans afymptoto } in qua eft d . tranfibit ea per pun&a k g: alio-
qui eadem abfurda fequantur neceffe eft .
THEOREMA XXII. PROPOSITIO XXII.
Sint fimiliter oppofitae fediones, afymptotiqj : Sc putidum d fuma-
tur in angulo deinceps ei, qui afymptotis continetunlinea uero c d h fe
cetutrafque fediones •. 8c db alteri afymptoto
«quidiftet:fitq; ut cd ad dh,ita cg ad gh:<3£
ipfi db aequalis ponatur bK.Dicolineam,qu«
perpunda Kg tranfit, occurrere utrique oppo
fitarum fedionum: &qu« ab occurfibus du-
cuntur ad d, fediones eafdem contingere .
Ducantur enim d e , d f, quae fediones contingant : &
iunda e f,ii fieri posfit, non tranfeat per k g : fed uel per
alterum ipfiorum tantum , uel per neutrum . &fiquidem
per g tantu tranfeat , linea db non erit «qualis ipfi bk,
fed alteri, quod eft: abfurdum . fi uero tantum per k, non
erit ut c d ad dh,ita c g ad g h, fed alia quaedam ad alia .
Quod fi per neutrum ip forum k g tranfeat, utraque ab-
furda fequentur .
/ .* ' ! • .* i : , : , •' — .
THEOREMA XXIIL PROPOSITIO XXIII,
Sint itidem oppofit« fediones abrpundumqj d fit in angulo dein-
ceps ei, qui afymptotis continetur: & linea quidem bd fedionem b in
uno pundo tantum fecet , alteri afymptoto «quidiflans: linea uero d a
fimiliter fecet fedionem a:fitq; db ipfi bg «qualis *,& da ipfi ait.
Dico lineam, qu« tranfit per K g occurrere fedioni-
bus : 8c qu« ab occurfibus ad d ducuntur , fediones
contingere.
Ducantur enim de, difqua: contingantfediones & iunda
ef non tranfeat per k g, fi fieri poteft, fed uel per alterumipfo-
rum,uel per neutrum, ex quibus fequitur,utiiel da nonfit ae-
qualis a k,fed alij cuipiam, quod eft abfurdum :ilel d b non iit ae-
qualis b gaiel neutra neutra; fitaequalis : & ita in utrifque idem
continget abfurdum. linea igitur efper punda kg neceftario
tranfibit.
THEOREMA XXIILI. PROPOSITIO XXIIII.
Coni fedio coni fedioni , uel circuli circumferetis non occurrit ita*
ut pars quidem eadem fit; pars uero non fit communis .
• -- - si
100
€ O N I C O R V M LIB. IIII.
Si enim fieri poteft, conifedio dabc circuli circumferentia eabc accurrat,ut
ipfarum communis pars fit eadem a b c , non communis
autem ad, a e:&fumptoinipfispundo h infigatur h a:
& per quod uispundum e ducatur dec,a:quidiftas ah :
fedaq; ah bifariamin g, ducatur per g diameter bg-f.
ergo qux per b ipfi ah jequidiftans ducitur, utram que
fedionem continget : & lequidiftabit d e'c eritq; in alte- ;
ra quidem fedione d f xqualis f cdn altera uero e f xqua
lis fc. quare & dfipfi f e se qualis erit .quod fieri non
poteft. f .
E Y T O C I y s.
. » * .O: J*Y -t t. *
A L i T 'E R . Sitit fe® onds d aT» c, e a b crducaturq;
linea d ec quoniodociiquec5tiiigatr& per a ipfi dec
iqiiidiftans diicatiir a li.fl igitur ! ah intraTediones ca-
dit , congruet ea demonfiratio,quse ab Apollonio affer-
tur:fi liero contingit in 'pundo a, & utrafque fediones
continget,- ergo diameter alterius fecrionis , qux ab a
ducitur, reliqui etiam diameter erit : & propterea in
pundo f iecabit, & lineam d c , & c e . quod fieri non
ALITER. Sint fediones d a b c , e a b c , ut di-
dumeft:& in communi ipfarum parte abc fuma-
tur pundumib-: & dudaab bifariam fecetur in f,
perq; f ducatur diameter gfh : & per c linea ced
ipfi a b sequidiftans . Quoniam igitur fh diameter
eft,qua: bifariam fecat lineam abierit ab ordinarim
applicata, & cequidiftat ceti, ergo ce bifariam feca-
turin h.fedinfedione eabc defcripta eft ec; & in
fedione dabc,ipfa c d.lineaigitur eh linea; hd eft:
squalis . quod fieri non poteft . .
32. primi
huius.
30 primj
eletn.
4s.Sc 47 .
primi hu
IUS .
THEOREMA XXV. PROPOSITIO XXV.
Coni fe dio coni fedionem, ucl circuli circumferentiam in pluribus
pundisjCjuafn quatuor non fecat.
Sienim fieri poteft, fecet in quin que pun dis abcde:fintq; ab ede occurfits dein
ceps, nullum intermedium rclinquentes:& iunda: a b,c d producantur, qua: conue- A
nient inter fe extra fedionem in parabola & hyperbola . Itaque conueniant in 1 : &
quam. proportionem habet al ad ib,habeat ao ad obrquamuero dlhabetadlc,
habeat dp ad p c. ergo quae a pundo p ad o iunda produci- c B
tur ex utraque parte, occurret fedioni.-& qux ab occurfibus
ducuntur ad 1 fedionesconringent.occurratinpundis hr: &
hl,lr iungantur. contingent igiturhae fediones ; & el utraque
fecabit,quoniam inter bc nullus eft occurfus Itaque fecet in f
pundis m g.ergo in altera quidem fedione erit ut e 1 ad 1 g,ita
en ad n g: in altera autem ut el adlm,ita en ad nm,quodfie
ri non poteft.quare neque illud^quod a principio ponebatur, fi
nero a b,d c a:quidiftent, fediones erunt ellipils,uel circuli circumferentia, diuidan-
tur ab cd bifariam in opg&iunda p o ad utrafque partes producatur, quaefedio-
nibtis occurrat in hr.eritigitur h r diameter fedionum,& ab,cd adipfam ordina- D
tim applicabuntur. quare a pundo r duda enmgipfis ab,cd «quidiftans , fecabit
- . d 2
D
ni
«
APOLLONII PERG AE I
lineam li r,& utramque fedionem y propterea quod
alius occurfus non eft prster a b c d e.ergo ex ijs,qus
dida funt , in altera quidem fiedione erit e n squalis
n m,in altera uero e n squalis n g.quare n m ipfi n g
eft squalis. quod fieri non potefl.
i \ J j 1 , ' ! 1 ! • y\ /ry
I E D. COMMANDI N V S.
'A Etiunds ab, cd producantur , qus conueniefit
inter fe extra lectionem in parabola, & hyperbola ,]
Ex 24. & 25. fecundi huius .
B Ergo qus a pundo p aci o iunda producitur ex
utraque parte occurrit lectioni, & qus ab oceurfibus ducuntur ad 1 fediones contiu
gunt.] *Ex non# huius .
C Itaque fieeet in pundis m g.ergo in altera quidem fedione,erit ut e I ad 1 g,ita e n
ad n g,in.altera aute ut &c.] Sit linea Ig maior, quam l m, erit contra nm maior, quam ng.
g. quinti, habebit igitur el ad Im maiorem -proportionem, quam el ad l g.ut autem e i ad lm,ita en ad.
nm,& ut ei ad lg,ita en ad n g.ergo en ad nm maiorem proportionem habet , quam en ad
1 4. qumti ngi&idcirco nm minor e fi, quam ng. fed & erat maior. quod fieri non potefl.
p . _ Erit igitur hr diameter fiedionnm.] Ex 28. fecundi huius.
£ Ergo ex ijs,qus dida fimt,in altera quidem fedione erit e n squalis n m,in altera
uero e n squalis n g . ] Sunt enim & e m,e g ad diametrum h r ordinAtim applicat# .
THEOREMA XXVI. PROPOSITIO XXVI.
Si didarum linearum aliqua in uno pundo fe fe contingant, non oc-
current libi ipiis ad alia punda plura, quam duo .
Contingant enim fe fedus quspiam didarnmlinearuminpundo a.Dico eas non
occurrere fibiipfis ad alia punda plura , quam duo . namfifien potefl, occurrant ad
punda b c d : fintep occurfus deinceps. nullum intermedium relinquentes : & iunda
bc producatur.a pundo autem a ducatur cotingens al,
qus quidem continget duas fediones,& cum linea b c co (
ueniet.Conueniatin l:&fiatutcl adlb,itacp ad pb:
f .huius, iungaturq; a p.,& producatur, occurret ea fedionibus , &
qus ab oceurfibus adpunduml ducuntur, fediones con
tingent . Itaque occurrat in pundis h r , & iungantur h 1,
lr,quae contingentfediones . ergo qus a pundo d ad 1
ducitur utramque fedionem fecabit 5 & eadem qus dida
fiunt, abfurdafequentur. non igitur fefiecant ad plura pun-
da, quam duo.fi uero in ellipfi,& circuli circumferentia c b ipfi a 1 squidiflet , fimi-
i. liter demonflrationem faciemus,lineam a h diametrum offendentes.
THEOREMA XXVII. PROPOSITIO XX VII.
Si prodictarum linearum aliquo in duobus pundis fe fe contingant ,
in alio pundo libi ipiis non occurrent .
Prsdictarum enim linearum dus fie fie contingant in duobus punctis a b . Dico eas
ad aliud punctum fibi ipfis non occurrere . nam fi fieri potefl, occurrant etiam ad pun
ctum c : fitq; primum c extra ab tactus: & ab ipfis ducantur lines contingentes,
qus in punctum 1 conueniant, ut in prima figura apparet . contingent igitur hs
utramqus lectionem .• & iuncta c 1 utramque fiecabit . fecet in punctis g m , & funga-
tur
107
CO NICORVM LIBER Ifl II.
tur a n b . ergo in altera quidem Tectione erit , ut c 1 ad I g,ita c n ad n g;in altera uc~
ro,ut cl ad lm,ita cn ad nm. quod eft abfurdum .
. f
Atfi cg squidifians fit lineis ad punda ab contingentibus,utinellipfiin fecunda
figura, iungemus lineam ab , qus Tectionum diameter erit . ergo utraque linearum t 7- T acun
cg,cm iu punito n bifariam fecabitur • quod eft abfurdum .non igitur Tectiones ad dlhums *
aliud punitum fibiipfis occurrunt, fed ad ab tantum.
Sit deinde c inter tadus , ut in tertia figura pcrfpicmim eftfediones non contin-
gere Te Te ad punitam cquoniam ad duo tantum contingentes ponebantur . fecent
igitur feipfas in c: & a pundis a b ducantur a 1 , 1 b, qus fediones contingant : iun-
gaturq; ab,& in f bifariam diuidatur . ergo a punito 1 ad f duda diameter erit, is.fecudi
qux quidem per c non tranfibit : fi enim tranfeat ,‘qus per c lpfi a b iquidiftans du- huius *
citur, continget utramque fedionem , quodfieri non potefi . Itaqueducatur a pon-
do c linea c k gm squidifians a b. erit in altera quidem fedione c ^ squalis ii g : in
alcera uero squalis hjn. quare K m ip fi Kg eit «qualis ,• quod fieri non potefi.
Eodem modo fi contingentes inter fe squidiftent, ex iis, qus diximus, illud, quod fie-
ri non potefi, concludetur .
THEOREMA XXVIII. PROPOSITIO XXVIII,
Parabole parabolen non contingit, praeterquam in i
i • 1
Si enim fieri potefi, parabola agb,amb in pundis ab fele
contingant : & ducantur lines contingentes al, 1 b. contingent
hae utrafque fediones ; & in punctum 1 conuenient . ftaqueiun-
da a b , fecetur bifariam in fi & ducatur 1 f . quoniam igitur dus
lines agb, amb fefe contingunt in pundis ab ad aliud pun-
dum fibi ipfis non occurrent . quare 1 f utramque fedionem fe-
cabit. fecetin gm. ergo in altera quidem fedione erit lg squa-
lis g fiin altera uero 1 m squalis m £ quod fieri non potefi . non
igitur parabole parabolen,prsterquam in uno pundc, contin-
git *
.. C“i
THEOREMA XXIX. PROPOSITIO ;
Parabole hyperbolen non contingit in duobus pun6tis extra iplam.
cadens .
no pun&o
f
ex p rece-
dente -
■3 j-. primi
huius.
:xix.
Av POILON \l . P E, H G ■ 4E. 1
Sit parabole quidem a gb, hyperbole iiqro a mb: & ;.fi fiqfi.RO*-
teft,ie fe contingant in pundis aB.& abipEapucantui: linpg %tja r
que fedionem contingentes, quas in l coimeniant.dundacpVb
bifariam fecetur in f: & 1 f ducatur. Itaque quoniam fediones
a g b, a m b fe fe contingunt in pundis a b , ad aliud pundtim fibi
17. hujus ipfis non occurrent . quare 1 f in alio, atque alio pundo fediones ,
i9.fecudi f ecato fecetin g m;& producatur 1 fjqua? in centrum hyperbole ca
1U1US A c ^ et: fitqj centrum d.ergo propter hyperbolen, ut fd ad dm,ita ? &
1 9 qu iti. erlt m ^ d 1 : & ita reliqua f m ad m 1 . eft autem f d maior , quam d m . ergo & fm
1 4 1 maior, quam m 1. fed propter parabolen, erit fg aqualis g 1. quod fieri non poteft .
2 r. primi
, . 1 > »•
huiUS. ... — , *; —
FED. COMMA NDINVS.
A Ergoqvropter hyperbolen, ut fd ad d m,ita m d ad d 1 . ] Efl enim ex 37. primi hu~
i4.fexti. tus 3 reftangulum fdl quadrato dm a quale, ergo ut fd ad dm,ita md ad dl, & ita reliqua
19. quitf. fm ad ml .
E Quod fieri non potefc . ] Effctenim gf minor , quam fm.
THEOREMA XXX. PROPOSITIO XXX.
Parabole elliplim 3 uel circuli circumferentiam non contingit in
bus pundis intra ipfam cadens .
^ '■ ** ■ j ' -■ a ■ '■* *
Sit ellipiis, uel circuli circumferentia „ a g b, para bole ue
ro a m b:& fi fieri potefl, in duobus pundis a b fefe con-
tingant: & ab ipfis ducantur linea? contingentes fediones,
qua? ccnueniant in pundum Ifiundaq; ab fecetur in f bi-
fariam :& ducatur If.fecabitigitur If utramque fedionem
in alio , atque alio pundo , uti didum efl . . fecct.in g m : &
producatur If ufque ad d,quod fit centrum ellipfis ,uel
37. primi circuli.ergo propter ellipfim & circulum, erit ut 1 d ad d g,
huius. _ da gd ad d f: & reliqua lg ad gf. eftq; ld maior, quam
14- extl j g . ergo gv 1 g maior , ‘quam gf. fed propter parabolen ,
eritlm xqualis tnf. quod fieri non poteft.
tl
f:
duo-
! 1*
THEOREMA XXXI. PROPOSITIO XXXI.
• . - ■ - r; -i r 1 ^ 1:';: 'a , :( c 1
Hyperbole hyperbolen idem centrum habens in duobus pundis
non continget . > V "\.t. >
Hyperbolae enim agb, amb idem habentes centrum
d,fi fieri poteft, in pundis a b fefe contingant: & ducan-
tur ab ipfis line® contingentes , qua? inter fe conueniant
jo.fecfidi a 1,1 bdundaq; di producatur: & i ungatur a b . ergo df
hums. p ecat bifariana lineam ab in f: & utrasque fediones in
37. piimf g m fecat. quare propter hyperbolen agb, redangulum
huius. fdl eftaequale quadrato dg:& propter hyperbolen amb,
redangulum fdl a?quale eft quadrato dm. quadratum ^
igitur md quadrato dg a?qualeerit. quod fieri non potefl.
THEO-
CONICORVM LIBER III I. 108
THEOREMA XXXII. PROPOSITIO XXXII.
Si ellipfis ellipiim , uel circuli circumferen-
tiam , idem centrum habens in duobus pundis
contingat : linea coniungens tadusper centrum
tranfibit .
Contingant enim fefedid®line®inpundis ab:&iun
da abjper a b punda ducantur linea» fediones contin-
gentes , qu® fi fieri pofsit, conueniantin 1: & linea a b in
f bifariam diuidatur : & iungatur 1 f.ergo lf diameter eft
fedionum. Sit centrum d,fi fieripoteff.redangulum igi-
tur dlf propter alteram quidem fedionem eff «quale
quadrato d g ; propter alteram uero «quale quadrato
d m . quare gd quadratum quadrato dm «quale erit:
quod fieri non potefl.non igitur line® contingentes a
pundis ab dud® conueniunt. ergo®quidiftantinterfe
fe:& idcirco linea ab diameter eft,qu® per centrum tran
fibit. id quod demonftrandum proponebatur .
THEOREMA XXXIII. PROPOSITIO XXXIII.
Coni fedio 5 uel circuli circumferentia , coni fedioni , uel circuli cir-
cumferentia:, quse non ad eafdem partes conuexa habeat , ad plura pun-
da, quam duo non occurret .
Si enim fieri poteft, coni fedio, uel circuli circumfe-
rentia abc coni fedio ni , uel circuli circumferenti® JjJ
a d b e c occurrat ad plura punda, quam duo, non ha-
bens conuexa ab c ad eafdem partes . Quoniam igi-
tur in linea abc fumuntur tria punda a b c;Sc ab, b c
iunguntur: continent angulum ad eafdem partes , in
quibus funt concaua line® a b c: & fimili ratione line®
ab,bc eundem angulum continent ad eas partes, in
quibus funt concaua line® a d b e c. ergo did® line® ad eafdem partes habent conca-
ua, & conuex^. quod fieri non potefl.
THEOREMA XXXIIIL. PROPOSITIO XXXIIII.
Si coni fedio , uel circuli circumferentia occurrat uni oppofitarum
fedionum in duobus pundis : Sc lineae, quae inter oc-
curfus interiiciuntur,ad eafdem partes concaua ha-
beant: producta linea ad occurfus alteri oppofita-
rum fedionum non occurret.
Sint oppofit® fediones d,a c f& coni fedio, uel circuli cir-
cumferentia abf occurrat alteri oppofitarum fedionum in
duobus pundis a f: habeantq; abf, a cf concaua ad eafdem
. partes . Dico lineam abf produdam fedioni d non occur-
rere, iungatur enim a £& quoniam da cf oppofit® fediones
funt: & reda linea a f in duobus pundis hyperbolen fecat, ^ fec{uii
produ da non occurret oppofit® fedioni, d.quare neque linea abf eidem occurret . huius» 1 %
zp.fe cudi
huius.
37. fi limi
huius.
APOLLONII P £ R G AE I
3 j.huius
exantcce
dente.
A
B
THEOREMA XXXV. PROPOSITIO XXXV.
*
Si coni fedtio, uel circuli circumferentia uni
oppofrarum fedionum occurrat; reliqua: ipfa-
rum non occurret ad plura punda , quam duo .
Sint oppofits fediones ab:&ipfi a occurrat conife-
dio , uel circuli circumferentia abc: fecetq; b in pundis
b c. Dico ad aliud punctum ipfi b non occurrere . fi enim
fieri pofsit, occurrat in d.ergo linea bcd fedioni bc oc-
currit ad plura pimda,quam duo, nonhabens concauaad s?
eafdem partes . quod fieri non poteft.fimiliter demonftra- ^
bitur & fi linea abc oppofitam fedionem contingat .
THEOREMA XXXVI. PROPOSITIO XXXVI.
Coni fe&io, uel circuli circumferentia oppofitis fedionibus ad plura
punda, qu am quatuor non occurret .
Hoc autem perfpicue confiat ; nam linea occurrens uni oppofitarum fedionum;
reliqusnon occurritad plurapunda, quam duo.
jl ■ / ( j DHK
THEOREMA XXXVII. PROPOSITIO XXXVII.
Si coni fedio , uel circuli circumferentia unam oppofitarum
num concaua fui parte contingat, a/ceri oppofitam
rum non occurret .
Sint oppofits lectiones ab: & fedionem a contingat linea
cad. Dico cad fedioni b non occurrere. ducatur enim per
a pundum linea contingens ea f, qus utramque linearum con-
tinget in a. quare non occurret fedioni b ;■ dpropterea neque
liiieg cad eidem occurret .
c." ' •_ i " r f , •' ' ; • > ' •
THEOREMA XXXVIII. PR O P O S I TI O XX X VI II;
• ' • • .
Si coni fedio , uel circuli circumferentia utramque oppofitarum fe-
dioni] m contingat jn. lino pundo,; opppfitis fedionibus in alio puncto
non occurret .
Sint oppofitsfediones ab : coni autem fedio, uel circulicir-
cumferentia abc utramque ipfarumin punctis ab contingat. .
Dico lineam abc oppofitis fedionibus ab in 'alio pundo non ^
occurrere.Qnorfiam enim ab c fedionem a infimo pundo c6n c
tingit, fedioni b occurrens : non contingetfedionem a conca-
ua fui parte . Similiter demonfirrbitur neque ita contingere fe-
dionem b. Ducantur lines ad,be contiqgentes fediones ab;
qua: & lineam abc contingent : fi enim fieri poteft , altera ipfk-
rum fecet fitq; a f. ergo in ter lineam a f contingentem , & inter
fedionem "a, cadit linea intermedia g, quod efi: ab/urdum . lines
igitur ad, b e ipfam quoque abc contingent .ei quo apparet '
lineam abc ad aliud pundum oppofitis Tectionibus non occurrere.
FED.
CONICORVM LIBER III I.
i ~
F E D. COMMANDINVS.
109
Quoniam enim abc Tectionem^, in uno puncto contingit. Tectioni b occurres,
non continget Tectionem a concaua Tui parte . ] Si enim fieri poteJl,contingat fetiionem
a concaua fuiparte . ergo ex antecedente , alteri oppofitarum feclionum non occurret . Sed & 00-
currit feffiioni b,quod eft abfurdum . •
Ergo inter lineam a T contingentem , & inter Tectionem a , caditlinea intermedia;
g, quod eft abTurdum . ] Ex ffanonfiratis intrigefima fexta primi huius . ingratis autem co-
dicibus ante hac uerba , non nuUa alia legebantur, qua nos tanquam Jkpcrflua omijrmus .
, _ ,rr; • " Vuv i’ IO e T* - ;T . v . „ -
THEOREMA XXXIX. PROPOSITIO XXXIX.
jg ■ i| • f ■ ' ' o l
Si hyperbole uni oppofitarum fectionum in duobus pundis occur-
rat 3 conuexa habeiis% ; itgione fita fqua? ipfi opponitur ildlo, alteri
oppofitarum non occurret .
Sint oppofita; Tectiones,a: b d,T&bvpfcrbWc ab c
Tectioni a b d occurrat in punctis ab, habens con-
nexa e regione fita : fitq; Tectioni abc oppofita Te- a
ctio e . Dico iplam fectioni £ non occurrere, iun-
gatur.enim a b,& ad g producatur . Quoniamigi-
tur abg rectalin ea Tecat hyperbolen ab d , produ-
cta ex utraque parte extra Tectionem cadet; quare
non occurret Tectioni T. fimiliter propter hyperbo-
len abc, neque occurret oppofita; Tectioni >e; -ergo
Tectio e lectioni T non occurret.
THEOREMA XL. PROPOSITIO XL.
Si hyperbole occurrat utrique oppofitarum fcdioritmr, qua? ipfi op-
ponitur fedio, nulli oppofitarum in duobus p undis occurret .
Sint oppofita; lection es a b:& a c b hyperbole utri
que occurrat . Dico Tectionem , qux ipfi a c b oppo-
nitur. Tectionibus ab non occurrere in duobus pun
ctis .fi enim fieri potefi, occurrat in punctis d e ; &
iuncta de producatur, ergo propter Tectionem de
recta linea d e Tectioni a b non occurret: & propter
Tectionem a e d, non occurret ipfi b : per tres enim
locos tranfibit, quodEeri non poteft. Similiter de-
monftrabitur neque Tectioni b in duobus punctis oc
currere. Eadem etiam ratione utramque ipfarum
non continget . ducatur enim linea contingens h e ,
qua; continget utramque lectionem . ergo propter
lectionem de ipfi ac non occurret: & propter Te-
ctionem a e non occurret Tectioni b. quare neque ac Tectio Tectioni b occurret
quod non ponitur .
B
33. fe cudi
huius.
3j.fecudi
huius.
V4
THEOREMA XLI. PROPOSITIO XXI.
Si hyperbole utramque oppofitarum fectk>iium in duobus putidis
fecet, conuexa habens c regione utrique fita 5 qua? ipfi opponitur fe-
dio nulli oppofitarum occurret .
e
s,y.fecudi
&uius.
^y.feeudx
huius.
|3.fecudj
huius.
if.fecudi
huius.
APOLLONII P E R G AE I
t Sint oppofita: Tectiones a b:& hyperbole cab d utram
que fecet in duobus punctis,conuexa habens e regione
utrifq; fita. Dico Tectionem oppofitam ef nulli ipf arum
ab occurrere . fi enim fieri potefi , occurrat Tectioni a in
puncto. e:& iunc.t^ c a, d b producantur . conuenient hx
interfefe. Itaque conueniant in h. eritigitur h in angu-
lo aiymptotis Tectionis cabd contento, cui «pponitur
Tectio e f. ergo qua: a puncto e ad h ducitur., cadit intra
angulum contentum lineis a.h b, Rurfiis quoniam hyper-
bole eft cae,occurruntq;fibiipfis cah, he:& ca occur-
fus non continent occurfiam; e.-punctum h erit inter afym
ptotos Tectionis c a e.atq; eft ipfi oppofita Tectio b d.ergo
qua: a puncto b ducitur ad h intra angulum che cadit, quod eft ablurdum
enim intra angulum a Hb.rion igitur e falicuioppofitarum Tectionum ab
h ■ i f... i .'p . ;o c *Uit .. - ; - '
•; cadebat
occurret.
tiO J * i h 4
1 V T O C I V S.
■ - \ f ' ' -
a , T . £j ! ;V' ' : ) d 'd •£•••* » : -v' 'i
ALITER. Sint oppofita: Tectiones a b:& hyperbole cabd utramque ipfarum
in punctis cabd fecet :& fit Tectio ipfi oppofita- e fi Dico ef nulli oppofitarum Te-
ctionum occurrere . iuncta: enim db, ca 4
producantur :& conueniant inter & in ; ] A
puncto h. eritigitur h inter afymptotos
Tectionis cab d. fint cabd Tectionis
afym p toti i^g I,mg n.perfpicuum eft li-
neas ngl Tectionem ef continere. At
linea cah Tectionem ca x in duobus pfi
ctis ca Tecat . ergo producta ex utraque
parte non occurret oppofita: Tectioni
d b o . Ted erit inter b o, & lineam g 1 . Si-
militer & dbh producta Tectioni cax
non occurret, Ted eritinter ax s &gn.
Quoniam igitur ph,hr non occurren-
tes Tectionibus ab, continent afympto-
tos ngl, & multo magis Tectionem e fi fequiturut e f nulli oppofitarum lectionum
occurrat .
F E D. C O M M A N D I N V S.
Rurfus quoniam hyperbole eft cae,occurruntq;fibiipfis cah,h e;& ca oceurfus
non continent occurlum e.-punctum h erit inter afymptotos Tectionis c a e. Vereor
ne locus corruptus fit , neq-, enim punitum h nece furio cadere uidetur inter afymptotos febtionis
c& e , nifi linea e h fcilionem cae 3 uel contingat , uel m duobus punctis fecet ; quod non ponitur .
protere a quomodo ex bis abfurdumfequatur , non facile apparet, fed tamen, po fumus demonfir ti-
tionem abfoluere in hunc modum .
Rurfiis quoniam recta linea dbh Tectionem dbo Tecatin duobus punctis, pro-
ducta non occurret oppofitz Tectioni c a e. quare fi a puncto e eiufdem Tectionis li-
nea ducatur eh, cadet extra ipfam h b, hoc eft extra angulum ah b : quod eft ab Tur-
dum s cadebat enimintra. Hon igitur ef ulli oppofitarum lectionum a b occurret .
IN
CONI COR VM LIBER XIII. no
IN ALIAM DEMONSTRATIONEM,
CgV A M AFFERT IVTOCIVS.
Sederitinter bo & lineam gl.] ]\ecla enim linea c ah r y qux hyperbolen cahd induo -
his functis fecat 3 fi producatur } ajymptoto k gl occurret ad partes k^cx octaua fecundi huius .
quare ei non occurret in dio puncto, eb inter pdtionem h o,& afymptoton g l cadet. Eadem quo-
que ratione retia linea dbhp inter ax f dlioncm, & afymptoton gn cadat nccejje efl .
THEOREMA XLII. PROPOSITIO XLII.
Si hyperbole unam oppofitarum fedionum inquatuor pundis fe-
cet, quadph opponitur fedio,non occurret alteri oppoiitarum .
Sint oppofita: Tebtiones a b c d,e; & hyperbole ipfam a b c d
fecetin quatuorpundis abe d.-fitq; eioppofitaTeftio K.Dico
k Tecftioni e non occurrere.fi enim fieri poteft, occurrat in
hj. & iunftas ab,cd producantur, qua; inter fe conuenient.
conueniantin 1 : A quam proportionem habet al ad lb, ha-
beat ap ad p b: quam uero habet d I ad 1 e, habeat d r ad r c .
ergo linea, qua; per p r producitur,utriqueTedionioccurret:
& qu.T ab 1 ad occurfus ducuntur Tecftionem contingent . iun-
gatur k 1,& producatur . lecabit ea angulum b 1 c , & Tection es
in alio , atque alio puncto . Itaquefecet in fm . ergo propter
oppofitas Tectiones alifgd,X,eritut n K ad K I, ita nfad fl:
& propter fediones a b c d,e,ut n k ad k l,ita erit n m ad m 1.
quod fieri non poteft. non igitur Tebtiones e K fibiipfis oc-
currunt .
RED. COMMANDINVS.
Qut inter fe conuenient . ] Ex uigefima quinta fecundi huius . ^
Ergo linea: , qua; per p r producitur , utrique Tectioni occurret; & qua; ab 1 ad o c- g
ctirfiis ducuntur , Tectionem contingent . ] Ex nona huius .
Ergo propter oppofitas Tedtiones ahfgd, k, erit ut n k ad kl,ita nfad fl.] Efl q
enim per trigeflmam fextarn primi huius } ut k « ad nfl ita kj ad If. quare & permutando ut n k
ad kl,ita nf ad fl .
THEOREMA XLIII. PROPOSITIO XLIII.
v hyberbole alteri oppofitarum fedionum in duobus pundis occur
rat, concaua habens ad eafdem partes *, alteri uero occurrat in unopun-
do: quat ipfi opponitur fedio nulli oppofitarum oc-
curret.
Sint oppofitK Tedtiones a b, c : & hyperbole a c b feHioni
quidem ab inpundtis ab occurrat: lectioni uero c occurrat
in uno pundto c:fitq;ipfi acb oppofitaTeHio d.Dico d nul-
ii Tectionum a b,c occurrere . iungantur enim a c, b c , & pro-
ducantui . line^ igitur ac, b c Teftioni d non occurrent, led
neque occun ent tectioni c prfeterquam m uno punbio c:fi
enim in alio puncto ;oppoiitx lectioni a b non occurrent,
pontum autem eft,ac,b c, occurrere lectioni ab . quarelequi-
tur, ut ac,b c lectioni c in unopuncto c occurrant; Tectioni
e 2
3<y.fecucH
huius.
5-. fecudi
huius.
19 . tertii
huius.
APOLLONII PERGAEI
nero d nullo modo, ergo d eritfub angulo e cf:& propter ea lectionibus ab.c mi-
nime occurret.
THEOREMA XLlIII. PROPOSITIO XLIITI.
Si hyperbole uni oppofitarum fectionum occurrat in tribus punctis;
quaeipfi opponitur alteri oppofitarum, praeterquam in uno puncto, non
occurret.
Sint oppofita; Tectiones abe, de f:& hyperbole ambe occurrat abe fectioniin
tribus punctis abe. fit autem Tectioni a m b c oppofita Tectio d e k, & ipfi a b c op-
pofita de f. Dico deK non occurrere Tectioni d e £ praeterquam in uno puncto.fi
enim fieri poteft, in punctis de occurrat: St iungjjmtur ab, de; qiUTuelaequidiftan-
tes funtinterfe, uel non jequidiftantes . fint primum sequidiftantes: fecenturq; a b,d e
bifariam in punctis g h: & iungapur gh.eftigitur gh diameter omnium Tectionum;
atque ad eam applicantur ordinatim a b,d e. Ducatur a
puncto c linea cnox asquidiftans ab.erit&ipfaaddia
metrum ordinatim applicata: & Tectionibus in alio,atq;
alio puncto occurret. Si enim in eodem puncto, non
occurrerent Tectiones fibiipfis in tribus punctis, Ted in
quatuor.ergo in Tectione amb erit cn ipfi 11 x jequalis
&in alb Tectione, cn squalis no. quare on eft squalis
n x: quod fieri non poteft . Sed non fint asquidiftantes
a b , d e : producanturq; & conueniant in p : & ducatur
co ipfi ap sequidiftans ; quae .cum dp producta conue-
niatin r. Secentur autem ab, de bifariam in punctis
g h : & per g h ducantur diametri g i h , h 1 m s : atque a
punctis ilna linea; i yt,my,lt Tectiones contingant.erit
igitur i t aequidiftans d p : & 1 1 , m y aequidiftantes ipfis
ap,o r.& quoniam ut quadratum m y ad quadratum y i,
itarectangulum a p b ad rectangulum dp ei erit ut quadratum my ad quadratum
y i, ita quadratum It ad quadratum ti. Eadem ratione, ut quadratum my ad qua-
dratum y i, ita erit rectangulum xrc ad rectangulum d re. Ted ut quadratum It ad
quadratum ti , ita ore rectangulum ad rectangulum dre. ergo rectangulum orc
rectangulo x r e efi aquale, quod fieri non poteft .
THEOREMA XLV. PROPOSITIO XLV.
Si hyperbole unam oppofitarum fe&ionum contingat, alteram uero
fecet in duobus punbtis ; quae ipfi opponitur fe&io, nulli oppofitarum
occurret .
Sint oppofita; fe&iones a b c,d;& hyperbole a b d fedtionem quidem a b c in pun
a ctis
CONICO K V
dis ab fecet; fedionem nero d contin-
gat in d: & Iit hyperbole abd oppofita
fedio ce. Dico ce nulli iplarum abc, d
occurrere . fi enim fieri poteft, occurrat ip
fi ab c in c pundo; iungaturq; ab:&per
d ducatur contingens, qua; cum linea ab
conueniat in f. pundum igitur f er it in-
tra alymptotos abd fedionis . cft autem
Ipfi oppofita fedio ce. ergo qua: a pun-
cto c ad f ducitur cadit intra angulum li-
neis bfd contentum.Rurfus quoniam hy
perboleeft abc, cui occurrunt linea: ab,
cf: & a b occurfus occurfiim c non con-
tinent: erit pun dum f intra alymptotos
fedionis ab c . opponitur autem ipfi fedio d. quae igitur a c ad fduda fuerit, intra
angulum a fc cadet;quod eft abfurdum ; cadebat enim & intra angulum b fd . quare
ce nulli oppofitarum fedionum abc,d occurret.
F E D. COMMA NDINVS.
Rurfus quoniam hyperbole eft abc,cui occurrunt lines ab,c f;& ab occurfus
occurfum c non continent : erit pundum f intra afymptotos fedionis abc.] Hoc
non neceffario f 'equi indetur, nifi linea c jfcclionem abc uel contingat , uel in duobus • pimFtis fe-
cet, quod non ponitur, ut etiam fuperius diximus in commentari) s in 41 . huius . poteft tamen fimi-
liter demonftratio perfici hoc modo .
Rurfus quoniam reda linea dffedionem d contingit, fi prodneatur non occur-
ret oppofita? fedioni abc.ergo a pundo c eiufdem fedionis duda tinea ad f, cadet
extra ipfam f d,hoc eft extra angulum b fd : quod efi abfurdum i cadebat enim intra .
quare ce nulli oppofitarum fedionum abc, d occurret.
THEOREMA XLVI. PROPOSITIO XLYI.
Si hyperbole unam oppofitarum fedionum in uno pundo contin-
gat Sc fecet in duobus p undis j qu« ipfi opponitur fe&iojalteri oppofi
tarum non occurret .
Sint oppofita: fediones a b c,d ; & hyper-
bole age fedionem abc contingat qui-
dem in pudo a;fecet uero in b c: & ipfi age
oppofitafitfedio e. Dico e fedioni d non
occurrere.fi enim fieri poteft, occurrat in d:
iundaq; b c producatur ad f: & apundo a
ducatur linea a f contingens . fimiliter de-
monftrabitur pundum f elfe intra angulum
afymptotis contentum : & linea af utrafque
fediones continget : & dfproduda fecabit
fediones inter ab, uidelicetinpundis gfc .
quam uero proportionem habet c f ad f b,
habeat c i ad 1 b : & iunda al producatur 5
quae fediones in alio atque alio pundo feca-
bit. fecet in m n.ergo qua: a pundo f ad m n
ducuntur fediones contingent : & fimiliter
ijs , quae dida funt propter alteram quidem
fedionem , ut x d ad d f, ita erit x g ad g f:
propter alteram uero * ut x d ad d f, ita x h
M LIB. III I.
\
x. huius.
36 . primi
huius , &
permuta*
do.
APOLLONII PERGAEI
ad k f. quod fieri non poteft.non igitur fectio alteri oppofitarum occurret.
THEOREMA XLVII. PROPOSITIO XLVII.
Si hyperbole unam oppofitarum feftionum contiiigensin alio pun-
Ao fecet ; quaDpfi opponitur fe&io alteri oppofitarum non occurret
praeterquam in uno pundo .
Sint oppofitse Tectiones a b c , e fg : & hyperbole qusedam d a c contingat a b c in
a,&in c fecet : opponaturq;ipfi dac fectio e fh . Dico eam alteri oppofitarum non
occurrere, praeterquam in unopuncto.fi enim fieri potefi, occurrat in duobus pun-
ctis e f ; iungaturq; ef:&per a ducatur Tectiones contingens ak. uel igitur ak, ef
A aequidiflantes Tunt inter Te, uel non . fint primum sequidiflantes : & ducatur diameter
bifariam fecansipfam e f, qua; per a tranfibit : atque erit diameter duarum coniuga
tarum . ducatur etiam per c linea c 1 d b ^quidiftans lpfis a k,e f.Tecabitigitur eas Te-
ctiones in alio, atque alio puncto : & in altera quidem erit c 1 aqualis 1 d, in altera ue
ro cl aqualis Ib.quod fieri non poteft.fed non fint jequidiftantes ak,efi&coueniant
in kdineauerc cd ipfi ah «quidiflans ducta coueniat cum efin n : & diameter am
bifariam diuidens e f, Tectiones in punctis xo fecet:atqueab xo ducantur xp,or Te
B ctiones contingentes, erit igitur ut quadratum ap ad quadratum p x, ita quadratu
C a r ad quadratum r o:& propterea ut rectangulum d n c ad rectangulum e n f, ita re
D ctangulum b n c ad rectangulum en f. ergo rectangulum dnc rectangulo bnc eft
«quale.quod fieri non potefl .
F E D. COMMANDINVS.
A Et ducatur diameter bifariam fecansipfam efiquaepera tranfibit.] Sienimfieripo
te(i,diameter dmedio linea ef duCta non tranjeat per a, fed per aliud punCtum: & ducatur linea
d puncto a ad medium e ferit & ea diameter ex 34 . fecundi huius, quare dux diametri inter fe ex-
tra centrum conuenient,quod est ah fur dum.
B Erit igitur ut quadratum a p ad quadratum p x,ita quadratum a x ad quadratum
r o.] Ob fmilitudinem triangulorum a p x,a r 0.
C Et propterea ut rectangulum dnc ad rectangulum e n f, ita reci angulum bnc
ad rectan gulutn e n T.] Est enim ex 19. tertij huius , ut quadratum a p ad quadratum px > ita
rectangulum dnc ad r eft angulum en f,& ita rectangulum bnc ad idem enf.
D Ergo rectangulum dnc rectangulo bnc efl aequale.] Ex nona quinti elementorum.
THEO
1 1 2
C O N I € O I V M I I B. II II .
THEOREMA XLVIII. PROPOSITIO XLVIII.
Si hyperbole unam oppositarum fedfcLcmum in uno puncto contin-
gat ; qua? ipfi opponitur fe$io, alteri oppofitarum non occurret aci plu
ra p unda, quam duo .
Sint oppofit« Tectiones a b,d e g:& Hyperbole ac Pectionem ab in puncto a con
tingat:fitq;ipfi ac oppofita lectio defi
Dico d ef non occurrere Pectioni deg
ad plura puncta,quam duo. fi enim fie-
ri poteft, accurrat ad puncta tria d e h :
& ducatur recta linea a k,fectiones a b,
ac contingens.iurictauero de produ-
catur : & fint primum ak , d e inter Pe
«qnidiftantes : feceturq; d e • bifariam
in L&iungatur al.eritigitur al diame
ter duarum coniugatarum, qu« Pectio-
nes inter puncta de Pecatin m m quo-
niam die in puncto 1 bifariam fecta
eft. ducatur ab hjlinea hxgf «quidi-
fians d e.ergo in altera quidem Pectione
erit h x «qualis xfiin altera uero h x «qualis xg.quare xf ipfi x g eft «qualis; quo a
fieri non poteft. Ped non fint a k,d e «quidiftantes, conueniantq; in k : & reliqua ea-
dem fiant, producta uero ak occurrat ipfi fh in r. fimiliter atque in ijs, qu« dicta
funt, demonftrabimus utrectangulum d k e ad quadratum a k , in Pectione fd e , ita
effe rectangulum frh ad quadratum ra:& in Pectione g d e,itarectangulum grhad
quadratum r a.rectangulum igitur grh «quale eft rectangulo frh : quod fieri non
poteft.ergo defipfi deg ad plurapuncta, quam duo,non occurret.
FED. COMMANDINVS.
r
Intelligatur hyperbole, qua unam oppofitarum fictionum contingit , uel eafdem partes coneam
habens >• alio quin hac uera non ejfent, quod ex 52 . huius manifesto apparere poteft .
THEOREMA XUX. P RO P OS I TI O X LIX.
Si hyperbole contingat utramque oppofitarum fe&ionum ; qua? ipfi
opponitur fectio nulli oppofitarum occurret .
Sint oppofit« lectiones a b : & hyperbole a b utramque ip-
Parum in punctis a b contingat : opponaturq; ei fectio e . Di-
co e nulli Pectionum a b occurrere.fi enim fieri poteft, oc-
currat Pectioni a in d : & a punctis a b ducantur line« c on-
tingentes Pectiones, qu« quidem intra alymptotos Pectionis
ab conuenient . conueniantin c&iungatur cd.ergo cd eft
in loco intermedio inter a c,c b. Ped eft etia inter b c,c f. quod
fieri non poteft. non igitur e Pectionibus ab oppofitis oc-
curret .
EVTOCIVS.
Dico e nulli lectionum ab occxivtexcf^fDuc antur enim a punctis a b linea contingentes
fcctiones ,qua conueniant inter fe m puncto c,uidehcet intra angulum feftionem ah continentem.
Itaque constat lineas a c,b c, fi producantur, afymptotis feftinnis e non occurrere, fcdip fas conti
nere,& multo magis continere fefiionem e. Quoniam igitur ac feciwnem ad contingit, non oc-
curret ipfi b g. fimiliter oftendemus lineam bc feftioni ad non occurrere . ergo fectio e nulli ip~
farum adfjg f sffiionum occurret „ t
34. fecim
di buiws>
A
B
C
A
zf.fscudi
huius.
exdeino-
in
3 j.fecudl
huius.
J3
B
C
47 huius
39 iecudi
huius.
$<>• primi
huius .
e* detno-
ft ratis in
33 .fec.uch
huius.
APOUON I I P % R.G AE I
F E D. C G M M A U D I N V S .
Ergo cd efiin loco intermedio inter a c,c b.~}Hoc ejl a pancto d f cilionis e d ducta li-
nea ad c intra angulum ac b cadet . ,r-;
Sed eft etiam inter b c, c f.j Quoniam enim Linea' bc fettionem b contingit , produBa non
Occurret oppojita! feciioni a d, quare Ji d puncto d eiufdemfeciwnis linea ducatur ad c, intra angit
tum b c f cadet ; quod eji ab fur diem ,c adibat enim intra angulum a cb.
THEQRFjMA l.
K
PROPOSITIO L.
- '-ii err r: • ■ :
e
c\
6
e
Si utraque oppofitarum rectionum in uno puncto contingat, ad ea f-
dem partes concaua habens ;in alio puncto non occurret .
Contingant enim fe fe oppofitse Tectiones iri punctis a d.Dico eas in alio puncto fi
biipfisnon occurrere, fi enim heripoteft,occurrant in e.& quoniam hyperbole una
oppofitarum Tectionum in d contingens, Tecat in e, Tectio a b
ipli ac,prseterquam in uno puncto non occurret. ducantur a
punctis a d linese ah , h d,qinr Tectiones contingant : iunctaq;
ad, per e ducatur eb c ipfi ad sequi diftans,& per h ducatur Te r
eunda diameter oppofitarum Tectionum h 1 k,qutt Tecabit a d.bi
fariam in k . ergo utraque eb, ec in puncto 1 bifariam Tecabi-
tur:& propterea b 1 aequalis erit 1 c ; quod fieri non potefit . non
igitur in alio puncto Tibi ipfis occurrent .
THEOREMA LI. PROPOSITIO LI.
v i t A • ■ . .b. . ‘ - «.It ■ - i» i i •’
Si hyperbole unam oppofitamm Tectionum contingat in duobus
punctis *, qux ipfi opponitur Tectio, alteri oppofitarum non occurret .
Sint oppofitse Tectiones a d b, e: ■-& hyperbole ac Tectionem ad b in duobus pun-
ctis ab contingat: opponatura; ipfi ac Tectio f.Dico 1 ipfi e nooccurrere.fi enim
fieri potefijOccurrat in e: & a punctis ab ducantur contingcn
tes Tectiones, a g,g b : iungaturq; a b,& e g,ac producatur. Te-
cabitigitur Tectiones in alio, atque alio puncto: & fit e g c d h . .
Itaque quoniam ag,gb Tectiones contingunt: & ab coniun-
git tactus,erit in altera quidem coniugationejUt he ad eg,ita
h d ad d g ; in altera ucro ut h e ad e g , ita h c ad c g ; quod
fieri non poteft. non igitur Tectio f ipfi e occurret.
THEOREMA LII. PROPOSITIO LII-
Si hyperbole unam oppofitarum fectionum contingat, conuexa ha-
bens e regione fita •, qua? ipfi opponitur Tectio, alteri oppofitarum non
occurret .
Sint oppofitse lectiones a b'& hyperbole qusrdam ad Te-
ctionem a in puncto a contingat; ipfi autem ad oppona-
tur f.Dico f Tectioni b non occurrere. Ducatur enim apun
cto a linea ac Tectiones contingens .ergo ac propter ip-
fam ad lectioni f non occurret & propter a non occurret
Tectioni b. quare ac inter b T Tectiones cadat necefle eft:&
idcirco b Tectioni f non occurrere manifefio confiat.
THEO
THEOREMA LIII. PROPOSITIO LIII.
Oppofita; fe&iones oppofitas non fccantin pluribus pundis , quam
quatuor.
Sint oppofit# fedioneS a b,cd,& alia: oppofi ta: ab c d,ef; dfecet prius abcdfe
dio utramque ipfarum a b,c d in quatuor pundis a b c d,cormexa habens e regione
fita; ut in prima figura apparet, ergo qua? fedioni abcd opponitur,hoc eft ef nui- 4i~huiu*
ii ipfarum ab,cd occurret, fed abc fedionem quidem ab fecet in pundis ab,ip-
famuero cd inunopundo c,utin fecunda figura, quare ef non occurret fedioni 3*. huius
cd.fi autem fedioni ab occurrit e f in uno tantum pundo occurrit : nam fi in duo
bus pundisfedio abc,qu£ipfiopponitur,noii occurretaltericd.atquiinunopun 41. huius
poEtis fe&ionibus ab cdef occurrens ad plura puda,quam quatuor. fed neque cd 5^-huius
occurret ip fi ef. fi auterujutin fextaEgura, fedio a b c alteri occurrat in tribus pun 44 huius
do c occurrere ponitur, quodfi abc fedionem ab ein duobus pundis ab fecet:
ut in tertia figura,occuferet quidem e ffedioni ab e,fediomuero d non occurret,
atque ipfi a b e occurrens non occurret ad plura punda, quam duo . fi uero abcd 34. huius
utramque fecetin uno pundo,ut in quarta figura, ef nulli ipfarum in duobuspudis 4o*huius
decurret . ergo propter ea, 'q-uie didafuiit,’ & ipibrum conuerfa , fediones a b c d , e f
oppofitis fedionibus b e,cf nonoccurrentadplurapunda,quam quatuor. Atfi fe-
diones ad eafdem partes concaua habeant: atque altera alteram in quatuor pundis
abcd fecet,ut in quint&figurajfedio e f alteri non occurret.rurfus enim erit ab op 41. huius
APOLLONII PERGAEI
dis , e f alteri in uno tantum pundo occurl :et.& eodem modo in reliquis dicemus .
Quoniam igituriuxtaomnes diffindi enes c 011/la t ill u d ; qxl od p r d p o n t u m eft 3 oppo
litae Tectiones oppofitis adplura punda/quam quatuor,non occurrent.
THEOREMA LIIII. PROPOSITIO LIIII.
' • o ,
Si oppofitacfediones oppofitas in uno pundo contingant; non oc-
current libi ipfis ad alia punda plura, quta duo ;
dis c d,utin prima figura apparet. Quoniam igitur b c d in duobus pundis Tecat, co
39.huius nexa habens e regione fita, fedio e f ipfi a b non occurret. Rurfus quoniam bcd
jz. huius contingit ab in b,conuexa habens e regione fita, non occurret ef fedioni cd.qua-
re ef nullifedionum ab,cd occurret.occurruntigiturfibiipfis ad duo tantum pun
j- t.huius eta c d.fed b c fecet c d in uno pundo c,ut in fecunda figura, ergo e f fedioni quide
js.huius p U ndis,nonoccurret bc ipfi cd.atquiin uno pundo occurrereponebatur . Qu, od
ji. hums j; [) C non occurrat fedioni. d,utin tertia figura,propter ea, quas didafunt, e f ipfi d
3j.huius non occurret: & non occurret ipfi a b adplurapunda, quam duo . Atue-ro fi fedip^
nes ad eafdem partes concaua habeant, demonftrationes esedem accommodabutur.
quare iuxta omnes diftindiones iliud,quod propofitum efi: , ex iam demonfiratis ma
nifefto conflare poteft. / • v
. / " 5 - r 0\ 5 ifs
THEOREMA LV*. PROPOSITIO L V.
Si fediones oppofitie oppofitas contingant in duobus pundis^in alio
putido fibi ipiis non occurrent.
Sintoppofite fediones ab,cd:& alis ac, e fi & primum in pundis ac fefecontin
gant,utinprima figura. Quoniam igitur ac utramque a b,cd contingit inpundis
$ 9 .huius a c, fedio e f nulli ipfarum occurret . Contingant autem fe fe, utin fecunda figura.fi-
fi. huius militer c dipfi e f non occurrere demonilrabitur. fed contingant ut in tertiafigura,
fedio quidem ca fedionem a b in a;fcdiQuero d-ipiam ef ind>;&quoiiiaiii ;c!3t>^6
tingit ab, conuexa habens e regione fita, e f fedioni a b nono.ceurret .••r«dyshqj*9-
mam
C O N I C O R V M 1 I B. I I I I. n 4
niam fd contingit e £non occurret ca ipf? df.Deniqueii ca contingat ab in a 3 Sc
e f contingat e d in habentes concauaad eafdem partes^utin quarta figurajn alio
pundo fibiiplisnonoccurrentmeque ef occurretipfi a b.iuxta omnes igitur diftin jo.hufus
diones ex iam demonftratis condat illud,quod proponebatur .
FED. COMMANDINVS.
Et quoniam ca contingit ab,conuexa habens e regionefita.] Vide ne hic locus cor
ruptus fit 3 uel figura ipfa 3 nam cum ca contingat a b } qua ipfi opponitur 3 uidelicet ef oppofitx fe~
ciioni fd ex quinquagefiima fecunda huius occurrere non poteji.
Q^V ARTI LIBRI APOLLONII FINIS.
: !
■ ■ ' ?! O : M O : v >
ni ' 4 - "
ih
' , ' ?* ' :
' ■ V- ■ .
::vj .>
.V
V
. - < -
t
-/
X
/■
's 0 -•
V* 'N
"" jK
\ Y ■ / 5
V..
'■* ,• . \
r
•s \
! ' ■ \\ •
■’ ' ' y\
i
£>■
‘ . - - • •_ >
i - t 'bi i ; lOii&frTCiS ■ ■ ■
,-Y V ; - v, . Ii O :> .>'1 i ’1
- ■ - ■ ■■ .
* - . q\ • 5\s : ;-, v — * - - --'i - ■' '
\i’:o ■
:z r i i - x o * ; - i a 41 t f
4 • s
.
K
• i.'
»v.‘
* • i < '
T > '
' \ur\.
t •/
/
-
'
r .
' •_ ' ■:
.. it i
»•1 " -'V
SERENI
ANTINSENSIS PHILOSOPHI
LIBRI D V 0.
VNVS DE SECTIONE CYLINDRI,
ALTER DE SECTIONI CONI.
. A' FEDERICO CQMMANDINO VR B I NA TE
E' GRAECO CONVERSI, ET
COMMENTARIIS IL1VSTRATI*
CVM PRIVILEGIO PII IIII. PONT. MAX.
IN ANNOS X.
B O N O N I AE,
EX OFFICINA ALEXANDRI BENATII.
M D L X Y L
r
r
T ..
#r
r*r
0-
4 ■
1 /
3
y
’ . \
\
r
i -
« r.i
'w. i; -
4:
•wl-'
...h
JL Cl
I H
q
o
p
O J
1 I
t r rr
X' j
c
T
i
2
\
a C rJL
1
A .
i
yi A
. O
V
/"T
vi
I
i[
a
I J
«T i
~ *
i ::
i
.i r
3
a h
O I
T
3 H.
? tr r f
C v J. V. L
2
Y
M V
t
«
X >1 o r
> u
/■ 0 1 T
o 'r a
a a.
ii 3 T J A
h t .>f
rv /i
i
J l
V
O t
-t :r
at tvt
V) r L; .
A iV;
iV
i o :
) ODI
rr
.y L
J
a a 3
T :t
T '5
t *• °
?! ;T
y k
O 3
o :>
a a ji o
T
■f a
/ .■ a i
Z I ]
r n
fi 1' H
:{ ;& M O 3
• :^r\vr>
>- -j v.> w .
•' t
f •-
O. \ J
/ I
Sx
(
i
r r
-? • V. , ' /t- ' y ‘ r ■-«:
* •»
1
V -J
%
FRANCIS G O M A R I AE I h
GVIDI V B A L‘D I VRBINATVM
■ J 0 •’ : ; ' i ■ ■ f ~ t
DVCIS PR IM O G E N IT O.
E RlSsiMVM illud grceci tragici di&um efle,
ttovov ttow ttovov cpt'pav cum fx pe alias in rebus mathe
maticis illuftrandis fum expertus, Illuftrisfime
Princeps, tum maxime proximis his diebus, cum
Apollonii Pergad libros conicorum, difficiles in
primis, atque obicuros fiimmo labore , atque in-
credibili animi contentione conuerti . neque c-
nim eo contentus fui, quod fatis efie ad leuandam priftinam aliqua
ex parte difficultatem uidebatur , fed rei dilucidandae caulla com-
mentarios etiam , atque expolitiones aliquot mihi addendas exiffci-
maui . nunc uero eiufdem rei amore captus, ac quodammodo erudi
fo eiufmodi labore deledatus , addo propter argumenti fimilitudi-
nem libros Sereni Antinfenfis duos, quorum in primo agitur de
fecfione cylindri,in fecundo de fecfione coni, quae fit per uerticcm >
ex qua uariae triangulorum fpecies oriuntur . qua: res cum maxima
contemplatione dignifsima, tum a nemine alio adhuc litteris, memo
riarq; mandata effc . Hoc autem ed libentius feci , qudd fciebam Se-
reni libros ab omnibus mathematicarum fcientiarum ftudiofis uehe
mentisfime expeti , quippe qui neque latinitate donati , neque vul-
gati dfentjfedfcripti apud paucos tantum legerentur. Vifum eftau
tem mihi conuenire , cum Apollonium Gvxdo Vbaldo patri
tuo llhiftrifsimo dicarem, Serenum nomini tuo confecrare. primum
quod qua: mea in patrem, eadem in filios obferuantia: ratio effidein-
de quod ha:cipfa ad artem, ftudiumq; rei bellica mirifice pertinent .
quo ufque adeo ipfe teneris, ut procedente setate facile fi fortuna
paululum afpirauerit, cum fcientia, tum uirtute maiorum, in pri-
misq;aui tui gloriam, cuius nomen refers, fuperatu rus efie uidea-
ris . ut illud omittam, quod pueritiam tuam noti minus mathemati-
cis difciplinis percipiendis traduxifti, qu&m latinis, ut afiolet, litte-
ris ,in quibus excellis . Qua: quoniam uerisfima efle nemo dubitat.
-i
I
^cui ego iuftius hoc meae erga domum ueftrarnYtecj,* ipfum pietatis
teftimonium , atque induftriae qualifcunque monumentum dica-
rem^uam tibi, neminem habui . ' Vale .
. t j ii f c: h •: ;i h o v ci
Federicus Commandinus.
I
SERENI A NTINSENSIS
PHILOSOPHI LIBER PRIMVS
DE SECTIONE CYLINDRI.
C V M COMMENTARIIS FEDERICI
COMMANDINI VRBINATIS.
i*
$ E £ E N V S C T % Q S. V.
V m uiderem quamplurimos , amice Cyre, eorum
qui ili geometria uerfantur, arbitrari tranfuerfam
Cylindri fedionem longe diuerfam ede ab ea fedio
31 c coni, quse ellipfis appellatur, no committendum
putaui , ut ab errore non auerterem tum eos ipfos ,
qui ita arbitrantur , tum eos, qui ab his illud ita efle
perfuaderi podent . quamquam abfurdum omnino
mdeatur, Geometras ipfos de problemate geometrico Une demonftra-
tione quicquam affirmare : oratio enim probabilis, & fine ullo artificio
d geometria alienisfima efi: . Itaque quoniam hi ita fentiunt > nos autem
non adentimur , libuit geometrice demonftrare unam , atque eandem
fpecie fedionem necedario fieri in utrifque figiiris,in cono, inquam, 8 c
Cylindro, fi modo ratione quadam>&: non fimpliciter fecentur. Quem-
admodum autem uetere's,qui conica tradarunt, non contenti commu-
ni intelligentia coni, nempe quod a triangulo redangulo conftituere-
tur : uniuerfalius & artificiofius de ipfo confcrip ferunt,, non tantum rc-
dos, fed etiam fealenos conos ftatuentes : ita & nobis faciendum erit,
nam cum cylindri fedionem nobis tractandam propofiierimiis,non fo-
Inm redum cylindrum, fed etiam fcalenum ponentes,qu« ad hanc con-
templationem pertinent, latius, fufiusq; explicabimus. & quaquam cer-
to fciam neminem fore,qui facile admittat, non omnem conum redum
edbycommuni notione id fuadente : tamen contemplationis gratia me-
lius edeiudicaui uniuerfaliori diffinitione ipfum coprehendereietenim
cylindri redi fedio eadem ed,qux ellipfis redi coni . fed cylindro uni-
uerfalius accepto, fedionem eius omni pariter ellipfi eandem ede neccf
fario continget.id quod nos in hoc libro probare inditu imus. Attenden
da autem prius hxc funt,qux ad propofita materiam diffinite oportet.
2
sereni liber i.
DIFFINITIONE S.
i St igitur duorum circulorum a?qualium, Sc axpidsPcantiurn diame-
tri lemper inter rere jequidil^tesySapr^ iti circulorum planis circa ma-
netis centrum circumferantur : St una circumferatur recta linea diame-
trorum terminos ex eadem parte coniungens , quoufque rurfus in eum
locum reftituaturya quo moueri ccepit ? fuperficies^ua? a circumlata li
nea defcribitur,cylindricafuperficies uocetur ; qua? quidem & in infini-
tum augeri potefl, linea Ipfa defcribente in infinitum producta. 2 Cy-
lindrus,figura,qua? circulis a?quidiflantibus > St cylindrica fuperficie in-
iteripfosinterieda continetur, $ Cylindri bafis,drculi ipfi. 4 Axis, re
da linea, qua? per circulorum centra ducitur . y Latus autem cylindri
linea , qua? cum recta fit , St in fuperficie ipfius cylindri : bafes utralque
contingit j quam & circumlatam ■cylindrHuperficiem defcnbere antea
diximus. 6 Cylindrorum, recti quidem dicantur, qui axem habent ad
redos angulos exiflentem ipfis bafibus. 7 Scaleniautem,qui non ad re
dos angulos exi flentem ipfis bafibus axem habent . Sed & ha?c ex
Apollonio fcire oportet. 8 Omnis linea? curuar, in Uno plano exiflen-
tis diameter uocetur reda linea, qua? quidem dudla a linea curua, om-
nes, qua? in ipfa ducuntur reda? cuipiam a?quidi flantes birariamdiuidit.
5> Vertex lineet, terminus ipfius reda?, qui efl ad linearia . 10 Ordina-
tim ad diametrum applicari dicitur unaquetque linearum eequidiflan-
-tium. 11 Coniugata? diametri dicanturjquec quidem a linea ordinarim
duda^ad coniugatas diametros, ipfasfimiliterdiuidunt. 12 His igitur
pofitis St in tranfuerfis fedionibus cylindri pundum,quod diametrum
bifariam diuidit, centrum fedionis uocetur. 1? Qua? a centro ad li-
neam perducitur, dicatur ea, qua? ex centro. 14 Q yx uero per cetrum
dedionistranfit,a?quidiflansei,qua* ordinarim applicata efl, St termina-
turab ipfa linea, fecunda diameter dicatur . demonflrabitur enim lineas
omnes in fedione dudas,qua? quidem diametro etquidiflant bifariam
fecare . ty Illud etiam determinadum efl. Similes ellipfes elTe, quarum
coniugata? diametri fe fe ad angulos aquales fecantes eandem habent
proportionem.
THEOREMA I. PROPOSITIO I.
St dua? reda? lineae fe fe tangentes , duabus redis lineis fe fetangen-
'tibus a?qui di flent, & fint utroque utrifqiie aequales : qua? terminos ea-
rum coniungunt reda? linea?, St ipfa? aquales, St arquidiflantes erunt.
Sint
d'
I
DE SECTIONE CYLINDRI.
/
•
/
\
^
SINT du« red« Iine« fe fe tangen-
tes a b,bc;qti« duabus redis lineis fe
fe tangentibus de, e f «quidiftent: fitq;
a b «qualis d e > & b c ipfi e f : & iun- *
ganmr a c,d f. Dico lineas a c, d f & «- L
quales eife,&r«quidiftates.iundis enim
a d, b e, c f, quoniam a b ipfi d e eft «-
qualis,& «quidiftans ; erit ad Sc «qua- N x
lis,& «quidiftans ipfi b©. Rurfus quo- £ y
niam bc ipfi e fi eft «qualis ,-&«quidi-
ftans;& c f «qualis & «quidiftans erit ipfi b e. Quare a d, cf «quales inter fefe & «-
quidiftantes erunt:ac proptereaipfie quoque a c, d f. quodpropofitum fuerat often-
dendum .
THEOREMA II. PROPOSITIO II.
S i cylindrus plano fecetur per axem j fedio parallelogrammum
erit .
SIT cylindrus,cuius bafes circuli circa centra ab : axis autem a b reda linea : &
ducatur per a b planum fecans cylindrum,faciensq; fediones,in circulis quidem re-
das lineas c d, e fiqu« diametri funt ; infuperficic autem cylindri ipfas egc,df. Dico
utramque linearum e g c,d f redam efte. Si enim fieri poteft,non fint red« : & duca-
tur reda, e h c . Quoniam igitur linea ege & e h c reda in
plano ed conueniunt ad e c punda: atque eft ege in fu-
perficie cylindri : ipfa e h c in cylindri fuperficie non erit . &
quoniam circuli ab «quales funt,& «quidiftantes; fecan-
turq; a plano e d communes ip forum fediones «quidiftan-
tes erunt, atque etiam «quales, cum diametri fint «qualium
circulorum. Itaque fi manentibus a b pundis diametros
ac,bc in teli figamus circum ferri , & unacumipfis redam li
neam e h c circa circulos a b,quoufque rurfus in eundem lo
cum reftituantur, a quo moueri ceperunt: reda ehe cy-
lindri fiiperficiem deferibet: & erit h pundum in fuperfi-
cic ipfa. atqui erat extra fuperficiem;quod fieri nullo mo-
do poteft . reda igitur linea eft e g c. fimijiter & reda eft ipfa
fd : & coniungunt «quales, & acquidiftantes lineas e f,c d. pa
rallelogrammum igitur erit ipfum e d.quod oftendifle opor
tebat .
THEOREMA III. PROPOSITIO III.
Sicylindruspla.no fecetur atquidiftante ei parallelogrammo, quod
fit per axem/edho parallelogrammumerit 3 a:qualesipfi angulos habes .
SIT cylindrus, cuius bafes circuli circa centra ab;&axis ab reda linea ; paral
lelogrammum autem per axem c d : & fecetur cylindrus altero plano e fg h , «quidi-
ftanteipfi cd parallelogrammo ; quod faciat fediones , in bafibus quidem redas li-
neas e f,g h ; in 'fuperficie autem cylindri ipfas e g,f h. Dico figuram e g«h f parallelo-
grammum efie, «quiangulum ipfi cd.Ducatur a centro b ad e f perpendicularis bk:
perdi lineas k b,b a dudo plano, communes fediones fintaftk 1;& iungantur b fiah.
Quoniam igitur circulus a circulo h «quidiftat; & ch planum plano cdrfecanturch
abipfo abkl planodinea al «quidiftabitline« bk;& kl ipfi ba.quare ka paralie-»'
logrammumeft: ideoq; linea kl «qualis eftline« ba;& bk ipfi al.Et quoniam bk
quidem ipfi ai «quidiftat,kf ueroipfi lh:& bkf angulus «qualis erit augulo a 1 h.
a » ,
>
j j. primi
?o. pxinu
i^.unda-
cimi
33. primi.
inundo.
34. primi
io.undc^
A
B
\
<?Ts
□B
J
SERENI. UBER I»
atque eft b It ac! It f perpendicularis. perpendicularis eft igitur al ad ipiam 1 h.ftmt
autem aquales , ergo squales & ipfs e ft g h , & squidiftan-
tes. prsterea quoniam b f squidiftans eft ipfi ah : planum
per b f, atque axem durium tranfibit etiam per a h : feriio-
nemq; faciet parallelogrammum j cuius latus reria linea,
qus f h punria conjungens , in fuperficieipfius cylindri exi
flet. eft aute & f h latus figurae efgh in fuperficie cylindri,
commune igitur latus eft & parallelogrammi per axem-.qua-
re reda linea eft fh. Similiter & reria dem oftrabituripfa eg.
Sed coniungunt squales & squidiftantes lineas e ftgh . ergo
ipfum eli parallelogrammum erit . Dico infuper & squian-
gulum efte c 4 parallelogrammo . Quoniam enim dus lines
d b,b f duabus lineis m a,a h squidiftant ; funtq; quatuor li-
nes squales ; & ipfs fd,m h inter fe squales erunt,& squidi
ftantes,ex primo theoremate. ergo & squales, & squidiftan-
tes ipfs fhjdm.eft autem & lh ipft am squidiftans . angu-
lus igitur Ihf parallelogrammi eh squalis 'eft angulo am d
parallelogrammi cd. Quare parallelogrammum e h paralie
logrammo c d squiangulum erit ,
m.
COMMENTARIVS,
8
i
A ERGO squales &ipfs efgh, &c.] 7fam cum fit bf^ad e f perpendicularis , erit e k
f «terti; , aqualis k f,& ita g l ipfi l h: fied aquales fiunt bf, a b fifiemidiametri ficilicet aqualium circulo -
nm. quare ex penultma primi quadratum fi f aquale erit quadrato lh;& idcirco linea k fi, l b
, inter fe aquales . ergo & aquales ipfia efi,gl:& addita utrinque aquali, erit tota e fi toti g h
aqualis. Hoc etiam conflare potcsl ex 14 . tertq .fiunt enim a, b circuli inter fe aquales ;& linea
g b,ef d centro aqualiter diftant ,
B Prsterea quoniam b f squidiftans eft ipft ah.] Sunt enim dua linea b’K,Kf fiefie tan-
gentes duabus lineis fe fe tangentibus a 1,1 h aquales, & aquidi flantes . quare qua ipfias conim-
pmt refla Unca bf,a h aquales erunt, & aquidi flantes , ex prima huius .
C Angulus igitur 1 fi f &c.] Ex decima undecimi. ,& eadem ratione reliqui anguli reliquis an
gulis aquales erunt ,
THEOREMA [Illi. PROPOSITIO IIII.
Si cumae linea: reda fubtendatur *, & qua: a linea ad fubtenfam per-
pendiculares ducuntur, posfint aequale ei, quod ipfiusfubtenfe partibus
continetur : dida linea circuli circumferentia erit .
SIT curua linea a b d^ & qus ei fubtenditur
reria a d : ducantur autem be,e f perpendicula-
res ad ipfam ad;ponaturqj quadratum be squa-
le reriangulo aed, & quadratum c f squale ipfi
afd. Dico lineam ab d circuli circumferentiam
etfe.fecetur enim a d bifariam in punrio g , & jun-
gantur gb, gc. Quoniam igitur quadratum g d
squale eli quadrato b e , & quadrato g e quadra-
tum autem b g squale quadratis g e,e b : erit linea
b g ipfi g d squalis . & fimiliter demonftrabitur
c g squalis g d,& alis eodem modo . Semicirculus
igitur eft linea abd.
COM
$
B E SECTIONE Ctu N D E E
C O M M E N T A R I V S,
Qv oniam igitur quadratum, g d «quale eft quadrato be,] Efi enim ex quinta fe-
cundi quadratum g d aquale rcEtangulo aed , & quadrato, g e, fed cum ponatur quadrat um b e
d quale rcStangulo a e d: erit quadratum gd duobus quadratis be ,eg aquale :& efi quadratum
gb aquale tifdem ex penultima primi. Ergo quadratum gb aquale erit quadrato gd\& idcirco
Unca g b ipfi g d efl aqualis , Hoc autem demonflratum eji d Vappo , & Eutocio tn quintam pro-
pofitianem primi libri corneorum ^ipollanij ,
THEOREMA V, PROPOSITIO V,
S i cylindrus plano bafibus jequidiftante fecetur; fedio circulus erit,
centrum habens in axe ,
Sit cylindrus, cuius bafes quidem circuli a bjaxis autem ab rcda:& fecetur plano
bafibus «quiftante, quod faciat fedionem in fuperficiecylin
dri lineam exd. Dico ipfam exd circuli circumferentiam
effe.Oeicribantur in circulo a diametri e fgh.& per utram-
que ipfanam , & axem ducantur plana cylindrum fecantiaj
qu« faciant fe&iones parallelo gramma ipfa : & fit parallelo-
grammi ck,& plani exd communis fe&io cd: parallela-
grarami autem gl,& eiufdem plani communis fettio nx,
Quoniam igitur planum exd «quidiftat circulo a: & fecan-
tur a plano e k ; linea c d linea: c f efi «quidiftans : & eadem
ratione linea nx «quidiftans ipfi gh. Itaque quoniam ba
utrique ce,df «quidiftat ; & eft ea «qualis a ferit cm ipfi
m d «quaUs.Similiter quoque cum fit ga «qualis ah:&nm
aqualis erit m x , Sunt autem a e , a g «quales . ergo & m c,
m n «quales erunt, quare omnes m c, m d, m n, m x inter fe
«quales.&fimili ratione ali« «quales offendentur, qu«cun-
queapuodo m ad lineam exd pertinent.circulusigitureft
fedio exd, qui centrum habet in linea ab. Illud ueromani-
fefte patet.nam cum pundum m fit in tribus planis;& in ip-
fa a b communi planorum fedione necefiario erit, hoc efi;
in iplo axe .
B
C QM M E N T A R I V S,
Erit c m ipfi m d «qualis .] Tgam cum & linea e d aquidifiet Unent ef,&nx ipfi gh % A
par aUelograrnma erunt ipfa e m i mf i gm i mh\& ideo linea cm aqualis ipfi ea;md ipfi a fi n m
ipfi g a- } & m x ipfi a b . quare, aqualibus extentibus e a, af,ga,ab;& ipfa e m, m d , m n , m x
aquales erunt . 1
Circulus igitur efi fcdio c x d,qui centrum habet in linea ab,] Sequitur ex demon - B.
firaiis [cilionem eiujmodi non folum circulum efi e x fed <&■ aqualem circulis hajitim ; quod ipfe Se-
renus tanquam notum o.mifin . Cum enim paraUelogrammum fit e d: linea c d diameter Jeftioms
aqualis eji diametro bafis ef. quare & circulus circulo aqualis erit ,
THEOREMA VI, PROPOSITIO VI,
S I cylindrus fcalenus plano per axem fecetur , ad redos angulos ipfi
bafi : fecetur autem Sc altero plano, redo ad paraUelogrammum; per
axem, quod faciat communem fedionem in paralldogrammo redam
lineam jiequ ales angulos continentem iis , qui funt parallelogrammi ,
i
4 difF.un
decimi
6 unde-
cimi
per pra-
ccdente
8-& i7- fe
xti
6. primi
A
B
A
49 . primi.
B
SERENI L I B E R I.
i?.on autem ipfiusbafibus sequidiftantem : fe&io circulus erif.uocctur
aurem talis fe&io fubcontraria .
Sit cylindrus fcalenus , cuius parallelogrammum per axem a d, ad redos angulos
exiftens ipfi bafi : fecetur autem cylindrus & altero plano e fg, ad parallelogrammum
ad redo, quod in ipfo communem fedionem faciat, redam lineam eg bafibus ab,
c d minime «quidiftantem : ita ut contineat angulum gea aqualem angulo e a b;an
gulum nero egb squalem ipfi abg. Dico
Tectionem efg circulum efle. Sumatur ali-
quod pundum in linea e g, quod fit h; & ad
redos angulos ipfi eg ducatur hf in efg
plano . ergo f h perpendicularis eft ad pla-
num ad. ducatur per h ipfi ab «quidiftans
khl: ponaturq; ipfi ab ad redos angulos
m n : & per fh, k 1 ducatur planum , faciens
fedionem k fl . Quoniam igitur m n in ba~
iis plano exiftens , perpendicularis eft ad ab
communem planorum fedionem; erit ipfa
m n perpendicularis ad planum ad. quare
fh,m n «quidiftances funt . Sed & «quidiftan
tes ipf« k 1 a b. ergo «quidiftantia quoque ,
qu« per illas tranfeunt plana. Sedio igitur
k f 1 «quidiftans eft baft : ideoq; k fl circulus
eft , & eius diameter kl,cuiipfa fh adredos
angulos infiftit. Quare redangulum k h 1 eft
«quale quadrato fh.Atredangulo kh lsequa
le eft ipfum ehg redangulum, cum fit eh
«qualis ipfi h k,& gh ipfi hl,proptereaquodadbafes ek,lg anguli «quales iunt. er
go quadratum fh «quale eft redangulo ehg; atque eft fh ad eg perpendicularis .
iimiliter autem &fiad eg alia ducatur «quidiftans ipfi fh , poterit «quale ei, quod
partibus eg continetur ; circulus igitur eft efg fedio, cuius diameter ehg reda
linea »
C O M M E N T A R I V S.
Propteuea quodadbafcs ek, 1 g anguli «quales funt. J Tofitum enim eft angu-
lum gea aqualem ejje angulo e ab, & egb ipfi a bg. Quod cum anguli e a b t e k l aquales fmt,
erunt & ipfi h e k , h k e aquales : & ita aquales eorum co ait emi
kgUhlg' (L
Circulus igitur eft e fg fedio . ] Ex quarta huius .
THEOREMA VII. PR O P C SITIO VII
Cylindro dato , & puncto in fuperficie eius; per
dictum punctum latus cylindri ducere .
Sit cylindrus, cuius bafes circuli ab; axis ab redalinea;
& datum pundum in eius fuperficie c : oporteat autem per
c ducere cylindri latus. Agatur a pundo c perpendicula-
ris ad lineam a b , qu« fit c d * & per a b , c d lineas duca-
tur planum cylindrum fecans . fedioigitur per c tranfibit,
& faciet in fuperficie redam lineam e c f qu« quidem cylin-
dri latus erit „
k<
THEO
4
PE SECTIONE CTIINDRL
THEOREMA VIII* PROPOSITIO VIII.
S i in fuperiicie cylindri duo pundh fumatur non exiftentia in late-
re parallelogrammi per axem : qua: di6ta pun<fta coniungit re&a linea
intra cylindri fuperficiem cadet .
Sit cylindrus , cuius bafes circuli a b: futnanturq; in fuperficie eius duo punda c ,
d,quae non fin t in uno latere parallelogrammi per axem : & iungatur c d. Dico ipfam
c d intra cylindri fuperficiem cadere . Si enim fieri poteft,uel in fuperficiem eius, uel
extra fuperficiem cadat. & quoniam punda cd non funtin latere cylindri ; ducatur
i d
b
c
cC
k
/
k
per c quidem latus ecfiper d ueroipfum g d h : & iungan-
tur e g,fh.ergo eg fh intra circulos cadent. Sumatur ali-
quod pimdum in linea cd, quod fit K.uel igitur k eritinfu-
perii cie cylindri , uel extra . Sit primum in fuperficie: & per
k ducatur latus cylindri, 1 k m redalinea: qux quidem ca-
dens in circumferentias eg,fh fi producatur neutram reda
rum eg, fh feeabit . quare Im non erit in plano fegh. fed
pundum k eftinipfa lm. non igitur k erit in plano fegh.
Quoniam autem cd eftinipfo fegh plano;&in cd eftpun
dum k: erit k in eodem fegh plano, Quare k in dido pla-
no erit , & non erit . quod fieri non potefi . non igitur cdeft
in fuperficie cylindri , Sed fit extra : iumaturq; in circumfe-
rentia eg aliquod pundum 1: & iungatur kl. ergo k 1 ex
utraque parte produda neutram redarum ef, gh feeabit.
quare non erit in plano fegh. reliqua uero,ficuti fuperius
manifefie concludentur .
THEOREMA IX. PROPOSITIO IX.
5 1 cylindrus plano fecetur , neque bafibuscequidiftante, neque fub-
sontrarie poftto , neque per axem, neque sequidiftante ei, quod per
axem fit parallelogrammo ) fedho neque circulus > neque parallelo*
grammum erit.
Sit cylindrus , cuius bafes circuli a
b: & fecetur plano neque xquidiftante
'bafibus, neque fub contrarie pofito,.ne
que per axem , neque axi jequidiftante .
Vel igitur fecans planum bafes utrafq;
feeabit, uel alteram tantum, uel neu-
tram. Primum uero neutram fecet: & fij
ciatin fuperficie cylindri lineam ced.
Dico ced fedionem , neque circulum
effe, neque redilineum . Nam redilfi-
neum non eife manifefto confiat. Sit
enim redilineum , fi fieri potefi : & fu-
matur latus quodpiam ipfius c e.Quo-
niam igitur in cylindri fuperficie duo
punda ce /uniuntur, in' eodem latere
cylindri non exiftentia, latus enim in -
duobus pun dis talem lineam non fe- fi
cat: erit reda linea, qu$ punda c e con
iugit in fuperficie ipfius cylindri : quod
quidem fieri non pofieiara demonfira-
% »
terti/.
w
SERENI LIBER I.
p. uiuje-
cimi
f.huiu*
lo.unde-
cimi
B
C
i
D
E
tum eft. non igitur reda linea eft ce, neque ipfum ce d redilineum . demonftran-
dum deinceps eft , neque circulum efle . Quoniam enim fedtionis c e d planum pla-
no circuli a noneftsquidiftansrfi plana producantur, ipfa ieinuicem fecabunt.fe-
centergo fe fe,& fit ip forum communis
fedio fg:perq;a centrum ducaturhag
ad fg perpendicularis : & per ha , &
axem ducatur planum, faciens in cylin-
dro fedionem parallelogrammum h k;
in fedione autem ced rectam lineam
c d: & feda c d bifariamin pundo l,du
canturipfi fg squidiftantes; per 1 qui-
dem linea elm, per a uero ipfa nax.
quare m e, nx inter fe fesquidiftantes
erunt, ducatur deinde planum per e m,
bafi cylindri squidiftans , quod faciat
in cylindro fedionem o ep m. erit o e
p m fedio circulus i cuius diameter o p
bifariam fecatur in l. nam cum triangu-
la lo c,Ip d fimiliafint,& fit cl squalis
1 d-.erit Sc o 1 ipfi 1 p squalis. quare e 1 m
circuli o e p diameter erit . & quoniam
linea ol lines ha squidiftat; & linea
Im ipfi ax: angulus olm angulo hax
eft squalis , redus igitur eft angulus
0 1 m, & linea el perpendicularis ad q p circuli diametrum, ex quo fequitur quadra-
tum e 1 squale efle rectangulo olp. Quoniam autem fectio non eft fubcontraria, an-
gulus lo c angulo ocl squalisnonerit: & idcirco latus ol lateri cl insquale.non
igitur quadratum oI,hoceftrectangulum olp squale eft quadrato cl,hoceftrectan
gulo cld. Sed rectangulo olp squale eft quadratum e 1. quare quadratum el non
eft squale rectangulo cl d: &propterea fectio ced non eft circulus . demonftratum
autem eft neque rectilineum efle.qus quidem omnia demonftraffe oportebat .
Simul uero &c illud demonftratum eft rectam li
neam, quae in fc<5tione ipfi fg arquidiftans dufta bi-
fariam diui dit c d, diametro bafis aqualem efte .
Sed fecet planum etiam ipfas bafes, bafim quidem a recta
linea c e, ipjtam uero b , recta fg : perq; a ducatur h a 1 per-
pendicularis ad ce:&per ha diametrum , & axem ducatur
planum, quod faciatfectionem hk parallelogrammum: pla-
ni autem fe, & h k parallelogrammi communis fectio fit
1 m. Quoniam igitur planum fe, neq; per axem ductum eft,
neque axi squidiftans ; linea 1 m in infinitum protracta fe-
cabit ipfum 'axem . quare & lineam hn axi squidiftantem :
utrsqueenim funtinh k plano, fecet in puncto n,& produ-
catur h n utramque in partem . Itaque fi axe, & circulis ma-
nentibus ipfa h n circumferatur una cum diametris, quo-
ufque redeat in eum lo cum, a quo moueri cspit : cylindri fu-
perficies fecun dum altitudinem augebitur: & producto pla-
no fe, augebitur etiam fectio ufque in punctum n. Illud
idem continget &ex parte cl. erit ergo nger cylindri fe-
ctio , qualis in prsc edenti theoremate. ex quibus fequitur
neque circulum efle , neque rectilineum . Quare fectio c e g f
neque rectilineum eft , neqoe circulus , neque portio circuli ; fed erit fectio eiufmo-
di ./cylindri fectionis portio .
- ' " COM
I
DE SECTIONE CY II N D R L 5
COMM ENTARIVS.
Q V O N I A M igitur in ftiperficie cylindri duo punda c e fumuntur.] C um enim A
pofitumfit cylindrum f beari plano neque per axem dubio, neque axi aquidiHant e ; non erunt diUct
duo punBa in uno latere cylindri.. Quare [equitur, ut qua ea coniungit retia linea intra cylindri fu- . .
perfici em cadat, <&■ non in ipfo. fu perfide, quod in pramijja dernonftratum tam fuit .
Redas igitur eft angulus o 1 m . j Ejl enim angulus h a x rettus,quod linea n x aquidiflat B
linea fg. quare & ipfe olm rectus erit . ■ z9- primi
Angulus loc angulo oc 1 aequalis non erit.] Ex fis, qua in [exta huius demonfirata C
funt .
Simul uero & illud demonfiratnm eft , rectam lineam .] Demonfiratum namque efi li- D
neam tlm circuli oep diametrum e fe . ergo aqualis erit diametro b a jis, cum circuli 0 e p,hnx
fint aquales .quod & no c proxime ofiendimus in commeutarrj s in quintam huius.
Linea 1 m in infinitum protrada fecabit ipfum axem, quare & lineam h n axi aequi E
diftantem.] Demonfirau.it illud FiteUio in propofitione fecunda libri primi perjfiebliua .
, . | , ’ . ’ ')
THEOREMA X. PROPOSITIO X.
Si cylindrus plano per axem fecetur: fumatur autem aliquod pun-
dumin eius fuperficie,quod non fit in latere parallelogrammi per axe :
& ab ipfo d ucatur reda linea aequidiftans redse cuipiam, qua? in eodem
plano exiitit,ui quo cylindri balis , &ad redos angulos incidit bafi pa-
raiielogrammi per axem : cadet ea intra paralleiogrammum y & produ-
da ufque ad alteram partem fuperficiei ab ipfo parallelogrammo bifa-
riam fecabi tu r.
SIT cylindrus^cuius bafes ab circuli, & paralleiogrammum per axem cd: /lima-
tur autem" aliquod pundum e infuperficie cylindri: & ab ipfo ducatur reda linea e f
«quidiftans redae, cuipiam , quae perpendicularis fit ad c a
bafim parallelogrammi per axem . Dico lineam e f intra c d (3
paralleiogrammum cadere; d fi ulterius producatur ufque
ad alteram partem fuperficiei , ab ipfo parallelogrammo bi-
fariam fecari. Ducatur enim per e linea heg «quidiftans
axi,qu«bafis circumferentiam fecet in h;&.per h ducatur
h k «quidiftansline« perpendiculari ad c a, cui etiam «qui-
difiantempofuimus ef. ergo & h k ip/am ca fecabit . Itaq;
per redas lineas gh,hk ducatur planum fecans cylindrum.»
quod faciat! fedio nem paralleiogrammum g n;& iungatur
k 1, communis fedio paralleIogrammoru,c d,n g. Quoniam
igitur linex efjhkuni,& eidem «q.uidiftant; atque efi hk in
plano kg:&ipfa efin kg plano erit, quare produda inci-
det in lk, qua: eft in eodemmet plano, linea igitur e f intra
c d paralleiogrammum cadet . Perfpicuum autem eft , fi ad
alteram partem producatur ufque in pundum m, quod eft:
infuperficie cylindri; bifariam fecari in f.namcum diameter
ca perpendicularis fit adhk:erit hk ipfi kn «qualis, fed
«quidifiantesfuntline« mn,lK,g h.ergo mfipfi fe «qua-
lis ent .
COMMENTA RIVS.
J\
trv
A \
B
J.tertfi
C
E R G O & h k ipfam c a fecabit.] Ex fecunda primi Vit cilionis . Secabit autem & ad A
angulos redos^x uigefima nona primi dementorum^quQd ipfe postea t aquam mamfefium ajjmit»
SERENI LIBER I.
B Quoniam igitur linea? ef,h k uni & eidem «quidiftant .] Linea ef, b k uni & eidem
aqmdiftmtes inter f e fe aquidiflabunt ; & ducta e h linea 3 erunt utraque in eodem plano , in
. quoipfa ebjyocefiinplano k g. quare produUa ef incidet in l k aquidiflantem ipfi gh 3 & in eo
dern exifi entem plano, ex fecunda primi V it cilionis ,
C Ergo mf ipfi f e aqualis erit.] ,Aequidiftant enim & ipfa e m 3 b n , ut ductum esi. quare
paralielogrammi funt hf,fn. quod cum aquales fint b /^, f n 3 & ipfa ef 3 fm aquales erunt.
THEOREMA XI. PROPOSITIO XI.
Si cylindrus fecetur plano, bafis planum extra circulum fecanteYco'
munis autem planorum lectio perpendicularis fit ad bafirn parallelogra
mi per axem , uel ad eam, qua: in re&um ipfi conftituitur; reda* linea:,
qua’ a fedlione in fuperficie cylindri a fecante plano fiida ducuntur , se-
quidiftantes linea perpendiculari ad bafirn paralielogrammi per axem ,
ueladeam,qua:mre<fi:umipfi conftituitur, in communem lectionem
planorum cadent ; 8c produda ufque ad alteram fedionis partem, a co-
rnum planorum fedione bifariam diuidentur : qua uero perpendicula-
ris efi* ad bafirn paralielogrammi per axem , uel ad eam , qua: in redum
ipfi condi tuitur, cylindro redo exi lien te , etiam ad communem plano-
rum fedionem, paralielogrammi fcilicet per axem , &: fecantis plani per-
pendicularis erit*, fcaleno autem exi (tente cylindro non item , pnrter-
quam cum parallelogrammum per axem ad ipfam bafirn cylindri re-
dum fuerit.
SIT cylindrus* cuius bafes quidem circuli ab; parallelogrammum autem per axe
c d:& fecetur plano, ut diCtu eft, quod faciatfeflio-
nem efgh, ita ut plani feftionis efgh, & bafis ac
comunisfeftiofitreclalinea kl,adipfam cal per-
pendicularis&aiedtione efgh ducatur linea f m
a?quidiftans ipfi /J,qua?produd:a pertineat ad alte
ram partem fuperficieiin pundto h . Dico lineam
f m cadere in e g,& ipfi m h aqualem efie . Nam
quoniam in feftione efghdudfaeft fm sequidiftas
k 1 ; intra c d parallelogrammum cadet. Quoniam
autem fm eft in plano e i gh 1 !» atque eft eg comma
nis fedio ipfius,& paralielogrammi cd: cadet f m
in eg; & fm ipfi nih squalis erit, quod patet ex
antecedenti theoremate . Reliquum eftutcftenda-
jnus,fi cylindrus recftus fit, uel planum c d redtum
ad bafirn cylindri; lineam kl ad ipfam egi perpeu
dicularemeffe.Quoniamenim cd planum ad pla-
num bafis redlum eft; & kl in bafis plano exiftens c
perpendicularis eft ad cal communem planorum
ie<ftionem,& ad reliquum ipfius cd parailelogram
ini planum perpendicularis erit . Quod fi planum
c d non fit redtum ad bafim,k 1 ad 1 e perpendicularis non erit. Si enim fieripoteft,fit
4 . unde, k 1 perpendicularis ad 1 e : eft autem & ad 1 c perpendicularis . quare & ad planum,
ig, ' quod per ipias tranfit; hoc eft ad cd. planum igitur per kl, hoc eft planum bafis ad
c d planum re&um erit : quod non ponitur, ergo k 1 ad 1 e non eft perpendicularis .
> Ex
6
DES E C TIONE CYLINDRI.
Ex iam demonftratis conflat lineam eg Tectionis efgh diametrum
e(Ie:aranes enim, qua: ad ipfam ducuntuc&quidiftantes linea: k 1 j 'ut f E
bifariam diuidit.
COMMEM TARIVS.
ET ad reliquum ipfius c d parallelogrammi planum perpendicularis erit.]
'igam cum planum c d rectum fit ad bafis -planum ; linea k l,qua. cfi in eadem bafi, perpendicularis ^ un
ad c l communem planorum fetlionem, & ad ipfum c d planum perpendicularis erit . quare & ad decim i
eg l,& ad omnes retias lineas, quee in eodemplauo exifientes ipfam contingunt . 3 • diff.
THEOREMA XII. PROPOSITIO XII.
Si dux redx linea: (imiliterfecentur, erit ut quadratum prima: ad
quadratum fecunda: *, ita quod iit ex prima: partibus redangulum ad re
etanmjium ex partibus fecunda:.
Redcc namque line* ab,cd fimiiiter fecentur in pundtis ef. Dico ut quadratum
ab ad quadratum cddtaeflereciagulum aeb adreCtangulum cfd. Quoniam enim
ut a e ad e b, Iic c f ad fd ; erit compo-
nendo , permutandoq; ut a b ad c d, fic .
e b ad f d . & rurfar quoniam ut a e ad ^ f
ebjita cf ad fd- redtangulu aeb adre-
Ttanguium c fd duplam proportionem > > 4
habebit eius, qux di eb ad fdjhoeeil:, c fi cf
qua; a b ad c d. fed & quadratum a b ad
quadratum cd duplam eius, qujeeft ab ad cd proportionem habet, ergo ut quadra
tum ab ad c d quadratum, ita redangulum aeb ad redangulum cfd. quod demon
lirandum proponebatur .
COMMENTARI V S.
I -r - 1 . ' ' • 4
Redangulum aeb ad redangulum c f d duplam proportionem habet eius , quar
efl e b ad id .] fietlangula enim aeb ,cfd [milia fiunt , quod latera habeant proportionalia .
quare ex corollario uigefimx fexti in dupla fiunt proportione laterum fimilis rationis . habebit igi-
tur rettangulu aeb ad ipfum c f d dupla proportionem eius, qu£ efl e b ad fd, hoc e fi qm ab ad,
c i L & eadem ratione quadrat uni a b ad cd quadratum duplamhabebit eius . qux efl ab ad c d .
quare ex undecima quinti [equitur reti angulum aeb ad ipfum cfd ejfe, ut quadratum ab ad qua
d ratum c d .
THEOREMA XIII. PROPOSITIO XIII.
Si cylindrus plano feceturper axem j Scfccetur altero plano bafis pia
num fecante,ita ut communis fediobafis, & fc cantis plani perpendicu-
laris iit ad bafim parallelogrammi per axern^uel ad eam , qua: in redum
ipb conftituitur :a feCdione autem ad diametrum ducatur linea com-
muni planorum fedioni xquidiftans : poterit dida linea fpatium quod-
dam , ad quod redangulum diametri fedionis partibus contetum eam
proportionem habet * quam diametri (edionis quadratum ad quadra-
tum diametri bafis .
- b 2
A
ti.huiui
SERENI LIBER I.
SIT cylindru$,culu$ bafes a b circuli ; & parallelogrammurn per axem c d : fece-
tur autem cylindrus plano occurrenti plano bafis fecundum redtam lineam, qu;e ad
ipfam c a produdtam Et perpendicularis ;
fitq j fedtio fadta e fg , & communis fedtio pa
in ptxce ralldogrammi cdj&fecantxs plani linea e g,
denti diameter exiftens fedtiQiiis,ut oftenfum eft :
fumpto deinde in fedtione quouis puncto f,
ab eo ad diametrum ducatur redta linea f h ,
squidiftans communi planorum fedtioni ,
cadet f h ex ijs,qux demonftratafunt, in ip
fam e g. Dico redtangulum e h g ad quadra-
tum fh eam proportionem habere, quam C
diametri e g quadratum ad quadratum dia- ^
metri bafis . Ducatur enim per h linea k h 1
sequidiftans ipfi c a : & per f h , k 1 redtas li-
neas planum ducatur, quod faciat fedtionem
k fl.Itaque quoniam linea k 1 sequidiftans eft
lines ca, & fh sequidiftans communi pla-
ude norum fedtioni,qusein bafis plano exiftit : &
quse per ipfas tranleunt plana inter fe squidi
flantia erunt, quare circulus eftiedlio k fl.
Rurfus quoniam k 1 ipfi ca eft sequidiftans;
& fh sequidiftans communi fedtioni plano-
rum, qus perpedicularis eft ad ca: erit& fh
ad k 1 perpendicularis: eft autem circulus k fl. ergo quadratum fh redtangulo khl
squale erit.& cum sequidiftet ke ipfi lg,ut kh ad hl, ita eft eh ad hg. ergoredean-
gulurn ehg fimile eft redtangulo k h 1 : & propterea ut redtangulum ehg ad ipfum
khl, hoc eft ad quadratum fh, ita quadratum diametri eg ad quadratum k 1, hoc eft
ad quadratum diametri bafis .
if
cimi'
j.huiu*
A
COMMENTARIVS.
RVRS VS quoniam kl ipfi ca eft sequidiftans, & fh sequidiftans communi pla-
norum fedtioni.] Sequitur ex his,& decima undecimi angulum fh l aqualem effe angulo , qui
continetur communi -planorum fedtione, & linea ca. quare cum hic redius fit ,& ille neceffario re -
dtus erit ; & linea fh perpendicularis ad kj, proportionalis erit inter kjj,b l . quadratum igitur
fh aquale eft r eft angulo khl.
Et cum sequidiftet ke ipfi fg, erit ut kh ad hl,ita eh ad h g.] Triangulum enim eh
i y. primi fimile eft triangulo gb l; quod anguli h ad uerticem aquales fintiquiuero ad k^l redti .reliquus
4. fextf igitur angulus reliquo eft aqualis : & ut kjo ad h e, it a h l ad h g: & permutando ut kj) ad h l,
ita eh ad hg . quare ex ijs,qua m antecedenti theoremate demoftrata funt, r e fl angulum ehg ad
redtangulum kft l , hoc eft ad quadratum f h erit , ut quadratum eg ad quadratum Ig l ; hoc eft ut
quadratum diametri fedtioni s eg ad quadratum diametri bafis .
t- fextx
n
B
THEOREMA XIIII. PROPOSITIO XIIII.
Redalinca,qu£e per pun&um, quod diametrum fe&ionis bifariam
diuidit ordinarim in fedrione applicatur, fecunda diameter erit .
Sitfedtionis efg diameter e g, quse bifariam fecetur in h:& fh m ordinatim appli-
d]fflni cetur . Dico fm fecundam diametrum effe fectionis.Ducatur enim linea nox sequi
"oni * diftans e g: & ducantur n p,x r ipfi fm sequidiftantes.ergo & np,xr ordinatim ap-
plicata:
7
DE SECTIONE CYLINDRI.
plicatae funt, Itaque quoniam quadratum' n p ad
re&angulum epg eandem habet proportionem,
quam quadratum diametri bafis cylindri ad quadra-
tum diametri fe<ftionis;& habet quadratum xr ad
redtangulum er g hanc eandem proportionermerit ^
ut quadratum np ad re&anguium epg, ita quadra
tum xr ad redangulum e rg.&permutando.eft au-
tem quadratum n p aequale quadrato x r; parallelo-
gramum enim eft nprx.ergo&redangulum epg
aequale eftre&angulo e r g. & ablata funt ab aqualibus quadratis eh,hg. quare reli- B
quum quadratum p h reliquo quadrato h r aequale erit . aequalis igitur eftph ipfi
hr, hoc eft n o ipfi ox. Eadem ratione & aliae omnes ipli eg aequidiftantes ab fm
bifariam fecabuntur, ergo fm fecunda diameter eft fedionis .
COMMENTARIVS.
Itaque quoniam quadratum np ad rcclangulum epg.] Ex antecedenti theorema - A
te 3 & comer tendo .
Et ablata fiint ab aequalibus quadratis eh,hg.] Eflemm ex quinta fecundi quadratum B
eh aquale r eft angulo e p g,& quadrato ph. Et eadem ratione quadratum eh,hocefi hg aqua -
le reU angulo e r g,& quadrato h r. quare fi a quadrato eh auferatur reti angulum epg,& ahip-
fo hg quadrato auferatur erg r e cl angulum aquale ipfi epg, ut demonfiratum efi ierit reliquum
reliquo aquale , hoc efi quadratum p h quadrato h r. & idcirco linea p h ipfi h r aqualis erit . - 1
THEOREMA XV. PROPOSITIO XV,
S r cylindrus plano fecetur bafis planum lecante ; communis autem
Cedio plani bafis, &fecantis plani perpendicularis fit ad bafim paralie-
logrammi per axem , uelad eam , qux in redum ipfi conftituitur: quas
aledionead diametrum ducitur linea, aequidiftans communi plano-
rum fe&ioni iam didar , poterit fpatium quoddam , ad quod re&angu-
lum diametri partibus contentum eam proportionem habet, quam dia-
metri fedionis quadratum ad quadratum fecundar diametrhquar uero a
fe&ione ad fecundam diametrum ducitur, arquidiftans diametro, po-
terit fpatium , ad quod revdangulum ex fecundar diametri partibus eam
habet proportionem , quam quadratum fecundar diametri ad ipfum
diametri quadratum .
Sit cylindrus , & conftruantur omnia , ficut in decimo tertio theoremate . Quo-
niam igitur oftenfum eft, re&angulum eh g ad quadratum fh ita effe, ut quadratum
e g ad quadratum diametri bafis , hoc eft ad quadratum eius, qux ordinarim applica-
tabifariam fecatipfam eg,ut demonftratum eft in nono theoremate. qu$ autem
ordinarim applicatur ; & bifariam diametrum fecat, fecunda diameter eft, ex prxee
denti theoremate, ergo ut quadratum diametri e g ad quadratum fecunda» diametri,
itare&angulum ehg ad quadratum fh:quod oftendifle oportebat. Sed ponatur
pun&um h bifariam fecare diametrum eg, & lineam fhu ordinarim applicatam :
erit f u fecunda diameter . ducatur autem ad ipfam linea m n jequidiftans e g . Dico
re&angulum u n f ad quadratum m n eam proportionem habere, quam quadratum
u f fecunda diametriadquadratum diametri fectionis eg. Ducatur per lineam m n
planum ccquidiftans parallelogrammo cd,pcraxem cylindrum fecanti. facietid fe- 3. huius
dtionem parallelogrammum , quod fit r s : & communes fe&iones ipfius , & aequidri
to.unde.
4. ftxti
ILI
xti
SERENI LIBERI.
Antium planorum fint s t, x o,p rfipfius uero,& plani fe&io-
ms e fg communis fiectio mn. Itaque quoniam squidiftan-
tia plana cd, rs fecantur a plano kfl: communes eorum fe-
(ftiones sqiiidiftantes erunt.squidiftans en igitur h k ipfi n x.
erat autem & h e ipfi n m squidiftans . ergo angulus k h e
squalis eft angulo x nm: &cum parallelogrammum sr pa-
fallelogrammo cd squiangulum fit, quod dcmonftrauimus
in tertio theoremate ; angulus s p r angulo e c a squalis erit ,
hoc cftsxo ipfi e k h . Similia igitur triangula fiunt e k h ,
m x n. quare ut k h ad h e, ita x n ad n m,& ut quadratum k h
rj.quintj' 'ad quadratum h e, hoc eft ut quadratum u f fecunds diametri
ad quadratum diametri e g, ita quadratum xnad nm quadra
g.& i 7. fe tum . Sed quadratum, x n squale efit redangulo 11 n f, quod
kfl circulus fit,& hf perpendicularis ad kh,xn. utigitur
quadratum u f fecunds diametri ad quadratum diametri e g,
ita rectangulum 11 n f ad quadratum m n. quodpropofiuimus
demonftrandum .
THEOREMA XVI. PROPOSITIO XVI.
S 1 in cylindri fc&ione conjugatae diametri fint, & fiat , ut diame-
ter fedionis ad fecundam diametrum > ita fecunda diameter ad aliam
quampiam : qua? a fedione ad diametrum ordinarim applicata eft, pote
rit fpatium,quod adiacet tertia? proportionali, latitudinem habens eam,
qua? inter ordinarim applicatam & fe&ionem interficitur*, & deficiens
iiqrcra fimili ei, qua? diametro ipfa & tertia proportionali continetur .
1 sit cvlindri fedtio , cuius diameter quidem a b, fecunda uero diameter c d,& fiat ut
ab ad cd, ita cd ad ag: apteturq; ag
ipfi ab ad redtos angulos: & iunda
bg applicetur e f ordinarim ad ab:&
ducatur fih ipfi ag squidiftans,& hk
squidiftans a f. Dico quadratum e f
squale efie recta ngulo a h. eft enim ut
quadratum ab ad cd quadratum, ita |j
linea ab ad ipfiam ag, hoc eft b f ad
fh:ut autem quadratum ab ad qua-
dratum cd, ita rectangulum bfa ad
quadratum ef.&ut bfad fh,ita bfa
rectangulum adrectagulum hfa; hoc
eft ad ah rectangulum. quadratum igi
tiir e fi squale erit rectagulo a h;quod
quidem adiacens tertis proportionalia g latitudinem habet a f,& deficit figura g^h,
ipfi gab fimili. Vocetur autem ab tranfiuerfium figurs latus , & ag latus rectum.
£x quibus manifdte conflat, cylindri fe&ionem ab c ellipfim effe .
Quscunque enim hocloco demo nftrata fiunt inefte ipfi fiectioni,omniafimiliter Sc
coni ellipfi infiunt , ut demonftratum eft in elementis conicis , theoremate quinto de-
cimo, iis, qui eius theorematis uim diligenter perceperint . & nos in noftris in idip-
funi comta entariis geometrice dcmonftrauimus .
COMMEN T ARIVS.
A Est enim ut quadratum a b,ad cd quadratum, fic linea ab ad ipfiam a g.] Ctm
enim
B
8
DE SECTIONE CYLINDRI.
enim fwt tres line# proportionales ab,cd, ag, erit ut quadratum ab ad quadratum c d, ita linea
ab ad lineam ag,hoc e(l bf ad fh, quoniam triangulum bfb fimileeft triangulo bag: & ex an-
tecedente ut quadratum ab ad quadratum cd,itared angulum bfa ad quadratum ef. quare re-
d angulum bfa ad quadratum ef efi,ut bf adfh. Vt autem hfadfh,ita& bfa redangulum
ad redangulum hfa,hoc efi ad redangulum ab. ergo quadratum ef recl angulo ah aquale erit .
Ex quibas mani ferte conftat, cylindri fc itionem a b c ellipfim dfe . ] Sumit hoc loco
Serenus, in ellipfi lineam, iuxta. quampojfimi , qua a fedione ad diametrum ordinatim applican-
tur, ejfeeam, ad quam fecunda diameter eandem proportionem habet, quam diameter ad ipfam fe-
cundam diametrum, quod quidem dicit elici pojfe ex quintadecima primi conicorum .Apollonii , fi
quis diligenter eius theorematis uim intro fidat, additq;fe idipfum demonfirafie in fuis in Apollo-
nium commentarijs . Sed quoniam ea ad manus nojlras non peruenerunt, nos illud idem texit abimus
Apollonij uefligijs infifientes ,
Sit elhpfis , cuius diameter a b, fecunda diameter cd: & fiat ut
ab ad cfdjta cd ad ag,qua in puncto a aptetur ipfi ab ad angu-
los redos : & iungatur bg.fumpto autem in ellipfi pundo e, ab eo
ad diametrum o.rdinatim applicetur ef; & ab f ad bg ducatur fh
aquidifians ipfi ag. deinde a p undis hg aquidiflantes ipfi af du-
cantur ;b fi, quidem ad a g;gl uero ad ipfam fh pro tradam. Dico
quadratum linea ef £ quale ejfe redangulo afh , quod adiacet ter- (
tia proportionali a g, latitudinem habens af, & deficiens figura
g l b fimiili ei,qu£ h ag continetur . fiat enim ut c d ad ab , ita ab
ad c m: ponatur q; cm ad angulos recl os ipfi cd:& iungatur m d.
d puncto autem e ad cd ordinatim applicetur en,&ab n,& dcen
tro ellip fis, ubi efi pandum o,ad md ducantur np.oq aquidifi an-
tes ipfi c m;completoq; par allelogr ammo c mr o, producatur np uf-
quead mr in fundum s. denique per p q aquidiflantes ipfi cd du ^
cantur pt ad o r,& qu ad cm.erit quadratum do aquale redan
gulo c q,ex ijs,qu£ dernonjlrata funt ab Apollonio in quinta decima
propofitione iam dida. Ut quoniam ut dc ad cmfita do ad oq,&
q u ad u m : atque efi d o ipfi o c aqualis , hoc efi ipfi qu:& oq ,
hoc efi c u ipfi u m aqualis erit, quare redangidum c q aquale efi
redangulo u r,& redangidum nu ipfi u s .Et cumredangula up,
p r inter f e aqualia fint , appofito utrique communi m p , erit u s
aquale mt. Sed us demonfiratum efi aquale ipfi nu.ergo nu,mt
aqualia funt : <& rurfus communi appofito u t, totum m q , hoc eH
qc aquale utrijque cp,pq.quare qc excedit cp ipfo p q, quod con
tinetur pt q.efi autem cq quadrato ao aquale, & cp aquale quadrato en. Quadratum igitur
ao excedit quadratum en redangulo ptq. Itaque quoniam ab fecaturin partes aquales ino ,
& in partes inaquaks in f; erit redangulum bfa und cum quadrato fo, hoc efi en aquale qua-
drato ao- & propierea quadratum a o excedet quadratum e n , redangulo bfa . Excedebat au-
tem ipfo ptq redangulo . quare redangulum ptq aquale est ipfi bfa . Tr at er ea quoniam ut
ab ad cdfita cd ad a g: erit ut ha ad a g, ita quadratum ab ad quadratum cd, hoc efi quadra-
tum ao ad quadratum o d.eft autem quadrato ao aquale redangulum q o c,boc efi qod.utergo
ha ad a g, hoc efi bf ad fh, hoc efi redangulum bfa ad redangulum a fhfita redangulum qod
ad quadratum o d,hoc efi redangulum qtp ad quadratum tp. At redangulum qtp aquale efi
redangulo bfa,ut demonfiratum eft.quare quadratum tp,hoc esi quadratum ef redangulo afh
aquale erit, ex quibus fe quit ur lineam dg eam ejfe, iuxta quam pojjunt , qua dfedione ad diame-
trum ordinatim applicantur . quod demonfiratum nolebamus .
THEOREMA XVII. PROPOSITIO XVII,
S i in cylindri fe£fione conjugata: diametri fint; dc fiat ut fecunda
diameter ad diametrum , ita diameter ad aliam lineam : quae a fe&ionc
cor» io. fc •
xti
4-fexti.
r i.quint»
i. fexti
9 . quinti.
B
4. ferti
t. ferti
43. primi.
j. fecundi
cor. 10. fe
xti
If. qulti.
p. quinti
if.hu uis
i. Texti.
quinti
Jj. huius
SERE N I L I B E R I. 7
ad fecundam diametrum ordinarim applicatur poterit fpatium, c|uod
adiacet tertia proportionali > latitudinem habens eam , quse inter ordi-
natim applicatam , & fcdlionem interiieitur *, & deficiens figura fimili
ei , qua: fecunda diametro , 8t tertia proportionali inuenta continetur .
Sit cylindri fedio ab cd:&ftatut cd fecunda diameteraddiametrum ab, ita ab
ad cg: ponaturq; cg ad redos angulos ipfi cd;& d g iungatur. deinde ad cd ordi-
narim applicetur e f:& ducatur fh quidem ipfi cg aequidiftans;h k uero aequidiftans
cd. Dico quadratum e f parallelogrammo ch aequale offe. Qiioniam enim ut qua-
dratum cd ad quadratum ab, ita linea dc adipfam cg, hoc eft df ad fh.Sed ut qua-
dratum c d ad quadra-
tum ab, ita redangu-
lum dfc ad quadratum
e ftquod demonftratum
ia m eft . ut au tem d f ad
fhfita redangulum dfc
ad redangulum h fc,
hoceftad ch. ergo qua-
dratum ef aequale eft re
dangulo c h, quod qui-
dem adiacet tertia: proportionali cg, latitudinem habens fc,& deficiens figura hkg
fimili ei, qux dcg continetur.
Ha:c autem manifefhfsimeinfunt ellipfi , ut ex quinto decimo theo-
remate conicorum apparet . Quare (equitur fe&ionem cylindri a b c d
neceflario eliipfim eile .
THEOREMA XVIII. PROPOSITIO 'XVIII.
S i infectione cylindri refe linea: ad diametrum ordinatimapplicen
tur , erunt quadrata earum ad (patia contenta lineis , quae inter ipfas , Sc
terminos tranfucrfi lateris figurae interficiuntur , ut re&um figurae latus
ad tranfuerfum : inter fe (e uero , ut fpatia 5 qua: lineis (imiliter fumptis
continentur .
Sit cylindri fedio ab cd,cuius diameter quidem, & tranfuerfum figura latus ad:
redum uero latus ag:& adipfam ad ordinarim applicentur be,cf.Dico quadratum
be ad redangulum aed itaeffe, ut ga ad ad. & quadratum be ad cf quadratum,
utredangulum aed ad redangulum afd. Quoniam enim ut quadratum fecunda:
diametri ad diametri quadratum, ita eft quadratum be ad redangulum aed.-& ag
redum latus ad tranfuerfum a d: erit ut redum la-
tus ad tranfuerfum, ita be quadratum ad redan-
gulum a e d: & ita fimiliter quadratum c f ad redan
gulum afd. quare & permutando ut quadratum
bead cf quadratum, ita erit redangulum aed ad
redangulum afd. quod demonftrandum propo-
nebatur . E t haec in ellipfi contingere demonftra-
tum eft in conicis elementis, theoremate uigefimo
primo . quamquam & ex aliis multis fediones eaf-
dem effe offendere poftumus per ea, quae ipfis com
muniter accidunt. Verum principaliora acciden
riafere didafunt. & cnm hucufqueprogreflus fuerim, non ad me attinet eorum, quae
^elinquun turfingula p erfequentem in alienis uerfari : necelfe eft enim eum, qui de el-
lipfi
DE S E C T I O N E C Y L I N D R I. 9
lipii fubtillter di/putare udit, in medium aiferre quascuque de ipfa ab Apollonio Per-
garo coni cripta fuerunt.Sed fi cui forte placeat ulterius contemplari, licebit hasc com
parare cum iis, qua; in primo conicorum libro traduntur: & ex eo illud quod propofi
tum eft concludere. etenim quacumque in illis contingunt circaxonifectionem, quae
ellipfis appellatur, eadem & circa fectxonem cylindri contingere ex ijs , quas hoc loco
demqhftrata funt, facile intelliget. quare ab his abftinens,cum lemmatia nonnulla ap
pofuero, qua; fectiones eafdem dfe quodammodo offendunt, ad alia me conuertam .
THEOREMA XIX. PROPOSITIO XIX.
Itaque dico fieri poife,ut conum iimul &c cylindrum una eademq; el
lipii fedtos oftendamus.
Exponatur triangulum /Calenum a b c in bafi b c,quas bifariam in d fedetur , fitq;
a b maior, quam a c : & ad redam lineam c a , & ad a punctum conftituatur angulus
c a e, qui uel maior fit atfgulo a b c,uel minor . occurrat autem a e lines b c e in pun-
cto e: & inter b e,ec media proportionalis fit efiiundaq; a fjducatur in triangulo li
nea h g ipfi a e asquidiftans : & per punita hg ducantur h k,lgm asquidiftantes af:
& compleatur parallelogrammum k m.deindcper lineam be dudo plano ad redos
angulos ipfi plano b a e,defcribatur in eo circa diametrum quidem k 1 circulus k n 1,
qui cylindri bafis erit,& eius parallelogrammum per axem k m : circa diametrum uc
ro bc deferibatur circulus bxc pro bafi coni, cuius triangulumperaxemfit abe:
& protrada h g ad o,ducatur in circu
lorum plano linea o p adredos angu-
los ipfi betperq; op,oh ducatur pla-
num , quod faciet fedionem in cono ,
cuius bafis circulus bxc. fit autem ea
fedio h r g.ergo reda linea h g diame-
ter eft fedionis : qua quidem bifariam
dimfain s , adipfam ordinatim applice
tur fecunda diameter r s t , & alia quas-
uis yu: fiatq; ut quadratum hg diame
tri fedionis hrg ad quadratum rt fe-
cundae diametri eiufdem fedionis,ita
gh tranfuerfum figurae latus ad redu
h X- Quoniam igitur h k quidem ipfi
a f asquidiftat : h o uero asquidiftat a e :
erit ut quadratum a e ad quadratum
e f, ita h o quadratum ad quadratura
o k. fed ut quadratum a e ad redangu
lum b e c,hoc eft ad quadratum e f,ita quadratum h g diametri fedionis coni ad qua
dratum r t fecundae diametri eiufdem fedionis. ut autem quadratum ho ad quadra-
tura ok, ita quadratum hg ad quadratum kl, hoc eft ita quadratum hg diametri fe
dionis cylindri ad quadratum fecunda diametri eiufdem cylindri fedionis,ficut de-
mo nitratam eft fuperius. quare fecunda diameter fedio nis cylindri aequalis eft ipfi r t
fecundae diametro fedionis coni : diuiditurq; h g bifariam in pundo s , & ipfi adre-
dos angulos ducitur fecunda diameter cylindri ledionis,quemadmodum&ipfa rt.
ergo rt fecunda diameter eft tum coni, tum cylindri fedionis. fimiliter & hg eft dia-
meter coni fedionis & cylindri; & propterea pundum r in coni , & cylindri fuperfi-
cie erit.Ilurfus quoniam in fedionibus coni d cylindri eaedem diametri funt h g,r t :
& tertia proportionalis eadem erit, hoc eft h x redum latus figurae . quare h ^ & in
cylindri iedione redum eft figuras latus. Quoniam igitur ut gh ad h ^itaredangu-
lum guh ad quadratum uv : atque oftenfum eft in cylindri Iedione, ut tranfuerium
figuras latus ad redum, ita redangulum diametri partibus cotentum ad quadratum
eius, qua: ad i pfam ordinatim applicata partes ef ficit;erit & in cylindri fedione ut g h
tranfuerfum figura latus ad h^ redum, ita redangulum guh ad quadratum lineas
SIRENI LIBER I.
-«qualis y u,& ad angulos «quales dudae ad h g.lcd linea squalis ym&adasquales an
igulos adipfam ducta in punctum upion alia eft ab i pia y u.ergo u y & in cylindri fe-
ctione erit,acproptereapundum y in coni fuperficie exiftens , & in cylindri erit fu-
j>erfi cie. Similiter demouftrado fiet & in alijs, quas ad iplam ordinarim applicabutur,
lineaigitur hrg infuperficiebus utrarumque figurarum continetur . quare unaea-
demqj fedia eft in utrifque figuris.prasterea quoniam angulus c a e, uidciicet a gh fa
duseft,uelmaior,uel minor angulo, qui ad b jfedionon erit fubcontraria : ideoq;
hrg non eft circulusjellipiis igitur, quare coni expoliti, ac cylindri fedio eadem el-
lipfis erit , quod oportebat demonftrare .
PROBLEMA I. PROPOSITIO XX.
Cono dato, & ellipfi, in eo cylindrum eadem ellipfi coni fedHim in-
uenire .
SIT datus conus, cuius per axem trian-
gulum fit a b c:& data in ipfo ellipfis, cuius
diameter Te ;quar protrahatur ad d:&ipfi
f d asquidiftans ducatur am:interq, b m,
ra c proportionalis fit m g:& iucta a g,per
punda f e ducantur f h , k e 1 , quas ipli a g
«quidiftent:& compleatur parallelo gram-
mum h l.Itaque fi intelligamus cylindrum,
cuius bafis quidem fit circulus circa diame
trum h k.-parallelogrammum uero per axe
h kerit &: in ipfo cylindro fedio , cuius dia-
meter fe: &fimiliter,atqueinantecedenti
theoremate, dembftrabimus'fecundam dia
metrum eandem efle ; & item omnes , qu«
ad diametrum ordinarim applicantur , In-
uentus igitur eft cylindrus , qui fecatur da-
ta ellipfi coni dati, quod facere oportebat..
PROBLEMA II. PROPOSITIO XXI
Cylindro dato $c ellipfi , in eo conum eadem ellipfi cylindri feftum
inuenire .
Exponatur feorfum reda linea ab: & in ea fumatur quoduis pundum d; fiatq; ut
ab ad bd,ita db ad bc:ut autem ab ad bc, ita ad ad de.& apundis edcattol-
Igntur redas lineas efidg,ch,qu^cumipfa ab quemlibet angulum contineant:&in-
ret
J
IO
DE SECTIONE CYLINDRI.
ter fe le «qnidiftent . deinde per c ducatur recta linea ck fecans efdg: iundaq; a k
conueniatcum dginpundo g:&iungatur gb. His igitur feorfumin hunc modum
eonftitutis,fit datus cylindrus, cuius parallelogrammum per axem lm;& data: in eo
ellip fis diameter fit n x ; feceturq; lx bafis parallelogrammi in eandem proportio-
nem, in quam feda eft e c:& fit ut e d ad d c,ita 1 o ad o x . Rurfus fiat ut e c ad c b,
ita lx ad x p:ut autem ce ad e a, ita xl ad lr : &per o ducatur o s aequidiftans pa-
rallelo grammi lateribus : dudaq; r n conueniatcum o s in s : &iungantur s p , s x .
quoniamigiturreda linea rp fimiliter feda eft, atque ab ; erit ut rp ad po,ita op
ad p x. ied ut rp ad p x,ita r o ad o 1 , hoc eft ita r s ad s n.&quidiftat igitur s p ipfi
n x.quod fi intelligamus conum,cuius quidem bafis fit circulus circa diametrum r x,
triangulum uero per axem s r x ; erit & in eo fedio, cuius diameter n x . Eodem mo -
do, quo fupra,demonftrabitur &fecundam diametrum eandem elTe,& omnes,quaj.ad
diametrum ordinarim applicantur.conus igitur fedus efi eadem ellip ft dati cylindri,
quod fecifie oportuit.
COMMENTARIV Si
Fiatqjut ab ad bd,ita db ad bc:ut autem ab ad bc,ita ad ad de.} Hunc locum
nos reslituimus 3 nam ingraco codice non nulla defiderabantur.
PROBLEMA III. PROPOSITIO XXII,
Cono dato inuenire cylindrum , & utrofque eodem plano fecare ,
quod fediones in utrifque fimiles cllipfes efficiat .
SIT conus datus,cuius bafis quidem circulus circa centrum a; uertex b. pundu:
triangulum uero per axem c b d adbafim coniredum : producaturq; in utraque par
tem a c e, a d £& ad redam lineam d b , & ad b pundum in ipfa conftituatur angulus
d b fiuel maio^uel minor ipfb b cd:atque inter cf, fd media proportionalis luma-
tur fg;&bg iungatur: cylindri autem quaefiti bafis fit,uel circulus a, uel alius aliquis,
in eodem plano exiftens, nihil enim differt.Itaque fit is circulus circa diametrum e h;
&per punda e h ipfi b g
arquidiflates ducatur e k, r
h 1 . in eodem igitur plano ^
funt , in quo triangulum
c b d.& quoniam b f fccat
b g , fi producatur fecabit
etiam omnes, qua? ipfi bg
jequidiftant, in infinitum
produdas. & fimiliter ipfi
b f sequi diftantes iecabut
eas , qua: aquidiftant b g .
ducatur m n , qua ipfi b f e
aquidifiet^ & produda fc-
cet h 1 e k in pundis x o :
ipfi uero eh aequidifians ducatur kl: & circa kl diametrum circulus deferibatur x-
quidiftans ei, qui eft circa e hfintelligaturq; cylindrus, cuius bafes quidem circuli e h,
k m ; parallelogramum uero per axem k h,quod & ad bafim rectum eft. Siigitur per
m ducatur linea tnr ad rectos angulos ipfi cdf bafi,qua fitin eodem plano, in quo
circulus a: & per lineas mr,mo planum ducatur ; faciet id fectionem in cono quide
ellipfim n sp, cuius diameter n p:in cylindro uero ellipfim o ux, cuius diameter o x*
Dico ellipfim n s p ipfi o u x fimilem efle . quoniam enim o m,b f inter fe aquidiftat;
itemq; aquidiftant ek,hl, bg linea e f communiter omnes fecat ; erit ut om aeji
me,hoceftwt he,ita b fad (g. quare ut quadratum ox adquadraturo he,
c a
SERENI LIBER I.
ita b f quadratum ad quadratum Tg,hoc eft ad rectangulum c fd . Tcd ut quadratum-
ox diametri ad quadratum h e, ita quadratum diametri o x ad quadratum coniuga
tx diametri uidelicet u y .ut autem quadratum b f ad rectangulum c f 'd, ita quadra-
tum diametri n p ad quadratum coniygatse diametri s ce. ergo ut quadratum o x ad
qua dratu u y , ita quadra-
tum n p ad s a quadratu :
acproptereaut oxadco-
iugatam diametrum u y, ^
ita n p ad diametrum con
iugatamsa. At u ero dia
metrum o x fecare u % ad
rectos angulos;itemq ; n p
fimiliter fccare s ce mani-
fefte apparet i quonia y u,
& s & inter TeTe,& ipfi m r
sequidiftantes recta linea c
mo fecat.fectioigitur ou
x fi mi! is eft Tectioni n s p :
& neutra earum eft circulus , quippe cum fectio fubcontraria non fit . angulus enim
dbfiuidelicet bpn non eft£q ua hs angulo bcd.quare utraque Tectionum oux,ns p
ellipfis erit:& Tunt fimiles inter Te Te.quod fecille oportebat .
PROBLEMA IIII. PROPOSITIO XXIII.
Cylindro dato inuenirc conu,& utrofque fecare eodem plano, quod
fe&iones faciat in utrifque ellipfes fimiles.
SIT cylindrus datus, cuius bafis circulus a:¶llelogrammum peraxem bc,
ad bafim rectum : & producatur b a. coni uero quxfiti bafis fit, uel circulus a, uel a-
lius aliquis in eodem exiftens plano, ut qui eft circa diametrum ef, cuius centrum d .
&Tumptoquouispuncto g in linea Tg, inter eg,gT media proportionalis fit gh :&
centro g,interualloq; uel maiore, uel minore, quam fit gh, deTcribaturin plano bc
circuli circumferentia kl,perq-, h ducatur h m parallelogrammi b c lateribus zqui
diftans : & iungantur me, mf, mg. poftea ducatur n x ipfi m g a:quidiftans,qu3: tri-
angulum^ parallelogrammumTecet.Itaque fi per nx eodem modo, quo ante didu
efi, planum ducatur,fectio in utroque fimilis erit.demonftratio autem eadem,qu« iu
pra : uerum lectiones ellipTes efle, non circulos perTpicue confiat ; quadratum enim
m g factum eft uel maius, uel minus quadrato g h,hoc eft rectangulo e g f.
IS
DE SECTIONE CYLINDRI»
C O M M E N T A R I V S.
Per qjv e h ducatur h m parallelogrammi b c lateribus a^quidiftans . ] Hoc cft .
ducatur d. puntto h linea ad circuli defcripti circumferentiam in punUum m , quot lateribus paralie -
logrammi bc fit aquidifians . ut autem hoc fiat, licet fiemper interuallumfumere maius t qudm g b , ,
minus nan item, nifit cum cylindrus fcaknus fuerit , & ita inclinatus ad partes coni, ut illud ipfum , ;
quod diximus perfici po ffit * Itaque oportet interuallumuel maius effis, uel minus ipfa gbrnam fi
[umeretur aquale ,feEU<mes fiubcontraxu effient :& idcirco non ellipfies,fed circuli in fieblione gigne-
Y&ituy*
THEOREMA XX. PROPOSITIO XXIIII. .
S rr reda linea a b,quac fecetur in pundis c d, &c non fit a c maior/
quam d b. Dico fi ad ac comparetur fpatium aequale quadrato cb,
excedens figura quadrata; latus excefius maius quidem efie , quam c d ;
minusuero, quam cb.
Si enim fieri poteft , ponatur c d primum latus efTe exceflus . & quoniam id , quod
ad a c comparatur , excedens quadra-
to cd; idem eft quod reriagulum ade:
elt autem & squale quadrato cb : erit
reriangulum ad c quadrato cb aequa-
le. Sed quadratum cb non eft minus
quadrato ad. cum enim db non fit mi
nor, quam ac i neque erit cb minor,
quam ipfa a d.re&angulum igitur a d c
quadrato ad non eft minus ; quod fie-
ri non poteft . I dem abfurdum feque-
tur, fi latus excefTus ponatur minus,
quam cd. Sed rurfumfit cb exedfus
latus . erit rerirangulum abe quadra-
to c b aequale, quod fieri non poteft.
Idem fequetur eriam,fi latus exceffus ponatur maius ipfa c b datus igitur cxceflus ma-
ius erit, quam cd,& minus, quam cb.
PROBLEMA Y. PROPOSITIO XXV.
Dato cylindro ellipfi fe&o , conum conftituere in eadem bafi cy-
lindri, eadem q; altitudine ;& ledum eodem plano , quod fc&ioncm
faciat ellipfim cylindri ellipfi fimilem. .. ... . •••.. *
Sit datus cylindrus,
cuius bafis quidem cir- r
culus circa centrum a: n
parallelogrammum ue-
ro per axem b c:& in eo
diameter data* ellipfis
fit d e, quae produ&a oc
currat ba in f: perq; c
, ducatur cgipfi dfaequi
diftans , & occurrens li-
’ • nece b a in g : & protra-
«ftareria linea fdh,com
pleatur parallelogram-
mum. Quoniam igitur
parallelogrammi h g .
OW>
SERENI LIBER I..
latus f g lateri h c eft squale : latus autem h c non eft minus ipfa b k : neque fg ipfa
bk minor erit. Si igitur ad lineam bk comparetur fpatium squale quadrato kg,
excedens figura quadrata i latus exceffus maius erit , quam k £& minus, quam k g,ex
iis, qns proxime demonftrata fiunt. Itaque fit latus exceffus kh&perlipfi gc squi-
diftans ducatur 1 m: & iundis m b,m K,intelligatur conus, cuius uertexpundum m;
bafis circulus a; & triangulum per axem bmk. Si igitur intelligamus conum fedum
eodem plano, a quo fada eft e d diameter fcdionis cylindri: erit & in cono fiedio,cu-
ius diameter nx. & quoniam ad lineam bk comparatum eft fpatium squale quadra-
to k g, excedens quadrato k 1 : redangulum b 1 k quadrato kg squale erit.& fiunt
db,kc inter fie squidiftantes :itemq; squidiftantes dfiml,cg.utigitur dfad fb,ita
c g ad g k : & idcirco ut quadratum d f ad quadratum f b, ita quadratum c g ad qua-
dratum gk,hoc eft quadratum ml ad redangulum blk. Sed ut quadratum dfad
quadratum fb, ita quadratum e d ad quadratum b k, hoc eft quadratum diametri el-
lipfis cylindri ed ad quadratum coniugats diametri: & ut quadratum ml ad redan-
gulum bl k, ita quadratum diametri ellipfis coni ad coniugats diametri quadratum .
B ergo ut quadratum diametri ellipfis cylindri ad quadratum coniugats diametri : ita
diametri ellipfis coni quadratum ad quadratum coniugats diametri . Vt igitur dia-
C meter ellipfis cylindri ad coniugatam diametrum,ita ellipfis coni diameter ad coniu-
gatam diametrum. Sunt autem fecunds diametri perpendiculares ad diametrosjutrs
que enim squidiftant lineis fo,lp,qus fiunt ad redos angulos ipfi b g. quare coni el-
lipfis ellipfi cylindri fimilis erit: &fada eft ab eodem plano . conftitutusq; eft conus
in eadem bafi, & eadem altitudine . qus omnia fieciffie oportebat .
COMMENTARIVS.
Compleatur parallelogrammum . ] Hac addidimus , qua ingraco codice non erant .
Ad quadratum coniugats diametri . ] Defiderabantur hac in gr acis codicibus .
Ita ellipfis coni diameter ad diametrum coniugatam.] Hac etiam defiderabantur .
qua nos refiituimus .
PROBLEMA VI. PROPOSITIO XXVI.
Dat v m cylindrum , ucl conum fcalenum polTumus ex eadem par-
te infinite fccare duobus planis, non «quidiftanter pofitis , quas ellipfes
fimiles efficiant .
Sit primum datus cylindrus fcalenuS, cuius per axem parallelogrammum ab re-
ftum fit gdbafimcylindrfiponaturq; angulus ad a acutus: & per e ducatur cd ad la-
tus a d
DE SECTIONE C Y I, I N D R I,
n
tus ad perpendicularis, minimaigitur eft cd omnium, qu* inter a?quidiftantes ad,
c b cadunt , fumantur ex utraque parte pundti d *quales re<ft* line* e d, d f, & e c, c f
Jungantur, erit ec ipfi cf aqualis. Si igitur per e c,c f iuxta pr*dictum modum pla-
na ducantur , fecabunt cylindrum . itaque fe-
cent, & faciant ellipfes e g c,fh c. Dico eas in-
ter fe fimiles efle . quoniam enim ut quadra-
tum ec ad quadratum ca, ita quadratum fc
ad quadratum c a : proportio autem quadrati
e c ad quadratum c a eft proportio quadrati
e c diametrifedionis ad quadratum coniuga-
tx diametri; & proportio quadrati fcj ad qua-
dratum ca eft proportio quadrati diametri fe
dionis fc ad quadratum coniugat* ipfi dia-
metri: erit ut ec diameter ad coniugatam dia
metrum, ita & diameter fc ad coniugatam li-
bi ipfi diametrum . Sed & ad aquales angulos
fecantur utraeque diametri, ut fiepius oftenfiim
eft . ergo fimiles inter fe fiint e gc, f hc el
lipfes. Quod fi alias fumpferis jequales lineas ex utraque parte pundi d , rurfus ali*
du* ellipfes inter fe fimiles conftituentur . Notandum autem eft [in cylindro ellipfes
ex eadem parte fimiles & «quales effe ; pro pterea quod proportio diametrorum ad
eandem lineam a c neceffdrio eadem fit ,
Sedfitdatus conus fcalenus , cuius per axem triangulum abc,adbafimconire-
dum . Sitq; a b maior, quam a c: & circa ipfum circulus defcribatur:& per a duc a-
tur ad *quidiftans b c,qua: circulum fecabit. deinde circumferentia d a bifariam fe-
da ine,fumaturinipfapundum fi & ducatur fg *quidiftans dariundisq; fa, ga,
& productis, occurrat fa quidem line* b c in hi g a uero in k . ergo ut ak ad k g,
ita ah ad hf. Sed ut a k
ad k g, ita quadratum a k ~ £
ad redangulum g k a : &
ut a h ad h f, ita quadra-
tum a h ad redangulum
fh a. ut igitur quadratum
a k ad redangulum g/^a,
hoc .eft ad rectangulum
b k c , (ita quadratum a h
ad redangulum fh a, hoc
eft ad rectangulum bhc.
Itaque fi ducantur rect*
line* *quidiftantes , 1 m
quidem asqifidiftans aki
■ln uero * qui diftans ah : &peripfas plana conum fecantia , fimiles ellipfes efficien-
tur.quoniam enim ut quadratum ak ad redangulum b k c, ita quadratum ah ad re-
ctangulum b h c: ut autem quadratum a k ad rectangulum b k c , ita quadratum 1 m
diametri ellipfis ad quadratum coniugat* diametri : & ut quadratum ah ad rectan-
gulum b h c , ita quadratum 1 n diametri ellipfis ad conjugat* ipfi diametri quadra-
tum : erit ut diameter 1 m ad coniugatam. diametrum , ita 1 n diameter ad diame-
trum ipfi conjugatam : & idcirco 1 m, 1 n fimilium ellipfium diametri funt . quod de-
monftrandum fuerat - Atfialiaslitieasipfi fg *quidifta.ntes ducamus, ut xo; & a
pundis xq lineas iungentes protrahamus ad bh;&ipfis *quiftiftantes in triangulo
ducamus : rurfus du* ali* ellipfes inter fe fimiles conftituentur : atque hoc in infi-
nitum . quod facere oportebat «
4. primi
elemen-
torum .
7„quinti
«J.huius»
tertfj.
j
PROBLEMA VII. PROPOSITIO XXVII.
' r ' i r * X' ' r . . I ( <■ , ; , , •
D k T v m cylindrum fcalenum , uel conum pofFumus ex oppofitis
partibus infinite fecare duobus planis, qua: ellipfes fimiles efficiant .
Sit primum cylindrus, ut in fup eri ori figura: & linea; ad a; qualis ponatur dg.jequa
lis igitur eft ac ipfi cg. & quoniam li-
nea, qux a puncto a ad cb ducitur, ma
ior eft utraque ip larum a c, c g; & maior
omnibus, qua: a c interpuncta ag ca-
dunt : manifeftum eft fi ex oppofitis
partibus ducantur dure recta: linere in-
ter ferequales, ea, quae apundto c duci-
tur,cadet lupra g. Itaque ducantur ex
oppofitis partibus ah, ck aqualesin-
ter fe fe j & p er ipfas plana du cantur, el
lipfies facientia: erit ut quadratum h a
diametri ellipfis ad quadratum a c, hoc
eftadqnadratum coniugatre diametri,
ita quadratum k c diametri ellipfis ad
quadratum ac, hoc eft ad quadratum
diametri ipfi coniugatre. ergo kc, ah el
iipfium fimilium diametri iunt .
Sit deindeconus, ut lupra: & produ-
cta c b , oporteat ex utrifque partibus
.ducere plana, qua? ellipfes fimiles effi-
«ciant . ducatur in circulo qusedam recta
linea p r,ipfi b c arq-uidiftans : & iunctx
ap,a r ad puncta s,t producantur. Vt
igitur as ad sp,ita at ad tr.-& ut qua-
dratum as ad rectangulum asp,hoc
eft ad rectangulum c s b, ita quadratum
a t ad rectangulum at r,hoc eft ad rectangulum b t c.quare fi rectas lineas in triangu
lo duxerimus, ipfis sa,at sequidiftantes,ut by,cu:&per eas plana ellipfes facienda:
erunt by,cu fimilium ellipfium diam etri, ex iis, qua: fup erius demonftratafunt.
THEOREMA XXI. PROPOSITIO XXVIII.
Ex his manifeftum eft, conjugationi fimilium ellipfium , qua: cx
eadem parce fit , fimilem effe coniugationem quandam fimilium ellip-
fium ex oppofitis partibus, quippe qua: dia
metros habet ex contraria parte diametris
-refpon dentes .
Si enim in cylindri deferiptione fiat ut quadra-
• tum ec,uel cf ad quadratum c a, ita quadratum c a
ad quadratu m ah, uel ckjerit ut quadratum utra-
rumque e c,cf ad quadratum c2,hoc eft ut quadra-,
• tum diametri fimilium ellipfium , qua: ex eadem par
- te fiunt ad quadratum fecundce diametii coniugatse,
ita quadratum ca ad quadratum utrarumque ah,
c k ; hoc eft ita quadratum fecundx diametri fimiliu
ellipfium , qua: ex oppofitis partibus fiunt , ad qua-
DE SECTIONE CYLINDRI. 15
iratum conjugata! diametri . Vt igitur alterius coniugationis diameter ad fecundam
diametrum , ita alterius coniugationis fecunda diameter ad diametrum .
In cono autem, fi rurfus fiat ut ga ad a<K,ita ap ad psjeritut at ad kg,ita ps
ad s a: hoc efi ut quadratum ak ad refiangulum gka,ita recfiangulum psa ad qua-
dratum as. Sed ut quadratum ak ad rectiangulum gka,hoc efi ad rectangulura
b k c,ita quadratum diametri duarum fimilium eUipiium , qux ex eadem parte fiunt ,
e
uidelicet 1 n,uel 1 m ad quadratum fecunda diametri coniugatx : ut autem rectiangu-
lum psa, hoceft csb ad quadratum sa, ita quadratum fecundae diametri fimilium
ellipfium,qu 2 exoppofitis partibus fiunt, ad coniugatse diametri quadratum . ergo
ut alterius conjugationis diameter ad fecundam diametrum, ita alterius coniugatio-
nis fecunda diameter ad diametrum . ex quibus apparet , in omni cylindro , & cono
confiitui duas conjugationes ellipfium inter fe fimilium , quae ex contraria parte re-
Ipondentes diametros habent: & praeter has quatuor nullam aliam conftitui fimilem,
nifi ipfis x quidiftantes, etenim femper fedfiones «quidifiantesfimiles faciunt ellip-
fes faciunt, fi modo ellipfcs faciunt: atque in cylindro quidem planum per lineam
cg dudeum fecfiionem facere fubcon-
trariam ; & propterea circulumfin co-
no autem fi ad pundtum a linea circu-
lum contingat , ut a y : & in triangulo
ducanturlinea? ipfi z.y «quidiftantes,
quoniam quadratum zy re&angulo
b y c efi «quale, plana per didfcas li-
neas tranfeuntia fecfiiones facere circu
los : fi quidem. & hxc fubcontraria fe-
6do efi , quod diligenter intuenti per-
ipicuum fiet . praeterea data ellipfi in
cylindro fcaleno, & cono, tres alias fi-
miles inuenin poffe,unam quidem ip-
fi data; conjugatam , duas uero coniu-
gatas inter fe fe , atque aliis fimiles,
propterea quod diametros habent, ex
contraria parte diametris refponden-
tes . oportet autem neque datam fe-
(fiionem fubcotrariam elfe ; huic enim
nulla fimilis conftitui.tur,pr«ter arqui-
diftantes : neque ipfius diametrum
arqujdiftare ei,qu« per e uelper a du-
citur in coni deferiptione , etenim fala
ipfaeft; quoniam per e du£ta«quidi~
ftans. jpfi a d circulum contingit , &
r SERENT LIBER I. -
cAdit extra, nec eft aliud punftum compar pungo e,quemadmodumeft o ipfi x,&
fipflg.
De propofito igitur nobis theoremate hxc dicta fufficiant . tempus efi ut ad ea ag-
grediar, quse modo pollicitus lum .mihi uero futuras contemplationis occafio non,
intempelfiuafuit, nempehxc. Pithogeometrainquodam eius libro zequidiftantes
lineas explicans non contentus iis , quas fcripferat Euclides , eas aptisfime exemplo
declarauit . dixit enim lineas sequidiftantes efle , quales in parietibus , uel pauimen-
to columnarum umbras a lampade e regione ardente, uel lucerna fadtas uidernus,
quod tamerii omnibus non paruum rifum mouerit , mihi tamen ridiculum non uide-
riir propter meam in auctorem , qui amicus noiter eit, obferuantiam . Sed uideamus
quomodo hoc mathematice fe habeat, talis enim contemplatio huius loci propria
eit ; quippe cum per ea, quas proxime demonitrata funt , propofitum oftendatur .
THEOREMA XXII. PROPOSITIO XXIX.
Rectae linea?, qua? ab eodem pun&o cylindricam fuperficiem con-
ting&ntex utraque parte : omnes in unius parallelogrammi lateribus ta-
driones faciunt.
Sit cylindrus, cuius bafes circuli ab, axis ab redta linea: St fumatur aliquod pun-
ftum c extra: a quo ducantur cd,ce cylindri fuperficiem contingentes ex eadem
parte in pundlis d e. Dico d e pundta tadtuum in una recta linea efle . ducatur enim
apundto c ad ab linea perpendicularis cf: &per c f ducatur planum xquidiftans
plano circuli a, quod faciat in cylindro fedtionem circulum circa centrum f, ita ut
cylindrus conftituatur, cuius bafes b f circuli;axisq;re<5talinea b £ &pcr cf &axem
planum ducatur,faciens in cylindro parallelagrammum gh: ipfiuero fc adredtos
angulos ducatur ck in f circuli plano :& per -ck & utramque ipfarum cd, ce plana
ducantur cylindrum fecantia , qux faciant in fiiperficie quidem cylindri lineas 1 d m ,
n e x; in plano uero parallelogrammi 1 m c,n x c redtas lineas . diametri igitur legio-
num funt 1 m;n x,ad quas ordinatim applicentur d o,ep:& ad alteram partem fuper-
ficiei in pundta.fi s producantur. Itaque quoniam cd contingit lineam Idmr iri
pundto d: & hdiufinodi fedtio cylindri oftenfa eit ellipfis , non circulus : ordinatimq;
applicata efi fi o: erit ut 1 c ad c m,ita 1 o ad o m, quod demonfiratum fuit ab Apol-
prop. 3 6 Ionio in prkno libro conicorum : & eadem ratione ut n c ad c x, ita n. p ad p x.eft au
tem n g ipfi h m xquidifians . quare ut 1 c ad c m , ita n c ad c x: & propterea ut 1 o
ad om.ita n.p ad p x. linea igituf pundta op coniungens eftin plano gh;& utrique
ipfarum b a;h m tequidiftat . & quoniam d o, ep xquidiftantipfi c k , etiam inter fe
Icxrquidifiabunt. quarefi pcr.eas planum ducatur, fecabit parallelogrammum hg
fecundum redam lineam op: atque erit planum pedo xquidiflans plano aiicui eo-r
E 4. rum ,
DE SECTIONE CYLINDRI. 14
rum , qua?per ba ductafecant gh. planum igitur pedo lectionem lacit in cylindro
parallelogrammum , ut oltenlum elt theoremate tertio: & linea e d elt communis ie-
dio iplius & luperficiei cylindri . quare e d reda linea elt, & parallelograinmi latus .
r
Similiter idem & in aliis contingentibus demonftrabitur ; fientq; rurius tadus ex al-
tera parte in punctis rs,quasfuntin una linea ,ipfi ed sequidiftante. Omnes igitur
linex contingentes in unius parallelogrammi lateribus tadiones faciunt.quod de-
monltrandum proponebatur .
THEOREMA XXIII. PROPOSITIO XXX.
n
Hoc demonftrato . Sit parallelogrammum a b c d : & eius bafi a b
ajquidiftantes ducantur ef, gh : fumpto autem aliquo pundlo K,non
exiftente in plano parallelogrammi, iungantur k e,K f,rcg, K h*, quat pro-
du&a: occurrant plano cuipiam axjuidiftanti ipfi abcd inpundtis lm
n x: & iungantur 1 n,m x.Dico lineam m x ipfi 1 n a^quidiftantem die.
Planum enim per lineas kl,ef dudum
fecabit etiam planum I m n x:& in eo com
munem fedionem faciet redam lineam
1 m , ipfi e f requidifiantem . fimiliter &
planum per xn, gh dudum faciet nx
jequidiftantem gh . Quoniam igitur l^n
triangulum ab a^quidifiantibus planis a b
cd } Imxn fecatur, communes ip forum
fcctiones nl, ge inter fe sequidiftantes
funt. & eadem ratione aequidiftantes x m,
h f. quare ut ek ad kl,ita gk ad kn: &ut
g k ad k n,ita g h ad 11 x.fed ut e k ad k 1,
ita e f ad 1 m . utigitur e f ad 1 m , ita g h
ad nx: & permutando, eft autem ef $qua
lis gh. ergo& lm ipfi nx:&funtaequidi-
fiantes inter fe : linea igitur mx ipfi ln
di aequidiftans .
x6<un de.
33. piimi
S E RENI L I B E R I.
Si Igitur punSum k ponamus ede cor
pus illuminans :& a cparallelogrammum,
quod eius radiis opponatur, fiueperfefe,
fiuein cylindro ; contingetradios, qui ab
ipfo k producuntur , terminari rectis li-
neis ml, nx: & quod intra lineas m 1, n x
continetur,iimbrofum eiie . Itaque de-
mo nil ratum iam eft lineam da ipfi cb,&
n 1 ipfi xm aequidiftare.uerum non ita ap
parent; nam interuallorum lm,nx quod
propius u i fui efl: , illud maius uidetur . fed
hxc ex opticis fiimendafiiht . Itaque quo-
niam propofitum efl: , & de cono fimile
contemplari,propterea quod ellipfis com
munis fit & cono , & cylindro : dictum efl:
autem de cylindro : age nunc & de cono
dicamus ,
THEOREMA XXIIII.
Si extra triangulum pun&:um fumatur : Sc ab eo ducatur quaedam
reda linea triangulum fecansia uerti ce autem ad bafira alia agatur , quiu
fecet lineam dudam , ita ut quam proportionem habet tota ad partem
extra triangulum afliimptam , eandem habeat eius, qua: intra triangu-
lum continetur, maior portio ad minorem: qusclibet reda linea, qurc ex
eodem pundo duda triangulum fecat,ab ca, qua: a uertice ad bafirn du
citur , in eandem proportionem lecatur.Qjuod fi linesr ab co pundo in
triangulum dudar fecentur in eandem proportionem: reda hnea, qu^
ipfasfecatin triangulo, per trianguli uerticem neceflario tranhoit .
Sumatur enim aliquod punctum d extra tr iangulum a b c ; a quo ducatur recta li-
nea def triangulum fecans:& a uertice a ad bafim ducatur a gh, qua: fecet fd,ita ut
fd ad de eandem proportionem habeat, quam fg ad ge. deinde ducatur alia linea
d k 1 m.Dico ut m d ad d k,ita efle m 1 ad 1 k.per puncta enim e k ducantur line* e n,
k x ipfi ab arquidiftantes : &per e f' ducantur eo,
fpr cequidifiantes m d. Quoniam igitur in triangu
lo a m k ducta efl e n ipfi a m *quidiftans : erit ut
n e ad e k,ita m a ad a k , hoc efl: f a ad a r . Rurfus
quoniam fa aequidiftat k x,ut ek ad kx,itaeflc ea
ad a f. efl: autem ut ne ad ek,ita fa ad ar:&ut ek
ad k x , ita e a ad a f. ergo ex aequali in perturbata
ratione, ut e n ad k x , ita ea ad ar, hoc eft e o ad
pr. & quoniam proportio md ad dk eadem eft,
;c qu* fd ad d x.-proportio autem fd ad dx compo £ ^ h ^ ^
niturex proportione fd ad ed, & ed ad dx: eric ‘ l
proportio m d ad dk ex eifdem proportionibus
compofita.Sed fd ad de proportio eadem eft, qu* fg ad ge,utpofuimus:&propor
tio e d ad dx, hoc eft e n ad x k oftenfa eft eadem , qua: o e ad p r . ergo proportio
m d ad d k componitur ex proportione fg ad g e, & proportione oe adpr.Rurfus
quoniam proportio ml ad 1 x eadem eft, quae fp ad p r:& proportio fp ad pr com
ponitur ex proportione fp ad oe,hoceit fg ad g e, & proportione oe ad pr. pro-
portio igitur m 1 ad 1 k compofita eft ex proportione fg ad g e,& o e ad p r.Sed pro
' portio md ad ds componitur ex eifdem proportionibus, quod ofknfumiamfmt.
, ergo
PROPOSITIO XXXI. *
%
DE SECTIONE CYLINDRE 15
ergo ut m cl ad d k ,ita m I ad 1 k .Similiter & de aliis, qua? a puncto d ducta; fuerint i
•demonftrabiturjomnes enim a linea ah in eandem , quam diximus , proportionem
fecabuntur.
Quod fiapundo d duda; linea: in eandem proportionem fecentur;ita ut quam
proportionem habet fd ad de, eandem habeat fg ad g e :& rurfus quam habet md
ad d k,habeat ml ad Ik : recta linea proportionaliter fecans eas, qua: in triangulo co
tinentur,uidelicet fe,m k , per uerticem trianguli neceffario tranfibit.
Si enim fieri poteft , tranfeat extra uerticem per
punctum u;&ducaturrecta linea agz. Quoniam
igiturexijs,, qua: proxime demonftratafunt, linea
qusdam az auerticeductafecat f d,ita ut quam
proportionem habet fd ad dej, habeat fg ad gc:
& ipfam m d in eandem proportionem fecabit :
eritq; ut m d ad d k:ita m z ad z k, quod eft abfur-
dum j pofuimus enim ut m d ad d k,ita effe m 1 ad
1 k. quare 1 g producta non tranfibit per aliud pun
ctum,quam per uerticem trianguli , quod demon-
flrare oportebat.
THEOREMA XXV. PROPOSITIO XXXII.
Reto lineae qua* ab eodem pundo conicam fuperficiem contin-
gunt ex utraque parte; omnes in unius trianguli lateribus ta&iones
faciunt .
SIT conusjcuiusbafisquidemcirculuscircacentrum ajuertex b pundum;axis
autem reda linea a b:&fumpto aliquo pundo c extra conum, ab eo ducatur cd, ce
reda; linea:,conicam fuperficiem ex eadem parte contingentes. Dico punda tadio-
num e d in eadem reda linea effe.Ducatura pundo c ad ab perpendicularis c f:&
per cf ducatur planum sequidiftans plano circuli a, quod fedionem in cono faciat
circulum circa centrum f,itautconus confiituatur, cuius bafis circulus f, & axis f b.
Rurfus per c f & axem aliud plauum ducatur, faciens in cono triangulum b g h i & ip
fi c f ad redos angulos agatur c k , qua: in circuli f plano exifiat : deinde per c k, &
Utramque ipfarum cd,ce du
cantur plana conum fecantia,
qua: faciant in coni quidem fii
perfide lineas ldm,nex;m
plano autem trianguli b g h
redas lineas 1 c, n c. diametri
igitur fedionum 1 d m , n e x
funt 1 m, n x reda: linea: . Ita-
que ad diametros lm,nx or-
dinarim applicentur d o,ep :
& ad alteram partem fuperfi-
ciei in punda rs producan-
tur . Quoniam igitur reda li-
nea cd cStingit lineam Id m
inpundo d:&do ordinarim
applicata efl : erit ut 1 c ad c
m,ita lo ad om.Eademquo
que ratione, ut n c ad c x, ita
erit n p ad p x. ergo ex proxi
mc demonftratis reda linea,
qux coniungit puncta o p , fi
0
io. unde-
cimi
S E R E N I 1 I B E R I.
producatur, per uerticem tranfibit. ducatur igitur o p b . & quoniam e s , d r
ipfi c k funtarquidiftantes;etiam inter fe arquidifiantes , & in uno plano erunt .
Itaque planum per lineas bpo, & es, d r ductum fedionem faciet in coni fuperfi-
cie triangulum, ergo punda e d , quos funtin fuperficie coni, & in latere erunt tri-
anguli, fecantis triangulum bgh fecundum redam lineam bpo. Similiter demoftra
bit-ur idem cuenire in aliis, & in Contingentibus,ad puncta r s.rectse igitur line^, qux
apundo c ducta conicam fuperfidem contingunt, omnes in unius trianguli lateri-
bus tadiones faciunt . quod demonlfrare oportebat.
THEOREMA XXVI. PROPOSITIO XXXIII.
HOC demonftrato , fit triangulum a b c , cuius bafi b c asquidiftantcs ducantur
defg:&fumptoaliquopundoh,quodnonfitintrianguli plano, iungantur h d,h f,
hg,li e; &produdae occurrant plano alicui, quod plano abc a»quidiftet,in pundis
klmn.planum igitur per lineas de,kh dudumfecabit etiam planum klmn;& in
eo communem fedionem faciet redam lineam k n,ipfi d e xquidiftantem . Eodem
modo & planum dudum per lineas fg,lh faci et redam lineam lm tequidiftantem ip
fi fg. quoniam igitur planum khl xquidiftantibusplanis abc,klmn fecatur, com
munes ipforumfediones kl,df «quidiftantes funt. & eadem ratione squidiffantes
m n,g e.e|go produdse kl,nm conuenientinterfefe.conueniantinx:&cum duasli-
nese k x,xn duabus da, a e
squidifrent, angulus ad x an ^
gulo ad a aqualis erit.Rnrfus
cum diuc x k, k n sequiaifient
duabus a d , d e , erit angulus
x k n angulo a d e aqualis ,
triangula igitur x k n,a b c in
ter fe fe fimiiia erunt.Quod fi
punctum h fingamus efle cor
pus illuminans, & triagulum
abc eius radijs oppofitum,
liue per fe fe,fiue in cono,con
tinget radios , qui ab iplo h
emittuntur , per triangulum
abc facere triangulum um-
bras x k n ipfi abc fimile. &
quamquam hjec ad opticam
contemplationem pertineat,
& ob id apropofita tractatio
ne aliena uideantur , tamen
perfpicuecofiat, fin eijs, qua:
hoc loco de coni & cylindri fectione,hoc eft de ellipfi & rectis lineis cum contingenti
busdcmonfirata funt, problema eiufmodi abfolui nonpofie : quare non temere, fed
neceffano de his fermonem infiituimus.
PRIMI LIBRI FINIS.
i
f?
16
S ER E NI A NTINS ENSIS
PHILOSOPHI LIBER SECVNDVS
DE SECTIONE CONI.
CVM COMMENTARIIS FEDERICI
commandini vrbinatis.
S E X £ N V S C T R O S. 7).
V M Pedio conorum optime Cyre , qua: per uerti-
cem efficitur, triangula quidem in conis coftituat,
exifiimaui , fi locum hunc non inexplicatum relita
querem ; perferiberemq; de his quacumque mihi
in mentem uencrunt. maiorem autem fere partem eorum, qua: proluti
diore geometria indigere uidentur, arbitror me hoc libro complexum
efle. neque enim mirum uideri debet, fi aliquid, quod feribi oporteret,
prcetermiferim;utpotequi primus ad hanc conteplationem fim aggrefi
fus . quamobrem par eft, uel tc,cum in horum ftudium incubueris, uel
pofteriorum aliquem, qui in ha:c inciderit, a me impulfum,ea,qu£e pra;>
termiffa funt,fupplere . funt tamen non nulla , qua: confulto praeterie-
rim, uel quod manifeifa e{fent,uel qudd ab aliis tradata. fiquidem in o-
mni cono fedionem triangulum eile,quado per uerticem fecetur, cum
ab aliis demonftratum fit, nos omifimus > ne aliena noftris inuentis infe-
rerentur.Qjia: autem in promptu eifent,6c qua: unufquifque per fe nui
lo negocio intelligere pqfiet,non exiftimaui me feribere oportere, ne le
gentium animos parum attentos facerem, fcdiam ad id, quod propofi^
tum eif, accedamus .
THEOREMA I. PROPOSITIO I*
*
S i quatuor redarum linearum prima ad fecundam maiorem pro-
portionem habeat , quam tertiaad quartam ; redangulum contentum
prima Sc quarta maius e fi: eo, quod fecunda & tertia continetur .
Habeatre&alinea a adlineam b maiorem proportionem, quam c ad d e. Dico
redangulum ex a & d e redanguloex b & c maius efie. Quoniam enim a ad b ma
iorem proportionem habet, quam c ad de; fit ut a ad b, ita c ad df.redangulum
V igitur
SERENI l I BE R II.
igitur ex a & df aquale eRredangulp ex b & c, maius autem e/1, quod fit ex a., &: d e
eo ^ quod ex a & df, ergo rebtangulum ex a & de redangulo ex b & c maius erit*
COMMENTARIVS.
M AI VS autem efhquod fit ex a & d e eo^quodex a & df.] Sequitur enim ex iam
difflis ,& afrtaua quinti lineam de maiorem ejfe, quam df. quippe cum c ad df maiorem propor-
tionem j, quam ad d e ^habere ponatur. Hoc idem demon fir au it Tappm t ut adnotauimus in 34. pri-
tni libri conicorum ^ipollonq • & eodem in loca Eutocius .
THEOREMA II. PROPOSITIO II.
i _ - iu io. . . \ \ : '
Si in triangula orthogonio ab altero angulorum ad unum latus ,
quod eft circa re&um angulum linea ducatur : habebit dudta linea ad
£am,quse inter ipiam & perpendicularem interficitur, maiorem propor
tionem , quam qua: d principio fubtenditur redo angulo ad iam di-
dum latus . f
SIT triangulum orthogonium a b c, redum habens
angulum ad a:&ab unoangulomm,uideliceta c ad ab
linea cd ducatur.Dico cd ad d a maiorem proportio-
nem habere, quam c b ad ba.ducatur enim linea deip-
fi b c ^quidiftans . & quoniam re&us eft angulus d a c, ^
3 %. primi angulus d e c obtufus erit.maior igitur eR c d,quam d e:
& idcirco c d ad d a maiorem proportionem habet*
quam e d ad d a.,hoc eR quam c b ad b a ,
THEOREMA III. PROPOSITIO III.
S i conus redtus planis per uerticem fecetur,
eorurmqua: in fedionibus fiunt triangulorum,
sequales habentia bafes inter fe aqualia erunt .
SIT conus redus* cuius uertex a pundum ; & bafis
circulus circa centrum b . Itaque hoc cono per uertice
planis fedo ; fiant triangula a c d,a e f, aquales bafes ha-
A bentia. triangula enim ex his fedionibus fieri alibi oRen
fum eR.Dico triangula a c d,a e f .rqualia efife . nam cum
J3 bafes fint aequales; itcmq; aequales inter fe a c,a d*a e,af:
& triangulum triangulo aquale erit.
a
COM
?7
DE SECTIONE CONI,
OMMENTARI. V
S.
Triangula enim ex his lectionibus fieri alibi ofienfum efi .] Ofiendit hoc Apollonius a
in primo libro conicorum propofitione tertia .
Itcmq; squales inter le a c,a d,a e,a fi] Conflat hoc ex generatione coni retti; uniufcuiuf- g
que enim earum quadratum aquale efl quadrato axis coni und cum quadrato femidiametro bafis . *
THEOREMA IIII. PROPOSITIO IIII.
I N conis redis fi milia triangula inter fe ae-
qualia funt .
SIT eniminpropofita figura acd triangulam trian
gulo a e f fimile . Dico & squale efie . quoniam enim ut
ac ad cd, ita a e ad e fi erit permutando ut c a ad a e,
ita c d ad e fi& fimt c a, a e 'squales . ergo & squales c d ,
efi triangula uero squalium bafium , qus in conis redis
fiunt,inter fe funt squalia.ergo & a c d, a e f triangula s-
qualia erunt.
j.ktiiu*
THEOREMA V. PROPOSITIO V.
S i conus redus planis per uerticem fecetur , $c per axem , & extra
axem ; fitq; axis non minor femidiametro bafis: eorum, quae fiunt,trian-
gulormn maximum efi: illud, quod per axem conftituitur .
SIT conus,cuius uertex a i bafis circulus circa b centrum ; & axis a b .Itaque co-
no per uerticem feci o , fiant triangula per axem quidem a c d , extra axem uero a e f:
ponaturqi efipfi cd squidiftans:&axi$uidelicet ab non minor ipfa bc.Dicoacd
triangulum triangulo aef maius tffedungatur b e-.& ab ipfio b ad e f perpendicula-
ris ducatur b g . ergo efin g bifariam diuidetur ; &iun da ag perpendicularis erit
ad ef: triangulum enim e a f squicrure efi. Quoniam igitur ab non eliminor femi-
diametro be:&eft eg minor b e; erit ab ipfa eg maior. Itaque abfcindatftr b h
squalis cg: communis autem b g.ergo dus hb,bg
duabus eg,gb squales funt : & angulus egb squalis
angulo gbh,qubd uterque redus. bafis igitur eb bafi
h g efi squalis : & triangulum triangulo fimile . quare
ut b e ad eg,ita gh ad h b.ied gh ad h b maiprepro-
portionemhabet,quam ga ad ab, ut proxime demon
drauimusiorthogonium enim triangulum eli a b g.er-
go b e ad eg,hocefi cb ad e g, hoc efi; cd ad e f maio-
rem proportionem habet, quam ga ad abjfredangu-
lum igitur,quod fit ex c d,b a maius efi eo , quod ex e f
g a,per primum theorema . fed redaguli quidem ex c d
b a dimidium efi a c d triangulum : redanguli uero ex
cfiga dimidium efi triangulum a e f.quare triangulum
acd maiusefttriangulo aef, & maius alijs omnibus,
qus bafes habent squales triangulo a e fihoc efi ipfi squalibus. Similiter demonfira-
bitur , & in alijs fedionibus , qus extra axem fiunt . triangulum igitur per axem om-
nium maximum erit .
3. tertii
.huiut
SERENI LIBER II.
THEOREMA VI. PROPOSITIO VI.
_ ! - ■ - '•/*•'
Licet idem Sc aliter uniuerfalius demonftrare , ex omnibus (im-
pliciter triangulis,quod maiorem baiim habet, illud maius effe .
Sedo namque cono fiant triangula acd,afd,itautbafes cd, f d inter fe ad termi-
num d conueniant: & fit cd maior ipia fid,fiue per cen trum tranfeat,fiue non . Di-
co triangulum acd maius effe triangulo a fd. ducantur enim ad fd,c d perpendi-
culares afe,ag;&ad ad ducatur bh perpendicularis. Itaque quoniam cd maior eft
ipfa f d; erit eius dimidia bd maior dg. ergo quadratum b d quadrato d g maius
A erit:&propterea reliquum quadratum b a minus quadrato ag. quadratum igitur
B ab ad quadratum bd minorem proportionem habet, quam ag quadratum ad qua
C dratum g d.fied ut quadratum ab ad quadratum bd,ita linea ah ad hd. ergo ah ad
h d minorem habet proportionem, quam quadratum ag ad quadratum gd. fiat ut
quadratum ag ad quadratum gd,ita ak ad k d;&iungatur gk,qucead ad perpen-
dicularis erit, ut demonftrabitur. quoniam igitur ponimus ab non minorem ipfa
D b d,erit a b uel maior b d,uelipfi squalis . Sit primum maior.ergo ah maior eft h d.
fecetur ad bifariam in I.& quoniam reftangulum ah d-minus eft, quam quadratum
j-.fecundi al,quadrato 1 ffrectangulum uero akd minus, quam quadratum ai, quadrato lkj
& maius eft quadratum 1 k quadrato 1 h : erit redan-
gulum ah d, hoc eft quadratum bh maius redangulo
a kd,hoc eft quadrato gk.lineaigitur bh maior eft li
nea g k. funtq; bh , gk altitudines trianguloru a b d,
a gd.quare triangulum abd maius eft triangulo agd
& eorum dupla, uidelicet triangulum acd maius tri-
angulo afd. fed triangulo afd sequale eft quodcuque
bafim habet ipfi f d squalem . triangulum igitur acd
maius eft quolibet triangulo, cuius bafis eft 'ce qualis ip-
fi fd.Quod fi ab fitsequalis b d,erit& ah ipfi hd ar-
qualis . & fimiliter redangulum a h d, hoc eft quadra- €
tum b h maius erit redangulo akd, hoc eft quadrato
g k : proptereaq; linea b h maior g k : & triangulum
abd triangulo agd maius . Eodem modo demonftra
bitur etiam, fi alias bafies duxerimus . quare triangulum fic habens maiorem bafim
triangulo minorem habente maius erit. At uero lineam gk ad ad perpendicularem
effe hoc modo often detur .
Sic triangulum orthogonium a g d,& a pun&o g ad
bafim ducatur g K, ita ut quam proportione habet qua-
dratum a g ad quadratum g d*, habeat linea a K ad K d.
Dico gK ad a d perpendicularem ede .
Si enim non eft ita, fit gl perpendicularis . ut igitur quadratum
a g ad quadratum g d, ita a 1 ad 1 d : erat autem ut a g quadratum $
ad quadratum gd,ita ak ad kd.quareut al ad ld,ita erit ak ad
k d:quod eft abfurdum.non igitur gl efl perpendicularis. Similiter
offendemus neque aliam ullam perpediciijarem elfe , prjeter ipfam
g k . ergo g k ad a d perpendicularis erit .
C O M M E N T A R I V S.
A ET propterea reliquum quadratum b, a minus quadrato a g.] Sunt enim ex penul-
tima primi elementorum duo quadrata ab ,bd aqualia quadrato a liter duo quadrata
J *g>
DE SECTIONE CONI,
18
ag, g dy £ qualia eidem . quadrata igitur ab,bd quadratis ag,gd fimt aqualia . quorum quidem
quadratum b d maius eji g d quadrato . ergo reliquum quadratum a b reliquo a g minus erit .
Quadratum igitur ab ad quadratum bd minorem proportionem habet, quam 3
a g quadratum ad quadratum g d.] 7 s Jam cum quadratum a b minus fit quadrato r a g , ha-
bebit ab quadratum ad quadratum bd minorem proportionem, quam quadratu ag ad idem bd
quadratum. Rurfus cum g d fit minor ipfa b d,erit & quadratum g d minus quadrato bd.xrgo
quadratum ag ad quadratum bd minoremproportionemhabet,qudrn ad gd quadratum . Qua-
dratum igitur ab ad quadratum bd multo minorem proportionem habebit , quam a g quadra-
tum ad quadratum gd .
Sed ut quadratum a b ad quadratum b d, ita linea ah ad h d .] Cum enim triangu - q
lum abd r ebl angulum fit, &bh ad bajim perpendicularis , erit ex corollario obiaua fexti ab pro
portionalis media inter d a, a Ir.itemq; b d proportionalis inter a d,d h. Vt igitur ha ad a b, ita
ab ad a d. quare ut quadratum ab ad quadratum a d,ita linea ha ad ad. & eodem modo oftende Coi . to
tuY,ut quadratum bd ad quadratum dajta h d ad da:conuertendoq;ut quadratum da ad qua- icti .
dratiun b d,ita da ad hd. ergo ex aquali ut quadratum ab ad quadratum b d , ita a h ad h d .
Ergo ah maior eft h d .] Etenim demonfiratum efl ah ad hd efl e, ut quadratum ab ad D
quadratum bd.fedcum ab fit maior b d,& quadratum ab quadrato bd maius erit : ideo q; ah
maior ipfa hd.
THEOREMA VII. PROPOSITIO VII.
a
S 1 in cono redo triangulum per axem maximum fit triangulorum
omnium > qua: extra axem conftituuntur: axis coni non minor erit /emi
diametro bafis.
SIT conus , cuius uertex quidem a punflum ; axis a b refla linea ; bafis autem
circulus circa centrum b:& triangulum per axem a c d , quod maximum Iit omnium
triangulorum , quae extra axem in cono con di-
ruuntur . Dico lineam ab femidiametro bafis
non minorem efie.fi enim fieri poteft, fit minor:
& ducatur in circulo linea be ad cd perpendi-
cularis'. Quonia igitur angulus a b e reflus efi ,
linea, quae punfla a e coniungit,maior eft femi
diametro b e. quare fi a puflo a in angulo a b e
aptetur refla linea ipft femidiametro aequalis,
inter punfla b & e cadet. Itaque aptetnr,& fit
a f: perq; f ducatur gh ipfi c d acquidiftans : &
b g iungatur. fient triangula ab fi gb f fimilia, c{
ut in quinto theoremate eft demonfiratum , &
latera eiuldem rationis inter fe aequalia er un t .
Vt igitur f a ad a b,ita b g ad g fihoc efi c b ad
g f. quare reflangulum a b c aequale eft reflan-
guio a fg,hoc eft triangulum per axem aequale triangulo a g h.-quod fieri non poteft ,
pofuimus enim triangulum aed maximum efle.non igitur a b minor eft femidia-
metro bafis.
16. fexti
C O MMENTARIVS,
Fient triangula a b f, gb f fimilia, ut in quinto theoremate eft demonfiratum .]
In quinto theoremate fimihiudo triangulorum demonflratur ex fexta f :xti elementorum 3 in hoc ue
ro ex feptima eiufdem demon firahitur . Quoniam enim duo triangula a fb,g b f unum angu-
lum a b f uni angulo gfb aqualem habent-, efl enim uter que r ebitis : & circa alios angulos afb y
g bf latera proportionalia, immo uero aqualia , cum ponatur af aqualis femidiametro bafis , hoc
e z
14. fextl
y. fexti
5-quxntI
SERENI LIBER II.
efl ipfi gb:&ftbf utrique communis : reliquorum autem angulorum baf 3 bgf uterque minar
reffio : triangula afb 3 gbf inter fe fimilia & aqualia erunt .
PROBLEMA I. PROPOSITIO VIII.
Conum re&um, cuius axis non fit minor femidiametrobafis,plano
per uerticcm du&o ita fecare , ut faciat triangulum , quod ad triangu-
lum per axem proportionem habeat datam, oportet autem datam pro-
portionem dfe minoris ad maius .
SIT coni uertex a,bafis circulus circa b centrum, & triangulum per axem a c d ;
in quo ab efl: perpendicularis: & oporteat conum fecare triangulo,quod ad triangu
Ium aed proportionem datam habeat, iit autem data proportio, qua efi ^minoris
ad 1 maiorem. Quoniam igitur triangulum abd redangulum eft, deferibatur circa
ipfum femicirculus : atque a pundo b ducatur b e
perpendicularis : & quam proportionem habet ^,ad
1, eandem habeat fe ad e b : deinde per f ducatur f g
ipfi ed aqu4diftans.,& perg ipia gh aquidiftans fe.
erit f e aequalis ipfi gh . Iraque quoniam ut /t.ad 1 ,
ita fe ad e b, hoc efi gh ad b e: ut autem gh ad b e,
ita redangulum ex g h & ad ad redangulum ex be,
& ad: & ut redangulum ex gh & ad ad redangu-
lumex be & ad, ita eorum dimidia, uidelicet trian-
gulum a g d ad triangulum abd: erit ut /qad 1 , ita
a g d triangulum ad triangulum abd. quare triangu
lum agd adipfum abd efl in data proportione. Si
igiturin bafi coni aptabimus lineam duplam lineae
g d perq j ipfam & uertice planum ducemus, faciet id in cono triangulum ipfius agd
dupliuquod quidem ad triangulum a c d eandem proportionem habebit, quam agd
triangulum ad triangulum a b d,hoceiIquam k habet ad 1.
THEOREMA VIII. PROPOSITIO IX.
Si conus redus planis per uerticcm fecetur,& per axem, & extra
axem ; triangulorum autem, quas fiunt extra axem unum aliquod aqua-
le fit triangulo per axem : axis coni femidiametro bafis minor erit .
Sedo enim cono fiant triangula, per axem quidem aed, extra axemuero aef,
quod triangulo a c d fit aqualei fitq; e f ipfi c d aquidiftans : & a b,a g perpendicu-
lares : & iungantur b e,b g. Dico axem a b femidiametro b d minorem effe . Quo-
niam enim aef triangulum aquale eft triangulo a c d;& eorum dupla aqualia erunt,
uidelicet redangulum ex ef & g a aquale redangulo ex
cd & b a. ergo ut cd ad ef, hoceft cb ad eg,hoc efi: be ^
ad e g , ita g a ad a b . quod cum duo triangula b e g, g a b
unum angulum egb uni angulo a bg aqualem habeant;
efi enim uterque redus ; circa alios autem angulos latera c
proportionalia: fitq; reliquorum ebg,agb uterque redo
minor: triangula inter fe fimilia ernnt. Vt igitur eg ad
gb,ita ab ad bg. quare ab ipfi eg efi aqualis. Sed e g mi-
nor efi femidiametro b e. ergo ab coni axis femidiametro
b e minor erit . quod demonftrandum proponebatur .
Quoniam autem demonftratum efl in lineis aequidiftantibus cd ef;
confiat
c\
DE SECTIONE CONI.
^9
conftat idem fequi , etiam fi non fmt arquidi flantes, quippe cum oftcn-
fum fit triangula bafes tequales habentia inter fe arqualia eiTe .
1
THEOREMA IX. PROPOSITIO X.
Iisdem manentibus demon lirandum eft , fi rurfus planum duca-
tur per uerticem conum fecans , faciensqi in bafi redam lineam , cuius
magnitudo inter bafes ecqualium triangulorum contineatur : triangu-
lum illud utri (que triangulis ecqualibus maius ede .
Sit utin antecedenti figura triangulum per axem a c d squale triangulo bafim ha-
benti e f:& ducatur quslibet reda linea km, cuius magnitudo fit in ter cd,e£pona-
tur autem utrique earum «quidiftans : & per ipfam & uerticem planum ducatur. Di-
co triangulum akm utroque ip lorum aed, aef
maius die . Secetur enim rurfus k m bifariam in
1' , & iungantur a 1, b ic, b 1. Itaque quoniam a c d
triangulum «quale eft triangulo aef: erit ab ipfi
e g,hoc eft dimidi« e f aqualis, ut proxime demon
ftratumfuit. Sed k 1 eft maior eg:ergo& kl ipfa
ab maior erit, ponatur bn «qualis kl,& ln.iun-
gatur . eadem ratio n e, qu a fupra, dem onftrabi mus
triangulum bkl «quale & fimile triangulo Inb.
quate ut bx ad kl,hoceftut cb ad kl, hoc eft cd
ad k m,ita 1 n ad n b. Sed 1 n ad n b minorem pro
portionem habet, quam la ad ab . ergo & c d ad km minorem habet proportio-
nem, quam la ad ab. &propterea rectangulum ex cM & ba minus eftre&angulo
ex km & 1 a, hoc eft triangulum aed minus triangulo a k m. triangulum igitur ax m
triangulo acd,& triangulo aef maius erit.
Idem demonflrabitur etiam in omnibus triangulis , quorum bafis
magnitudineinter cd,ef continetur , nihil enim differt fi bafes non
lint icquidiffantes , ut fupra demonflratum fuit .
PROBLEMA II. PROPOSITIO XI.
D a t v m conum re&um , cuius axis fit minor femidiametro bafis,
plano per uerticem ita fecare, ut faciat triangulum arquale ei , quod per
axem conifituitur .
Sit datus conus re&us, cuius axis quidem a b; triangulum uero per axem a c d : &
oporteat eum plano per uerticem ita fecare, ut faciat triangulum triangulo aed
«quale . ducatur in circulo per centrum linea ebfadre&os angulos ipfi cd.& quo-
niam ab minor eft femidiametro bafis , aptetur ag fubtendens angulum abf,quse
femidiametro fit «qualis , quod quidem facile effici po-
teft: deinde per g ducatur hgk ipfi cd «quidiftans.
ergo hgk ad g bifariam fecatur;&ad ebf eft perpen-
dicularis, ducatur per lineas hk,ga planum, quod trian
gulam a h k efficiat . Dico a h k triangulo aed «qua-
le eife . iungatur enim bh.& quoniam ag eft «qualis
bh,eritut ag adgbfitahb ad bg.quod cum duo trian
gula b h g,g a b unum angulum uni angulo «qualem ha
beant ; funt enim h g b,a b g utrique redi : & circa alios
angulos latera proportionalia : reliquorum uero utferque recfto minor ; erunt bhg,
3. huius.*
1. huius
SERENI LIBER II.
gab triangula inter fefimilia. quare ut bh ad hg, hoc eft cd ad lix, ita ga ad a b:
idcircoq; redanguluin, quod fit ex c d, & b a squale eft redtangulo ex h k & ga : &
eorum dimidia, uidelicet triangulum acd squale triangulo ah k.quod facere opor
tebat.
THEOREMA X. PROPOSITIO XII.
$ i conus redus planis per uerticem fecetur &c in uno eorum trian-
gulorum, quse fiunt , linea a uertice ad bafim perpendicularis duda
aequalis Iit dimidiae bafis : erit illud triangulum maius omnibus triangu-
lis difsimiiibus > quae in.cono conftituuntur .
Sit in cono redo triangulum a c d,quod perpendicularem a b squalem habeat ipfi
b d dimidis c d bafis . Dico a c d triangulum maius effe omnibus triangulis difsimi-
iibus, qus in cono confutuuntur . Sumatur enim aliud
quoduis triangulum aef ipfi difsimile, in quo Et perpen-
dicularis a g:& apundo quidem b ad ad perpendicularis
ducatur b h ; a pundo autem g ad a f itidem ducatur
perpendicularis gx. Quoniam igitur triangulum acd
difsimile eft triangulo a e f : & a b d ipfi a g f dif simile erit . c
Sunt autem orthogonia, & squicrure eft abd. ergo agf
le. Sed ut ab quadratum ad quadratum b d, ita linea ah ad h d:& ut quadratum ag
ad quadratum gf,ita ak ad k fliiiea igitur ad in partes squales diuiditur;& afin
partes insquales . Itaque quauiam id, quod squalibus partibus continetur , maius
eft contento partibus inrejfi^liQUS : erit ahd redangulum maius redangulo akf.
fed rcdangulo akd squale eft bh quadratum ;& redangulo akf squale quadra-
tum g k. quadratum igitur bh quadrato g k maius erit: idcircoq; linea bh maior»
quam gx.:&ut bh adg K,itaredangulum ex bh & ad adredangulum ex gx & af;
& dimidium ad dimidium , hoc eft triangulum a b d ad triangulum a g f.maius igitur
eft ab d triangulum triangulo agft& eorum dupla, uidelicet' triangulum acd maius
triangulo aef Similiteroftendetur maius efle omnibus triangulis difsimiiibus ipfi
a c d.quod demonftrare oportebat .
PROBLEMA III. PROPOSITIO XIII.
", . ;■ v‘ r . rft ; . -* r-mni j " • •• * \ . ( . • ' • 7 ■
D a t v H conum re&um , cuius axis fit minor femidiametro bafis ,
plano per uerticem ita fecare, ut faciat triangulum maius, omnibus
triangulis difsimiiibus , quae i n cono confiituuntur .
Sit datus conus redus , cuius uertex quidem a pundum 5 bafis circulus circa cen-
trum b; axis liero a b,minor femidiametro bafis: & oporteat conum ita fecare, ut an-
te didum eft. Ducatur planum per axem , quod faciat
triangulum a c d. erit a b perpendicularis , & m in or b d . a
deinde in plano circuli ducatur b e adredos angulos ipfi
c b: & quo d b quadratum fuperat quadratum b a, eius di
midium fit quadratum bg:perq; g ducatur fgh,squidi~
ftans c d : & iungantur ag,b h. Itaque quadratum bd,hcc
eft bh fuperat quadratum ba duobus quadratis bg;qua
dratum autem a g fuperat quadratum ab, uno quadrato
b g . ergo quadratum b h fuperat quadratum ag ipfo b g
quadrato. Sed quadratum bh fuperat gh quadratum, quadrato bg. quadratum
igitur b h utrumque quadratum a g , g h eodem quadrato fuperabit : & propterea
qua-
DE SECTIONE CONI. w 0
quadratum ag «quale eft: quadrato gh, & linea ag linea: gh «qualis . eft autem &
fg «qualis gh. quare ag «qualis eft dimidia; ipfius fh. Si igitur per fh, ga planum
ducatur, fiet in cono triangulum , quod fit a fh . Itaque quoniam triangulum eft in
cono afh,acuius ucrtice perpendicularis duda ag «qualis eft dimidia; bafis : erit Ir.huius
afh triangulum maius omnibus triangulis difsimilibus,qu« in ipfo cono conftituun
tur .'quod facere oportebat .
COMMENTARIVS.
ERGO quadratum bh fup erat quadratum ag,ipfo bg quadrato.] Qvmiam
enim quadratum bh fuperat quadratum b a, duobus quadratis bg: & quadratum a g fup er at
quadratum b a, quadrato bg: erit quadratum bh aquale quadrato ba und cum duobus quadra-
tis b g; & quadratum ag aquale quadrato ba und cum quadrato bg. Sed ba quadratum und
cum duobus quadratis bg fuperat quadratum b a und cum quadrato bg, ipfo quadrato bg. erga
& quadratum bh fuperabit quadratum a g, eodem bg quadrato .
PROBLEMA II IT. PROPOSITIO XIIII.
Datum conum plano per axem ad re&os angulos ipfi bafi fecare .
Sit datus conus, cuius uertex a pun&um, bafis circulus circa centrum b ; axis ue-i
ro ab :& oporteat conu fecare per lineam ab ad recftos
angulos ipfi bafi . Si igitur conus fit redtus, perfpicuum
eft lineam a b ad bafim perpendicularem efle: & ob id o-
mnia, qu«peripfamtranfeunt plana ad re&os angulos
erunt, quare & triangulum acd per lineam a b ductum
adrexfios angulos erit ipfi bafi . Sed fit conus fcalenus. er
go ab non eft ad bafim perpendicularis . cadat a uertice
a perpendicularis ad bafis planum in pundto e : & iundta
e b, producatur trianguli a b e planum,quod in conofe-
dtionem faciat triangulum acd. Dico acd triangulum
ad redtos angulos efte bafi coni. Quoniam enim a e per-
pendicularis eft ad bafis planum:& omnia, qu« per ipfam a e tranfeunt, plana eidem
adredos angulos erunt.ergo & triangulum acd adrectos angulos erit plano bafis.
id quod fecifie oportebat .
18 unde-
cimi
THEOREMA XI. PROPOSITIO XV.
S i conus fcalenus plano per axem fecetur ad re&os angulos ipfi ba-
fi, triangulum in cono fa&um fcalenum erit ,• cuius maius latus maxima
erit linearum omnium, qua! a uertice coni ad bafis circumferentiam du
cuutur :& minus latus linearum omnium fimiliter du&arum minima
erit*, aliarum uero,qu£ maxime propinquior eft, maior erit, quam qua?
ab ipfa magis diftat.
Sit conus fcalenus, cuius uertex a pun&um , bafis circulus c e d, & axis a b . cono
autem ledo per axem ad rectos angulos ipfi c e d circulo, fiat triagulum a c d:;& axis
ad partes d uergat.Cum igitur conus fcalenus fit, non eft ab perpendicularis ad cir-
culum ce d. ducatur ah ad ip/um perpendicularis, qu« erit in plano trianguli acd,&
in lineam c b d productam c^det . Itaque quoniam maior eft c h , quam h d, & qua-
dratum ch quadrato hd erit maius . commune apponatur quadratum ha. quadra-
ta igitur ch,b a maiora funt quadratis dh,h a, hoc eft quadratum ca maius quadra-
to a d.ergo linea ac maior ipfa ad. Dico ac maximam efle linearum omnium, quas
SERENI LIBER II.
Suerticead bafis circumferentiam pertinent.- & ad minimam . ducantur enim fi e»
h f, h g.& quoniam hc maxima eft amnium, quas apundo h in circumferentiam ca-
dunt ; erit quadratum h c maximum quadratorum h e, h fi h g, h d. commune appo-
natur quadratum h a. ergo quadrata, quas fiunt a lineis c h,h a,maiora funt eis , qua»
fiunt ab e h, fi a, fh 3 h a; g fi ? h a;d fi,h ajhoc efi quadratum c a maius eft quolibet qua-
tt &
dratorum a e,af,ag,ad. quare linea ac maior eft qualibet linearum ae,afiag,ad. Si-
militer demonfirabitur etiam aliis maiorem efie . linea igitur a c,ut diximus, maxima
cft omnium linearum , quas in ipfo cono ducuntur. Eadem ratione demonfirabitur
lineam ad minimam efie. aliarum uero a e maior eft, quam af:& a f maior, quam
a g:& femper propinquior ipfi a c, maior quam, quas^b ea magis difiat. quod opor-
tebat demonftrare .
THEOREMA XII. PROPOSITIO XVI.
S i in triangulo d uerticc ad pun&um, quod bafim bifariam diuidit,
reda linea ducatur * quadrata ex lateribus fada aqualia erunt quadratis,
qua: fiunt ex bafis partibus , & duplo quadrati eius linea: , qua: a uertice
ad bafim duda fuerit .
&
Sit triangulum a b c, cuius bafis fecetur bifariam in d ; & ducatur a d . Dico qua-
drata b a,ac quadratis b d,dc,& duplo quadrati ad arqualia efie . Si enim asquicru-
refit a b c triangulum, demonftratiomanifeftaerit, proptereaquo d uterque angu-
lorum , qui ad d eft r edus . Sed fit b a maior, quam ac. ergo b da angulus maior
eftangulo a dc.pro ducatur a d,&adipfam perpendiculares ducantur b e, cf. Similia
igitur funt triangula ortho gonia e bd,cfd,prop ter linearum be, fc asquidiftantia .
quare ut b d ad d c, ita e d ad d f.asqualis autem eft b d ipfi d c » ergo & e d aequalis
df.
-yr
DE SECTIONE CONI»
21
d f; & re&angulum a d e re&angulo a d f aquale : & duplum recftanguli a d e duplo r j* extl -
reftanguli adf. Itaque quoniam quadratum ab maius eft quadratis ad, d b,duplo rz. fecun
reftanguli a d e,hoc eft duplo re&anguli a d fquadratum uero ac minus eft quadra- di
tis a d, dc, duplo re&anguli adf; erunt quadrata ba,ac cequalia quadratis bd, dc & ecun
duplo quadrati a d.quod demonftrare oportebat .
THEOREMA XIII. PROPOSITIO XVII.
Sx quatuor linearum prima ad fecundam maiorem proportionem
habeat, quam tertia ad quartam ;& quadratum prima: ad quadratum
fecundae maiorem habebit proportionem , quam tertiae quadratum ad
quadratum quarta: . Qjiod fi quadratum prima: ad quadratum fecun-
dae maiorem proportionem habeat, quam tertiae quadratum ad qua-
dratum quartae prima ad fecundam maiorem proportionem habe-
bit , quam tertiaad quartam .
Sint quatuor re£tx linea: abed: & habeat a ad b maiorem
proportionem , quam c ad d. Dico quadratum ipfius a ad qua
dratum b maiorem habere proportionem, quam quadratum
c ad d quadratum. quoniam enim proportio a ad b maior eft,
quam c ad d,erit dupla maioris proportionis maior, quam du-
pla minoris, eft autem proportionis maioris a ad b, dupla pro-
portio quadrati a ad quadratum b:& proportionis c ad d mi-
noris dupla proportio quadrati c ad quadratum d. ergo pro-
portio quadrati a ad quadratum b maior eft proportione qua-
drati c ad quadratum d . Rurfus quadratum a ad quadratum
b maiorem proportionem habeat, quam quadratum c ad qua-
dratum d. Dico a ad b maiorem proportionem habere, quam
c ad d. Mam cum proportio quadrati a ad quadratum b ma-
ior fit, quam quadrati c ad quadratum d; erit maioris propor-
tionis dimidiamaior, quam dimidia minoris, fed proportionis
quidem quadrati a ad quadratum b maioris , dimidia eft pro-
portio a ad b,- proportionis uero minoris quadrati c ad qua-
dratum d, dimidia eft c ad d proportio: proportio igitur a ad
b maior eft, quam c ad d.quod demonftrare oportebat.
a J
ic
t
- 4 -
C
THEOREMA XIIII. PROPOSITIO XVIII.
Si dux magnitudines ecquales inaequaliter diuidantur: & alterius
partium maior ad minorem proportionem maiorem habear, quam par-
tium alterius maior ad minorem, ucl «qualis ad «qualem: prodictarum
partium maior omnium maxima, minor uero omnium minima erit.
Sint duse magnitudines jtquales a b,c d: di
uidamrq; ab in e, & cd in f: & fit a e ma- & t £
ior, quam e b: & c f non minor quam f d,ita \ 1 sr
ut a e ad eb maiorem proportionem ha-
beat, quam cf ad fd. Dico magnitudinum C
a e, e b , c f , f d maximam quidem efle a e, e b 't ~
uero minimam . Quoniam enim a e ad eb maiorem proportionem habet, quam
cfaci fd.-& componendo ab,ad be maiorem habebit, quam cd ad dftpermutan- zs.quintr
doq; ab ad cd maiorem, quam eb ad fd. eft autem ab ipfi cd arqualis. minor igi- ^7-quintj
f
SERENI LIBER II.
tur eb quam fd; eflq; df non maior, quam
fc. quare & cb quam c f minor. Sed & erat a, t £
minor, quam ae.ergo eb minimaerit.Rur- \ 1
fus quoniam ab eft «qualis cd, quarum e b
minor ei} quam df; erit reliqua a e maior, C ^ 4*
quam reliqua c f & c f non efl minor , quam ' — * — k '
fd. quare & a e maior, quam fd. erat autem & maior, quam eb . ergo a e omnium
maxima erit , & e b minima .
THEOREMA XV. PROPOSITIO XIX.
f! -
S i duo triangula & bafes arquales habeant , 8 c lineas , qua? a uertice
ad pun&um , quod balim bifariam fecat, ducuntur: alterius autem ma-
ius latus ad minus maiorem proportionem habeat, quam reliqui maius
latus ad minus , uel a?quale ad xquale *> triangulum illud , cuius maius la-
tus ad minus maiorem habet proportionem , altero minus erit .
Sint duo triangula a b c,d e f; bafes b c,e f «quales habentia : quarum utraque bi-
fariam fecetur in pundis g h: dud«q; ag,dh inter fe «quales fint ;& fit ed maior,
quam df ba uero non minor, quam ac,ita ut ed ad df maiorem proportionem
habeat, quam ba ad ac . Dico def triangulum minus effe triangulo abc. Quo-
niam enim bc,ef & «quales funt,& in partes «quales diuiduntur;funtq;«quales
ag, d luerunt & qu«ex ipfis efficiuntur quadrata «qualia . quadrata igitur bg, gc
una cum duplo quadrati a g «qualiafunt quadratis e h , h f una cum duplo quadrati
d h : fed quadratis b g,g c una cum duplo quadrati a g «qualia funt quadrata b a, a c,
ig huius ut ofienfum efr : & quadratis eh,hf una cum duplo quadrati dh «qualia quadrata
ed df. utraque igitur quadrata ba, ac, utrifque ed df «qualia erunt. & quoniam
17. huius e d ad u f maiorem proportionem habet, quam b a ad a c ; habebit quadratum e cl
ad quadratum d f maiorem proportionem, quam quadratum ba adquadratum ac.
Quod cum duarum magnitudinum «qualium , uidelicet eius, qu« conflat ex quadra-
tis b a a c,& eius,qu« ex quadratis e d d f, maior pars ad minore , uidelicet quadratu
ed ad quadratum df maiorem proportionem habeat, quam reliqua pars ad reliquu;
uidelicet quam quadratum
b a ad ac quadratum: erit
quadratum e d , quod efl
maximum , utroque qua-
drato b a, ac, maius: quadra
tum uero d f minimum ,
utroque ba ac minus, ex
antecedenti theoremate .
quare linea ed maior efl
utraque ipfarum b a , a c ; &
df utraque minor. Circulus
igitur, qui ex centro b,&interualloipfi ed «quali defcribitur, uidelicet k 1 tranfl-
bit ultra lineam b a :& circulus ex centro c,interualloq; «quali ipfi dfdefcriptus,
hoc efl mn fecabit lineam a c.qni quidem duo circuli kl,mn fefeinuicemfecabunt,
ut demon Arabitur, fecent autem fefe in pun&o x:&iungantur xa,xb,xg,x c.eftigi-
tur bx ipfi e d «qualis, & xc «qualis df:eratq;bc «qualis ef. Quare totum trian-
gulum b xc triangulo edf efl«quale: acpropterea xg «qualis dh,hoceftipfi ag.
cx quibus fequitur angulum xag acutum cfle.& quoniam b a non efl minor ac, an-
gulus agb angulo age non erit minor . angulus igitur age non efl maior recto .
eratautem xag angulus redo minor . ergo anguli cga,xag duobus redis mino-
res iunt :& linea ax ipfi gc non efl «quidiflans. ducatur per a ipfi bc «quidiflans
api
2Z
DE SECTIONE CONI.
ap;& bxp pro trahatur ,-iungaturq; cp. triangulum igitur abc triangulo pbc eft 32-
'squale:& idcirco b a c maius eft ipfo b x c,hoc eft e d f.quod oportebat demonftrare.
Circulos autem Kl,mn fefeinui-
cem fecare, hoc modo demonftra-
bitur .
Sit enim ipfi ed squalis bar: &ipfi df
squalis c s,qus fit in eadem redta linea bc.
totaigitur b s squalis eft utrique e fi fd. &
quoniam utraque ef,fd maior eft ed: erit
& bs ipla ed maior. Itaque circulus ex
centro b,&interuallo br defcriptus iplam
b s fecabit : & cum c s , qus eft squalis d f
minor fit ca;circulus ex centro c,interual-
loq; cs defcriptus fecabit ac. fiecetin o. er-
go tranfibit per circumferentiam rt. circuli igitur kfimn fefeinuicem fecaburrt,
THEOREMA XVI.' PROPOSITIO XX.
S i duo triangula in^qualium laterum & bafes aequales habeant, 8c
lineas , quse a uertice ad pun&um bafim bifariam fecans ducuntur: mi-
noris trianguli maius latus ad minus maiorem proportionem habebit ,
qudm maioris maius latus ad minus .
Sint triangula ab c,efg,bafes a c,eg squales habentia; qus bifariam fecentur in
pundtis dh; & fint squales bd; fh:fit autem maius triangulum efg, & ab maior,
quam b c;itemq; e f quam fg maior. Dico ab ad bc maiorem habere proportio-
nem , quam e f ad fg. fi enim non ita fit, uel eandem proportionem habebit, uel mi-
norem . Sitprimum,fifieripoteft,ut a b ad bc,ita efad fg.ergout ab quadratum
ad quadratum bc, ita qua-
dratum e f ad quadratum
f g: & componendo, permu-
tan doq; ut utraque quadra-
ta a b,b c ad utraque e f fg,
ita quadratum b c ad qua-
dratum fg. Sed utraque qua
drata ab bc utrisquepfifg
funt squalia . ergo & quadra
tum b c squale eft quadrato 4
fg; & idcirco reliquum ab
quadratum reliquo e f squale erit, linea igitur ab squalis eft ef;& bc ipfi fg. Sed
& bafes funt squales.ergo triangulum a b c squale eft triangulo e fg,quod eft abfur-
dum ; erat enim triangulum abc minus, non igitur a b ad b c proportionem habet
eandem , quam e i ad fg. Sedrur/us fi fieri poteft, a b ad b c minorem proportio-
nem habeat, quam e f ad fg . habebit efad fg maiorem proportionem , quam a b
ad bc. quare triangulum efg minus erit triangulo abc, ex proxime demonftratis;
quod eft abfurdum : ponebatur enim maius . non ergo ab ad b c minorem propor-
tio nem habet, quam ef ad fg. demonftratum autem eft neque eandem habere . re-
, En quitur igitur ut ab ad b c maiorem habeatproportionem, quam e f ad fg .
\
< PROBLEMA V. PROPOSITIO XXI.
6 /
D a t v m conum fcalenum plano per uerticem ita fecarc , ut in co-
no triangulum aecpiicrure efficiat ,
f 3
■V
SERENI LIBER II.
Sir datus conus fcalenus , cuius axis ab:&bafis ced circulus : oporteatq; eum ita
fec are , uti dictum eft . Secetur primo per axem plano a c d ad redos angulos ipfi cir-
culo ced: & ducatur perpendicularis a g,quae cadet in lineam cd, trianguli acd ba~
fim : ipli uero cd ad redos angulos agatur e f in circuli plano :perq; efi&peruerti-
cem a planum ducatur, quod faciat triangulum ae-f. Dico a e f triangulum aequi-
crureeiTe.iunganturenim eg, fg. & quoniam cd ipfam effecans ad redos angu-
los f bifariam fec at : erit e g aequalis g f communis autem a g: & uterque angulorum
a g e, a g f redus. ergo e a eft aequalis a f: & idcirco triangulum a e f eft sequicrure .
£x quibus conftat omnia triangula, qua! bafes habent ad redos angu-
los ipfi c d, ctquicruria efle . Demonftfandum etiam eft ea triangula ,
qua! bafes habent non ad rectos angulos ipfi c d,non efte «quicruria .
Ponatur enim e fin eadem figura non efte ad redos angulos ipfi cd. erunt eg,fg
inaequales : communis autem a g, & ad ipfas perpendicularis . ergo e a, a f inaequales
funt, & triangulum eaf non eftaequicrure.
' THEOREMA XV;II. PROPOSITIO XXII.
r,®
0 oQ
Triangulorum , qutein cono fcaleno per axem conftituuntur , maxi-
mum eft arquicrure : Sc minimum, quod eft ad redos angulos bafi co-
ni : reliquorum uero maximo propinquius maius eft eo, quod plus
diftat .
In cono enim fcaleno triangula per axem ab conftituantur:aequicrure quidem
aedi redum uero ad bafis planum a e f. Dico trian-
gulorum omnium, quae per axem conftituuntur acd
maximum dfe,& aef minimum. Sit enim aliud trian
gtilum per axem agh. & quoniam conus fcalenus
i huius e ^h uer g at ax ^ s a b ad partes f.ergo linea a e maxima
P ’ U!US e p. om nium , quae a punefto a ad" bafis circumferen-
tiam ducuntur ; & a f minima . quare e a maior eft,
quam ag: & fa minor quam ah. Itaque cum duo
triangula a e fi a g h bafes e hg h aequales habeant , &
lineam a b eandem, quae a uertice adpundurn bafim
bifariam fecans ducitur: habeatq; ea ad a f maiorem
proportionem, quam ga ad ah: erit aef triangu-
lum minus triangulo agh. Similiter etiam dernon-
ftrabitur minus omnibus aliis triangulis per axem,
ergo aef minimum eft omnium trian gulo ru , quae per axem conftituuntur . Rurfus
in triangulis a g h,a c d,& bafes aequales lunt,& eadem, quae ducitur a uertice ad ptm-
* ’ " dum
DE SECTIONE CONI.
dum fejyitm bifariam fecans : habetq; g a ad ah maiorem proportionem j quam c a
ad a ddlmt enim c a, ad aquales. ergo gah triangulum minus eft triangulo cad.fi-
militer demanitrabitur,omnia triangulaper axem dudla triangulo c a d minora efle.
triangulum igitur a c d maximum eit omnium triangulorum ,fqus per axem confu-
tuuntur j & a e f minimum.quod demonftrare oportcbat.Eodem modo demonftra-
bitur propinquius maximo maius efle eo,quodplus diftat.
PROBLEMA VI. PROPOSITIO XXIII.
I N dato cono fcaleno a uertice ad circumferentiam bafis lineam du
cere,ad quam maxima proportionem datam habeat, oportet autem da-
tam proportionem elle maioris ad minus , $c minorem ede ea, quam ha
bct maxima linearum, qua? in cono ducuntur ad minimam .
SIT conus datus bafim habens b c circulum,cuius diameter b c : uerticem nero
pundlum a ;& triangulum per axem a b c,ad redtos angulos ipfi b c circulo, ergo b a
lraparum,qus duertice coni ducuntur maxifriaeft:& ac minima. Itaque oporteat a
ptmdo a ad circumferentiam circuli ducere lineam, ad quam ipfa ba proportione
habeat eandem., quam habet redta linea d maior ad e minorcm.hab.eat autem d ad e
minorem proportionem, quam ba ad ac. ducatur a pundo a ad bc perpendicula-
ris af:protrahaturq; bfg,&ut d ad e, ita fit ba ad aliam quampiam a g , q u s coa-
ptetur iub angulo agf.ergo ba ad ag minorem proportionem habet, quam ba ad
a c: & propterea g a maior eft, quam a c,& g f maior, quam f c . Quoniam igitur ut
quadratum d ad quadratum e, ita quadratum ba ad quadratum a g: erit quadratu
£ e £ e q, £ e &
ba quadrato ag maius ; hoc eft quadrata bf,fa maiora quadratis a fi fg. commune
auferatur quadratum a f. ergo reliquum b f quadratu maius eft quadrato f g: & ideo
linea bfipfa fg maior.erat autem cf minor, quam fg.quare gf maior eft, quam fc.
Seminor quam fb. Coaptetur igitur in circulo linea fh ipfi fg squalis : &iungatur
a h.Itaque quoniam hfipfi fg eft squalis: communis autem fa: & utrique ipfarum
ad redos angulos: erit bafis ha squalisbafi a g. Sed ut d ad e, ita eft ba ad ag, hoc
eft ba ad ah.eftq; d ad e in data proportione. ergo & ba ad ah in data proportio-
ne erit.duda igitur eft a h,ad quam ipfa b a prop ortiouem habet datam . quod face-
re oportebat .
PROBLEMA VII. PROPOSITIO XXIIII.
Sit datum triangulum fcalenum ab c , cuius latus b a maius fit la-
tere a cidc bafis bc bifariam io d fecetur,ducaturg; ad: fit autem ed
SERENI LIBER II.
perpendicularis ad b e > & ecqualis ipfi d a :& fit a f ad eandem b e per-
pendicularis •> oporteat q; aliud triangulum conftituere maius triangulo
a b c,quod habeat lineam du&am a uertice ad pun&um bafim bifariam
fecanSjOtrique ipfarum de, da aequalem: Sc ad triangulo abe propor-
tionem eandem habeat, quam h maior ad g minorem. habeat autem h
ad g non maiorem proportionem, quam d e ad a f.
I TAQ^VE centro d,&interualIo da circulus ea deferibatur, qui per e tranfi-
bit. & quoniam proportio h ad g non maior eft
proportione de ad af-eritueleadem,iiel minor.
Sit primum eadem: & iungantur e b,e c . eftigitur
ut h ad g,ita e d ad a f:& ut q d ad a f, itaredan-
gultun ex e d, b c ad redangulum ex a f, b c . ergo
ut h ad g, ita redangulum ex ed, b c adredangu
lum ex a fib c.Sed redanguli ex e d,b c dimidium
eft e b c triangulum :& redanguli ex a f,b c, dimi- ,
dium eft triangulum a b c.triangulum igitur b e c 1
ad triangulum bac eam proportionem habet,
quam h ad. g, hoc eft datam. Habeat deinde h ad g minorem proportionem, quam
e d ad a f; & liat ut h ad g,ita k d ad a f: perq; k ducatur k 1 ipfi c d squidiftans : &
iungantur lb,lc. Quoniam igitur ut h ad g,ita kd ad afiutautem kd ad affitablc
triangulum ad triangulum bac: triangulum blc ad triangulum bac datam habet
proportionem, uidelicet quam h ad g:& habet ld ipfi da tequalem . quod facien-
dum proponebatur.
'3
f
PROBLEMA VIII. PROPOSITIO XXV.
D a t v m conum fcalenum fecare per axem plano faciente in eo tri-
angulum, quod ad minimum triangulorum per axem proportionem da
tam habeat, oportet autem datam proportionem effe maioris ad minus,
neque maiorem ea, quam maximum triangulorum per axem habet ad
minimum.
SIT datus conus fcalenus , cuius axis a b ; bafis circulus, circa b centrum : mini-
mum uero triangulorum per
axem a c d : & oporteat eum
plano per axem a b dudo ita
fecare , ut faciat triangulum,
quod ad triangulu a c d pro-
portionem quidem habeat
eandem, quam reda linea e
maior ad f minorem, non au
tem maiorem, quam maxi-
mum triangulorum per axe
habet ad minimum ac d. Si
igitur e ad f proportionem
habeat eandem, quam maxi-
mum triangulorum per axe
adminimum;ducemusper b redam lineam in circulo ad redos angulos ipfi cd:&
per eam & axem planum producentes,habebimus triangulum sequicrure, quod ma-
ii.huius ximum eft omnium, qua: per axem conftituuntur, ut demonftratum fuit; habeto; ad
triangulum aed pro^grtionem eandem, quam e ad £uidelicet datam . Sed habeat
nunc
DE SECTIONE CONI. 14
nunc e ad f proportionem minorem, quam maximum triangulorum per axem ad
minimum, & ddcribatur feorfum reda linea gh squalis ipfi cd; & in ea triangulum
kgh triangulo acd fi mile, ita ut k g fitsqualis a c,& alis alijs itidem squales, prs- fx cg
tereain linea g h conftituatur triangulum,habens eam,qus a uertice ad pundurn ba denti
fini bifariam fecans ducitur, ipfi kl squalem: habensq; ad triangulum kgh propor
tionern eandem,quam e ad f.erit conditu ti trianguli uertex ad partes g,utmoxde-
monfirabitur.fit autem illud triangulum mgh, ita ut latus mg fit maius ipfo mh.
quoniam igitur ml eft squalis 1 k,& gl communis: angulus autem, klg maior an-
gulo m 1 g : erit k g maior ipfa m g. & eft k g squalis c a . ergo c a, quam m g maior
erit.Rurfus quoniam kh eft minor, quam mhritemq; mh minor,quam mg:eritkh
ipfa mg mmor.qubdcum mg fit minor, quam ac maxima earum, qus in cono du-
cuntur^ maior, quam ad minima; fieri poteft ut a uertice ad bafis circumferebam
ducatur reda linea squalis ipfi m g , quemadmodum antea tradidimus . ducatur er- i^.huiu»
go,& fit a n ; iunganturq; n b x,.ax.& quoniam, an eft squalis m g;& 11 b ipfi g 1 , &
ba ipfi lm : erit totum anb triangulum triangulo mgl squale: angulusq; abn s-
qualis angulo m 1 g. quare. & a h x angulus ipfi mlh squalis.Rurfiis quoniam ab eft
squaiis im,& bx ipfi lh.angulusq, abx angulo mlh: erit & ax squalis mh. fed
an squalis erat m g:8c bafis nx bafi g h. triangulum igitur anx eft squale triangu-
lo gmh. at triangulum gmh adtriangulu g k h, hoceftadipfum ead habet eande
proportionem,quam e ad f. ergo & triangulum anx ad acd triangulum propor-
tionem habet eandem, quam e. ad fXonftitutu eft igitur triangulumper axem a n x,
quemadmodum proponebatur.
Quod fi quis dicat triangulum in linea g h defcriptu,maius fcilicet triangulo gkh
ad partes h uerticem habere , ahfurdum fe-
quetur . Sit enim ita, fi fieri poteft . & quonia
squales funt k 1 ,.m 1 : communis autem 1 g :
erit m 1 g angulus maior angulo klg. quare
& m g maior, quam k g . Eadem ratione de-
monftrabitur k h maior, quam h m . M cum
mg fit maior, quam gk,&mh minor,quam
h k ; habebit m g ad g k maiorem propor-
tione,quam mh ad h k: permutandoq; g m
ad mh maiorem, quam g;k ad kh. triangu-
lum igitur gmh. triangulo gk h. eft minus ; quod fieri non poteft . ponebatur enim
rarius. quare triangulum gmh. non ad partes h,/ed ad eas, in quibus eft g, uerticem
habebit .
THEOREMA XVIII. PROPOSITIO XXVI.
S 1 conus fcaienus plano per axem fecetur ad redos angulos ipfi ba*
fr.Se linea , qua: a uertice foeti trianguli ad bafim perpendicularis duci-
tur, non minor iit bafis femidiametro i erit triangulum ad redos angu-
los bali maximum omnium , cjua: extra axem in cono conftituuntur, 8c
bafes habent didi trianguli baii cequididantcs .
SIT conus , cuius uertex a ; bafis circulus- circa b centrum ; & fecetur plano per
axem, quod faciat acd triangulum adredos angulos bafi coni : linea uero,qus apu-
do a ad cd perpendicularis ducitur,non fit minor femidiametro bafisf Dico trian-
gulum acd maximum efle omnium,qus in conoconftituuntur, & bafes habent ipfi
c d squidiftantes.ducatur enim in circulo linea, e f squidiftans c d; & inipfatriangu
lum a e f deferibatur : in plano autem acd trianguli adredos-angulos ipfi c d eriga-
tur b g: & ducatur ag eidem cd squidiftans . eritlinea bg squaiis ei,qus apundo
a ad cd perpendicularis ducta fuerit.ltaqueiundis gc, gd,ge, g f, intelligattir co-
nusjcuius uertex g,axis g b,& bafis circulus circa b centrum deferip tus i atque in eo
f huius
.huius
intelligafitur triaftgula,per axem quidem g c d, extra axem uero gef. Quoniam igi-
tur bg non exi minor femidiametro bafis; triangulum gcd ex iam demonflratis ,
maius erit triangulo gef; & maius omnibus trian-
gulis, qu« in cono confiituuntur s bafesq; habent ipfi
c d «quidiftantes . Sed triangulum gcd «quale eft
triangulo acd, quoafitin eadem bafi, &in eifdem
parallelis; tr-ian gulu m q ; gef «quale triangulo aef.
ergo triangulum acd triangulo a e f eft maius . Si-
militer etiam maius demonftrabitur omnibus alijs ,
qu« bafes habent «quidiftantes ipfi c d. triangulum
igitur acd omnium eiufmodi triangulorum maxi-
mum eft, quod demonftrare oportebat .
J
\ yt
-
\/y &
y ■
e —
- x
a
THEOREMA XIX. PROPO SITIO XX VII.
At fi cipundo a ad cd perpendicularis du&a minor fit femidia-
metro bafis : non erit triangulum acd maximum omnium, qu^ bafes
ipfi c d cequidiftantes habent.demonftratio autem & figura eadem eft.
Quoniam enim gb minor eft femidiametro bafis;tri-
angulum gcd non erit maximum omnium, qu* bafes
habent ipfi «quidiftantes : fi quidem ut demonftraui-
mus,& eo maiora triangula, & neinora,& «qualia confti-
tuuntur. Quod fi triangulum gcd minus fit triangulo
gef;& acd triangulumtriangulo aef erit minus ;& fi
maius, maius ; & fi «quale fimiliter «quale erit .
THEOREMA XX. PROPOSITIO XXVIII.
i *' \'< • " • * V
S r cono fcaleno planis per uerticem fe&o , in bafibus a^quidifianti-
bus triangula ^q u i cr uria fiant: fitcpaxis coninon minor femidiametro
bafis.-triangulum arquicrure per axem tranfiens maximum erit omnium
jequicrurium,qu£E ex ea parte, ad quam axis inclinat , confutuuntur.
SIT conus, cuius axis a b,bafis circulus circa b centrum : trianguli uero per axe
confli tu ti ad redos angulos ipfi circulo , bafis fit c b dftk angulus a b d minor Iit an-
gulo redq, ita ut ab ad partes d inclinet : fitq; ab non minor femidiametro bafis.
Dico triangulum «quicrureper ab tranfiens maximum efie «quicrurium omnium,
qu« inter punda bd bafes habent. Sumatur enim in linea bd contingenspundum
e: & -ipfi cd adredos angulos ducatur in circulo bfteg:
& iungatur a e . itaque b a uel minor eft, quam a e, uel
non minor, ponatur primum b a non minor,quam a e :
& eft eg mmor, quam bf.er|o ab ad a e maiorem pro
portionem habet, quam eg ad b f;& idcirco a bf redan
gulum maius eftredangulo a e g. Sedredahgulo abf
«quale eft triangulum bafim habens duplam ipfius b f,&
altitudinem a b,hoc eft triangulum «quicrureper axem
confli tu tum : redan gul o autem aeg eft «quale triangu- f -
■lum,cuiua : bafis dupla eft e g,& altitudo a e . ergo trian- 7 ®
gulum «quicrure per axem maius eft «quicruri per a e
conftituto. Similiter quoque triangulum per axem triangulorum omnium, qu« inter
bd bafes habent,maxiraum demonftrabitur.
■> ;V ■ " Sed
3
DE SECTIONE CONI.
Sed iit hsL' minor, quam ae.& quoniam angulus a b e minor eft re<5h>, ducatur in
plano trianguli ab e linea b h perpendicularis ad cd, qua: ipfi eg fitKqualisr&iun-
gantur he,bg. Cum igitur angulus abe angulo aeb fit maior: erit angulus a e b mi
nor redto:refius autem eft libe. ergo linea: librae prodn&as inter fe coouenient.co-
uenian t ad pua ctturr k : & p er h ducatur hl' ipfi ke a:quidiftans.Ttaque quoniam hb
eft squalis e g, communis autem ke,& angulos-squal es continent ,uideiicet rerios:
erit b g ipfi h e squalis. Rurfus quonia redtas eft anguliis h b ftlinea he maior erit,
quam h l.ergo b h ad h e min oremprop or tio nem habet, quam- b h ad hl: ut autem
bhad hl,ita b k. ad k e.quare bh ad he minorem habet proportionem, quam bk
ad k e. Sed bk ad ke habet minorem., quam baad a e, ut in fequenti theoremate Q-
ftendetur.multo igitur bh ad he minorem habebit pro
portionem, quam b.a ad ae.ergo. ba ad a e maiore pro
portionem habet, quam b h ad h e^uidelicet, quam e g
ad g b,hoc eft ad bf. quod cum 5 a ad a e maiorem ha-
beat proportionem , quam e g ad; b f: erit reCt-angulum
a b f maius redangulo: a eg. Sedre&angulo. a bf squale
eft triangulum squicrure per axem:& redangulo a e g
squale trianguiumsquicrure per ae, cuius bafis fitdut-
pla e g.maius igitur eft triangulum squkrure per axem
triangulo «quicruri per a e conftituto . Eadem ratione
demonftrabitur maius alijs , quorum bafes inter pmidta
b-d continentur .quoddemonftrare oportebat..
THEOREMA XXI. PROPOSITIO XXIX.
i
Si in triangulo orthogonio abaRgulo redo ad fubtenfam qua*dam
linea ducatur ; habebit duda ad partem , qua: intcr ipfam & unam coli-
tin edum angulum redum interiicitur, maiorem proportionem, quam
reliqua redurn angulum continens ad lineam fubteniam .
SIT triangulum abe re&um habens angulum ad b,
linea b d . Dico b d ad dc maiorem proportionem ha-
bere, quam ba ad ac.ducatur enim per d linea d e ipfi
a b squidiftans. & quoniam redri anguli funt ad e^maior
erit bd,quam de. ergo b d ad dc maiorem habet pro-
portio n em, q u am e d ad d c. fedut e d ad d c, ita b a ad
ac. maiorem igitur proportionem habebit bd ad de,
quam ba ad ac. ex quibus conftat ba ad a c minorem
habere proportionem, quam b dad dc .. id quod nobis
ad antecedens utile erit.
THEOREMA XXII. PROPOSITIO XXX.
a quo ad a c bafim ducatur
a
S i cono fcaleno planispcr uerticem fedo, in bafibus 'arquidiflanti^
bus xquicruria triangula conftituantur cx ea parte , ad quam axis incli-
nat*, 8c di&orum triangulorum unum aliquod rcquaie lit triangulo ac-
quieturi per axem : reda linea, quae £ uextice ad baiim trianguli perpera
ciiculans ducitur, ipfo axe maior erit.
SIT conus fcalenus,cuius uertex a ; axis a b ad partes d inclinans: & bafis circis
lus circa centrum b: trianguli autemper axe ad redcos angulos circulo bafis fit cbd:
g
% SERENI LIBER It»
& ad ipfam c d perpendiculares b f, eg in circulo ducan-
tur : lungaturq; a e: & ponatur triangulum «quicrurepcr
a e, e g tr an fimis aquale die triangulo per a b , b f, hoc eft
triangulo «quicruri per axem. Dico a e maiorem efie ipfa
a b. -Quoniam enim triangulum «quicrure per a e , e g x- c
quale eft triangulo per ab, bf: erit redangulum aeg «-
• fexti . qti ale a b f redanguio . V t igi tu r b f ad e g, ita e a ad a b ; j Q
fed b f eft maior quam e g . ergo & ea, quam a b maior .
erit:.
THEOREMA XXIII. PROPOSITIO XXXI.
S t cono fcaleno per uerticem planis fe&o in bafibus^quidiflanti-
bus arquicruria triangula conftituantur ex ea parte , ad quam axis incli-
nat: & dirorum triangulorum unum aliquod «quale iit triangulo se-
quicruri per axem : axis coni femidiametro bafis minor erit .
S I T conus fcalenus,cuius uertex a; axis a b ad partes d inclinans; & bafis circu-
lus circa b centru : trianguli uero per axem ad rectos angulos circulo bafis fit c b d:
& ad ipfam cd perpendiculares in circulo ducantur bf;eg: iungaturq; a-e: Srpona-
tur triangulo per a b;& duplam b f tranfeunti,hoc eft triangulo x qui cruri per axem
«quale triangulum «quicrure per a e,& duplam eg. Dico axem a b femidiametro
bafis minorem efie . Quoniam enim angulus a b e minor eft redo , ducatur in plano
trianguli a b e linea b h ad redos angulos ipfi c d & quoniam e a maior eft , quam
a b,ex ijs,qu« in antecedente demonftrata funt, angulus bea minor eft redo : redus
autem h b e. ergo lines hb,ea prodndce inter feconuenient.conueniantin h . Cum
igitur triangulum «quicrure per axem fit «quale redangulo abf: triangulum uero
.«quicrure per a e, & duplam eg «quale fit redangulo a e g:&fint triangula «quicru
ria inter fe «qualia: eritredangulum abfredagulo aeg «quale, ergo ut ba ad a e,
ita eg ad b i, hoc. eft ad gb.Sed ba ad ae maiorem habet proportionem, quam bh
ad h e per uigefimam nonam huius, ergo ut b a ad a e, ita bh ad minore, quam h e,
B & ad maiorem,quam h b. Sitiit -b a. ad a e, ita b h ad hk:&per e ducatur el «quidi-
ftans kh,conueniensq;cum bh in 1. Itaque quonia ut ba ad ae,ita bh ad hk, hoc
eft b 1 ad 1 e : ut autem b a ad a e , ita e g ad g b : erit ut
b 1 ad 1 e , ita e g ad g b . funt igitur duo triangula 1 b e„
g e b, qu« unum angulum uni angulo «qualem habent,
nempe redumvcirca alios autem angulos, qui ad lg la-
tera habent proportionalia; & reliquorum angulorum
fexti. uterque eft acutus . ergo triangula 1 b e,g e b interfe fi-
miliafunt: &uit lb ad b e, ita ge ad eb . quare lb ipfi
p-e eft «qualis. minor autem eft eg femidiametro bafis.
q eftC'0 Se b i femidiametro bafis minor erit.& quoniam utr«que el , 1 b maiores funt,
quamutr«que e a, ab. ut autem el ad lb , ita ea ad a b:Se componendo ut utr«que
e 1,1 b ad bl,itautr«que ea,ab ad bapermutandoq; .fed maiores funt utr«que el,
1 b,qudm utr«que e a, a b . .ergo & 1 b maior erit, quam b a . oftenfa eft autem 1 b mi-
nor femidiametro bafis . quare & b a femidiametro bafis minor erit . quod deirion-
ftrare oportebat.
C G M M E N T A R I V S.
A ET quoniam ea maior eft, quam ab, ex ijs,qu« demonftrata fiunt, angulus bea
minor eft recto, j T^amcum ea fit maior, quam ab, erit ex decima oltaua ■primi elementorum
angulus xCb e maior angulo b c a.fied angulus ab e .ejlmmor vccio.ergo bea angulus recto mul-
to minor erit .
Et
f
B
DE SECTIONE CONI. *6
Etad maiorem, quam h b .] Efl enim ba minor ipfa ae , ut proxime demonftratum fuit •
quare Q- h h minor erit ea, ad quam ita fe habet , ut b a ad ae .
Et quoniam utrseque el,lb maiores Eunt quam utroque ea,ab.] Ex uigefima pri- q
ma primi elementorum.
THEOREMA XXIIII. PROPOSITIO^ XXXII.
S i cono fcale.no planis per uerticem fe&o , in bafibus arquidiftanti-
bus triangula a^quicruria conftituantur ex: ea parte, a qua axis declinat :
triangulum axjuicrure per axem tranfiens non erit omnium ei.ufmodi
triangulorum minimum.
o
SIT conus fcalenus, cuius axis a b; bafis circulus circa b centrum; plani uero
per axem dudti ad redtos angulos circulo,& ipfius circuli communis fcdio fit diame-
ter cbdditq; abd angulus redtominor.Dico triangulum aequicrure per axem tran-
fiens non efie minimum omnium triangulorum sequicrurium , quee inter pimdta c b
bafes habent, iungatur enim ac:&in triangulo abe ad redtos angulos ipfi cd du-
catur b e.JLtaque quoniam ce maior eft lemidiametro bafis c b,fit e f squalis femi-
diametro,& fg ducatur ipfi eb squidiftans : iungaturq; a mg.&rurfus ducatur gh
requidiftans fe.ergo fh parallelogrammum eft : & propterea fe ipfi gh eft squalis,
& gh squalis femidumetro bafis .denique in circuli pia
no<iucantur gl,bk ad rectos angulos ipfi c.d:& iunga-
tur bl. Quoniam igitur duo triangula orthogonia hgb,
1 b g redtos angulos squales habent: & circa alios angu-
los latera. proportionalia, & reliquorum uterque eft acu-
tus; erunt ea triangula in ter fefimilia ; & ideo ut gh ad
hb,ita bl ad i g. habet autem gh ad hb maiorem pro-
portionem, quam gra ad m b : & g m ad m b item ma- c
ioremquam ga ad ab. ergo g h ad h b maiorem pro-
portionem habebit, quam ga ad ab. fed ut gh ad h b,
ita b 1 , hoc eft b k ad 1 g . quare b k ad 1 g maiorem ha-
bet proportionem, quam g a ad a b . redangulum igitur a b k maius eft redtangulo t. huius
a g 1, hoc eft triangulum xquicrure per axem maius triangulo sequicruri per a g, cu-
ius bafis eft ipfius 1 g dupla . non ergo triangulum xquicrure per axem minimum eft
omnium eiuftnodi triangulorum, quadnterpundta b c bafes habent.
COMMENTAR IV S.
HABET autem gh ad h b maiorem proportiouem,quam gm ad m b.] Ex fe-
cunda huius .
Et gm ad mb item maiorem, quam g a ad ab.] Illud autem nos hoc lemmate demon
flrabimus.
Sit triangulum ambligcnium abe ;<& ab angu
lo eius cbtufo e ducatur c d perpedicularis ad b c ,
ques Irneam, ba in d fecet . Dico bd ad dc maio-
rem -proportionem habere > quam ha ad ac .
Ducatur enim d puntto d ad bc Unca d e ipfi a c aquidi-
ftam.erii obtria tiguiorttm. bdefbac fimllitudmem ,ut bd
ai d e fit a b a ad ac, fed cum de fit maior, quam d c,fubten
ditur enim angulo dee reclo ; habebit b d ad dc maiorem
proportionem* quam bd ad d e, hoc efl, quam ba ai ac.
*>
A
B
8- quinti.
g
SERENI LIBER II.
THEOREMA XXV. PROPOSITIO XXXIII.
S r in eadem bafi duo triangula conftituantur; & alterius quidem la-
tus fit ad redtos angulos bafi : alterius uero ad angulos obtufos : fitq; ara
bligonii trianguli altitudo non minor altitudine orthogonii: angulus,
qui ad orthogonii uerticem angulo, qui aduerticem ambligonii maior
erit .
Conftituantur in bafi ab triangula acb,adb : angulusq; ab c fit redus:& abd
obtufus: linea uero, qus a pundo d ad ab ba-
fim perpendicularis ducitur, uidelicet d f non
minor fit perpendiculari c b . Dico angulum
a c b angulo a d b maiorem efte. Quonia enim
squidiftantes funt b c, d£ & ad redos angulos
ipfi a b f; non minor autem d f, quam c b : erit
i^. primi, dcb angulus no minor recto, quare ad maior
eft,quam a c.& cum triangulum a b c orthogo
nium fit ; in femicirculo continetur , cuius dia-
meter a c . ergo defcriptus circaipiamfemicir-
culus lineam a d /ecabit.fecetin e, & e b iunga-
ii. tertii, tuner i t a e b angulus aequalis angulo a c b . ied
1 ' puml angulus aeb eftniaioripfo ad b. ergo acb an
gulus angulo a d b maior erit .
THEOREMA XXVI. PROPOSITIO XXXIIII.
Iisdem pofitis,fi trianguli orthogonii angulus ad uerticem no ma
ior fit eo, qui continetur linea uertices triangulorum coni ungente, &: la
tere ambligonii, quod obtufum angulum cum bafi efficit: linea in trian
gulo orthogonio fubtenfa angulo redo ad eam , quse eft ad redos angu
los bafi, minorem habet proportionem, quam fubtenfa angulo obtufo
inambligonioadeam,quseeftad angulos obtufos.
Defcribantur triangula ; &fit a cb angulusnonmaiorangulo cdb. Dico ac ad
cb minorem habere proportionem, quam ad
ad d b . Quoniam enim angulus acb maior eft
in antece angulo a d b , ut oftenfum fuit : & angulus c a b
dente . maior d a b angulo : conftituatur ipfi quidem
angulo acb aequalis angulus a dg: angulo au-
tem cab aequalis d a g. erunt triangula acb,
a d g inter fe fimilia . quare ut d a ad a c,ita g a
A ad ab: A: continent squales angulos.iundaigi
g. fexti tur gb triangulum dac triangulo gab fimi-
le erit : & angulus a c d angulo a b g squalis .
Quoniam igitur d f non eft minor ipia c b ; uel &
squalis erit, uel maior . fit primum squalis . er-
go cf parallelogrammum eft redangulum : &
B propterea angulus dcb una cum angulis c b d
C d b f eft squalis duobus redis . fed angulo cdb, hoc eft d b f non eft maior angulus
15. primi a c b.ergo angulus d c b una cum angulis c b d,a c b,uidelicet anguli a c d, c b d non
lunt duobus redis maiores : angulo autem a c d squalis eft angulus a b g. anguli igi
tur abg,cbd non lunt maiores -duobus redis, apponatur angulus abe redus,
quare
37
DE SECTIONE CONI.
quare anguli a b g,a b d non fiunt maiores tri
bus redis: & idcirco dbg reliquus ex qua-
tuor redis non eft redo minor . maior igitur
d g, quam d b. & a d ad d g minorem habet
proportionem, quam ad ad db. Sed ut ad
ad dgqta ac ad cb.ergo ac ad cb minorem
proportionem habebit, quam ad ad db.
Sed fit df maior,quam cb.ergo deb an-
gulus eft obtufus . Itaque ducatur bh ipfi
cd «quidiftans . & quoniam angulus deb
una cum angulis c b d, d b h eft aqualis duo-
bus redis : angulo autem c d b , hoc eft d b b
non eft maior angulus a c b: erunt eadem ra-
tione , qua fupra , anguli a c d , c b d , hoc eft:
a b g, c b d non maiores duobus redis . ergo
abd,abg non fiunt maiores tribus redis ; &
dbg non eft redo minor, quare gd maior eft, quam dbqdeoq; ad ad dg minorem £
habetproportionem,quam ad ad db.quoddemonftrare oportebat.
COMMENTARIVS.
Et continent «quales angulos. ] Fattus e fi enim angulus dag aqualis ipfi c ab. qua- ^
re dempto communi angulo dab, reliquus gab reliquo dac aequalis- erit .
Et propterea angulus deb una cum angulis cbd,dbf eft ecqualis duobus redis.] 3
Ex 29. primi elementorum .
Sedangulo cdb,hoceft dbf non eft maior angulus acb .~]Ex pofitione fcilicet. q
Et idcirco dbg reliquus ex quatuor redis . ] Ex rj. primi elementorum . j)
Ideoq; a d ad d g minorem habet proportionem , quam ad d b,quod demonftra- £
re oportebat . ] Tgon hoc efi , quod demonflrare oportet 3 .fed illud potius ac ad cb minorem
proportionem habere , quam ad ad db, quod quidem ex his eodem, quo fupra, modo concludetur .
Hoc theorema d Sereno ita quidem demonflratum inuenitur . Sed non mdeo cur neceffe fit ducere
lineam ip fi e d aquidiflantem , & demon fir at ionem in duas partes fecare .nam fime angulus deb
rectus fit,fiue obtufus , trianguli b ed tres angulos duobus retiis aquales effe manifefio confiat .
Fluar e una eademq ; demonflratio in utroque cafu fatis facere poterit , hoc modo .
Deficribantur triangula ; & fit a c b angulus non maior angulo c d b . Dico a c ad
cb minorem habere proportionem, quam ad ad db. Quoniam enim angulus acb
maior eft an gulo a db, ut oftenfium fuit :& angulus c ab maior dab angulo:confti-
tuatur ipfi quidem angulo acb «qualis angulus adg: angulo autem cab «qualis
d a g. erunt triangula a c b,a d g inter fie fimilia . quare ut d a ad a c , ita g a ad a b ; &
continent «quales angulos . iunda igitur gb triangulum dac triangulo gab fimi-
Ie erit, angulus autem bcdunacum angulis cb d, cdb eft «qualis duobus redis : &
angulo cdb non eft maior angulus acb. ergo b c d angulus uni cum angulis c b d,
a cb,uidelicet anguli aed, cbd non fiunt duobus redis maiores. Sed angulo a c d
«qualis eft angulus a b g, propter fimilitudinem triangulorum a c d, a b g. anguli igi-
tur abg,cbd non fiunt maiores duobus redis . apponatur angulus abe redus.
quare anguli a b g,a b d non fiunt maiores tribus redis : & idcirco dbg reliquus ex
quatuor redis non eft redo minor, maior igitur eft dg,quam db;& a d ad dg mino
rem habet proportionem , quam ad db.fedut ad ad dg,ita ac ad cb. ergo ac ad
cb minorem proportionem habebit,quam a d ad db.quoddemonftrare oportebat.
THEOREMA XXVII. PROPOSITIO XXXV.
1 1 s d e m politis , fi in triangulo orthogonio fubtenfa angulo redo
SERENI I I B E R "I I.
adeam , qua? eft ad re&os angulos bafi maiorem proportionem habeat,
quam angulo obtufo fubtenfa in ambligonio ad eam , qux eft ad angu-
los obrnfos * angulus ad uerticem orthogonij maior eft angulo , qui li-
nea uertices triangulorum coniungente, &ca,qua:eft ad angulos ob-
tufts bafi continetur.
Ponatur eadem figura, iisdem conftrudis.Quo-
niam ac ad cb maiorem proportionem habet,
A quam ad ad db: ut autem ac ad cb,ita ad ad
dg: habebit ad ad dg maiorem proportionem,
/ quam ad ad db:&ob id minor erit gd,quam db.
B angulus igitur dbg minor eft redo. quare reliqui
C a b d, a b g tribus redis fiunt maiores . Sed angu-
lus a bg aequalis eft angulo a c d. ergo a c d , a b d
anguli maiores fiunt tribus rectis . auferatur angu-
lus -rectus abc. erunt acd, cbd anguli duobus
D redis maiores. (Quoniam igitur angulus b c d una
‘cum angulis acb, cbd eft maior duobus redis ;
una uero cum ipfis cdb, cbd eft duobus redis
aqualis: fiequitur angulum acb gngulo cdb maiorem efie.
COMMENTARIVS.
A Vt autem' ac ad cb, ita ad ad dg.] Tofitumenim eft triangulum adg triangulo
acb ftmile . K
£ A nguius igitur dbg minor eft redo . ] Tftam cum jit g d minor, quam d b 3 erit ex deci-
ma odtaua primi angulus dgb maior angulo dbg. ergo dbg eft recto minor •, fi enim ejjet redius,
trianguli b dg tres anguli duobus rectis maiores ejfent .
C Sed angulus a b g «qualis eft angulo acd.] ob triangulorum acd,abg ftmilitiidinem.
- Quoniam igitur angulus bcd una cum angulis acb, cbd eft maior duobus re-
dis fi] Sunt enim hi tres anguli aquales angulis acd., cbd, qui duobus rediis maiores erant .
THEOREMA XXVIII. PROPOSITIO XXXVI.
S r conofcaleno per uerticem planis fedo, in bafibus a?quidiftanti-
bus triangula a?quicruria conftituantur ex ea parte , a qua axis declinat :
triangulum a?quicrure per axem tranhens omnium eiulmodi triangulo-
rum neque maximum , neque minimum erit .
Sit conus, cuius axis a b,& bafis circulus circa b centrum: plani uero per axem ad
redos angulos circulo , & ipfius 'circuli communis fiedio fit c b d j fitq; a b d angu-
lus redo minor. Dico triangulum «quicrure per axem a
triangulorum omnium «quicrurium , quae bafies habent
inter punda c b, neque maximum efte, neque minimum .
uel enim axis eft minor bafis fiemidiametro, uel maior, uel
ipfi squalis . fit primum minor . & quoniam a b minor eft C
fiemidiametro bafis, aptetur a e «qualis fiemidiametro :
perq; punda b A e ducantur in circulo e fi bg adredos
angulos ipfi c d.& angulo a e b «qualis conftituatur e b h:
& h e iimgatur.quoniaigitur utraque a e,b h squalis eft fiemidiametro : communis
^ Texti' autem b e]& continent squales angulos : & reliqua- latera «qualia, & triangula inter
A fie fimilia erunt, ergo ut ea ad ab, ita bh ad h e.& quoniam e fi maior eft, quam eh;
«qualesautem b g,b h, habebit b h ad h e maioremproportionemiquam.bg ad fe.
Sed
i.huius
DE SECTIONE CONI. 28
Sed ut b h ad h e, ita ea ad a b . quapropter ea ad a b maiorem proportionem ha-
bet, quam bg ad ef: & idcirco redangulum aef maius eft redangulo abg: hoc
eft triangulum «quicrure per a e, cuius bafis eft dupla ef, maius triangulo «qui-
cruri per axem . triangulum igitur «quicrure per axem non eft omnium eiu/modi
triangulorum maximum . Sed fit axis ab femidiametro «qualis. Itaque angulus
a b d redo minor , uel minor eft medietate redi , uel non . Sit primum non minor
medietate recti; & per a in plano ad circulum redo ducatur a e ipft c b jequidiftans s
& ef «quidiftans a b; iuhgaturq; fa,- in circulo aixfem ducantur b h,fg ad redos an-
gulos ipft cd,& bg iungatur. Quoniam igitur angulus abd non eft minor medie-
tate redi : neque b a e medietate redi minor erit, ergo e b a, hoc eft fe b non eft ma-
ior medietate redi:& ideo feb angulus non maior eft
angulo e a b . Itaque duo triangula fe b , fa b in eadem
baft conftituta funt:& perpendicularis a pundo a ad cd
duda,uidelicet ak non eft minor ipfa eb: angulusau-
tem feb orthogonii trianguli non maior angulo eab.
quare ex trigefimo quarto theoremate, fe ad eb mino-
rem habet proportionem , quam fa ad a b . Sed ut fe
ad e b,ita b g,hoc eft b h ad fg , aequalis enim eft e f ipft
femidiametro . ergo bh ad fg minorem habet propor-
tionem, quam fa ad a b:& propterearedangulum abh
minus eft redangulo a fg, hoc eft triangulum «quicrure
per axem minus triangulo «quicruri per af. non igitur
triangulum «quicrure per axem omnium eiufmodi trian
gulorum maximum erit .
Sit deinde abd angulus minor medietate redi: & pro
ducatur ab ufquead e, ita ut be fit aequalis dimidio fe-
midiametri : in plano autem ad circulum redo, m quo
eft a e ducatur ef ad ipfam perpendicularis :& bg per-
pendicularis ad cd:& angulo fbg fubtendatur fg «qua
lis femidiametro : iungaturq; fa. Quoniam igitur angu-
lus abd, hoc eft f b e minor eft medietate redi : redus
autem , qui ad e : erit b e maior quam e f: & eft quadra-
tum fb aquale quadratis fe,eb, quorum quidem quadratum eb maius eft quadrato
f e. ergo quadratum fb minus eft,quam duplum quadrati b e : & propterea quadran-
tum fg maius , quam duplum quadrati fb . reliqui igitur quadrati b g erit quadra-
tum fg minus, quam duplum . & quoniam eb dimidia eft femidiametri;quod bis
continetur a b,b e aquale eft quadrato b a. Sed quadratum fa eft «quale quadra-
tis a b,blj& duplo redanguli abe.dupiumueroredanguJi abeaequale eft quadrato
a b. quadratum igitur fa duplo quadrati a b , & quadrato b f «quale erit . ergo qua-
dratum fa maius eft, quam duplum quadrati ab. demonftratum autem eft qua-
dratum fg minus, quam duplum quadrati gb. quadratum igitur fg ad quadra-
tum gb minorem proportionem habet, quam quadratum fa ad ab quadratum,
ergo & fg ad g b minorem habet proportionem , quam fa ad a b . Quod fi rurfus
in circulo ducantur fk,bh ad redos angulos ipfi cd,& iungatur bh: habebit bh ad
i k minorem proportionem, quam fa ad a b. Triangulum igitur «quicrure per axem
minus eft triangulo «quicruri per a f dudo . quare triangulum «quicrure per axem
non erit omnium triangulorum , de quibus di dium eft,maximum .
Denique fit axis ab femidiametro maior :& in
plano ad circulum redo ducatur a e ad cd. perpen
fticitlaris: qu« uel minor erit femidiametro, uel non
minor. Sit primum minor: perq; a ducatur af
ipfi cd «quidiftans : & per b ipfa bf «quidiftans
■a e : & conftkuatur angulus b fg non maior angulo
fa b; iungaturq; ga. Rurfus ex iam demonftratis
B
x.huius
C
47.primi
D
E
iz.fecudi
17 . huius
F
$ 4. huius
z.huia$
\
2 .hufus
SERENI LIBER II.
g fad fb minorem proportionem habebit, quam f ga ad ab: Itaque quoniam fb
«qualis a e eft minor fcmidiametro: & gf maior,
quam f b:erit fg uel maior femidiametro , uel mi-
nor, uel «qualis . Sit primum «qualis, & in circulo
ducantur gl,bm adipfam cd perpendiculares, ut
fuperius fadhim eft : & iungatur b 1. per ea, qu« fx-
pius demonftrata lunt, habebit ga ad ab maio-
rem proportionem , quam bm ad g I. quare trian-
gulum «quicrure per ag, gl maius eft triangulo
per axem «quicruri .
Si nero fg eft minor femidiametro , fit g n femidiametro «qualis . & quoniam g a
ad ab maiorem proportionem habet,
quam gfad fb: g fuero ad fb maiorem
habet, quam gn ad nb: habebit ga ad
ab maiorem proportionem, quam gn ad
n b,hoc eft quam b m ad gl;& ita triangu-
lum «quicrure per ag,gl triangulo «qui-
cruri per axem maius erit .
Atfi fg fit femidiametro maior, duca-
tur fx ipfi «qualis . Quoniam igitur xfb
angulus non eft maior angulo fa b, iunda
x a ad ab maiorem proportionem habe-
bit,quam xf ad fb:ut autem xf ad fb,ita
bm ad xo.ergo xa ad ab maiorem pro-
portionem habebit, quam m b ad x o : &
propterea triangulum «quicrure per ax
x o maius eft triagulo «quicruri per axem.
Sit perpendicularis a e non minor femi
diametro;& fb femidiametro«qualis:iun
gaturq; af; & ducatur linea, ut contingit
a h.-confti tuatur autem bhg angulus non
maior angulo hab; & iungatur g a. habe-
bit rurfus ex iis, qu« demonftrata funt,g h
ad hb minorem proportionem, quam ga
ad ab. & quoniam h b minor eft femidia-
metro : maior autem gh,quam hb:erit gh uel «qualis femidiametro, uel minor, uel
maior. fitprimum «qualis ;&ducanturin circulo gk,bl adre&os angulosipfi cd.
Cum igitur g a ad ab maiorem habeat proportionem,quam gh ad hb:&ut gh ad
hb,ita bl ad g/uga ad ab maiorem proportionem habebit, quam bl ad gx.ergo
triangulum «quicrure per a g, g /q triangulo «quicruriper axem maius erit .
Si uero hg eft minor femidiametro, fit
femidiametro «qualis gm. Itaque quo-
niam ga ad ab maiorem habet propor-
tionem , quam gh ad h b : & gh ad h b ,
item maiorem , quam g m ad m b: habe-
bit ga ad a b maiorem proportionem,
quam gm adm b,hoceft,quam b 1 adgk.
Quare & ita maius erit triangulum «qui-
crure per a g,g k, triangulo per axem «quicruri .
Quod fi gh eft maior femidiametro , aptetur hn femidiametro «qualis ; iunga-
turq; n a; & in circulo rurfus ipfi c b ad re&os angulos ducatur n x . Quoniam igi-
tur nhb angulusnon eft maior angulo hab:nh ad hb minorem habet proportio-
nem, quam na ad ab:ut autem n h ad b b,ita bl ad nx.quare bl ad nx minorem
habebit proportionem,quam na ad ab. maius igitur eft triangulum «quicrureper
an
de sectione coni,
an,nx triangulo«quicruriperaxem. ex quibus fequitur
triangulum «quicrure per axem didlorum triangulorum
«quicrurium non efle maximum : demonftratum autem
eftin trigefima fecunda huius generaliter neque minimu
efle. ergo neque maximum neque minimum erit. quod
oportebat demonfirare.
COMMENTAR IV S.
E T quoniam e f maior eft,quam e h.] lS[am cum triangula a e b,h b e fimilia fint,erit A
angulus beh, aqualis fcilicet angulo eba, obtufus , & maior rdto b ef. quare punctum h inter
c & f cadit: & propter ea ex feptima tertij elementorum maior efi e f, quam e h.
Sed ut fe ad e b,ita b g,hoc efi b h ad fg: «qualis enim efi e f ipfi femidiametro.] B
Etenim ef efi aqualis ipfi a b y quam femidiametro aqualem po fuimus .funt igitur duo triangula
febj bgf, qua unum angulum mi angulo aqualem b ab ent /nempe rectum : & circa alios angulos
later aproportionaliafimmo uero aqualia: & reliquorum angulorum uterque efi minor recto, ergo
ea & aqualia inter fe fimilia erunt. Vt igitur fe ad e bfita erit bg ad gf; hoc efi b h ad fg .
Erit be maior, quam ef.] Quoniam enim angulus fbe minor efi medietate redii , <&- re- C
Bus,quiad e; erit bfe maior medietate refti ; & ideo maior, quam fb e . quare fequitur lineam imprimi.
b e ipfa e f maiorem ejfe .
Etpropterea quadratum f g maius, quam duplum quadrati fb.] Quoniam enim fg D
aqualis femidiametro, dupla efitpfius b e-.erit quadratum fg quadrati be quadruplum, quadra-
tum autem f b minus eB , quam duplum quadrati b e. ergo quadratum fg maius erit , quam du-
plum quadrati fb .
Reliqui igitur quadrati b g,erit quadratum f g minus,quam duplum .] Tfam cum E
quadratum fg fit aquale duobus quadratis fb,bg : fitq-, quadratu fb minus ,qudm duplum qua-
drati b e ,• erit reliquum quadratum bg maius , quam duplum eiufdem b e quadrati 3 & ideo qua-
dratum fg quadrati bg minus erit , quam duplum .
Habebit b h ad f k minorem proportionem , quam fa ad a b .] Erit tyiim triangu- F
lum b Igf fimile triangulo f 'gb: quod fup er ius demon firatum efi . Cumigitur fg ad gb minorem
habeat proportionem, quam fa ad ab ■,& bk^, hoc efi b h ad fkjninorem proportionem habe-
bit, quam f a ad a b.
THEOREMA XXIX. PROPOSITIO XXXVII.
I N omni cono fcaleno , cum triangula per axem poteftate infinita
fmr, linea:, qua: d uertice coni ad bafcs ditfiorum triangulorum perpen
dicularesducuntur,omnesinunius circuli circumferentiam cadunt:
qui quidem efi; in eodem plano, in quo bafis coni , & circa diametrum
interjectam inter centrum bafis, &; perpendicularem, qua: a uertice co-
ni ad dictum planum ducitur .
SIT conus fcalenus,cuius uertex a pun&um ; bafis circulus circa centrum b ; &
axis a b : a pun&o autem a ad bafis planu
perpendicularisfit ac. &iungatur cb,cui
expudto b adredlos angulos ducatur bd
in eodem plano:& ducantur, ut contingit,
line« fg,x h.erunt d e, fg, hic bafestrian-
gn!onim,qu« per axem tranfeunt . Itaque
apundo a ad lineas de,fg,h k perpendi-
culares ducantur a b,al,a m.Atuero axem
a b perpendicularem efle ad de : & per-
pendiculares al,am ad partes bg,bk cadere deinceps oflendetur.Dico pudta bltn
h
a
SERENI LIBER II.
in imius circuli circumferentia efte, cuius diameter eft reda linea b c iungatur enim
cl,cm.& quoniam al perpendicularis eil ad fg,erit fl a angulus redus . Rurfus
3 - diff.un quoniam ac ad bafis planum eft perpendicularis;anguli a c b, a c l,a c m redierunt,
tlecnni q Uare cum a b quadratum ar quale fit quadratis bl,la:& quadratu 1 a quadratis i c,
c a squale : erit quadratum a b squale tribus quadratis b 1,1 c,c a. eft autem & squa-
le quadratis b c,ca.quadrata igitur bc,ca quadratis bl,lc,ca aqualia ftmt.commu
ne auferatur quadratum c a.crit reliquum
quadratum b c squale quadratis bl,lc: &
idcirco; angulus b i c in bafis plano redus.
Rurfus quoniam quadratum a b squale
eft quadratis b m , m a : & quadratum m a
squale quadratis mc,ca:erit aD quadra-
tum squale quadratis b m, m c, c a . fed &
squale cft quadratis b c,ca.ergo commu-
ni ca ablato, relinquitur quadratum bc
quadratis b m,m c squale . redus igitur angulus efi & b m c in bafis plano : quare
pundablm funt in circumferentia circuli, cuius diameter efi: bc.Similiter&dudis
alijs qurbufcunquelineis,ut n o x,idem contingere demonftrabimus. quod quidem
demonftrare oportebat .
Axem u ero ab perpendicularem efleadipfam d e *, Sc perpendicu-
lares a !,a m cadere ad partes b g,b k: hoc modo oftendemus .
lundisenim ad,ae,erit dae triangulum squicrure ; &ideo linea, qua auerticc
a ad pundum bafim bifariam diuidens duci-
tur, perpendicularis efi ad de. fungantur cf,
c g, ai, a g. & quonia angulus fb c obtufus cft,
acutus autem cbg; erit linea fc maior, quam
c g:& quadratum fc maius quadrato cg. ergo
communi appofito quadrato ac; quadrata fc,
c a quadratis gc,c a maiora funt; hoc eft qua-
dratum: fa maius quadrato a g. maior igitur
eftfa,quam ag.funtq; f b,bg inter fe squales,
communis autem ba;& maior fa,quam a g.ergo angulus fb a obtuluseft,& abg
acutus. linea igitur .a pimdo a ad f g perpendicularis du da ad partes bg cadit.Eo-
dem modo & in ali , : s demonftrabitnr.
iduare conitar dictas perpendiculares a pun&o fublimi ad circuli cir
cumierentiam cadentes m coni fuperlicie ferri : cuius quidem bafis eft
circulus a cafu perpendicularium defcriptus,& uertex idem, qui cft pri-
mi coni uertex .
PROBLEMA IX. PROPOSITIO XXXVIII.
I n cono fcaleno dato aliquo triangulo per axem , quod neque ma-
ximum fit, neque minimum.-inuenire aliud. triangulum per axem, quod
una cum dato,utrifque maximo de minimo per axem fit aquale.
SIT conus fcalenus, cuius uertex a pundum ; bafis circulus circa centru b ; axis
autem ab;& ac adfiafis planum perpendicularis . ducaturq; per c & b centrumli
nea cdb e; cuiadredos angulos fit fbg. triangulorum igitur, quae per axem tranf-
huius eunt, maximum quidem eritilliuficuius bafis fg,& ab altitudo, ut faepius demon-
ftratum eftaninimum uero, cuius bafis e d,& altitudo ac. Sit datum triangulum per
axem., quod bafim habeat h k,altitudinemq; a 1- & oporteat aliud triangulum per axe
inuenire, quod una cum eo,cuius bafis hk,&a!titudo al utrifque maximo & mini-
mo fit
DE SECTIONE CONI.
30
mb fit squale.Itaque quoniam a 1 perpendicularis eftadbafim hk,eritpundum 1 in
circumferentia circuli,cuius diameter b c, ex proxime demonftratis. defcribatur cir
culus blc:&qnoutrsque lines b a, a c iupcrant a l,ei fit «qualis m. Quoniam igitur
linearum, quae a pundo a ad circumferentiam blc ducuntur, maxima quidem eft
ab,minimauero ac.erit al minor,quam ab,&maior,quam ac. Sed al una cum m
eft squalis utrifque ba,ac,quarum al eft minor, quam ab. ergo m,quam ac maior
erit ;& quadratu m maius quadrato ac.fint quadrato m aequalia quadrata ac, cn,
linea cn in circulo aptata:ducaturq; nxbo;&: na iungatur.eritangulus bnc infe
micirculo redus . quadratum autem
a b sqttale eft quadratis b c,c a ; & qua (V
dratum b c squale quadratis b n , n c .
ergo quadratum ab quadratis b n,n c,
c a squale erit, quorum quadratis n c,
c a squale eft quadratum n a . quadra-
tum igitur a b cft squale quadratis b n,
n a :& idcirco angulus b n a redus.qua
re an eft altitudo trianguli per axem ;
cuius bafis o b x . & quoniam quadra-
tum m eft squale quadratis ac,cn : &
quadratum an eifdem quadratis sequa
lejlinea m lines an squalis esit . qua-
re utrsque lines i a , a n squales utrif-
que b a,ac: & re&angulum contentum diametro, & utrifque la, a n squale ei , quod
diametro & utrifque b a, ac cotinetur.fed redangulum ex diametro , & utrifque b a,
a c duplum eft trianguli maximi, & minimi, quorum bafes f g,e d, & altitudines b a,
a c:rectangulum uero ex diametro,& utrifque 1 a, a n duplum eft triangulorum,quo-
rum bafes h k,o x,& altitudines la,an. triangula igitur, quorum bafes hk,ox,& alti-
tudines 1 a,a n squalia ftmt triangulis maximo & minimo per axem:& datum eft tri-
angulum in bafi h k. ergo triangulum per axem in bafi ox inuentumeft, quod una
cum dato utrifque maximo & minimo fit squale .
THEOREMA XXX. PROPOSITIO XXXIX.
Si duorum triangulorum per axem bafes abfcindant aquales cir-
cumferentias ad diametrum, qucc per lineam perpendicularem duciturj
triangula inter fe «qualia erunt, uocentur autem eiufdem ordinis .
SIT conus,cuius uertex a pundhmi ; bafis circulus circa centrum b ; & axis a b:
perpendicularis autem ad bafim a c:&per c pundum perpendicularis diameter fit
c d b e.ducanturq; f b g,h b k,qus ad e d squales circumferentias k d,d g abfcindat .
Dico triangula per axem , quorum bafes
f g> h k , inter fe squalia effe . defcribatur
enim circa b c diametru circulus b 1 c m,
&iunganttir al,am, qus perpendicula-
res erunt: a 1 quidem ad fg^am uero ad
h k . & quoniam angulus c b m squalis
eft angulo cbl;& linea mb ipfi blsqua
lis erit . fed quadratu a b quadratis a m,
m b eft squale : itemq; squale quadratis
al , 1 b . ergo quadrata a m , m b squalia
funt a 1,1 b quadratis, quorum quadratu
mb eft squale quadrato b 1. reliquum
igitur quadratum ma squale eft quadra
to linea Ia squalis ipfi a m,qus quidem funt triangulorum altitudines 5 quoru
h a
37. huiu#
j (
SERENI LIBER IL
bafes fg , h k . ergo trp#fgula per axem in bafibus fg, hk confitituta inter fe arqualia
erunt, quod demonftrare oportebat .
THEOREMA XXXI. PROPOSITIO XL.
t
T riangulorum per axem,qutc eiufdem funt ordinis, Sc aequalia Sc in-
ter fe fiinilia erunt .
SINT triangula eiufdem ordinant in antecedenti figura fag,haK, Dico&x-
qualia,& iter fe fimilia effe. aqualia enim
iam demonftratafunt: fimilia uero hoc
modo demonftrabimus . Quoniam ab
in utroque triangulorum du&a eft a uer
tice adpunrium,quod bafim bifariam di
uidit:& quadratum ab quadratis am,
m b eft aequale ; itemq; aequale quadratis
ai , 1 b ; quorum quadratum a m aequale
eft quadrato a l: erit reliquum mb qua-
dratum quadrato b 1 aqnale:& linea m b
aqualis ipfi b l.quare & tota m h toti 1 f.
eft autem m a aequalis 1 a. ergo & qua ex
ipiis efficiuntur , quadrata inter fe funt
xqualia,hoc. eft quadratum a f aquale quadrato ah : &propterea linea aflinex ah.
firniJiter etiam ak ipfi ag aequalis demonftrabitur.Sed& bafes fg, hk funtxquales.
triangulaigitur f a g,h a k , & x qualia, & inter fe fimilia erunt.
Manitdlum autem eft, Sc huius theorematis conuerfum .
THEOREMA XXXII. PROPOSITIO XLI
tS. unde-
cimi
S r coni fcaleni axis squalis fit baf s femidiametro *, erit ut maximum
triangulorum, qua? per axem conftituutur ad minimum , ita minimum
ad aequicrurc , quod eft ad redos angulos bafi .
Sit conus fcalenus , cuius uertex pun&um a; & axis a b reda linea, quae fit aequalis
femidiametro bafis : bafis uero circulus circa b centrum : & triangulorum per axem,
ad rectos quidem .angulos bafi fit ca d, xquicrure autem eaf. erit ea f maximum
oifiilium, qux per axem conftituuntur, & cad minirhum,exiis , quae prius demon-
ftratafunt. Ducatur a pun«fto a ad bafim perpendicularis a g, qux in diametrum cd
‘cadet: & hgk ad rerios angulos ipfi cdeducaturoj planum faciens triangulum sequi-
crure h a k, quod ad bafim redlum erit . Dico ut triangulum eaf maximum fcilicet
eorum, quae per axem conftituuntur ad cad minimum, ita cad ad xquicrure hak*
Quoniam enim triangulorum e a f,c a d bafes funt aqua-
les, diametri fcilicet ef,cd:altitudoautem trianguli eaf
eft ba:&ipfius cad altitudo ag: erit ut b a ad a g, ita
eaf triangulum ad triangulum cad. Rurfus quoniam
triangulorum cad,hak eadem eft altitudo a g: trianguli
autem cad bafis cd, hoc eft e f: & trianguli hak bafis
hk; erit ut ef ad h k , ita triangulum cad ad triangulum
h a k. Sed ut e f ad h k,ita earum dimidia , hoc eft b k ad
k g:& at b k ad k g,ita b a ad a g: fimilia etenim funt tria
gula orthogonia bgx,bg a. triangulum igitur cad ad triangulum hak eft ut ba ad
a g. erat autem & triangulum eaf adipfum cad, ut b a ad a g. ergo ut eaf triangu-
lum ad triangulum cad, ita cad ad triangulum hak. quod oportebat demonftrare.
THEO-
DE SECTIONE CONI.
zS
THEOPvEMA XXXlir. PROPOSITIO XLII.
R vp s v s fit ut triangulum caf ad c ad, ita cad ad h ait. Dico
axem b a femidiametro bafis arqualem ede .
Q uoniam enim ut triangulum e a f ad c a d, ita b a ad
ag: & ut ea f ad cad, ita cad ad hak: erit ut cad ad
h a k,ita b a ad a g. Vt autem c a d ad h a k,ita e f ad h k,
hoc eft b k ad k g . ergo ut b a ad a g, ita b k ad k g . &
fiint triangula bag, bkg fimilia: & eiufdem rationis
a b, b k. linea igitur ab ipfi b k, uidelicet femidiametro
bafis squalis erit . quod oftendendurn proponebatur.
Simul uero 8c illud oftenfum eft in altera de-
monftratione triangulum eaf fimile elle tnan
gulo haK.
Vtenim efadhk,ita ba ad a g. triangulum autem eaf ad triangulum haK du-
plam habet proportionem eius , quam triangulum cad habet ad triangulum hak.
eftq; cad triangulum ad triangulum h a k, ut c d, hoc eft , ut e f ad h k . quare trian -
gulum eaf adipfum hak duplam proportionem habebit laterum eiufdem rationis,
uidelicet e fih k: & idcirco triangula e a f,h a k inter fe fimilia erunt .
Ex quibus perfpicuum e (t, 1 1 coni fcaleni axis aqualis fit bafis femidia-
metro*, triangulum xquicrurc ad re&os angulos bafi, fimile e fle trian-
gulo per axem x* qui cruri : Sc contra, fi triangulum xquicrure ad re-
ctos angulos bafi fimile fit triangulo per axem xquicruri *, coni axem le-
midiametro bafis xqualem efle. quod ex iam demonftratis facile intel-
ligi poteft .
THEOREMA XXXIIII. PROPOSITIO XLIII.
S i circulus circulum fecet per centrum ipfiusdefcriptus : & ab alte-
ra eorum fe&ione ducantur lineae fecantes circumferentiam , quae per
centrum tranfit , 8c ad alterius circuli circumferentiam protrahantur :
rcefa linea inter conuexam alterius circuli circuferentiam , & inter con-
cauam alterius interie&a aequalis eft linese, qua: a communi fe&ione li-
neae du£tx,& circumferentia per centrum, ad alteram communem cir-
culorum fectionem perducitur.
SIT circulus abe circa centrum d: & per d alius circulus dbc deferibatur , fc-
cafis priorem circulum in punftis bc: ducanturq; redis lines; per d quidem bde;
alia uero ut contingit bfg: & dc,fc iungantur. Dico lineam g f ipfi fc cequalem: ef-
fe. iungantur enim ec, cg. & quoniam angulus bde
jequalis eft angulo bfc : erit reliquus ede reliquo g Fg
squalis, fed A aequalis eft dec ipfi fg c, quod in eadem
circumferentia confiftat . reliquus igitur eft aequalis reli-
quo ; & triangula inter fe fimilia funtfaequicrure autem eft
triangulum ede. ergo & aiquicrure c fg; & linea g f ipfi
fc aequalis . fimiliter & in aliis lineis duriis idem demon-
ftrabitur. Rurfus in eadem figura ponatur ed ipfi dc
squalis, A gfxqualis fc, circumferentia bde bifariam
in -d pimrio diuiia. Dico circulum ex centro d,&inter-
a
S
i
ex couer-
fa 19. fe
xti
A
2-1. tertii
B
C
SERENI LIBER II.
uallo db,uel dc defcriptumperpunda eg tranfire. Quoniam enim angulus ede
aqualis eft angulo gfc:& funt triangula edc,gfc squicruria,anguli bec, bgeinter
fe aquales erunt : &r propterea in eodem circulo continebuntur . circulus igitur ex
centro d,& interuallo d b deferiptus per punda eg tranfibit. quod oportebat
demonftrare .
COMM ENTARIVS.
A Dico lineam g f ipfi fc squalem effe.] Ingraco codice ita. legitur. ori 1'dvi tcrii
(w» i A th A 7, ii At' {v> ri (7, boc efl , dico lineam ed linea dc 3 & gf ipfi fc aqualem effie.
r primam partem ueluti fiuperuacaneam fiufiulimus . tantum enim abefi , ut demonflret lineam
ed ipfi dc ejje aqualem , quod per fiefie ex circuli diffinitione apparet , ut etiam eotanquam noto
ad propofitum dernonfitrandum utatur .
£ Equicrure autem eft triangulum ede.] Sunt enim d e,d c d centro circuli ad circumfe-
rentiam duci a aquales . illud autem nos addidimus , quod in gr acis codicibus defiderabatur .
Et linea g f ipfi fc squalis .] Hoc loco etiam nonnulla alia fiuflulimus t qua fiuperuaca-
nea uidebantur .
THEOREMA XXXV. PROPOSITIO XLIIII.
S r in portione circuli infledantur recfoe linear, maxima quidem erit,
ciux ad putidum medium infleditur: aliarum uero femper ipfi propiti
quior, remotiore maior erit.
In portione enim abe infledantur reds lines; ab c quidem , ita ut circumferen-
_ tia abe bifariam in b feceturjadc uero,& age ut contingit. Dico abe maximam
efleomnium,qus in portione abe infleduntur:& ade ipfa age maiorem effe.Quo
. niam enim a b circumferentia circumferentis b c ed:
squalis ;& recta linea ab squalis erit bc.Itaque cen-
tro b & interuallo ba,uel bc circulus a efhc deferi-
batur : &; producantur a b e, a d f,a g h.ergo ex antece-
denti theoremate eb ipfi bc eftsqualis,& fd squa-
lis dc,& hg ipfi gc. Quoniam igitur a e diameter
eft circuli aef f; erit a e omnium, qus in circulo ducun
tur, maxima; & a f maior quam ah.Sedipfi a e squa-
lis eft ab c,&ipfi a f squalis adc,&ah squalis age.
ergo abe omnium maxima eft, & a d c maior , quam
ag c: & ita femper ea, qus propinquior eftpundo cir-
cumferentis medio , remotiore maior erit . quod de-
mo nftr an dum proponebatur .
ALITER. Sitcirculus a bc,& in portione abc,infledatur abe reda linea, ita
ut circumferentia abe bifariam in b diuidatur . Dico lineam abe maximam effe
omnium, qus in eadem portione inflectuntur. Infledatur enim adc,& ade pro-
ducatur, ita ut de ipfi dc flt squalis : iunganturq; bd,
b e . Quoniam igitur circumferentia a b squalis eft b c
circumferentis : & in circumferentia quidem ab angu-
lus bda, in circumferentia uero b c angulus bac con-
a 7 .tci-tij. fiftit: erit angulus b da angulo bac squalis. Commu-
nis apponatur b d c.ergo utrique anguli b d e,b d a utrif
que b de,b a c squalesfiint : & funt b de, b d a duobus
redis squales.ergo & bde,bac squales duobus redis,
at. tertii, funt autem & bdc,bac squales duobus redis. Vtrique
igitur b d e,b a c utrifque b d c,b a c squales funt;& coni
muni dempto bac,reliquus bde reliquo bac eft «qua
ftt*
DE SECTIONE CONI. 17
Iis. Itaque quoniam cd eft squalis de, & communis b d; funtq; circa squales an-
gulos-bafis cb baft be squalis erit. & quoniam ab,be maiores funtipfa ae: utrim-
que nero ab,be squalis eft abc:& a e squalis ipfi adc: erit abc, quam adc ma-
ior . Similiter & aliis maior oftendetur . ergo abc maxima eft omnium, qus in por-
tione infleduntur.
Sedfit pundum circumferentis medium ad f. Dico li-
neam abc,quspundo fpropinquior eft, ipfa adc re-
motiore maiorem elle. Quoniam enim circumferentia
a 1 b maior eft , quam circumferentia b d c ; angulus b d a
angulo bac eft maior; & communi appofito bde; erunt 4
b d e, b d a anguli maiores angulis b d e, bac. ergo bde,
bac funt duobus redis minores . &funt bdc,bac squa
les duobus redis . anguli igitur b d c, b a c angulis bde,
bac maiores funt: & communi bac dempto, reliquus bde maior eft reliquo bde.
& quoniam cd eft squalis d e, & communis bd;erit bafis cb baft be maior. Sunt
autern a b,b e maiores, quam a e: & a b c maior, quam a b, b e . ergo abc ipfa a e ,
hoc eft adc maior erit.
THEOREMA XXXVI. PROPOSITIO XLV.
5T quatuor redis lineis inarqualibus exiftentibus quadrata maxima:
& minimae aequalia fint quadratis reliquarum: reda linea co-aftans ex
maxima &c minima minor erit ea, qua: ex reliquis conftat .
Sint quatuor reds lines ab,b c,d e, e f quarum maxima fit ab; & bc minima: de
uero non fit minor, quam ef: &fint quadrata ab, b c, quadratis de, ef squalia.
Dico lineam ac minorem efte,quam df. Ducantur enim ad redos angulos bg,eh:
& ponatur bg ipfi bc squalis;& eh squalis e fiiundifq; ag,dh, deferibatur femi-
circulus circatriarigulum a b g orthogonium . & quoniam quadrata a b, b c, hoc eft
ab,bg quadratis de,eh funt squalia; erit quadratum a g squale quadrato dh:&li-
nea a g ipfi dh squalis, eft autem eh maior, quam b g.quare aptata in femicirculo
linea, qus fit squalis eh, angulum bgafecabit. Itaque aptetur, & fit g k: diunda
ak producatur , ut fit k 1 squalis k g . Quoniam igitur quadrata ak., k g quadratis
ab,bg squalia funt: quadrata autem ab,bg squaliaquadratis de e Inerunt quadra
ta akdg quadratis d e, e hsqualia.-quorum quadratum k g eft squale quadrato eh.
reliquum icitur quadratum ak reliquo de squale erit ;& linea ak lines de squa-
lis. erpo triangulum ak g eft squale & fimile triangulo deh; & linea al squalis ipfi
df. Itaque quoniam reda linea ax non eft minor, quam kg: neque a k cit cum fe-
rentia minor erit, quam circumferentia k g.quare cum in circuli portione imiedan-
tur lines a^g,abg: fitq; akg uel ad pundum circumferentis medium , uel ipfi pro
pinquior ; erit ex antecedenti theoremate akg maior , quam a b g, hoc eft al, uide-
licet d f maior , quam a c . minor eft igitur a c , quam d f. quod demonftrare opor-
tebat.
4 .primi.
2.0.
24. primi
SERENI LIBER II.
THEOREMA XXXVII. PROPOSITIO XLVI.
i
Si dure re&re linea? inaequales diuidantur : Sc partium minoris qua-
drata aqualia fmt quadratis partium maioris * earum omnium maxima
quidem erit maior minoris pars , minor ucro minima .
Sint red« line« ahc,defin b,e pundis itadiuil«,ut defitmaior,quam ef& ab
non minor, quam bc:fitq; ac maior,quam d£ quadrata u ero ab, bc quadratis de,
e f fint «qualia . Dico harum linearum a b,b c,d e,e f maximam d e,& e f minimam
ede. Ducatur enim ipfi ac ad redos angulos bg,qu« iit aqualis bc:&iungatur a g:
circa triangulum uero abg orthogonium femicirculus defcribatur. Quoniam igi-
tur ab reda linea non eft minor, quam bgpieque ab circumferentia, circumferen-
tia bg minor erit: & idcirco circumferentia; abg pundummedium,uel eftad b, uel
in circumferentia a b, ut ad h . Itaque expundo circumferentis abg medio , tan-
quam ex centro, &interuallo ah, uel hg circulus defcriptus Aper pun dum c tran-
43. huius fibit, utfupra demonftratum eft. defcribatur, & fit a A cg. & quoniam quadratum df
maius eft quadratis d e, e f: & quadrata d e e f quadrato a g tunc «qualia : erit qua->
dratum df maius quadrato ag:& linea df, quam
ag maior: minor autem df,quam a c.ergo inter li-
neas ac,ag aptari poteritin circulo a k cg linea
ipfi df «qualis .aptetur: fitq, alm,&iungatur lg.
eritexiam demonftratis lm «qualis lg. Sed al eft
maior, quam ab;& ab non minor,quam bg.ergo
al utraque ipfarum ab,bg maiorerit:& lg utra-
que a b, b g minor . linearum igitur a b, b g, a 1, 1 g
maxima eft al,& minima 1 g. Sed bg eft «qualis
bc.-&aiipfi de:& 1 g, hoc eft lm ipfi ef,utoften
dimus . ergo linearum ab,bc,de, ef maxima eft
de, & ef minima . quod propofitum fuerat de-
monftrandum .
COMMENTARIVS.
E t lg utraque ab,b'g minor.] Si enim lg non eft minor utraque ab bg, quoniam al
eft utraque ipfarum maior : erunt utra que al lg maiores utrifque ab bg,quod eft abfurdumfte-
44. Imius rnonftraturn etenim eft fupra minores ejje .
THEOREMA XXXVIII. PROPOSITIO XLVII.
S i dure re&re linere requales ita diuidantur , ut re&angulum conten-
tum partibus unius requale iit ei, quod alterius partibus continetur:
erunt unius partes partibus alterius requales .
Sintreds linea: inter fe «quales alm,
defin pundis le itadiuif« , utredangu-
lum almredangulo def fitsquale.Dico
lineam al ipfi de squalem efle. Quoniam
enim am eft «qualis d f;& earum dimidiae
«quales erunt.ergo & quadratum dimidi«
am eft «quale quadrato dimidi« df .ita-
que fiam bifariam diuifa fuerit in hredan
gulum alm eft dimidia: quadratum, ergo & df bifariam diuiditur in e, quoniam re-
dangulum def «quale eft quadrato dimidi« a m , uidelicet dimidi« d f: fin minus ,
diuidanturbifariaminpundis nx. «qualis igitur eft nm ipfi xf:&propterea qua-
dratum
a
t-
£ r
-s — \-
*IV
-f
cC
x e
k
\
DE SECTIONE CONI. 33
effatum li m quadrato xf squale, hoc eft re&anguluni alm una cum quadrato nl
squale re&angulo def una cum xe quadrato: quorum redtangulum alm squale
eftredtangulo d e f.ergo reliquum nl quadratum squale quadrato x e, & linea nl li
nes xe squalis, eft autem & nm squalis xf. reliqua igitur Im ipfi ef, & al ipli de
aequalis erit.quod oportebat demonftrare.
THEOREMA XXXIX. PROPOSITIO XLVIII.
Si conus fcalcnus per axem fecetur*, eorum, quae fiunt triagulorum
quod maius eft, maiorem perimetrum habet : & cuius trianguli maior
perimerer, illud maius eil .
Secetur conus fcalenus per axem ab.&exfie&ionefiant a cd,a e f triangula, quo-
rum maius acd,itaut e a quidem fit maior, quam
a f; ca uero non minor, quam a d.Dico a c d peri
metrum perimetro a e f maiorem dfe . Quoniam
enim squales lunt c d,e f' bafes; communis autem
dubtaeft ba a ucrtice ad pundhim, quod ip fas bi-
fariam fecat:& triangulum a e f minus eft triangu
lo acd:habebit ea ad a f maiorem proportione,
quam ca ad ad, utinuigefimo theoremate eft de
monftratum . ergo ea maxima eft quatuor linea-
rum, & a f minima-quod etiam demonftratum eft.
& quoniam quadrata a maxima & minima, hoc eft
quadrata e a, a f quadratis ca,ad funtsqualia; eruntutrsquelines ea, a f minores B
utrifque c a,ad, ex antecedenti theoremate, apponatur e fi cd. tota igitur aefperi-
rneter tota perimetro ac d eft minor, ergo maioris trianguli peri meter maior erit.
Ex quibus perfpicuum eftin conis fcalenis, maximi quidem triangu-
lorum,qux fiunt per axem , hoc eft ^quicruris perimetrum efie maxi-
mam, minimi uero, hoc eft eius, quod eft ad redos angulos bafi coni, pe
rimetrum minimam efte : & aliorum femper quod maius eft maiorem
perimetrum habere, quam quod minus .
RuiTus ponatur trianguli cad perimeter maior perimetro e a f. Dico triangulum
ac d triangulo eaf maius elfe. Quoniam enim aed perimeter maior eft perime-
tro eaf; squalis autem cd ipfi. e f; erunt reliqus ca,ad reliquis e a,af maiores. fed
quadrata c a,a d squalia fiint quadratis e a, a f. ergo quatuor linearum c a, a d, e a, a f
maxima quidem eft e a, minima uero a fiqus omnia ante demonftrata fiunt, quare ea. C
ad af maiorem habetproportionem, quam da ad ac. Itaque quoniam duo triangu
la c a d,e a f bafes squales habent, & lineam, qus a uertice ad pun&um bafim bifuria
fecans ducitur, habent eandem ; alterius autem maius latus ad minus maiorem pro-
portionem babet, quam alterius maius latus ad minus , uei squale ad squale : trian-
gulum eaf minus erit . triangulum igitur cad maius eft triangulo eaf. quod de- D
monftrare oportebat.
COMMENTARI V S.
ERGO ea maxima eft quatuor linearum, & a f minima. ] Quoniam enim ea ad a f jg
maiorem habet proportionem, quam c a ad ad; habebit & ea quadratum ad quadratum af ma- 1 7.feuiu*
iorem proportionem, quam quadratum c a ad quadratum a d . fed quadrata ea,af aqualia funt
quadratis c a,a d;quod cx f ix.ta decima huius apparet , utraque enim funt aqualia duobus quadra-
tis fenUdtametrorum , & duplo quadrati a b . ergo ex decima ociam huius quatuor quadratorum
ea,af,c.a,ad maximum eft e a,& minimum af: & idcirco linearum ea, af,ca,a d maxima eft
e a, & af minima.
i
%
c
D
i ^'duo-
decimi
A
*
B
C
D
A
r. duode
cimi
cor.io fe
xli .
B
C
D
Erunt utroque line® ea,af minores utrifque ca,ad ex antecedenti theoremate.]
Ex quadragefinta quinta huius.
Qu® omnia ante demonftrata funt .] In quadragesima fexta huius.
Triangulum e a f minus erit .] Ex decima nona huius .
THEOREMA XL. PROPOSITIO XLIX .
Re&ormn conorum aqualium, & disfimilium triangula per axem
ex contraria parte refpondent fuis bafibus .
Sintre<Ticoni®quale$&disfimiles,quorumuertices ab pundta;axes ag,bh:&
triangula per axem a c d , b e f : bales
autem circuli circa diametros c d, e £
Dico ut triangulum a c d ad triangu-
lum b e A ita elfe e f bafim ad balim
c d . Quonia enim coni luntsequales,
erit ut circulus circa centrum g ad cir
culum circa h,ita axis b h ad a g axe :
circulus autem circa g ad circulum
circa h duplam proportionem habet ^
eius , quam c d habet ad e f. Iit inter c f-
b h & a g media proportionalis k g ; V
& iungantur k c,k d.erit ut c d ad e fi
ita bh ad kg& kg ad ga.Quoniam
igitur ut cd ad efqta bh ad k g:erit
triangulum b e f triangulo kcd ®quale.& quoniam ut cd ad ef, ita kg ad ga. ut
autem k g ad g a, ita kcd triangulum ad triangulum a c d : erit ut c d ad e f,ita trian
gulum k c d,hoc eft b e f ad triangulum a c d . ergo ut a c d triangulum ad triangula
b e f,ita bafis efad cd bafim. triangula igitur expofitaex contraria parte fuis bafi-
bus refpondent.
COMMENTARIVS.
Circulus autem circa g ad circulum’ circa h duplam proportionem habet eius,
quam cd habet ad' e f.] Circulus enim circa g ad circulum circa h esi ut quadratum cd ad
quadratum ef.qmdratumuero cd ad ef quadratum, duplam habet proportionem eius, quam cd
habet ad e f.ergo circulus circa g ad circulum circa h duplam proportionem habebit eius, quam
cd ad e f.
Erit ut c d ad a f, ita b h ad k g , & k. g ad g a . ] Sequitur ex iam dictis axem b h ad
axem ag duplam habere proportionem eius , quam habet cd ad ef.fed bh ad ag duplam pro—
portionem habet eius, quam bh ad kg,&kg ad ga.ergout c d ad e f, ita erit bh ad kg, &
k g ad g a. .
Quoniam igitur ut c d ad e f,ita b h ad k g, erit triangulum b ef triangulo kcd
squale.] Erit enim ex quarta decima fexti rectangulum ex ef, &bh X quale ei, quod fit ex cd
& kg.fedrett anguli ex ef, & bh triangulum b ef efl dimidium : & redt anguli ex cd &kg
dimidium efl triangulum k c d . triangulum igitur bef triangulo fc d ecquale erit .
Vt autem kg ad ga,ira kcd triangulum,ad triangulum acd.] dfamut k g adga,
ita rectangulum ex cd,& kg ad rectangulum ex cd,& g a; & ita horum dimidia,hoceft trian-
gulum kcd ad triangulum acd.
THEOREMA XLI. PROPOSITIO L.
O uorum conorum f odiorum triangula per axem cx contraria parte
refpondent fuisbafibus, ii inter fe funt aquales .
Sint co norum uertices quidem a b j axes ag,bh redis line® : trianguia uero per
1 ' txem
34
B E SECTIONE C O N I.
axem acd,be£&fitut cd ad e f,ita triangulum b e fad triangulum acd.Dicoco-
nos inter fe aquales ede, fiat enim ut b e f triagulum ad triangulum a c d , ita a c d ad
triangulum k e f . ergo triangulum b e f ad triangulum k e f duplam habet propor-
tionemeius,quam triangulum a c d ad ipfum k e f. Quoniam igitur ut c d ad e f , ita
bef triangulum ad triangulum acd: ut autem triangulum b ef ad ipfum ac d, ita
ac d ad triangulum k e f: erit ut c d ad e fjita acd triangulum ad triangulum k e f._
quare cum triangula a c d, k e f inter fe fint,ficuti bafes , fub eadem erunt altitudine .
ergo a g ipfi. k h eft x qualis,
habet autem circulus g ad
circulum h duplam propor
tionem eius quam c d dia-
meter ad diametrum e £& ut
cd ad e f, ita triagulum acd
ad triangulum k e f.ergo cir-
culus g ad circulum h dupla
proportionem habet eius ,
quam c a d triangulum ad
triangulum e kf. habebat au
tem & triangulum e b f ad triangulum e k f duplam proportionem cius , quam c a d
triangulum ad triangulum e k f ergo ut circulus g ad circulum h, ita e b f triangu-
lum ad triangulum e k f, hoc eftre&a linea b h ad redam h k. eft autem h k ipfi a g
«qualis . V t igitur circulus g ad circulum h , ita reda linea b h ad a g/& funt b h,a g
axes c6norum,qui ex contraria parte refpondent bafibus, uidelicet circulis gh.ergo
coni a g c d,b h e f inter fe «quales funt .
THEOREMA XLII. 'PROPOSITIO LL
Sr conorum re&orum bafis adbalim duplam proportionem ha-
beat eius , quam conusad conum > triangula per axem inter fc aqualia
erunt. / j
Sint coni redi, quorum uertices ab punda ; bafes circuli circa centra g,h: & trian
gula per axes acd, b e f.habeat autem circulus g ad circulum h duplam proportio-'
ncnTjeius^quam a gqd conus ad conum bhef. Dico triangula acd,bef inter fe x-
qualiaqlfe.Sit enim ut aged conusad conum bhef, ita bhef ad conum khef: 8c
quoniam circulus g ad circulum h duplam proportionem habet, quam aged co-
nus ad conum bhef. conus autem age d ad conum k h e f prop ortionem duplasu
habet, quam aged conusad
conum bhef: erit ut circu-
lus g ad circulum h , ita co-
nus aged ad conum khef.
quare cum a g c d , k h e f co-
ni inter fe fint, ficutfbafes;. ae-
qualem habebunt altitudine,
ex conuerfa undecima: duo-
decimi elemento ru. ergo ag
ipfi kh eft xquai^s.Quoniamigi|ur circulus g ad circulum h duplam proportione
habet, quam aged conus ad conum bh e f,hoc efl quam conus bhef adeonum^h
e f,hoc efi quam bh ad hk: habet autem circulus g ad circulum h duplam propor-
tioneiruquam c d ad e ferit ut c d ad e f,ita- b h ad h k,hoc eft ad ag . triangula igi-
tur a c d,b e f inter fe «qualia erunt . qu od oportebat demonfuare .
THEOREMA XLIII. PROPOSITIO LII.
S i triangula per axem inter fe «qualia fint;& babs ad baflm duplam
proportionem habebit eius, quam conus habet ad conum .
ex couef-
fa Pernae
fexti
if.cluodc
cimi
1 4 . duo-
decimi
i f.duo-
decimi
^.duo-
decimi
THEOREMA XLIIII.
PROPOSITIO LIII.
i ■ •
■/
triangi
Reuti coni arquealti duplam inter Te proportionem habet eius, quam
per axem.
Defcribanturijdem coni :& fit axis ag aqualis bh.Dico agcd conum ad conum
b h e f duplam proportio -
nem habere eius, quam tria
gulam acd habet ad trian-
gulum b e fQuOniam enim
circulus g ad circulum h du
piam proportionem habet,
qpam c d ad e f; & ut circu-
lus g ad circulum h , ita a g
cd conus ad conum bhef:
iunt enim squs althhabebit
conus agcd ad conum b h
e f duplam proportionem,
quam cd adef; hoc eft qua
acd triangulum ad triangulum b e f. quod demonftrare oportebat.
THEOREMA XLV. PROPOSITIO LUIT.
S r redi coni inter fe Te duplam proportionem habeant eius, quam
trian q^ula per axem •, ipfi arquealti erunt .
Defcribantur coni,& po-
natur agcd conus ad conii .
bhef duplam habere pro-
portionem eius, quam trian
gulum acd ad triangulum
b ef. Dico ag ipfi b h a: qua
lem efie . Ponatur enim tri-
angulo b e f squale triangu
lu m h c d . & q uonia agcd
conus ad conum bhef du-
plam proportionem habet.
Defcribantur rurfus prsdicfti coni:& ponantur triangula a c d,b e f inter fe squa-
lia.demonftrandum eft circulum g ad circulum h duj^am proportione habere eius,
quam agcd conus habet ad conum bh ef.Sitenim utredtalinea bh adredam ag,
ita ag ad gk.Quoniamigitur triangula a c d,b e f funt s qualia i erit ut cd ad e fpta
bh ad ag; hoc eft ag ad gk.
& quoniam circulus g ad cir-
culum h duplam habet pro-
portionem , quam c d ad e f,
hoc eft quam b h ad ag: ha-
betq; b h ad g k duplam pro
portionem, quam bh adag:
erit ut circulus g ad circulum
h,ita b h ad k g . Conus igitur
k_gcd cono bh ef eft squalis,
utaute cd ad efiitaeft ag ad g/q:&ut ag ad gk,ita agcd conus adeonu kgcd,
hoc eft ad conum b h e fiergo ut c d ad e f,it a agcd conus ad conum bhef. Sed cir-
culus g ad circulum h duplam habetproportionem, quam c d ad e f.circulus igitur
g ad circulum h,hoc eft balis agcd coni ad bafim coni bhef duplam proportione
habet, quam agcd conus ad conum bh e f.quoddemonftrare oportebat.
quam
DE SECTIONE CONI.
35
quam acd triangulum ad triangulum b e £ eft autem triangulum b c f «quale trian
gulo k cd:habebit aged conus ad conum bh ef duplam proportionem, quam tria,
gulum ac d adtriangulu k cd, hoc eft quam ag adgk,hoceft quam agedeonusad
conum k gcd. ergo ut conus aged ad kgcd conum, ita k ged conus ad conum
b h e f. Quoniam igitur conorum k g c d,b h e f, triangula per axem k c d,b e f aqua-
lia luntjbafis coni g ad bafirn h duplam proportionem habebit, quam kgcd co-
nus ad conum bhefiutinquinquagefimafecunda huius demo nftratum eft. Sed ut
Kgcd conus ad conum bh e f, ita conus age d ad conum kgcd,&re£la linea ag ad
gk.drculus igitur g ad circulum h duplam proportionem habet, quam ag ad g k
fed & duplam habet proportionem,quam diameter c d ad e f diametrum. ergo ut c d
ad efiita ag ad gk. Itaque quoniam triangulum kcd triangulo bef eft re quale, ut
c d ad e fiita erit b h ad k g. oftenfum eft autem ut c d ad e f,ita a g ad g k . quare ut
bh ad kg,ita ag ad g k.«qualis igitur eft ag ipfi bh.quod oportebat demonftrare.
THEOREMA XLVI. PROPOSITIO LY.
Si redi coni cx contraria parte refpondeant fuis axibus y triangula
per axem inter fe aqualia erunt .
Defcribanturconfi&fttnt a gcd conus ad conum bh e fiita axis bh ad ag axem.
Dico triangula a c d,b e f inter fe «qualia efle . fit enim a g c d cono conus «quealtus
kh e£& quoniam ut aged conus ad conum b he fiita eft reda linea bhad ag «qua
lis autem kh ipfi ag:eritut aged conus ad conum bhef ,ita bh ad h k ; hoc eft
b h e f conus ad conum k h e f. conus igitur a g c d ad conum k h e f duplam propor-
tionem habet , quam bhef
conus ad conum khef. Sed
ut bhef conus ad conum
khef, ita bef triangulum
ad triangulum k e fi ergo co-
nus aged ad conum khef
duplam proportionem ha-
bet , quam bef triangulum
ad triangulum k e f.habet au-
tern conus aged ad conum
«quealtum khef duplam proportionem , quam acd triangulum ad triangulum
kefiutdemonftratumeftin quinquagefima tertia huius, quare ut bef triangulum
ad triangulum k e fi ita triangulum a c d ad triangulum k e f Triangulum igitur acd
triangulo bef eft Eequale. quod demonftrandum proponebatur .
THEOREMA XLVII. PROPOSITIO LVT.
S r triangula per axem inter fe aequalia iint j & coni ex contraria par-
te fuis axibus refpondebunt .
Ponatur acd triangulum triangulo bef «quale. Dico ut a g c d conus ad conum
bhef, ita efle axem b h ad a g axem . in eadem enim figura , & conftrucHone , quo-
niam triangulum acd «quale eft triangulo befieritut acd triangulum ad triangu-
lum k e fiita triangulum bef ad k ef triangulum.fed conus aged ad conum «que-
altum kji e f duplam proportionem habet, quam acd triangulum ad triangulum
hs f : & ut triangulum a c d ad triangulum k e f, ita triangulum b e f ad triangulum
k ef. Conus igitur aged ad conum khef duplam proportionem habebit, quam
triangulum bef adipium k e f.hoc eft, quam conus bhefad conum kh ef ergo ut
aged conus ad conu bhef, ita conus bhef ad khef, hoc eftita bh ad h^.eftaute
kh ipfi ag «qualis. Vt igitur aged conus ad conum bh ef,ita bh axis ad axem
a g. quod demonftrare oportebat .
p.quinti
SERENI LIBER II."
THEOREMA XLVIII. PROPOSITIO LVII.
S i coni redi ex contraria parte fuis bafibus rcfpondeant*, triangula
Ter axem inter fe triplam proportionem habebunt eius , quam baiis ha-
^et ad bafim ex contraria parte .
Defcribantur coni ;& fit ut agcd conus ad conum bhef, ita h bafis ad bafim g.
Dico acd triangulum ad triangulum bef triplam proportionem habere eius,quam
e f habet, ad c d.° Ponatur enim ipfi b h squalis k g. erun t coni squealti k g c d, b h
e f inter fe fe, ut eorum bafes . Quoniam igitur ut agcd conus ad conum b h eiyita
h bafis ad bafim g.-& ut bafis h ad bafim g, ita conus bh ef ad conum k gc d; erit ut
agcd conus ad conum bhefiita bh ef adipfum kgcd conum, quare conus agcd
ad conum kgcd duplam proportionem habet eius, quam conus bhef ad conum
k g c d.fed ut conus a g c d ad k g c d, ita a c d triangulum ad triangulum k c d.trian-
gulum igitur acd ad ipfum
k c d duplam proportionem
habet, quam bhefconusad
conum arquealtum kgcd. co-
nus autem bh c f ad ipfum
Kgcd duplam proportionem
habet, quam triangulum bef r /■
ad triangulum k c d.ergo trian " (““
gulum acd ad triangulu k c d v
quadruplam proportione ha-
bet eius , quam bef triangulum ad triangulum k c d : & propterea triangulum acd
ad ipfum b e f triplam proportionem habebit, quam triangulum b e f ad triangulum
k c d. fed ut triangulum b e f ad k c d,ita e f ad c d. Triangulurq igitur a c d ad trian
gulum bef triplam proportionem habebit, quam ef ad cd. quod demonftrare
oportebat .
THEOREMA XLIX. PROPOSITIO LVIII.
Q voRvm conorum re&orum triangula per axem inter fe triplam
proportionem habent eius 3 quam bafis ad bafim ex contraria parte : hi
coni fuis bafibus ex contraria parte refpondebunt .
In eadem figura, & conflru&ione habeat acd triangulum ad triangulum b e fi tri-
plam proportionem eius , quam e f bafis trianguli ad c d bafim . Dico ut a gc d co-
nus ad conum b h e f ita effe h bafim coni ad bafim g. Quoniam enim acd triangu-
lum ad triangulum bef triplam proportionem habet eius, quam e f ad c d;ut autem
e f ad c d, ita b e 1" triangulum ad triangulum K c d squealtum : habebit triangulum
a cd ad triangulum b ef triplam proportionem, quam bef triangulum ad ipfum
Kcd. ergo triangulum acd ad triangulum Kcd quadruplam proportionem habe-
bit, quam bef triangulum ad triangulum Kcd. ut autem triangulum acd adipium
Kcd, ita agcd conus ad conum Kgc d. conus igitur agcd ad conum Kgcd qua-
druplam proportionem habet eius , quam triangulum b e f ad triangulum k c d . fed
conus bhef ad conum Kgcd squeaitum duplam proportionem habet,quam trian
gulum b ef ad triangulum Kc d.ergo conus agcd ad conum Kgcd duplam habe-
bit proportionem eius, quam bhef conus ad conum Kgcd.Quareutconus agcd
ad conum bhef, ita bhef conus ad conum kgcd. Sed ut bhef conus ad conum
Kgc d,ita h bafis ad bafim g . Vt igitur agcd conus ad conum bhef, ita bafis h
ad g bafim. quod demonfirare oportebat.
i . - - . ' . ■ . g-
THEQ-
DE SECTIONE CONI.
36
THEOREMA L. PROPOSITIO LIX.
S 1 re&us conus ad conum re&um duplam proportionem habeat
eius, quam bafis ad bafim > triangulum per axem ad triangulum per
axem triplam proportionem habebit, quam trianguli balis ad bafim .
Defcribantur coni , & ponatur agcd conus ad conum bhef duplam proportio-
nem habere eius , quam g bafis coni habet ad h bafim • Dico tiiangulum a c d ad
triangulum bef triplam habere proportionem, quam cd bafis trianguli ad bafim
e f. fit ipfi a g sequalis k h . erunt coni sequealti agcd, k h e f inter fe fe , ficuti bafes .
Quoniam igitur agcd conus ad conum bhef duplam proportionem haoet, quam
g bafis ad bafim h: ut autem bafis g ad h,ita agcd conus ad conum khef: habebit
agcd conus ad conum bh e f duplam proportionem,quam agcd conus ad conum
k h e f.ergo ut a g c d conus ad conum k h e f ita khef ad bhef conum.& quoniam
coni agcd, Khef jsquealti funt; habebit agcd conus ad conum Khef duplam pro
portionem, quam triangulum aed ad triangulum k ef: quod demonftratum iam
eft. Vt autem agcd conus
ad conum K he£ ita & conus
K h e f ad bhef conum ; &
Kef triangulum ad triangu-
lum b e f. ergo /ge f triangu-
lum ad triangulum bef du-
plam proportionem habet, c
quam triangulum a c d ad
triangulum kef: ac propte-
rea triangulum a c d ad trian
gulum bef triplam habebit proportionem , quam aed triangulum ad triangulum
k e f. Sed ut triangulum aed ad triangulum k efiitabafis cd ad ef bafimrfuntenim
triangula arquealta* Triangulum igitur aed ad triangulum bef triplam proportio-
nem habet, quam c d bafis ad bafim c f.quod demonftraffe oportuit .
THEOREMA LL PROPOSITIO LX.
S i triangulum per axem ad triangulum per axem triplam proportio
nem habeat eius, quam trianguli balis ad bafim •> conus ad conum du-
plam proportionem habebit , quam coni bafis ad bafim .
In eadem enim figura triangulum a c d ad triangulum bef triplam proportionem
habeat, quam bafis cd ad e fbafim:&rurfus ponatur ipfi ag aqualis kh. Quoniam
igitur triangulum a c d ad triangulum bef triplam proportionem habet, quam cd
ad e f: ut autem c d ad e f,ita aed triangulum ad triangulum kef: habebit aed tria
gulum ad triangulum bef triplam proportionem , quam triangulum a c d ad ipfum
k e f.ergo kef triangulum ad triangulum b e f duplam proportionem habet, quam
aed triangulum ad triangulum k e f. Sed ut triangulum k e f ad triangulum b e f, ita
Khef conus ad conum b h e f.conus igitur K h e f ad conum bhef duplam propor-
tionem habebit, quam aed triangulum ad triangulum Kef habet autem & agcd
conus ad conum sequealtum Khef duplam proportionem, quam aed triangulum
ad triangulum K e ,f. ergo ut conus a g c d ad conum K h e f, ita k h e f ad b h e f co-
num : & idcirco age d conus ad conum bhef duplam proportionem habet, quam
agcd conus ad conum K h e'£ hoc eft quam bafis g ad h bafim. quod demonftrarc
oportebat.
LIBRORVM SERENI FINIS.
1
Live Music
Archive
Librivox
Free Audio
Metropolitan Museum
Cleveland
Museum of Art
Internet
Arcade
Console Living Room
Open Library
American
Libraries
TV News
Understanding
9/11